CC BY
20УДК: 517.983.23 MSC2010: 47G10
ОБ ОПЕРАТОРАХ ТИПА ХАРДИ © Е. А. Павлов
КРЫМСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
пер. Учебный, 8, Симферополь, 295015, Российская Федерация e-mail: [email protected]
On the Operators of Hardy's Type.
Pavlov E. A.
Abstract. In this paper, we obtain sufficient conditions for the boundedness of the generalized Hardy-Littlewood operator and the Hardy type operator in ideal spaces of the form Ea, where a(t) is a positive, Lebesgue-measurable function. E is a symmetric space.
Keywords : symmetry spasce, ideal, lattice, operator Hardy.
Введение
В работе [1] Г. Г. Харди и Дж. Литтльвудом было получено интегральное неравенство, которое, с точки зрения функционального анализа, означает непрерывность интегрального оператора, впоследствии названного оператором Харди-Литтльвуда, в лебеговых пространствах Lp со степенным весом. Т. Шимогаки в статье [2] сформулировал и доказал критерий непрерывности оператора Харди-Литтльвуда в симметричных пространствах, введенных в работе [3]. В статье [4] этот оператор был исследован, в частности, в симметричных пространствах с весом. В монографии [5] был введен в рассмотрение интегральный оператор, который является обобщением оператора Харди-Литтльвуда для случая степенных функций. При изучении оператора А. Кальдерона автором данной работы, в статье [6] было получено дальнейшее обобщение оператора Харди-Литтльвуда. Получены необходимые и достаточные условия ограниченности оператора Кальдерона в симметричных пространствах. В статье [7] получен критерий ограниченности обобщенного оператора Харди-Литтльвуда в симметричном пространстве. Первое «весовое» неравенство для максимальной функции Харди было получено в [8]. В работе [9] были введены еще более общие, чем оператор Харди-Литтльвуда — операторы типа Харди и Харди-Стеклова.
В данной статье изучен оператор типа Харди и обобщенный оператор Харди-Литтльвуда в симметричных пространствах и симметричных пространствах с весом. Рассмотрен, более общий чем Н, оператор типа Харди (см., [9]), вида
г
(Н/ж)(*) = У ф)^) ^ (1)
о
и его формально сопряженный
те
(Н*х)(*) = *(*М*) ¿я. (2)
г
Основные определения, обозначения и необходимые утверждения можно найти
в [5], [3].
Частным случаем оператора типа Харди (1) является обобщенный оператор Харди-Литтльвуда
г
(Н х)(*) = х(я) ^(з), (3)
о
где ^(з) - положительная, возрастающая функция на [0,
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Определение 1. Положительная всюду конечная на (0, функция называется полумультипликативной (см. [5]), если выполняется неравенство
■ ¿2) ^ ^(¿1) ■ ^(¿2),
где ¿1, ¿2 е (0,
Предложение 2 ([5]). Введем в рассмотрение числа
1п г>(£) 1п
а = 11т —-= вир —-,
г^о 1п £ 0<г<1 1п Ь
в =11т1^ = т£1^. г^те 1п ^ г>1 1п Ь
Числа а и в называются, соответственно, нижним и верхним индексами функции Выполняются соотношения:
1) —то < а ^ в <
2) ^ при * > 1 и ^ при 0 < * < 1;
3) ^ ¿а-£, е > 0 и ^ достаточно близких к 0;
4) ^ , е > 0 и ^ достаточно больших.
Определение 2. Пусть - положительная всюду конечная функция на полуоси (0, +то). Функцией растяжения для функции называется функция, определяемая равенством
■ ¿)
^ф (в) = вир - , 0 < 5 < + то.
Несложно проверить, что ц,ф (в) является полумультипликативной функцией, то есть выполняется неравенство
^ф (51 ■ 52) ^ ^ф (51) ■ ^ф (52), 51, 52 € (0, + то).
Предложение 3 ([5], стр. 76). Пусть - положительная всюду конечная функция на полуоси (0, +то). Тогда существуют два числа 7ф и 8ф такие, что
1) 0 < 7ф ^ 6ф < то;
2) ^ф (5) ^ з6ф при 5 > 1;
3) ^ф (5) ^ при 0 < 5 < 1;
4) для любого е > 0 при достаточно больших 5 выполняется неравенство
^ф (5) ^ +;
5) для достаточно малых 0 < 5 < то выполняется неравенство
»ф(5) ^ ^-
Кроме того, выполняются неравенства
1п ^ф (Ь) 1п ^ф (Ь)
7ф = 11т т . ; ^ф = 11т 1 . . 1п Ь ф 1п Ь
Определение 3. Оператором растяжения , определенном на функциях f (¿) из
функционального пространства Е, определенных на (0,а), 0 < а ^ +то, называется
оператор, задаваемый формулой
I/ (Т), если 0 <Ь<т ■ а;
^т / (Ь) = <
I 0, если Ь > т ■ а.
Определение 4 ([5]). Пусть х(Ь) - неотрицательная функция, определенная на (0,а), 0 < а ^ +то. Функцией распределения для функции х(Ь) называется функция
Пх(т) = тев{Ь : х(Ь) > т}.
Определение 5. Две неотрицательные функции х(Ь) и у(Ь), определенные на (0, а), 0 < а ^ +то, называются равноизмеримыми, если выполняется равенство ( [5])
Пх(т) = Щ(т), т > 0.
Определение 6. Пусть x(t) - неотрицательная функция, определенная на (0,а), 0 < а ^ Перестановкой функции x(t) называется функция x*(t), рав-
ноизмеримая с функцией x(t), убывающая на (0,а) и непрерывная слева.
Предложение 4 ([5]). Справедливо равенство
x*(t) = inf{т : Пх(т) <t}.
Определение 7. Функциональное банахово пространство E измеримых, в смысле Лебега, функций, определенных на (0, а), где 0 < а ^ называется симметричным или перестановочно-инвариантным, в другой терминологии ( [3], [5], [6]), если:
1) из того, что y(t) £ E и выполняется неравенство |x(t)| ^ |y(t)| почти всюду на (0,а), вытекает, что x(t) £ E и ||x||E ^ \\у\\е;
2) из того, что y(t) £ E и |y(t)| равноизмерима с |x(t)| следует, что x(t) £ E и ||х||е = ||у\|е .
Предложение 5 ([2], [3], [5]). Оператор растяжения аТ ограниченно действует в каждом симметричном пространстве E.
Определение 8. Пусть E - симметричное пространство и ||аТ||е - норма оператора растяжения, действующего в E. Тогда ||аТ ||е является полумультипликативной функцией аргумента т ( [5], [6]).
Через O.E и ßE обозначаются нижний и верхний индексы (показатели) Бойда ( [5], [6]), определяемые равенствами
v ln ||о>||е п -,. ln ||а>||е
aE = lim —--; ßE = lim —--.
тln т т^те ln т
Предложение 6. Справедливо неравенство 0 ^ aE ^ ßE ^ 1.
Предложение 7 ([5]). Оператор растяжения о> коммутирует с операцией * - знак перестановки функции x(t) ^ 0, то есть
Kx(i))* =
Лемма 1 (Е.М. Семенова, см. [5], стр. 136). Пусть -0(t) - непрерывная возрастающая функция. Тогда для любой функции x £ E, где E - симметричное пространство измеримых, в смысле Лебега, функций, определенных на (0, справедливо неравенство
оо
|| У атХ*(£)#(т)||е < J ||^тx(t)|E#(т).
oo
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1. Пусть симметрическое пространство Е и положительная возрастающая функция р(Ь) удовлетворяют условию
вв < ^ — вр. (4)
Тогда оператор Н5 ограниченно действует из ЕМр в Ер.
Доказательство. Получаем, делая замену переменной 5 = Ь ■ т и пользуясь неравенством ^(¿) ^ где - функция растяжения для
г
р(Ь)(Н,х)(Ь) = )/ Ф)^) = 0
1 1
= 5! /х(ь ■т ■т) ^ Мь) /х(ь ■т )Ф^(т). 00
Учитывая полумультипликативность функции (см. [5]), получаем
1 1
р(Ь)(Н^ж)(Ь) ^У ■ т)^р(Ь ■ т)^р(-^ф^т) = J а! [ж(Ь)^р(Ь)]^р( -^ф^т).
00 Используя лемму Е.М. Семенова (см. [5], лемма 4.7) получаем
НрМН^Х^Нв ^ } ||а! [ж(фр(Ь)]||вМ 1 )Ф^(т) ^
о т
1
^ / ||а! ¡вМ1 (т)||х(Ь)МЬ)||В.
о т
(5)
(7)
Из свойства полумультипликативных функций (см. [5], стр. 75-76) и условия в в < — вр вытекает конечность интеграла
1
У ||а 1 ||вМ т^Ф^т) < то. (8)
0
□
Следствие 1. Пусть р(Ь) и - полумультипликативны. Тогда, если выполняется соотношение вв < — вр, то оператор Н5 ограниченно действует из Ер
в Ер.
Доказательство. В силу полумультипликативности функций р(£) и условие (8) запишется в виде
1
_-1
а 1 ||ЕР(г )^(т) < то.
Т
□
Следствие 2. Пусть в следствии 1 ~ ¿. Тогда, если выполняется усло-
вие(см. [5], стр.194)
J 11|Ер(т-1)^г < то, (10)
0
то оператор Харди-Литтльвуда ограниченно действует из Ер в Ерп и из Ер в Ер, если Е - максимально.
Рассмотрим дальнейшее обобщение оператора Харди-Литтльвуда (см. [9]). Оператор
г
(Я/ *)(*) = (11)
0
называется оператором типа Харди, где и ^(¿) - положительные на (0, +то) функции.
Теорема 2. Пусть Е((0, +то); - симметричное пространство и выполнено соотношение
1
У ||а 1 ||е()^т < то. (12)
0
Тогда оператор Я^ ограниченно действует из Ем , в Е1.
V
Доказательство. Получаем
г
1 (Я/ж)(г) = ^ [ ф^в)^. (13)
0
Делая замену переменной в = £ • т и пользуясь неравенством
^ * ) (14)
«Таврический вестник информатики и математики», № 3 (44)' 2019
1
и пользуясь свойством полумультипликативности функции ^ (т), получаем
1
1С 1
— (Я/ж)(*) ^ / ах [ж(фф(¿Ж(-)^(т)^г. (15)
о
Беря норму в Е от обеих частей неравенства (15), получаем, пользуясь леммой Е. М. Семенова [5],
||^(я/*)(*)11е ^
1
^ / ||а 1 [х(Фф (*)]|Е ^ф (1 И(т ^ (16)
1
1|а 1 ЦвРф(1 )Мт)йт ■ ||ж(*)^ф(¿)||е. о т
Теорема доказана. □
Следствие 3. Пусть Е((0, +то); - симметричное пространство, и ^(¿) -неотрицательные функции на (0, +то). Тогда, если выполняется соотношение
вв < - вф + 1 (17)
то оператор Я^ ограниченно действует из Е^ в Е1.
Доказательство следует из условия (12) теоремы 2, свойств полумультипликативных функций и индексов Бойда.
Следствие 4. Пусть в условии Теоремы 2, ^(¿) - полумультипликативная функция, - полумультипликативная функция, тогда достаточное условие может, быть записано в виде
1
У ||а 1 ||Е-0(т-1)^(т)^т < то. (18)
0
Пусть выполнено соотношение
1
У ||а 1 (^^(т^т < то. (19)
о
Рассмотрим Я^ф в пространстве с весом 7. Получаем
7(*)(Я/я)(*) = 7(*М*) / ФМ^ ^
о
1
^ / а 1 [х(Ф7Ф (1 ^(т
(20)
Далее имеем
||7(t)(V*)(t)l|E ^ 1 (21) ^ / ||а 1 Ь^( 1 W(r)dT ■ ^(t)x(t)|E. 0 т
То есть справедлива Теорема 3. Если выполнено соотношение (19), то оператор
Н^ : ^ e7 .
Заключение
В данной статье получены достаточные условия непрерывности операторов Харди-Литтльвуда, обобщенного оператора Харди-Литтльвуда и оператора типа Харди в симметричных пространствах и симметричных пространствах с весом.
Полученные результаты можно перенести на случай более общих идеальных структур, в которых действует оператор растяжения.
Описок литературы
1. Харди, Г. Г. Неравенства. / Г. Г. Харди, Д. У. Литтльвуд, Г. Полиа. -М.: ИЛ, 1948. HARDY, G. H., LITTLEWOOD J. E., POLYA G. (1948) Inequalities. Moscow.
2. SHIMOGAKI, T. Hardy-Littlewood majorants in function spaces // J. Math. Soc. Japan - 1965. - 17. - № 4. - P. 365-375.
3. Семенов, Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций // Доклады АН СССР - 1964. - 156. - № 6. - С. 1292-1295.
SEMENOV, E. M. (1964) Embedding theorems for Banach spaces of measurable functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 156 (6). p. 1292-1295.
4. Павлов, Е. А. Некоторые свойства оператора Харди-Литтльвуда // Математические заметки - 1979. - 26. - № 6. - С. 909-912.
PAVLOV, E. A. (1979) Some properties of the operator Hardy-Littlewood. Mathematical Notes. 26 (6). p. 909-912.
5. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов. /С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. -М.: Наука, 1978.
S. G. KREIN, YU. I. PETUNIN & E. M. SEMENOV. (1978) Interpolation of linear operators. Moscow: Nauka.
6. PAVLOV, Е. А. On the Calderon type operator // Anal. Math - 1978. - 4. - № 2. -С. 117-124.
7. Павлов, Е. А. О некоторых обобщениях неравенства Харди-Литтльвуда / Е. А. Павлов, А. И. Фурменко // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика - 2018. - № 1. - С. 128-134.
PAVLOV, E. A. & FURMENKO, A. I. (2018) On some generalizations of Hardy-Littlewood inequality. Vestnik Voronezhskogo gosuniversiteta. No. 1. p. 128-134.
8. MUCHENHOUPT, B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans of American Math. Soc. - 1972. - 165. - P. 207-226.
9. Прохоров, Д. В. Интергальные операторы Харди-Стеклова. /Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, Е. П. Ушаковa // Современные проблемы математики. МИАН -2016. - 22. - С. 3-185.
PROKHOROVD. V., STEPANOV V. D., USHAKOVA E. P. (2016) Hardy-Steklov Integral Operators. Bulletin of the Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Science, Moscow. 22. p. 3-185.
