CC BY
7
2021 Математика и механика № 73
УДК 517.98 м8с
б01 10.17223/19988621/73/3
Е.А. Павлов, А.И. Фурменко
О НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ ВЛОЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ СТРУКТУР
Появление первых теорем вложения, как и самого термина «вложения», связано с именем академика С. Л. Соболева. Дальнейшее развитие теории вложения пространств шло в двух направлениях: 1) теоремы вложения дифференцируемых функций; 2) теоремы вложения пространств измеримых функций. Авторами получены теоремы вложения для симметричных и более общих идеальных пространств измеримых, в смысле Лебега, функций.
Ключевые слова: теоремы вложения, симметричные пространства, идеальные структуры, оператор растяжения.
Появлению теории вложения пространств способствовал ряд неравенств, полученных Г.Г. Харди [1], Ф. Риссом [2]. Сам термин «вложение», как и первые теоремы вложения для пространств дифференцируемых функций нескольких переменных были получены в работах академика С. Л. Соболева [3]. Дальнейшие результаты в этом направлении получены в работах академика С.М. Никольского [4], О.В. Бесова, В.П. Ильина [5]. Значительный вклад в теорию вложения сделан П. Л. Ульяновым [6] и Н.Т. Темиргалиевым [7].
Для пространств измеримых, в смысле Лебега, функций первые результаты были получены Г.Г. Лоренцем [8, 9], В. А. Люксембургом [10], Ж. А. Лионсом [11], Е.М. Семёновым, С.Г. Крейном и Ю.И. Петуниным [12-15], В.И. Колядой [16]. В статье [16] дана обширная литература по теоремам вложения измеримых, в смысле Лебега, функций.
В фундаментальных трудах Х.Г. Трибеля [17, 18] собран огромный материал по теории вложения разных классов функций, содержатся результаты, полученные Х.Г. Трибелем, Е.М. Семёновым [12, 13] и В.А. Люксембургом [10]. Для симметричных пространств Е было доказано вложение
А» с Е с ¿1 + А» .
В [13] для общих идеальных структур приведено доказательство вложения
Е ^ А п А».
Следует отметить, что ряд теорем вложения идеальных структур содержится в [19].
В данной работе для общих идеальных структур, включающих в себя симметричные пространства, доказано вложение
Е с ¿1+ А» .
Для достаточно широкого класса идеальных структур, включающих в себя симметричные пространства, доказано вложение
А» с Е с А + А» .
В терминах норм операторов растяжения и в терминах индексов Бойда [20] доказаны теоремы вложения для симметричных пространств с ограниченным, измеримым носителем.
В статье введено новое пространство Мф, которое называется обобщенным пространством Марцинкевича. Доказано вложение
Е с М ф
где ФE (t) =|| X[0,t](s)
1. Предварительные сведения
Определение 1. Функциональное банахово пространство E называется идеальной структурой, если из условий | x | < | y | , где x(t) - измеримая функция, а
y(t) e E, следует, что x(t) е E и || x ||E < || y ||E .
Определение 2. Ассоциированным пространством E1 для идеальной структуры E называется совокупность всех измеримых функций, носители которых содержатся в носителе E, для которых (см. [13, 19, 21])
|| y ||E1 = sup J x(t)y(t) dt <да ,
IMIe =1q
где Q - носитель пространства E, а интеграл понимается в смысле Лебега.
Для простоты изложения под носителем будем понимать один из промежутков: (-да, + да), (0, + да), (0, a), хотя результаты легко переносятся на более общие пространства с мерой, т.е. пространства S(m, ц).
Теорема 1 [13, 21]. Пусть U(t, т) - такая функция двух переменных t, т, что при каждом фиксированном t она, как функция т, принадлежит идеальной структуре E, функция || U (t, т) || - измерима по переменной t и выполняется соотношение
J I|U(t, т)||е dt |< да .
Q
Тогда справедливо неравенство
|| j U (t, т) dt|ln < j||U (t, t)||e dt,
ii i i где E = ( E ) .
Определение 3. Пусть S(0, да) - пространство всех измеримых по Лебегу функций, определенных на полуоси (0, да) и почти всюду конечных. Функцией распределения называется функция, определенная формулой для функции x (t ) > 0 :
П x ( т) = mes {t: x (t) > t} .
Определение 4. Две неотрицательные функции x (t ) и y (t ) называются рав-ноизмеримыми, если выполняется равенство
П x( т ) = П y( t).
Рассматриваются только такие функции х (1) и у (1), для которых
Пх (т) < », Ут е (0, »),
П (х) < », Ух е (0, »).
Определение 5. Перестановкой неотрицательной функции х(1) называется функция, определенная равенством
х* (1) = {т: Пх (х) < 1} .
Определение 6. Функциональное банахово пространство на (0, + ») с мерой Лебега называется симметричным [8, 10, 12], если:
1) из того, что у е Е и | х | < | у | почти всюду на у е Е, следует, что
х(1) е Е и || х ||Е < || у ||Е ;
2) из того, что у е Е и | х(1) | равноизмерима с | у(1) |, следует, что х е Е и
|| х ||е =| у Не .
Определение 7. Оператор растяжения функций из Е определяется равенством [13, 22]
стх х (1) = х ) , 1, те (0, + »). Если функции определены на интервале (0, а), то
{ф\ ) х( —), если 1 <ха, стхх(1) = \т/'
[0 , если 1 > та.
Теорема 2 [13, 22]. Оператор растяжения стт ограниченно действует в симметричном пространстве Е .
Определение 8. Пусть Е - симметричное пространство. Верхним индексом Бойда [13, 20] называется число
в 1пК ||Е
Р Е = 11т , , ч . Е т^-да 1п(т)
Нижним индексом Бойда называется число
.. 1п|К ||Е
а Е = 11т .
Е т^0 1п(т)
Справедливо следующее неравенство: 0 < а < р < 1.
Теорема 3. (Обобщенное неравенство Геделя) [13, 19]. Справедливо неравенство
| х(1)у(1) Л < || х ||Е • || у ||Е . а
Определение 9. Пространством Лоренца на (0, + ») называется множество функций, для которых конечна норма [8, 13]
|| x ||л = | x* (t) dФ(/)
Ф о
где ф(t) - неотрицательная, вогнутая (квазивогнутая) на (0, + да).
Пространством Марцинкевича на (0, + да) называется множество функций, для которых конечна норма [13, 23])
h
|| x Цм = sup уку I x* (5) ds ,
0<h<да о
где у - вогнутая (квазивогнутая), неотрицательная функция на (0, + да) [8, 13, 23]).
Теорема 4 [12, 13]). Справедливо соотношение
Л с E с M t , фе —
фе
где фE (t) = || X[0,t] ||E - фундаментальная функция.
Лемма Е.М. Семёнова ([13], с. 136). Пусть у (t) - непрерывная возрастающая функция. Тогда для любой функции x е E, где E - симметричное пространство, справедливо неравенство
да да
|| |сттx* (t) dy (t) ||E <| ||CTT x||Edу(t). 0 0 Определение 10. Идеальная структура называется обладающей свойством Мин-ковского, если выполняется обобщенное неравенство Минковского [13, 21])
|| | F(t, s) ds ||E < 11|F(t, s)||е ds . q q
В [13] (см. с. 124) была доказана следующая теорема.
Теорема 5. Пусть E((0, + да); dt) симметричное пространство. Тогда справедливо вложение [10, 12])
L n L с E с L + L . (1)
1 да 1 да 4 '
2. Основные результаты
Оказывается, что более широкий класс (чем симметричные пространства) идеальных структур является промежуточным между ¿1 и Ьда .
Теорема 6. Пусть E((0, + да); dt) - идеальная структура, содержащая все характеристические функции хe (t), где e с (0, + да) и mes e < да, и выполняется соотношение
sup || Xe ||е1 < с < да, (2)
e: mes e =1
где с не зависит от e :mes e = 1.
Тогда справедливо вложение
E с L + L . (3)
1 со v '
Доказательство. В [13] (см. с. 89) доказано равенство
е
J х* (5) ds = sup J |x(s)| ds (4)
0 e: mes e =е e
и равенство (см. [13], с. 108)
i
l|x|lL+L = J x* (s) ds . (5)
L1 + Lco J 0
Из [11] и [23] получаем
1 +CO
|| х ||L +Lc0 = J х* (s) ds = sup J |X(s)| ds = sup J |x(s)| xe (s)ds . (6)
0 e: mes e =1 e e: mes e =1 e
Используя обобщенное неравенство Гельдера [13, 19]), имеем
|| х L +L = sup J |x(s)| Xe (s) ds ^ sup (||x||E • ||Xe L ) =
1 со \ E /
e:mese =1 e e:mes e =1
=|| x ||E • sup || Xe ||E1 = с || x ||E, (7)
e: mes e =1
где с = sup || Xe ||E1 < с . (8)
e: mes e =1
В [13] Лемма 4.1 (см. с. 123) была доказана.
Теорема 7. Пусть идеальная структура E((0, + со); dt) содержит все характеристические функции xe (t) с mes e = ц0 и обладает свойством
sup || Xe ||E ^ с < с , (9)
e: mes e =ц
где с не зависит от выбора e : mes e = ц а ц0 - любое фиксированное положительное число.
Тогда справедливо вложение (см. [13], с. 123)
L n L с E . (10)
1
Теорема 8. Пусть идеальная структура E((0, + со); dt) обладает следующими свойствами:
а) E содержит все характеристические функции xe (t) с mes e = ц0 и выполняется неравенство
sup || Xe ||E ^ с < со, (11)
e: mes e =ц
где с1 зависит только от ц0;
б) sup || Xe ||£1 < с2 < 00 , (12)
e: mes e =1
где c не зависит от e : mes e = 1. Тогда справедливо вложение
L, n L с E с L + L . (13)
1 00 1 оо v '
Доказательство следует из теорем 6 и 7.
Следствие 1. Пусть E((0, + оо); dt) - симметричное пространство. Тогда (см.
[13], с. 123) справедливо вложение
L n L с E с L + L . (14)
1 оо 1 оо v '
Доказательство. Проверим выполнение условий а) и б) теоремы 8.
а) || Xe ||E = ФE (mes e) = ФE (Ц0) < 00 , (15)
где c1 = фE ( цо ) не зависит от e : mes e = ц 0 ;
mes e 1
б) || Xe || 1 = Ф 1 (mes e) <---- =---— = с2 < о . (16)
He1 ^e1 v фE (mes e) фЕ (mes1) 2
Теорема 9. Пусть E1 ((0, + оо); dt) и E2 ((0, + оо); dt) - два симметричных пространства и выполняется соотношение
1 ||E e E2. (17)
_ eJ 2
Тогда справедливо вложение
Ex с E2 , (18)
1 t ,1
t
где || x ||Et1 = || x"(t)||E = ||1 { x*(5) ds ||E . (19)
0
Доказательство. Получаем, пользуясь обобщенным неравенством Гёльдера и делая замену переменной s = t • т :
t1
x (t) = 7 { x* (s) ds = | x* (т-t) dт = | x* (т*)^X[0 1] (т) dт <
-||* (T-/)||E1 ■l!x[0,f](T)lí£i - II X[o, t ] (т) II ^ •||a,||Ei .|U||E1 . (20)
Беря норму в E2 от обеих частей неравенства (20), получаем
|| - С .ЦИ1 ' И X ||E1 , (21)
t
где с =|| Х[0,1](^) || 1 .
о
Следствие 2. Полагая в теореме 9 Е = Е1, Л^ = Е2, получим вложение
Е сЛ^ . (22)
Замечание 1. В теореме 6 (см. [13], с. 161) при выполнении соотношения
было доказано вложение Так как очевидно вложение
|| а, ||Е е Л^ (23)
г
Е сЛ^. (24)
Л с Л , (25)
то утверждение следствия является более сильным, чем утверждение теоремы 6 из [13].
Замечание 2. Далеко не для всех пар симметричных пространств выполняется включение
||а 1 ||Е е Е2. (26)
Примером могут быть пары
Ьр ((0, + »); &) 1 < р < »; (27)
Ь ((0, + оо); &) 1 < ч < ». (28)
ч
Теорема 10. Пусть симметричные пространства Е1 ((0,1); ) и Е2 ((0,1); ) таковы, что выполняется соотношение
||а 1 ||Е е Е2. (29)
Тогда справедливо вложение
Е с Е . (30)
1 2í ,1 у у
Доказательство аналогично доказательству теоремы 9.
Следствие 3. Пусть симметричные пространства Е1 ((0,1); ) и Е2 ((0,1); )
таковы, что
Р е1 <а е2. (31)
Тогда справедливо вложение
Е с Е . (32)
1 2í ,1
Доказательство следует из теоремы 9 и свойств индексов Бойда [20]). Следствие 4. Пусть 1 < р1 < р < о . Тогда справедливо вложение
Лр2((0,1); Л) с Лр1((0,1); &) . (33)
(1/p) i
Доказательство. Несложно проверить, что || ст || Л = t , а . - В . = —.
т Л p Л p Л p p
Утверждение следствия 4 вытекает из следствия 2 теоремы 9.
Определение 11. Пусть E((q; dt) - идеальная структура, а Q - измеримое,
в смысле Лебега, подмножество из R . E((q; dt) обладает следующим свойством:
в E ограниченно действует оператор растяжения
J x( ^), если ей, сттx(t) = - \т/' т (34)
[0 , в противном случае.
Пространством Харди называется функциональное пространство с нормой
t
|| x \\eh =11-11 x(S) ds ||e . (35)
0
Теорема 11. Пусть E1 ((q; dt) и E2 ((q; dt), где Q = (0,1) или Q = (0, + да) -идеальные структуры. В El ограниченно действует оператор растяжения. E2 ((q; dt) обладает свойством Минковского [13, 19]). Тогда, если выполняется соотношение || ст j 11E е E2, то справедливо вложение
E с E2 . (36)
1 2н
Доказательство. Делая замену переменной s = t • т , получаем
t1
II x ||e2 =111 i x(s) ds ||e2 =||J x(t•т) dт ||e2 . (37)
H 0 0
Пользуясь обобщенным неравенством Гёльдера, имеем
00
II x ||e2 =11 i x(т•t)^X[0,1] (т) dт II e2 ^ IIII x(т •t) ||e1 II E2 • II X[0,1] (т) IIE1 ^ H 0 1
^IIIIct 1 IIe1 IIe2 -ii X[0,1](т)IIE1 ■ II x ||e1 = c || x ||e1 , (38)
где c =||||ст 1 \ЦЦ •||Х[0,1](т)||E1 . (39)
Определение 12. Обобщённым пространством Марцинкевича назовём пространство, наделённое нормой
h
II x || мф= sup ^ i Ix(s)| ds , (40)
0<Ь<да 0
где ф(,) определена и измерима на (0, + да) и неотрицательная на (0, + да). Теорема 12. Пусть идеальная структура обладает следующими свойствами: 1. E содержит все характеристические функции %e (t), где e с (0, + да), e -измеримо;
2. Выполняется неравенство
h
* «WE ■ <41)
Тогда справедливо вложение
E с M <Pe (f), (42)
где pe (t) =||x[0,f] IIe .
Доказательство. Получаем
h oo
11 X ||MpE = sup —h i|x(5)| ds = sup ■PEh-i |x(s)|x[0, h]ds. (43)
0<h<oo о 0<h<oo о
Пользуясь обобщенным неравенством Гёделя [13]), имеем
II и ,, Pe (h) ............и
11 X \\MpB * suP —h--11 X 11E -"X[0, h] ||E1 •
0<h<oo
Пользуясь свойством 2 для E, получаем
II X |lMpE * sup ^-Tp^ - II X IIe = II X IIe . (44)
0<h<oo
Замечание 3. Для случая, когда E - симметричное пространство, вложение (42) будет выполняться. Вложение (42) в этом случае будет слабее вложения
E с M , , (45)
pE (t)
так как очевидно вложение
М , с М фе (1). (46)
фе (1)
Заключение
1. Доказано, что достаточно общая идеальная структура (см. теорему 8) является промежуточной между пространством Ь и Ь» .
2. Показано, что промежуточность симметричного пространства между Ь1 и Ь является следствием теоремы о промежуточности идеальной структуры между Ь и Ь .
1 о
3. Доказаны теоремы вложения для идеальных структур с весом, в которых ограниченно действует оператор растяжения.
4. Доказано вложение идеальной структуры (см. теорему 12) в обобщённое пространство Марцинкевича.
ЛИТЕРАТУРА
1. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Пойа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.
2. Рисс Ф., Сёкефальди-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 590.
3. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сборник. 1938. № 4. С. 471-497.
4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения // М.: Наука. 1969.
5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. С. 480.
6. Ульянов П.Л. О вложении некоторых классов функции // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 4. С. 405-414.
7. Темиргалиев Н.Т. О вложении в некоторые пространства Лоренца // Изв. вузов. Матем. 1980. № 6. С. 83-85.
8. Lorentz G.G. On the theory of spaces Л. // Pac. J. Math. 1951. V. 1. P. 411-429. DOI: 10.2140/pjm.1951.1.411.
9. Lorentz G.G. Some new functional spaces // Ann. Math. 1950. V. 51. P. 37-55.
10. Luxemburg, W.A.J. Banach function spaces: Ph.D. Dissertation. Technische Hogeschool te Delft, 1955.
11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
12. Семенов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций // Докл. АН СССР. 1964. Т. 156. № 6. С. 1292-1295.
13. Крейн С.Г., Петунин Ю.И, Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.
14. Крейн С.Г. О понятии нормальной шкалы пространств // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. № 3. С. 510-513.
15. Крейн С.Г., Петунин Ю.И. Шкалы банаховых пространств // УМН. Т. 21. № 2. 1966. С. 89-168. DOI: 10.1070/RM1966v021n02ABEH004151.
16. Коляда В.И. Перестановки функций и теоремы вложения // УМН. 1989. Т. 44. № 3(269). С. 61-95. DOI: 10.1070/RM1989v044n05ABEH002287.
17. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. С. 664.
18. ТрибельХ. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. С. 447.
19. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. С. 744.
20. Boyd D.W. Indices and their relationship to interpolation // Canad. J. Math. 1969. V. 21. No. 5. P. 1245-1254. DOI: 10.4153/CJM-1969-137-x.
21. Павлов Е.А. Об операторах, инвариантных относительно сдвига в симметричных пространствах // Сибирский математический журнал. 1977. Т. 18. № 1. С. 80-85.
22. Shimogaki, Tetsuya. A note on norms of compression operators on function spaces // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46. No. 3. P. 239-242. DOI: 10.3792/pja/119552039.
23. Mauclnkiewicz J. Sur I interpolation d'opérations // C. R. Acad. Sc. 1939. V. 208. P. 12721273.
24. БергЙ. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980. 264 с.
Статья поступила 22.06.2021
Pavlov E.A., Furmenko A.I. (2021) ON SOME EMBEDDING THEOREMS FOR IDEAL STRUCTURES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 73. pp. 30-41
DOI 10.17223/19988621/73/3
Keywords: embedding theorems, symmetric spaces, ideal structures, extension operator
For general ideal structures involving symmetric spaces, the following embedding is proved:
E c ¿1 + Lw.
For a class of ideal structures involving symmetric spaces, it is proved that
L, cEcL1 + 4o.
Embedding theorems for symmetric spaces with bounded measurable support are proved in terms of the norms of the extension operators and in terms of Boyd indices (see [20]).
A new space M? called the generalized Marcinkiewicz space is introduced. The following embedding is proved:
E c MT . ,
E1
where 9e (t) = II X[o, t](s) I Ie .
AMS Mathematical Subject Classification:
Evgeniy A. Pavlov (Professor, Head of Department of Mathematics, The Crimean State
Engineering Pedagogical University, Simferopol, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Aleksandr I. Furmenko (Associate Professor of the Department of Mathematics, «N.E.
Zhukovskiy and Yu.A. Gagarin Air Force Academy", Voronezh, Russian Federation). E-mail:
REFERENCES
1. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. (1952) Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press.
2. Riesz F., Szökefalvi-Nagy B. (1990) Functional Analysis. New York: Dover.
3. Sobolev S.L. (1938) On a theorem of functional analysis. American Mathematical Society Translations. 2(34). pp. 39-68.
4. Nikolskiy S.M. (1969) Priblizheniye funktsiy mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniya [Approximation of functions of many variables and embedding theorems]. Moscow: Nauka.
5. Besov O.V., Il'in V.P., Nikol'skii S.M. (1978) Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems. Washington: V. H. Winston.
6. Ul'yanov P.L. (1967) Imbedding of certain classes of functions. Mathematical Notes. 1. pp. 270-276.
7. Temirgaliev N.T. (1980) Embedding in some Lorentz spaces. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Matematika. (6). pp. 83-85.
8. Lorentz G.G. (1951) On the theory of spaces A. Pacific Journal of Mathematics. 1. pp. 411429. DOI: 10.2140/pjm.1951.1.411.
9. Lorentz G.G. (1950) Some new functional spaces. Annals of Mathematics. 51(1). pp. 37-55.
10. Luxemburg W.A.J. (1955) Banach Function Spaces. Ph.D. Dissertation, Technische Ho-geschool te Delft.
11. Lyons J.L., Magenes E. (1972) Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Berlin: Springer-Verlag.
12. Semenov E.M. (1964) Teoremy vlozheniya dlya banakhovykh prostranstv izmerimykh funktsiy [Embedding theorems for Banach spaces of measurable functions]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 156(6). pp. 1292-1295.
13. Kreyn S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. (1978) Interpolyatsiya lineynykh operatorov [Interpolation of linear operators]. Moscow: Nauka.
14. Krein S.G. (1960) O ponyatii normal'noy shkaly prostranstv [On the concept of the normal scale of spaces]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 132(3). pp. 510-513.
15. Krein S.G., Petunin Yu.I. (1966) Scales of Banach spaces. Russian Mathematical Surveys. 21(2). pp. 85-159.
16. Kolyada V.I. (1989) Rearrangements of functions and embedding theorems. 44(5). pp. 73117. DOI: 10.1070/RM1989v044n05ABEH002287.
17. Triebel H. (1978) Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Amsterdam: North-Holland Publishing Company.
18. Triebel H. (1983) Theory of Function Spaces. Boston: Birkhäuser.
19. Kantorovich L.V., Akilov G.P. (1982) Functional Analysis. Amsterdam: Elsevier.
20. Boyd D.W. (1969) Indices of function spaces and their relationship to interpolation. Canadian Journal of Mathematics. 21. pp. 1245-1254. DOI: 10.4153/CJM-1969-137-x.
21. Pavlov E.A. (1977) Operators invariant relative to displacement in symmetric spaces. Siberian Mathematical Journal. 18(1). pp. 138-142.
22. Shimogaki T. (1970) A note on norms of compression operators on function spaces. Proceedings of the Japan Academy. 46(3). pp. 239-242. DOI:10.3792/pja/1195520398.
23. Marcinkiewicz J. (1939) Sur l'interpolation d'opérations. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208. pp. 1272-1273.
24. Bergh J., Löfström J. (1976) Interpolation Spaces. An Introduction. Berlin: Springer-Verlag.
Received: June 22, 2021
