CC BY
37
УДК 621.384
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1
В. В. Алцыбеев
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКА*)
Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
В статье рассмотрена новая постановка задачи оптимизации динамики пучка траекторий. Особенностью данной задачи является то, что программное управление является кусочно-постоянной функцией, в которой точки переключения управления зависят от самих значений функции. Такая постановка возникает, например, при моделировании и оптимизации ускорителей с переменно-фазовой фокусировкой. Для оценки качества пучка вводится интегральный функционал. Получен градиент функционала качества по управляющим параметрам и сформулируются необходимые условия оптимальности. В качестве примера реализации предложенного подхода приводятся результаты оптимизации и моделирования динамики пучка в ускорителе дейтронов на 11.5 МэВ. Библиогр. 15 назв. Ил. 2.
Ключевые слова: переменно-фазовая фокусировка, динамика пучка, оптимизация.
Altsybeyev V. V. On the beam dynamics optimization problem // Vestnik of St. Petersburg State University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 17-23.
The new problem of the beam dynamics optimization is considered. The core of this problem is that the program control is a step function, in which the length of intervals depends on the function values at neighbor intervals. For example, this statement can appear to solve the simulation and optimization problem for alternating phase focusing accelerators (APF). To estimate the beam quality the integral functional is introduced. An analytical representation of the quality functional gradient by the control parameters is obtained, with necessary conditions of optimality being formulated. As an example of the proposed approach, the problem of improving the capture of particles into the acceleration mode and reduce the maximum radius of the beam is considered. Results of numerical optimization and simulation of 11.5 MeV alternating-phase focusing linac are discussed. The simulation results indicate the possibility of the successful application of this approach at APF linac design. Bibliogr. 15. Il. 2.
Keywords: alternating-phase focusing, beam dynamics, optimization.
Введение. Задачи математической теории управления и принцип максимума Понтрягина [1] остаются в центре внимания многих исследователей и продолжают быть важными и актуальными. Особо отметим задачи управления динамикой пучков заряженных частиц, которые впервые были поставлены и изучены в работах [2, 3]. При создании и проектировании современных ускорительных комплексов и структур прикладного назначения [4-6] растут требования к качеству получаемого пучка. Один из способов обеспечения желаемого результата - применение специального математического аппарата теории управления, позволяющего строить эффективные направленные методы оптимизации параметров ускорителя [7-13].
В работе решается задача оптимизации динамики пучков заряженных частиц в случае кусочно-постоянной параметризованной функции управления. При этом дана новая постановка задачи, а именно, точки переключения функции программного управления зависят от самих значений функции на соседних участках. Данная постановка возникает, например, при моделировании и оптимизации ускорителей с переменно-фазовой фокусировкой (ПФФ) [10]. В таком случае функцией управления является
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственной университета (тема № 9.38.673.2013). © В. В. Алцыбеев, 2014
закон изменения фазы синхронной частицы. Подобные задачи решались ранее для ускорителей с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) [4— 9] на основе описания проблемы совместной оптимизации программного и возмущенного движений в эквивалентной бегущей волне. В настоящей работе получен градиент функционала качества по управляющим параметрам и сформулированы необходимые условия оптимальности. Приведена задача фокусировки пучка ускоряющим полем в структуре с ПФФ.
Постановка задачи. Рассмотрим следующую математическую модель управления [14, 15]:
dx
— = f(t,x,u), (1)
^=F(t,x,y,u), (2)
~т~ + и) + p{t> y)div^(t'и) = (3)
x(0) = xo, y(0) = yo e Mo, p(0,y(0)) = po(yo).
Здесь x и y - векторы фазовых координат; вектор-функции f и F определены и непрерывны по совокупности аргументов вместе со своими частными производными по x и y до второго порядка включительно; Mt,u = {yt = y(t,yo,u) : yo e Mo}; p(t,y) -плотность распределения частиц в фазовом пространстве. Предположим, что решение системы (1)-(3) существует для любых y e Mo на рассматриваемом промежутке [0, T]. Функция управления является кусочно-постоянной и зависит от параметров ui таким образом:
и(г) = щеи при te[ti;ti+1), i=l,N, ti+i - ti = a(u+ - Ui) + в, где а и в - некоторые задаваемые константы. Введем функционалы
т
Ii(u) = J yi(t,x(t),u(t))dt + gi(x(T)), o
т
I2(u) = J J <fi2(t,x(t),y(t),u(t),p(t,y(t)))dytdt + J g2(yT,p(T,y(T)))dyT, o Mt,u Mt,u
I (u)= Ii(u)+I2(u), (5)
в которых yi, y>2, gi, g2 - неотрицательные непрерывно-дифференцируемые функции. Будем рассматривать далее задачу минимизации функционала (5).
Вариация функционала. Вариацию функционала (5) можно представить в виде [14]
т
SI(u, Au) = -J(фтAuf - Auyi)dt -
т 0 (6)
(^TAuF + XAudivyF + vтAuf - Auy>2)dytdt.
o Mt,u
Здесь функции ф, ц, V, Л удовлетворяют уравнениям
аЬ \дх) \ дх
Т / \т / \т I д/ \ (д^ \ 1 ( дф2\ , Л
—
Ьг- НН +а
аь \ дх \ дх / \ дх I \ дх
ал
— = + у>2 -
аЬ др
с конечными условиями
V(Г, Ут) = О,
дЭ2(У(Т),р(T, ут))
МТ, ут) = -д2{у{Т)) + р(Т, г/т)-
др
Градиент функционала. Изменение фукции управления при приращении параметра управления щ = щ + Дм^ будет следующим:
(щ при Ь е \ti--\_; и);
щ при Ь е [и;ti+l);
г(Ь) при Ь е [0; Т] \ [ti-l;^+1).
Рассмотрим выражение
т т т
Ди/А = у /(г)0Ь - I /(й)0Ь =
0 0 0 Ч и+1 й и+1
= ! /(Щ-1)& + J /(щ)& - J /(щ-1)& - J /(щ)& =
ti-l Ьъ 4—1 й
ti+1 й (/Щ) - /Ы-1))сЛ + I (/(ы) - /(щ))& -I(/(ы) - /(щ))аЬ
ч
4+1
= Ati(f(ui)-f(ui-1))- I Щ^Аий + о\\Аи\\.
ч
Учитывая параметризацию управления (4), из (6) получим частные производные
81
дЧг
цт(и) (Г(и,х(и),у(и),щ) -
м.
- Г (и, х(и), у(и), и— 1)) + ь>т (и) /(и, х(и), щ) - / (и, х(и), и—)) + + \(и)д.1Уу(Г(и,х(и),у(и),щ) - Г(гг,х(и),у(и),и—1)) -- Ф2(и,х(и),у(и),щ)+^2(и,х(и),у(и),Щ-1) дуг -
и+1
ти\ дГ(1,х(г),у(г),иг) д1Р2(1,х(уЬ),у(Ь),и)
М \ъ)-~---~--г
ди
ди
и Мь.
+ + ^д&УуПг, х(г), у (г), щ)
ди
ди
дугдЬ +
+ а
Фт(и)(/(и,х(и),и) - /(и,х(и),щ-1)) - ф1(и,х(и),у(и),и) +
+ Р1(и,х(и),у(и ),и—1)
ди
ди
<и.
(7)
Выражение (7) является градиентом функционала (5) 1{и) = • • •, } по управ-
ляющим параметрам.
Теорема. Пусть вектор и0 = {ио1 ,...,и0ы} задает оптимальное управление.
Тогда
(1(ио), (и - ио)) > 0
для любых векторов и = {и1,..., иN} € и.
Доказательство проводится стандартным образом, аналогично [3]. Пример численной оптимизации. Для ускорителей с ПФФ рассмотренная задача оптимизации сводится к отысканию некоторого закона изменения синхронной фазы, задаваемой кусочно-постоянной функцией на каждом ускоряющем периоде:
) = € [-п; п] при т € [п; 4+1),
П+1 - п = (фв+1 - + п)/2п. Тогда уравнениям (1)—(3) будет соответствовать математическая модель
^ = аил/^ -/?2соз(у>8(т)),
<т
дф _ 2п(1 - в2)3/2
<т др дт ¿С дт
в2
р,
= агг/32(сов(р2(т)) - сов(ф2(т) + ф)), = - Ат а- ал,
р(г,ф(г),р(г))= ро(Ф(о),р(о)).
а
Здесь ф = ф - р = - 7! Ф и - фазы частицы пучка и синхронной частицы; 7
и - приведенные энергии частицы пучка и синхронной частицы; /38 - приведенная
скорость синхронной частицы; т = сЬ/Л; аЬг = еЛЕт/(2тос2); Ет — амплитуда уско-
л ^ (Бц Б21 \
ряющего поля; Л - длина волны ускоряющего поля; матрица О = „ „ описы-
\^21 022)
вает динамику начального эллипса в радиальной плоскости (ц, к), где п - приведенный радиус частицы, к = с1ц/с1т - расходимость радиуса.
В качестве критерия оптимизации был использован функционал
I = у (с1Г1(фт) +с2Г2(0\1)) ¿фтарт¿Бит¿Б^т¿Б22Т,
Мт,и
{(фт + Ф1)2,
Р1 = ь,
{(фт - ф2)2, '0,
Р2 =
если фт < -ф1;
если Фт е [ф1, ф2];
если фт > ф2;
если Б11 < Б;
если Б11 > Б,
в котором С1, с2, ф1, ф2, Б - неотрицательные константы. Данный функционал ограничивает разброс по радиусу и фазам частиц пучка, что позволяет улучшить их захват в режим ускорения и уменьшить максимальный радиус пучка.
<Рц, град.
20 30 40 50 60 70
Рис. 1. Последовательность ^а(г)
Полученная в результате оптимизации последовательность для ускорителя
дейтронов на энергию 11.5 МэВ на частоте 433 МГц представлена на рис. 1. Как показывают расчеты динамики пучка (рис. 2), предложенный метод может успешно применяться при разработке ускорителей с ПФФ.
а б
Рис. 2. Результаты расчета огибающих энергетических отклонений пучка от синхронной частицы (а) и радиальных огибающих пучка (б)
Заключение. В работе получено аналитическое выражение градиента функционала в случае программного управления пучком траекторий кусочно-постоянной параметризованной функцией управления специального вида (4). Данное представление позволяет строить эффективные методы оптимизации динамики пучка в ускорителях с ПФФ [9].
Литература
1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
2. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 228 с.
3. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.
4. Bondarev B., Durkin A., Ivanov Y. e. a. The LIDOS.RFQ.Designer development // Proc. of the IEEE Particle Accelerator Conference. 2001. Vol. 4. P. 2947-2949.
5. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Antropov I. V., Kozynchenko V. A. BDO-RFQ code and optimization models // Proc. Intern. Conference "Physics and Control". 2005. P. 282-288.
6. Свистунов Ю. А., Зуев Ю. В., Овсянников А. Д., Овсянников Д. А. Разработка малогабаритного ускорителя дейтронов для нейтронного генератора на энергию 1 МэВ // Вестн. С.-Пе-терб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 49-59.
7. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov A. D. New mathematical optimization models for RFQ structures // Proc. of the IEEE Particle Accelerator Conference. 1999. Vol. 4. P. 2808-2810.
8. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Balabanov M. Yu., Chung S.-L. On the beam dynamics optimization problem // Intern. J. of Modern Physics. A. 20 February 2009. Vol. 24, issue 5. P. 941-951.
9. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Chung S.-L. Optimization of a radial matching section // Intern. J. of Modern Physics. A. 20 February 2009. Vol. 24, issue 5. P. 952-958.
10. Ovsyannikov D. A., Altsybeyev V. V. Mathematical optimization model for alternating-phase focusing (APF) linac // Problems of Atomic Science and Technology. 2013. Issue 4 (86). P. 93-96.
11. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Svistunov Yu. A., Durkin A. P., Vorogushin M. F. Beam dynamics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A 558. 2006. P. 11-19.
12. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 174 с.
13. Овсянников Д. А., Едаменко Н. С. Моделирование динамики пучков заряженных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 60-65.
14. Овсянников А. Д. Управление программным и возмущенными движениями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 4. С. 111-124.
15. Овсянников А. Д. Управление пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 82-92.
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.
Контактная информация
Алцыбеев Владислав Владимирович — аспирант; e-mail: altsybeyev@gmail.com
Altsybeyev Vladislav Vladimirovich — post-graduate student, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation; e-mail: altsybeyev@gmail.com
