Об одной задаче моделирования эвакуации с использованием теории массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Безопасность людей

при пожарах

УДК 614.841

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВАКУАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

А.А.Таранцев

Санкт-Петербургский институт ГПС МЧС России

Рассмотрена задача моделирования движения людей через выходы, когда скорость движения не зависит от плотности людского потока. Приведены способы решения - аналитический на основе теории массового обслуживания и численный на основе имитационного моделирования.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта статья фактически является ответом на статью [1], которая, в свою очередь, была вызвана публикацией моей статьи [2]. Таким образом получилась некоторая дискуссия, которая в любом случае полезна, а тем более, когда это касается такого важного вопроса, как эвакуация людей.

По большому счету, сущность наших разногласий заключается в том, можно или нет использовать теорию массового обслуживания (ТМО) к моделированию процессов эвакуации. Мною в небольшой статье [2] была "предпринята попытка" (как достаточно верно выразился автор статьи [1]) применить ТМО к оценке параметров людского потока при движении через эскалаторы и другие участки (аварийные выходы и т.п.), где скорость движения людей V определяется геометрическими и др. параметрами (скоростью движения ступеней применительно к эскалатору) и не зависит от плотности подходящего людского потока Б. Такой процесс, как показано в работах [3-5], значительно отличается от движения людей через участки (дверные проемы, лестницы и др.), когда имеет место зависимость V = ^Б), которая установлена в работах [6,7,8] по теории людских потоков (ТЛП) и регламентирована в Обязательном приложении 2 к ГОСТ [9] применительно к эвакуации людей при пожаре.

Если обобщить критические замечания автора статьи [1], то их можно свести к следующим моментам:

1. Эскалаторы не относятся к эвакуационным

путям, нормирования эвакуации по ним "нет и

не могло быть" (1-й абзац на с.40 [1]).

2.ТМО неприменима (как это однозначно сле-

дует из последних двух абзацев статьи [1]) к моделированию движения людей через эскалаторы.

Рассмотрим эти моменты подробнее.

Действительно, в п.6.24 СНиП 21-01-97* [10] указано, что эвакуационные пути "...не должны включать...эскалаторы". Но если внимательнее прочитать СНиП [10], то в его п.1.2 прямо сказано, что раздел 6 "Обеспечение безопасности людей" не распространяется на подземные сооружения метрополитенов — для этого существует специальный СНиП 11-40-80 [11].

Наверное, "каждому студенту ВУЗа" (здесь использована терминология автора статьи [1]) совершенно понятно, что из заглубленной станции (глубже 6,4 м [11]), случись там пожар или ЧС, можно эвакуироваться только по эскалатору. Более того, курсанты и слушатели ВУЗов пожарного профиля по дисциплине "Пожарная тактика" в теме "Тушение пожаров в метрополитене" (например, [12]) непосредственно изучают, что "при пожаре ...на станции пассажиров высаживают из вагонов и эвакуируют по эскалаторам на поверхность", а если пожар в поезде происходит в тоннеле между станциями, то пассажиров доставляют до ближайшей станции (поездом или пешим порядком) и эвакуируют оттуда таким же образом. И это еще не все. "Рекомендации по тушению пожаров в подземных сооружениях Петербургского метрополитена" [13], разработанные филиалом ВНИИПО в 1999 году, согласованные начальником Петербургского метрополитена, утвержденные начальником УГПС Санкт-Петербурга и Ленинградской области и изданные в дополнение к "Временным рекомендациям по тушению пожаров в подземных сооружениях метрополитена" [14], в разделе 4.2 непосредственно

предписывают осуществлять эвакуацию из заглубленных станций по эскалаторам (это вполне справедливо и для метрополитена столицы и других городов, где есть заглубленные станции), а в Приложении 6 приведены формулы для расчета времени эвакуации с использованием эскалаторов. Очевидно, что при эвакуации из метро по эскалатору, а потом через выход наземного вестибюля критичным путем является именно эскалатор, поскольку именно перед ним может скапливаться очередь.

Так что не совсем понятно, в чем уважаемый автор статьи [1] увидел "типичные ошибки" в части использования эскалаторов как эвакуационных путей. Что же касается моей ссылки на его книгу [7], то это сделано исключительно из уважения к нему, а термин "эскалаторы" специально взят в скобки, поскольку не характерен для этой книги, а если её положения могут использоваться "при формировании соответствующих нормативов" — так что ж в этом плохого?

По второму моменту. Вряд ли стоит говорить что-либо в защиту ТМО — она в этом не нуждается. Ее приложения столь широки, что просто удивительно, почему так мало используются в ТЛП. Наверное, "каждому студенту ВУЗа" понятно, что любая теория основывается на некоторых допущениях. Применительно к эвакуации при пожаре классическая ТЛП, изложенная в работах [6,7,28] и др. и регламентированная ГОСТом [9], основывается на групповом представлении движущихся людей в качестве некоего однородного потока с плотностью Б и скоростью V, которая в зависимости от вида и размера эвакуационного пути (а также эмоционального состояния людей) является функцией от Б, т.е. V=f(D). Задаваясь видом и геометрией помещений (залы, коридоры, дверные проемы, лестницы и т.п.), количеством и исходным положением людей и учитывая слияние людских потоков, можно оценить время эвакуации из того или иного помещения и, как следствие, риск воздействия на людей опасных факторов пожара (к настоящему времени созданы компьютерные программы, описанные в статье [15] и учитывающие индивидуальное перемещение людей, но это уже скорее вопросы не теории, а практики). При этом преобладает детерминистский подход, а вероятностные методы применяются лишь при установлении некоторых статистических зависимостей и распределений.

В ТЛП отмечено, что есть некоторые особые пути эвакуации — аварийные выходы (вертикальные штанги, наклонные трубы [6], пожарные лестницы и др.), скорость движения людей по которым не зависит от плотности Б подходящего потока, а является постоянной для каждого такого

выхода. Особое место здесь занимают эскалаторы, исследованию движения по которым посвящены ряд работ [4], [5] и др., а в СНиП [11] нормативно установлены оптимальная пропускная способность эскалатора 8500 чел/час (ц « 2,4 чел/с; Д! « с-1), их число и др.

Но на процесс эвакуации через эскалатор или упомянутые аварийные выходы можно взглянуть и с позиций ТМО. При этом вполне можно предположить, что пропускная способность (в терминах ТМО — интенсивность обслуживания ц) постоянна (допущение "а" в статье [2]), если эскалаторов (аварийных выходов) несколько, то они равнодоступны (допущение "б" в [2]), а время подхода каждого человека случайно и обусловливается множеством факторов — временные интервалы !вх между приходом предыдущего и последующего человека подчинены в общем случае вероятностному распределению с плотностью ф !вх. В [2] принималось допущение "в" о пуассоновском входном потоке, когда он, согласно [16]:

— стационарный, т.е. параметры закона ф !вх неизменны;

— ординарный, т.е. в каждый момент времени приходит только один человек (это равносильно условию !вх Ф 0);

— без последействия, т.е. люди подходят ко входу на эскалатор независимо друг от друга и от "предыстории".

Автором статьи [1] в последнем абзаце отвергнуты все эти допущения. В части допущений "а" и "б" это представляется явно ошибочным — применительно к эскалаторам прямо говорится об их постоянной пропускной способности не только в таких документах, как СНиП [11] и "Рекомендации..." [13], но и в работах [4,5,24]. О постоянной пропускной способности аварийных лестниц и спусков (вертикальных штанг, наклонных труб) указывается в основополагающей работе [6], на которую ссылается сам же автор статьи [1]. А в равнодоступности работающих на подъем эскалаторов одного выхода может убедиться каждый, бывающий в метро.

Что касается допущения "в", то его рассмотрим подробнее. Стационарность и ординарность характерна для потоков Пальма [16,17] (потоков с ограниченным последействием), когда интервалы времени между приходом людей случайны. В этой связи совершенно непонятно, почему автор статьи [1] сходу и без должных оснований отметает эти допущения (см. последний абзац [1]).

Известно [17], что когда последействие полностью отсутствует, временные интервалы подчинены экспоненциальному распределению

ф(!вх )=к' ехр(-^- ^ ) (1)

(к — интенсивность потока, обратно пропорци-

ональная среднему интервалу времени между приходом людей), а поток является простейшим или пуассоновским [16], широко встречающимся в окружающей действительности. Промежуточным между простейшим и регулярным является поток Эрланга [17], когда

V ■ С1 • ехр(- X ■ 1ВХ_) (2)

Ф(1вх) =

(k -1)

где к — порядок закона Эрланга или "мера последействия".

Нетрудно увидеть, что эрланговский поток при к=1 обращается в пуассоновский, а при к — в регулярный.

В той же книге [17] показано, что "поток пассажиров, входящих на станцию метро", является пу-ассоновским — это не отрицает и сам автор статьи [1]. Тогда зачем же отрицать положения статьи [2]? Не только "каждому студенту ВУЗа", но и школьникам из истории Великой отечественной войны и курса гражданской обороны хорошо известно, что заглубленные станции метро являются убежищами, куда могут укрываться люди, — ведь это тоже вид эвакуации как спасения от опасных факторов, только не наружу, а внутрь.

А на каком основании уважаемый автор [1] отрицает, что поток эвакуирующихся, подходящих к аварийному выходу (вертикальные штанги, наклонные трубы [6] и др.), не является пуассонов-ским? Допущение об этом ничуть не менее корректно, чем допущение автора [1] об однородности людского потока (а там люди разной комплекции, с различными физическими возможностями, с вещами и без них и т.д. и т.п.).

Конечно, поток пассажиров, выходящих из вагонов и подходящих к эскалатору, обладает некоторым последействием, т.е. не является строго пу-ассоновским — это автор [1] заметил правильно. Однако, если внимательнее прочитать работы [16,17], то там прямо сказано, что при слиянии потоков с последействием образуется пуассоновский поток. А при эвакуации из заглубленной станции метро при пожаре как раз и может иметь место слияние потоков людей: а) находящихся в зале станции и платформах, б) выходящих из одного поезда, в) выходящих из другого поезда, г) переходящих из смежных станций (в Петербургском метрополитене есть 6 станций, где пересекаются

2 линии, а в Москве — станции, где сходятся даже

3 линии), д) выходящих из тоннеля — см. [12-14].

Так стоит ли уважаемому автору статьи [1] отрицать соответствующие допущения в статье [2] и даже употреблять термин "типичные ошибки"? Может быть, просто открыть книгу [17] на с. 286-287 и в одноканальной системе массового обслуживания (СМО) с ожиданием, когда закон обслуживания регулярный, попытаться "узнать" модель эвакуа-

ции по эскалатору или аварийному выходу с постоянным временем прохождения через него? А такие важные характеристики, как средняя длина очереди и среднее время ожидания, оценить по прямым аналитическим формулам Полячека-Хинчина [18]. Тогда бы ему, вероятно, и не потребовалось бы публиковать свою статью [1], по крайней мере, в таком виде, тем более, что в ней он работу [17] не упоминает вообще, хотя в критикуемой им статье [2] многое на ней основывается.

Не совсем понятна и ирония автора статьи [1] по поводу очереди (чего стоит фраза "... г. Таранцев А.А. все время "стоит" в очереди" — последний абзац на с.39 [1]), — в этой связи г. Таранцев А.А. рекомендовал бы г. Холщевникову В.В. детальнее ознакомиться с основами ТМО. [17]. А для читателей могу пояснить, почему может возникать очередь, "если выход может пропустить в каждую единицу времени столько людей, сколько их подходит за это время к его границе" [1]. Дело в том, что подходящий поток людей все-таки случайный (см. приведенные выше доводы), а это означает, что даже при его постоянной интенсивности в какие-то моменты людей приходит меньше (тогда эскалатор идет лишь частично заполненным), а в какие-то — больше, чем может принять эскалатор. Тогда-то эта очередь и может образовываться. Со своей стороны хотел бы отметить, что при D>0,9 столь плотный поток уже можно рассматривать как своеобразную очередь, в которой люди то идут, то останавливаются, практически не обгоняя друг друга, а средняя скорость их движения, уже не зависящая от плотности D, может быть определена для различных участков по ГОСТ [9].

Уважаемому автору статьи [1] в этой связи не мешало бы ознакомиться и со статьей [21], опубликованной в том же номере журнала, где и критикуемая им статья [2]. А в [21] проанализированы недостатки "классической" ТЛП и сделан "...вывод о том, что расчетное время эвакуации людей, определяемое по методике [9]1, занижено"! Это означает, что занижается вероятность воздействия на эвакуирующихся опасных факторов пожара. А чем это чревато — поймет любой читатель. Вот бы уважаемому г. Холщевникову В.В. после столь бурной критики подхода [2], отличающегося от "классического", да прочитать статью [21] (а там в весьма любопытном контексте упоминается и лично его публикация [28] в нашем журнале!) и еще раз посмотреть, а все ли хорошо в известных методах.

В заключение хочу извиниться перед уважаемыми читателями за столь подробное изложение ряда известных вопросов. Во-первых, это принципиально важно для понимания сути разногласий между авторами статей [1] и [2], а, во-вторых, просто полезно для специалистов, интересующихся

некоторыми нюансами процессов эвакуации. Следует заметить, что некоторые разногласия вызваны чисто терминологическими моментами, например, в ТМО [16-18] под интенсивностью входного потока или обслуживания понимаются величины, обратно пропорциональные среднему интервалу времени между приходом заявок (людей в данном случае) и среднему времени обслуживания соответственно. А в ТЛП интенсивность д (она же "количество движения"2, физическая размерность — м/мин) — произведение плотности Б на скорость V людского потока. Но тут уж ничего не поделаешь — каждая теория достаточно сложилась, а специалист при желании всегда разберется. Тем более, что историческое развитие естествознания [19] предполагает динамичность и постоянное уточнение взглядов на изучаемые процессы, — в этой связи применение методов ТМО к описанию эвакуации через эскалаторы и аварийные выходы следовало бы не столько отвергать, сколько приветствовать.

средняя длина очереди г и среднее время ожидания в ней !ож, могут быть оценены аналитически по известным формулам [17,18]:

г = -

а

2 (1 -а)

! = Д! •

а

2 (1 -а)'

(3)

(4)

где а = к • Д! — приведенная нагрузка (очевидно: а < 1).

При этом предполагается также, что процесс установившийся (против этого не возражал и автор статьи [1]), дисциплина обслуживания (термин ТМО) основывается на принципе "раньше подошел — раньше обслужился", а величина очереди перед АВ практически неограничена. Примеры практического применения выражений (3) и (4) приведены в [2]. Среднее время эвакуации !э по АВ (эскалатору), очевидно, является суммой

ВВЕДЕНИЕ

Эвакуация людей является одним из важнейших условий обеспечения их безопасности в случае пожара или ЧС. К настоящему времени сложился [6,7,8,28] и нормативно закреплен [9] подход, позволяющий расчетно определять время эвакуации, который базируется на ТЛП, когда люди представляются в виде квазиоднородного потока с плотностью Б и скоростью V. Тем не менее, такой подход не лишен ряда недостатков (они приведены в статье [21]), что требует его дальнейшего развития. В этой связи разрабатываются компьютерные моделирующие программы [15], проводятся статистические исследования [23] и др. Применительно к частному случаю эвакуации через эскалаторы и аварийные выходы [6], скорость движения по которым в принципе не зависит от плотности подходящего людского потока, в работе [2] предложен подход, основывающийся на методах ТМО [17,18]. Далее будут изложены некоторые аспекты этого подхода.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

Когда поток людей, подходящий к аварийному выходу (АВ) — эскалатору [4,24], вертикальной штанге, наклонной трубе [15], развертываемой спасательной лестнице [25], эвакуационному рукаву [29] и т.п., способному принимать эвакуирующихся через равные промежутки времени Д! (независимо, образовалась перед ним очередь или нет), является пуассоновским (правомерность этого обоснована ранее) с интенсивностью к, то такие важные характеристики процесса эвакуации, как

! =! +! ,

э ож ав'

(5)

где !ав — время перемещения человека по АВ.

Для эскалатора !ав может быть определено, например, по [24], а для некоторых АВ — по [6].

Однако представляет интерес оценить еще и вероятность немедленного обслуживания Р0, когда эвакуирующийся сможет воспользоваться АВ сразу, а не ждать, когда это станет технически возможным после прошедшего перед ним человека. Автором на основе ТМО после ряда выкладок было получено достаточно простое выражение для нахождения Р0.

С математической точки зрения это можно сформулировать и в виде теоремы: "Вероятность немедленного обслуживания заявки (в нашем случае — входа эвакуирующегося человека в АВ, на эскалатор) в одноканальной СМО с неограниченной очередью, пуассоновским потоком заявок (людей), с интенсивностью к и регулярным законом их обслуживания в течение времени Д! при установившемся процессе поступления-обслуживания может быть определена по выражению:

Р0 =

1 - а при а < 1; 0 при а >1

(6)

где а = к .Д!."

Доказательство. Вероятность немедленного обслуживания для одноканальной СМО соответствует вероятности незанятости канала (в нашем случае — АВ, эскалатора) в общем случае может быть представлена в универсальном виде

1- номер по списку литературы данной статьи;

2 - что есть в действительности, количество движения [22] или импульс (в кг м/с), определил еще Исаак Ньютон.

Ро =

(7)

1 + а- f (а,ш)

где f — некоторая функция, зависящая от нагрузки а и числа мест в очереди ш.

В статье [27] было выведено выражение (3.21) для вероятности незанятости указанной однока-нальной СМО с одноместной очередью (ш=1), из которого следует, что Да,1) = ехр(а). Проделав подобные выкладки для аналогичной СМО с двухместной очередью (ш=2), получаем: Да,2) = ехр(2а) — а . ехр(а). Для СМО с трехместной очередью (ш=3) Да,3) = ехр(3а) — 2а . ехр(2а) + 0,5а2 . ехр(а). Продолжив выкладки (ввиду громоздкости опускаем), приходим к обобщенному выражению

ш (_[-а)"-1

f (а,ш )= У ^-- ехр(1а).

м (ш _ 1)

Если число мест в очереди неограничено ( ш ^ выражение (8) упрощается

(8)

11шГ (а,ш)=

(1 - а)1 при а < 1; ^при а> 1.

(9)

В справедливости выражения (9) можно убедиться и графически, — на рис.1 приведена зависимость обратной функции Г*от ш и а, рассчитанная по (8). Подставив (9) в (7), получаем исходное выражение (6), что и требовалось доказать.

Пример 1. Эвакуация осуществляется по эскалатору, способному принимать 8500 человек в час. К нему подходят люди — в среднем по 2 человека в секунду, образуя пуассоновский поток. Требуется определить, с какой вероятностью любой пришедший человек сразу может стать на ступень эскалатора, а с какой подождать, пока это сделают ранее пришедшие люди.

Как уже было показано, это одноканальная СМО с регулярным временем обслуживания АХ = 0,42 е., с неограниченной очередью и входным пу-ассоновским потоком с интенсивностью X = 2е-1. Определив приведенную нагрузку а = 0,42 . 2 = 0,84, по выражению (6) находим: р0 = 1 - 0,84 = 0,16.

РИС. 1. Зависимость функций (8) (в обратном виде) от числа мест в очереди и приведенной нагрузки

Это означает, что в среднем из каждых 100 подошедших (подбежавших) к эскалатору только 16 могут сразу стать на его ступени, остальным 84-м придется немного подождать. Среднее время ожидания (для всех эвакуирующихся) и средняя длина образующейся очереди определяются по известным формулам (4) и (3) соответственно (что и сделано в [2]), а общее время эвакуации — по (5), когда известна длина эскалатора и скорость его движения.

2.Имитационное моделирование эвакуации через аварийный выход

Когда же входной поток эвакуирующихся через АВ (эскалатор) значительно отличается от пуассо-новского, пользоваться приведенными аналитическими выражениями можно разве что для приближенных оценок. Более точные результаты может дать имитационное моделирование [17]. В этой связи автором разработана компьютерная программа, позволяющая моделировать процесс поступления-обслуживания заявок (людей в данном случае) в одноканальной СМО с неограниченной очередью и регулярным временем обслуживания АХ(эскалатор, АВ), когда поток заявок обладает последействием, а интервалы времени ^ между приходом заявок (людей) случайны и имеют распределение ф(ХВх). В основу положен алгоритм [20], использован датчик случайных чисел на основе таблицы [26], блок-схема программы приведена на рис.2.

Исходными данными для программы являются распределение ф(Хвх) (заложены экспоненциальное (1), эрланговское (2), равномерное [16] и в виде гистограммы) и продолжительность обслуживания АХ, а также число циклов. Результатом расчетов являются распределения времени ожидания фож(т), длины очереди фоЧ(г) и промежутков времени между обслуженными заявками выходного потока (все в виде гистограмм с выводом средних значений и коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса [16]), а также вероятности немедленного обслуживания р0. Контроль точности получаемых результатов проводился по:

— точности воспроизведения распределения

ф(Хвх);

— стабилизации результатов по мере увеличения числа циклов;

— совпадению средней длины очереди, среднего времени ожидания и вероятности немедленного обслуживания с соответствующими аналитическими выражениями (3) - (5), когда на входе задавался тестовый пуассоновский поток.

Понимая, что результатам имитационного моделирования должна быть посвящена отдельная

1

статья (сейчас в работе), предварительно можно констатировать стабилизацию результатов уже через 700-900 циклов и их совпадение с аналитическими выражениями, — на рис.3 приведены зави-

симости р0(а), полученные по (6) и с использованием данной программы, при пуассоновском входном потоке.

РИС. 2. Блок-схема программы имитационнного моделирования процесса обслуживания заявок в одноканальной СМО с неограниченной очередью обслуживания А1 (Тно, Т00 — моменты начала и окончания обслуживания, т — время ожидания, Т — интервал времени между обслуженными заявками выходного потока)

ВЫВОДЫ

1. Методы ТМО вполне применимы к исследованию эвакуации через АВ (в частности, эскалаторы), когда время прохождения людей не зависит от плотности подходящего потока. Если поток пу-ассоновский, то для установившегося процесса эвакуации оценка вероятности немедленного обслуживания (входа в АВ, на эскалатор), среднего времени ожидания и средней длины возникающей очереди может быть дана по достаточно простым аналитическим выражениям.

2. Показано, что отрицание этого в статье [1] нельзя считать обоснованным.

3. Разработана компьютерная имитационная программа, позволяющая исследовать основные характеристики процесса эвакуации через указанные выходы, когда входной поток обладает ограниченным последействием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Холщевников В.В. Что моделируем с использованием теории массового обслуживания// Пожаровзрывобезопаность. №2. 2003.

2. Таранцев А.А. Моделирование параметров людских потоков при эвакуации с использованием теории массового обслуживания// Пожаровзрывобезо-пасность. №6. 2002.

3. Холщевников В.В., Балакин С.А., Хетчиков А.И. Методика выбора числа эскалаторов для станций метрополитена// Вестник ВНИИЖТ. №2. 1986.

4. Еремеев Ю. и др. Выбор оптимальной производительности эскалаторов // Метрострой. №1. 1989.

5. Исаевич И.И. Разработка основ многовариантного анализа объемно-планировочных решений станций и пересадочных узлов метрополитена на основе моделирования закономерностей движения людских потоков/ Дисс. к.т.н.- М.: МИСИ, 1990.

6. Предтеченский В.М., Милинский А.И. Проектирование зданий с учетом организации движения людских потоков. М.: Стройиздат, 1979.

7. Холщевников В.В. Исследование людских потоков и методология нормирования эвакуации людей из зданий при пожаре. М.: МИПБ МВД России, 1999.

8. Холщевников В.В., Копылов В.А. Движение людских потоков через проемы // Пожарное дело. №3. 1982.

9. ГОСТ 12.1.004-91 Пожарная безопасность. Общие требования.

10. СНиП 21-01-97* Пожарная безопасность зданий и сооружений.

11. СНиП N-40-80 Метрополитены.

12. Пожарная тактика / Под ред. к.т.н., доцента Повзика Я.С. М.: ВИПТШ МВД СССР, 1984.

13. Рекомендации по тушению пожаров в подземных сооружениях Петербургского метрополитена. СПб.: Филиал ВНИИПО, 1999.

14. Временные рекомендации по тушению пожаров в подземных сооружениях метрополитена. М.: ГУПО МВД СССР, 1978.

РИС. 3. Зависимость вероятности немедленного обслуживания от приведенной нагрузки, полученная по выражению (6) и по результатам имитационного моделирования (о)

15. Холщевников В.В., Самошин Д.А., Галушка Н.Н. Обзор компьютерных программ моделирования эвакуации зданий и сооружений // Пожаровзрывобезо-пасность. №5. 2002.

16. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 5-е, стереотипное. М.:Высшая школа, 1998.

17. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов.радио, 1972.

18. Кофман А.,Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и применение.М.: Мир, 1965.

19. Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А., Судариков А.М. Концепции современного естествознания // Учебник для ВУЗов. СПб.: Изд-во "Союз", 2002.

20. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатомиздат, 1987.

21. Дмитриченко А.С., Соболевский С.Л., Татаринов С.А. Новый подход к расчету вынужденной эвакуации людей при пожарах // Пожаровзрывобезопасность. №6. 2002.

22. Физический энциклопедический словарь. М.: СЭ, 1984.

23. Шильдс Т.Дж., Бойс К.Е., Самошин Д.А. Исследование эвакуации из торговых комплексов// Пожаровзрывобезопасность. №6. 2002.

24. Ильин В.В., Беляцкий В.П., Чуприян А.П. Проблема противопожарной защиты метрополитенов и ее решение. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000.

25. Письмо ГУГПС МВД России №020/3.2/4792 от 29.12.2001г. о целесообразности использования навесных спасательных лестниц УСЛ-Шанс для эвакуации людей из административных, жилых и др. зданий.

26. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1975.

27. Таранцев А.А. О некоторых закономерностях в системах массового обслуживания вызовов// Пожаровзрывобезопасность. №5. 2002.

28. Холщевников В.В. Методология нормирования эвакуации людей при пожаре// Пожаровзрывобезопасность. №3. 2001.

29. Таневицкий И.В., Мельник А.И. Оборудование для ведения спасательных работ и эвакуации людей. Часть 1. Учебно-методическое пособие. СПб.: ВПТШ МВД России, 1996.