Об одной задаче минимизации ущерба Текст научной статьи по специальности «Математика»

Допустим, что при некотором € [О, Т] выполняется /гг(£*) = 0. Тогда отсюда и из (39) вытекает, что абсолютно непрерывная функция /г,2 (¿) = 0 на [0,Т]. Но тогда в силу (34) на [0,Т]

о 1

и мы получаем противоречие с тем, что (см. (31)) = 0. Таким образом, функция /гг(£) ф 0 при

£ € [0,Т]. Отсюда и из (35) вытекает, что /12 (¿) < 0 при £ € [0,Т]. Поэтому в случае (38) оптимальное управление й(1) оказывается эквивалентным на [О, Т] функции й(1) = 0.

Отметим, что в случаях (36)-(38) была получена важная для приложений информация о произвольном оптимальном управлении г>(£).

В заключение отметим, что результаты пунктов А, Б существенно упрощают практическое использование результатов основной части статьи.

Благодарю Н.Л. Григоренко и В.Ю. Решетова за консультации и ценные для меня советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киселев Ю. Н., Решетов В. Ю., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Построение оптимального решения и множества достижимости в одной задаче распределения ресурсов // Проблемы оптимального управления. Вып. 2. М.: МАКС Пресс, 2007. С. 106-120.

2. Киселев Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М. В. Построение в аналитической форме оптимального управления и множеств достижимости в одной задаче распределения ресурсов // Прикладная математика и информатика. № 27. М.: МАКС Пресс, 2007. С. 80-99.

3. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г.,Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

4. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

5. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

Поступила в редакцию 21.05.08

УДК 519.8

К.К. Осипенко1

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ УЩЕРБА*

Рассматривается задача оптимальной остановки при наличии случайных убытков с принятием решения о единовременном привлечении внешнего механизма финансовой защиты. В задаче учитывается наличие функции полезности, определяющей отношение к риску лица, принимающего решение. Показано, что с помощью уравнения Беллмана оптимальные пороговые функции могут быть построены численно, а для некоторых видов функции полезности — ив аналитической форме.

Ключевые слова: задача о секретаре, задача о поиске невесты, оптимальный выбор, оптимальная стратегия страхователя, правило остановки, теория полезности, уравнение Беллмана.

Введение. Предметом исследований данной статьи является задача минимизации ущерба индивидуума в условиях, когда в течение некоторого срока £ € [0,1] существует единовременная возможность привлечения внешних источников для покрытия одного из случайных убытков, возникающих в течение интервала. Подобным механизмом финансовой защиты может выступать, например, страховой полис, подразумевающий покрытие убытка страховой компанией, или общественный фонд, обеспечивающий возмещение.

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-maihkir.osipenkoQgmail.com.

*Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ "Поддержка научных школ", проект НШ-693.2008.1, гранта РФФИ, проект 08-01-00249.

Предполагается, что поступление убытков задано пуассоновским процессом с параметром /х, а величина каждого убытка (вне зависимости от времени поступления) есть случайная величина с известной функцией распределения -Р(у), у ^ 0. В данных условиях представляет интерес нахождение оптимальной стратегии лица, принимающего решение (ЛПР), т. е. субъекта, на средствах или состоянии которого отражаются убытки. Другими словами, задача состоит в поиске оптимального правила, в соответствии с которым при возникновении убытка принимается решение о его покрытии за счет собственных средств или же за счет внешнего источника. В качестве такой стратегии используется функция от времени £ и остатка денежных средств А — пороговое значение ущерба, в случае превышения которого имеет смысл обращаться за возмещением.

Подобная постановка задачи относится к классу так называемых задач о правилах оптимальной остановки (см. [1]). Отличительной особенностью этих задач является наличие случайного процесса, который может изменять благосостояние ЛПР, при этом в произвольный момент реализации существует возможность прибегнуть к некой опции, влияющей на дальнейший ход процесса (это может означать, например, остановить выбор на одном из объектов при поиске подходящего, израсходовать единственную возможность иска по страховому полису и т.д.). В общем случае имеется некий критерий, отражающий благосостояние ЛПР в любой момент времени, например сумма имеющихся средств или соответствующая функция полезности.

Зачастую оптимальное правило остановки в таких задачах строится на основе оценки математического ожидания финального значения критерия. По сути, это есть принцип динамического программирования, который играет центральную роль в решении задачи.

Отдельные элементы предлагаемой модели также присутствуют в известных задачах об оптимальной остановке. Наиболее распространенной из них является задача о выборе невесты, также известная как задача подбора секретаря (см. [2, 3]). В то же время в большинстве случаев задача о выборе невесты подразумевает принятие решений в определенные моменты времени, в то время как в данной постановке моменты возникновения ущербов случайны и определяются пуассоновским процессом. В [4] задача о выборе невесты была также решена и в условиях пуассоновского процесса, но в ней традиционно подразумевалось, что каждый из предлагаемых объектов рассматривается с точки зрения сравнения с остальными и основанием для остановки является его относительный ранг. Существенным же отличием нынешней постановки является случайная величина ущерба с заданным распределением, и в любой момент времени именно произошедший ущерб является основанием для принятия решения. Наконец, в данной задаче учитывается наличие среди прочих исходных данных известной возрастающей, непрерывной и вогнутой функции полезности и(у), определяющей отношение ЛПР к риску.

Отметим, что в [5] и [6] рассматриваются задачи построения оптимальной стратегии ЛПР применительно к автомобильному страхованию. В исследованиях в этой литературе система Бонуса Малуса предполагает изменение стоимости полиса в зависимости от объема и частоты исков по нему. Таким образом, обращение (или необращение) в страховую компанию сказывается на стоимости будущего покрытия, поэтому в каждый момент возникновения ущерба страхователь должен принять взвешенное решение о целесообразности его передачи в соответствии с условиями полиса.

Основными результатами данной статьи являются построенные для общего вида функции полезности уравнение Беллмана и разностная схема, с помощью которых находится численное решение задачи. Для линейной функции полезности (при нейтральном отношении ЛПР к риску) уравнение имеет аналитическое решение. Найденные функции оптимальных пороговых значений для различных функций полезности позволяют заключить, каким образом степень несклонности к риску влияет на стратегию ЛПР (см. также [7]).

Постановка задачи. Пусть на множестве (—оо, +оо) х [0,1] определена функция ./•( Л. /). значение которой равняется пороговой величине ущерба в момент времени I при наличии А денежных средств. Обращение за возмещением происходит тогда и только тогда, когда ущерб превышает пороговое значение, т.е. х(А^) представляет собой решающее правило ЛПР на отрезке времени [0,1]. Пусть ж(-), ¿о), ¿о € [0,1], есть математическое ожидание (м.о.) полезности и от остатка средств

на момент времени I = 1 при условии, что на момент времени I = ¿о имеется средств, возможность возмещения не израсходована, а х(-) — используемое решающее правило. По определению положим Ш(А,х(-), 1) = и(А). Отметим, что для любых фиксированных ¿0 и Аго величина Ш(Аго,х(-),1 о) зависит от множества значений {х{А-^1)\ ¿о ^ £ ^ 1} и не зависит от значений {x(At,t)\ 0 ^ £ < ¿о}.

Оптимальную функцию х*(-) определим из условия максимизации величины Ш(Аго,х(-),1 о) для любых фиксированных ¿0 € [0,1] и Аго:

Ш(Аго,х*(-)^о) > о) Щ-).

Требуется найти неизвестные функции х*(-) и \№{А,х*{-),Ь).

Для решения этой задачи рассмотрим дискретную математическую модель случайного процесса поступления убытков. Пусть весь отрезок времени £ € [0,1] разбит на п равных отрезков [¿^-1,^], ¿к = к/п, к = 1,... ,п, где п достаточно велико. Будем считать, что на полуинтервале либо

не поступает ни одного убытка, либо поступает один убыток и тогда Вк есть случайная величина возникшего ущерба с функцией распределения -Р(у), либо, наконец, поступает более одного убытка и тогда суммарный ущерб есть Вк. По свойству пуассоновского процесса вероятность реализации последнего случая бесконечно мала по сравнению с 1 /п. Отсюда случайная величина ущерба Хк на полуинтервале может быть представлена в следующем виде:

{О с вероятностью

Вк с вероятностью р = р(п) =

Вк с вероятностью о(1/п).

Пусть каждому полуинтервалу (или отрезку [¿п_ 1,1п] для к = п) соответствует неотри-

цательная функция Х)с(А) — пороговое значение ущерба для обращения за возмещением в момент £ € (или £ € [1п-1,1п] для к = п) при наличии А средств. Соответствующие оптимальные

пороговые значения будем обозначать как х*к{А). Отметим, что х*п{А) = 0 ввиду того, что на последнем отрезке при возможности всегда целесообразно передавать страховщику возникающий ущерб. По определению положим х^ = (х)~(А),..., хп(А)) и х*к = (х1(А),..., ж* (А)), к = 1 ,...,п, для обозначения произвольного и оптимального наборов пороговых значений на соответствующих временных интервалах. Основной целью является расчет всех компонент вектора х\.

Для каждого к = 0,..., п будем рассматривать случайную величину Ук — значение суммарного ущерба на отрезке времени при условии, что возможность для передачи ущерба отсутствует.

По определению ¥п = 0 с вероятностью 1. При к < п величина ¥к представляет собой случайную сумму

Ук = ¥к + ¥к+ ... + ¥?+ ... + ¥к1к. (1)

Здесь случайная величина М% есть число убытков, которые поступили на отрезке а ¥к и

[^¡¡(г)-!, ^¡¡(г)), вк(1) € {к + 1,..., п}, есть величина ущерба и отрезок времени, соответствующие 1-му убытку. Случайная величина М¡, принимает значение т € с вероятностью

ГШ

(см., например, [8]). Функцию распределения случайной величины ¥к обозначим как Ок(у). Случайные величины ¥к, 1 = 1,..., М^, независимы и имеют одну и ту же функцию распределения -Р(у).

Заметим, что для случая непрерывного времени мы одновременно можем определить случайную величину У* — значение суммарного ущерба на отрезке времени 1] при условии, что возможность передачи ущерба отсутствует. Соответствующая функция распределения есть О*{у). Тогда по аналогии

т!

Далее, определим случайную величину к = 0,..., п, — значение суммарного ущерба на отрезке времени при условии, что возможность передачи ущерба сохранена (не является израсходован-

ной). Пусть Агз — величина остатка средств на момент времени в = к,... ,п. В случае, когда на отрезке происходит обращение, выражение для имеет следующий вид:

гк = ¥1к + ... + ¥к_1+¥к+1... + ¥к1к=¥к^¥к,

где I = тт{г| Ук > )}, а в противном случае, когда V? = 1,..., М^, Ук ^ xsk^(Atsk

будет верно = Ук. Фактически I есть номер покрытого за счет внешних источников ущерба в терминах равенства (1) при заданной стратегии Л ПР.

Положим

Шк(А, хк+1) = Е[и(А - гк)], к = 0,..., п - 1, Шп(А) = и(А).

В соответствии с данным определением Шк(А,хк.ц) есть м.о. полезности и от остатка средств на момент времени ¿п при условии, что на момент времени Ьк имеется А средств, возможность возмещения одного из убытков сохраняется, а вектор хк+\ — набор выбранных на отрезке [1к,1п] пороговых значений. Таким образом, определение величины Шк(А, хк+\) для дискретного случая полностью согласуется с определением \№{А,х{-),Ь) для непрерывного случая.

Представим отрезок [1к,1п] как объединение промежутков [¿£,¿£+1) и [1к+1,1п]. Выразим Шк(А,хк+\) через Шк+\ (А,хк+2), воспользовавшись тем фактом, что при рассмотрении полной системы событий м.о. случайной величины может быть представлено в виде суммы соответствующих условных м.о. В предположении, что на полуинтервале [¿£,¿£+1) возникло не более одного убытка (вероятность дополнительного события есть о(1/п)), составим следующую таблицу, где наглядно представлено построение суммы интегралов в выражении для Шк.

Событие Вероятность события Остаток средств на tk+i М.о. полезности остатка средств на tn

Хк+1 = 0 1 — р — о(1/п) А Wk+i(A,xk+2)

о < хк+1 <: Хк+1 (А) Xk + i(A) р J dF(y) 0 А^хк+1 Wk+1(A^ Хк+\хк+2)

Xk+1 > Xk+i (А) со Р J dF(y) А СО 1 u(A-y)dGk+1(y) 0

Введем обозначения

оо оо

Lk(A) = J и(А- y)dGk(y), L(A,t) = j и(А - у) dG*(у), о о

попутно заметив, что lim Lk(A) = L(A,t). Основываясь на построенной таблице и отбрасывая

tfc—И, п—>-сю

бесконечно малые относительно 1 /п слагаемые, получим следующие соотношения:

Xk+i(A)

Wk(A,xk+1) = (1 ^p)Wk+1(A,xk+2)+р J Wk+1(A-y,xk+2)dF(y) +

о

сю

+ Lk+l{A)p j dF{y), к = 0,... ,n — 2,

xn (.4)

(2)

Шп.1(А,хп) = (1^р)Шп(А)+р I Шп(А — у) dF(y) + Ьп(А)р ^ dF(y),

0 хп(А)

Шп(А) = и(А).

Полученная система уравнений для дискретных аналогов искомых функций по сути есть постановка задачи в функциональном виде, которая необходима для построения аналитического решения.

Решение задачи в случае функции полезности произвольного вида. Введем следующие обозначения:

Ук(А,хк+1) = та,х\¥к(А,хк+1), А; = 0,... ,п - 2,

Х'к + 2

Уп-^хп) = УУп-^Хп), Уп(А) = \Уп{А), Ук(А) = тах Ук(А, хк+\), А; = 0,... ,п - 1,

Хк + 1

Уп(А) = Уп(А).

Для доказательства в числе прочего корректности данных определений приведем следующую лемму.

Лемма. Справедливы утверждения-.

1) функция Ук(А, хк+\) = тах Шк(А, хк+\) существует (максимум достигается);

Хк + 2

2) функция Ук(А) = тах!4(Д хк+\) = тахШк(А, хк+\) существует, причем максимум Ук(А,хк+1)

Хк + 1 +1

достигается в значении х1+1(А), являющемся корнем уравнения

Ук+1(А - хк+1 (А)) = Ьк+1(А);

3) функции Шк(А, хк+\), Ук(А, хк+\) и Ук(А) монотонно не убывают и непрерывны по аргументу А.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции. Функции Уп-\{А,х„) и Уп{А) = Уп{А) совпадают с функциями {А,хп) и

Шп{А) = и(А) соответственно. Непрерывность и монотонность функции {А,хп) по А следуют

из непрерывности и монотонности функций и{А) и Ьп{А).

Далее, предположим, что все три утверждения верны для к = г + 1, и докажем их справедливость для к = г.

1. Рассмотрев полную систему событий подобно тому, как это было сделано при выводе системы уравнений (2), можно заключить, что

max Wr (А, a;r+i) =

Xr + 2

Хг + 1 (-4) ОО

= (1 -р) maxWV+i(A,хг+2) +р / тах Wr+i(A - y,xr+2) dF(y) + pLr+1(A) / dF(y).

Xr + 2 J Xr + 2 J

0 x.r+1(.4)

В силу того что утверждение 2 леммы верно для к = г +1, выражение max Wr+i(A, хг+2) существует

Хг+2

и равно Vr+i(А). Отсюда

х.г+1 (.4) ОО

Vr(A,xr+1) = (l-p)Vr+1(A)+p I Vr+1(A-y)dF(y)+pLr+1(A) j dF(y). (3)

0 xr+i(A)

Правая часть данного равенства существует ввиду непрерывности функции Vr+i(A). Следовательно, утверждение 1 верно для к = г.

2. Для нахождения х*+1(А), максимизирующего Vr(A,xr+i), продифференцируем равенство (3) по жг+1, предполагая при этом существование производной F'(y):

dVr(A,xr+1) = _ _ L (A))F/(

ОХ г-1_1

При xr+i(А) = 0 выражение Vr+i{A — xr+i{Ä)) — Lr+i(A) неотрицательно. В то же время lim и(у) =

у——ОО

= ^оо в силу монотонности и вогнутости функции и(у). Отсюда следует существование такого А' < А, что и(А') < Lr+i(A). Таким образом, для хг+\(А) = А — А' > 0 будет верно

Vr+1(A - xr+l{A)) - Lr+i(A) sC и(А - xr+l{A)) - Lr+1(A) < 0.

Учитывая непрерывность УГ+\{А) по А (утверждение 3 леммы), отсюда можно заключить, что х*г+\{А) ^ 0, являющееся корнем уравнения

УГ+1(А - хг+1{А)) = ЬГ+1(А),

есть точка, в которой выражение УГ{А, хг+\) достигает своего максимума.

Стоит отметить, что данное утверждение остается справедливым и в отсутствие предположения о дифференцируемости функции -Р(у).

3. Докажем вначале монотонность по аргументу А функции Шг (А, хг+\). Действительно, рассмотрим уравнение из системы (2), которое соответствует к = г. По предположению индукции функции И7Г_|_1(А, хг+2) и ЬГ+1(А) являются неубывающими; функция распределения -Р(у), очевидно, также не убывает. Отсюда следует, что Шг(Д хг+\) не убывает по А, так как представляет собой сумму неубывающих по А выражений. В то же время операция максимизации по пороговым значениям сохраняет данное свойство, следовательно, функции Уг(А,хг+1) и УГ(А) также являются монотонно неубывающими функциями по аргументу А.

Для доказательства непрерывности функции \¥г(А,хг+1) снова обратимся к уравнению из системы (2), которое соответствует к = г. Правая часть данного уравнения непрерывна по А в силу произвольности выбора вектора пороговых значений хг+\, а также непрерывности по А функций Шг+1 (предположение индукции) и Ьг+1 (следует из свойства непрерывности функции и(у)). Обратившись к уравнению (3) и применив схожие соображения, легко показать непрерывность функции УГ(А, хг+1).

Далее, докажем непрерывность функции УГ(А). Значение этой функции есть по сути выражение в правой части уравнения (3) при оптимальном х*+1(А). Из доказательства утверждения 2 известно условие, исходя из которого находится оптимальное х*.+1{А)\

Ук+1(А - хк+1(А)) = Ьк+1(А).

Следовательно, при подстановке оптимального х*+1(А) сумма второго и третьего слагаемых в правой части уравнения (3) может быть представлена в следующем виде:

оо

р У тах(Уг+1(А-у),Ьг+1(А))йР(у).

В силу того что функции Уг+г (А — у) и ЬГ+1(А) непрерывны по А, можно сделать вывод о том, что УГ(А) также непрерывна по А.

Теперь займемся поиском метода решения исходной системы уравнений (2).

Теорема. Функции Ук(А) = Шк(А, к = 0, ...,п, и х^(А), к = 1 ,...,п, удовлетворяют

следующей системе уравнений:

Х*к+1(А)

Г {1_р(г))<1гк+1(А-г), А = 0.....п-1,

Р I (4)

Уп(А)=и(А),

Ук+1(А^х*к+1(А)) = Ьк+1(А), к = 0,...,п-1, х*п(А) = 0.

Доказательство. Подставив г = к в равенство (3), получим рекуррентное соотношение для функции Ук(А, хк+\). По второму утверждению леммы максимум этого выражения достигается при хк+\ = х1+1(А), являющемся решением уравнения

Ук+1(А - хк+1 (А)) = Ьк+1(А).

Учитывая данное равенство, а также используя всюду в качестве порогового значения оптимальное х*к+1{А), преобразуем выражение для Ук(А):

+ СЮ

Ук(А) = (1-р)Ук+1(А)+р I Ук+1(А-у)йР(у)+рУк+1(А-х*к+1(А)) ^

0 х* + 1(.4)

Отсюда

ОО ОО

Vk(A)-Vk+1(A)

= J(Vk+1(A-y)-Vk+1(A))dF(y)- J (Vfc+i(A-y)-^+1(A-4+1(A)))dF(y).

P

0 x*+1(.4)

С учетом обозначения

ОО

R{z) = J{Vk+l{A ^y)^ Vk+l{A - z)) dF{y)

равенство преобразуется следующим образом:

Ук(А)-Ук+1(А) Р

Используя тождество

= R(0)-R(x*k+1(A))- (5)

ïî+iH)

Д(0)-Д(4+1(А)) = - J R'z

Zdz,

имеем

г»(л)-г.+.М = _ Г p J

к + 1

J lf^dVk+lidî^Z) dF(y))dz= f (l-F(z))dVk+i(A-z).

Итак, система уравнений для нахождения Ук(А), к = 0,..., п, и ж£(А), к = 1,..., п, имеет вид (4). С помощью полученной системы в дискретном случае последовательно находятся функции Уп(А), ж* (А), Уп-\(А), ж*_1(А), ..., У0 (А). Устремив в (4) число разбиений отрезка п к бесконечности, получаем основной результат — уравнение Беллмана для непрерывного случая:

х*(А,г)

У{{А,х* (•),*)

J (1 - F(z))dV(A-z,x*(-),t),

о

У(А,х*(-),1) = и(А), у(А ^ х*(А,г),х*= ь(А,г), х*(А, 1) = 0.

Тем не менее, для того чтобы численно построить решение задачи в случае нелинейной функции полезности и(у), необходима система именно для дискретного случая. При этом для расчета функции Ьк(А) можно воспользоваться равенством из [9]:

ОО

т=0

где = Ееи)У11 и Ф/г(ад) = /•.'<1г) 1 — преобразования Лапласа для функций распределения -Р(у) и

Ок{у) соответственно. С учетом выражения для рт,к и обозначения V = /х (1 — данная сумма может быть преобразована:

ОО ОО т

ф*(ад) = У'Рт крт('ш) = У" — = е"(¥>(«0-1).

г ' г 7П

ш—0 ш—0

Имея (р(и}), несложно восстановить функцию Ок{у) с помощью обратного преобразования Лапласа, примененного к и уже с помощью нее найти Ьк(А).

Ниже приводится пример расчета искомой функции х* (А, I) для экспоненциальной функции полезности и(у).

Пример 1. Пусть и(у) = /3(1 — е~ау), где а, ¡3 > 0. Тогда

Ьк(А) = Е[и(А - ¥к)] = ЕЦ3(1 - е"^4"1' >)] = /3 ( 1--- I .

В условиях исходных данных -Р'(у) = а2уе~ау; а = 0,01; /х = 0,2; а = 0,006; ¡3 = 600; = 350 получаем следующие результаты расчетов:

1/12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 7/12 8/12 9/12 10/12 11/12

х*(А0,г) 145 133 121 109 96 83 70 57 43 29 15

Решение задачи в случае линейной функции полезности. Будем искать решение исходной системы уравнений (2) в простейшем случае, когда функция полезности является линейной:

и(у) = у.

Отметим сначала, что для рассматриваемого вида функции полезности

Шк(А - у,хк+1) = Шк(А,хк+1) - у, А; = 0,... ,п,

в силу того, что

Е[и{{А ^у)^ гк)] = Е[(А ^у)^ Хк\ = Е[и(А - гк)] - у. Отсюда следует, что для линейного случая

сю

ВД= У^-у) йЕ{у).

г

Также можно заключить, что хк+\ = х1+1(А), при котором достигается максимум Ук(А,хк+{), может быть записано в явном виде:

х*к+1(А) = Ук+1(А)^Ьк+1(А). (6)

Преобразуем с использованием данных выводов равенство (5):

сю сю

о х* + 1(.4)

сю

= + [ у ту + хиЛА)).

Р Р .1

о

Таким образом, получаем рекуррентное соотношение для х*к(А)\

сю

Х*к+1(А) -хк(А) = -р ! уйЕ{у +х*к+1{А)), к = 0, ...,п-1, < = 0.

о

Устремив число разбиений отрезка п к бесконечности, получим уравнение Беллмана

сю

дХ*т,1) I х*(А,1) = 0. (7)

х*(А,г)

Из него следует, что при линейной функции полезности искомая функция х* (А, I) не зависит от А. 14 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2

Метод решения данного уравнения предполагает последовательное определение следующих функ-

ции:

у

Fi(y) =1~J dF(y),

о

iV оо

f Fi(y)dy- f ydF (у)

F3(y) =

F2{y)

dy.

Тогда

где ^з"1 — функция, обратная к ¿<3. Справедливость данной формулы для ж*(£) проверяется непосредственной подстановкой в интегро-дифференциальное уравнение (7). Из (6) вытекает

у(А,х*(-),г) = ь(А,г)+ х*(г).

Пример 2. Пусть и(у) = у. Тогда

ОС

Ьк(А) = Е[и(А - ¥к)) = А - Е[¥к) = №* + У2 + • • • + ГшММк = т)) =

т=О

ОО

= А — Е[Мк]Е[¥к] = А-ydF(y).

о

В условиях исходных данных -Р'(у) = а2уе~ау; а = 0,01; /х = 0,5; А = 350 имеем

у

¿Му) = (ау + 1)е-в», = -/х ЗД) = -1 ^^ 2)

о

Значения функции ¿^(у) и обратной к ней необходимо находить численно. Получаем сле-

дующие результаты расчетов:

t 1/12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 7/12 8/12 9/12 10/12 11/12

x*{t) 75 69 63 58 51 45 38 31 24 17 9

Таким образом, для заданного набора входных параметров в численном виде решена задача нахождения оптимальной стратегии x*(t) для случая линейной функции полезности и(у).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Березовский Б. А., Гнедин А.В. Задача наилучшего выбора. М.: Наука, 1984.

2. Ferguson Т. Who solved the secretary problem? // Statistical Science. 1989. 4. N 3. P. 282-289.

3. Гусейн- Заде C.M. Разборчивая невеста. М.: МЦНМО, 2003.

4. Cowan R., Zabczyk J. An optimal selection problem associated with the Poisson process // Theory of Probability and its Applications. 1978. 23. P. 584-592.

5. Лемер Ж. Системы Бонуса-Малуса в автомобильном страховании. М.: Янус-К, 1998.

6. Venezia I., Levy Н. Optimal claims in automobile insurance // Review of Economic Studies. 1980. 47. N 3. P. 539-549.

7. Diamond P., Stiglitz J. Increases in risk and in risk aversion // J. Economic Theory. 1974. 8. P. 337-360.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

9. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

Поступила в редакцию 23.06.08