CC BY
43
Динамическая модель равновесия рациональных ожиданий на
1
рынке не вполне ликвидного товара Dynamic model model of rational expectations equilibrium in the
market of illiquid asset
Жукова Александра Александровна, магистр прикладной математики и физики, магистр экономики,
ВЦ РАН им. Дородницына, м.н.с, e-mail: [email protected]
Zhukova Aleksandra, Master of arts in Science, MIPT Master of Arts in Economics, NES Dorodnicyn CCAS of RAS, junior researcher e-mail: [email protected]
В работе исследуется рынок не вполне ликвидного товара. На нем действуют торговцы, которые стремятся оптимальным образом распределить свое благосостояние между безрисковым активом и рискованной покупкой неликвидного товара. Риск связан с невозможностью продажи или покупки товара в произвольный момент времени. Вместо этого, товар может торговаться в случайные дискретные моменты времени. Предполагается, что покупатель получает полезность, зависящую от объема имеющегося товара. Проведен анализ влияния оптимального поведения потребителя на рыночное равновесие в системе с большим числом участников. Показано, что даже в условиях полного предвидения динамика равновесной цены может иметь вид, характерный для «финансовых пузырей»
1 Данная работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00644, РГНФ № 11-02-00241а, ПФИ ОМН РАН № 3, ПФИ Президиум РАН № 14, РФФИ 11-01-12136 - офи_м - 2011, РФФИ 12-01-00916-а.
This work studies the market where traders seek to allocate their welfare optimally between risk-free saving and risky illiquid asset. The risk of the illiquid asset emerges from inability to trade it at an arbitrary moment of time. Instead, the illiquid asset may be traded at random discrete moments of time. It is assumed that the trader receives a certain utility from the amount of illiquid asset he owns. A stochastic optimization model of the behavior of trader is proposed and analyzed. This analysis is applied to modeling a market with multiplicity of traders. It is shown that even under conditions of perfect foresight equilibrium price dynamics may have a shape characteristic of the "financial bubble".
Ключевые слова
Стохастическая оптимизация, оптимальное потребление, рыночное равновесие, финансовый «пузырь».
Keywords
Stochastic optimization, optimization, optimal consumption, market equilibrium.
1. Введение
Целью данной работы является исследование равновесия на рынке неликвидного товара длительного пользования. Товар длительного пользования неликвиден в том смысле, что он может быть продан или куплен не в произвольный момент времени, а только в некоторые, возможно, случайные, моменты времени. Другой причиной неликвидности могут быть транзакционные издержки, связанные с покупкой или продажей товара. Этот случай был рассмотрен в известной статье [1]. В ней рациональный агент принимает решения о том, каким образом перераспределять свое благосостояние между вложением в безрисковые или рискованные активы и покупкой товара длительного пользования, а также моментом совершения этой покупки. Момент покупки может быть выбран произвольным образом.
Однако в присутствии транзакционных издержек при торговле товаром длительного пользования, агент ждет наиболее выгодного момента для торговли. Авторы [1] отмечают, что для лучшего соответствия реальности, модель должна учесть такую осбенность торговли товарами длительного пользования, как случайность возможных моментов сделок.
В данной работе мы концентрируемся на неликвидности, связанной с моментами сделок и пока исключаем транзакционные издержки из рассмотрения. Мы немного отходим от привычных для портфельной теории рамок моделей САРМ или ССАРМ, учитывающих возможность вкладывать средства в рискованные активы. В представленной здесь модели отсутствует риск непредвиденного изменения цен на какие-либо товары и активы. Траектории всех цен здесь известны заранее. Однако, для каждого отдельного агента на рынке присутствует риск, что сделка в нужный момент будет невозможна и придется ждать подходящего предложения. Мы предполагаем, что моменты возможных сделок имеют пуассоновское распределение, как если бы каждый агент ожидал встречи с контрагентом для совершения сделки купли или продажи.
Модели динамики цен на актив, напоминающих «пузырь» в основном опираются на случайный характер динамики самих цен или фундаментальных показателей таких, как дивиденды. Представляет интерес смоделировать ситуацию с нетривиальной динамикой ценового «пузыря» в системе с рациональными агентами, умеющими точно предсказывать цену.
Основная часть работы посвящена исследованию рановесия на рынке недвижимости. Показано, что динамика цены может иметь форму «пузыря», несмотря на то, что в рамках модели все агенты этот пузырь предвидят совершенно точно и по срокам и по размерам.
2. Модель поведения потребителя
2.1. Динамика недвижимости и сбережений
Рассмотрим потребителя, который получает доход в виде процента по сбережениям и от продажи недвижимости, а расходует его на покупку новой недвижимости и обслуживание имеющейся. Особенность описания рынка недвижимости в модели состоит в предположении о его неполной ликвидности. Агент не всегда может сразу продать то, что он имеет или найти подходящую покупку. Ему приходится ждать момента, когда он может осуществить сделку2. Других особенностей рынка ликвидности -разнокачественность и ограниченная неделимость, большие транзакционные издержки и т. п. - мы здесь не учитываем.
Пусть M(t) - величина покупки (при M > 0) или продажи (при M < 0) недвижимости, если сделка происходит в момент t. В этот момент объем недвижимости агента N(t) скачком меняется на величину M (t), а сбережения S(t) опять-таки скачком изменяются на величину -p(t)M(t). Здесь p(t) -текущая цена недвижимости. Функция p(t) предполагается неслучайной , настолько гладкой, насколько потребуется, отделенной от 0 и не слишком быстро растущей при t ^ да .
p(t) > pm > ^ <г, г> 0 (2.1)
p(t)
Согласно принципу рациональных ожиданий считается, что агент знает правильный прогноз этой цены на все будущее время. Остальные цены, которые появятся в модели, считаются постоянным.
2 Более подробно процесс торговли с поиском подходящих объектов для сделки был смоделирован и проанализирован в [3].
3 Обоснование - в последнем разделе
В промежутках между сделками недвижимость не изменяется, а сбережения растут за счет непрерывного начисления процента по фиксированной ставке р. Кроме того, считаем, содержание недвижимости
В рамках модели агент выбирает только величину Ы (г) - величину покупки / продажи если г - возможный момент сделки. Если считать, что время ожидания следующей сделки не зависит от S(г) и N(7) и того, сколько эту сделку уже ждали, то можно считать, что моменты сделок образуют пуассоновский поток ц(г) с частотой Л. Этот процесс имеет кусочнопостоянные реализации, которые мы будем считать непрерывными слева. Ассоциированный с процессом ^() поток сигма-алгебр обозначаем через {Е}г>0 , а естественную меру (в соответствии с [2]) на {Е}г>0 - через Н. Все встречающиеся ниже ожидания являются интегралами именно по этой мере.
Назовем неупреждающим управлением Ы(г) є R1 процесс, измеримый относительно {Е}г>о с непрерывными слева реализациями, ограниченными на каждом конечном интервале.
Теперь динамику состояния агента £ (?), N (?) можно описать стохастическими дифференциальными уравнениями
требует непрерывных расходов4 qN (г),
(2.2)
dN (г) = Ы (г) d ц(г)
(2.3)
4 Можно считать, что это все текущие потребительские расходы, а реальное текущее потребление дополнительно к размеру недвижимости.
V е[0,да) , 8(0) = 80, N(0) = Ы0, (2.5)
В качестве решений (2.3)-(2.4) мы снова рассматриваем непрерывные слева случайные функции N(0 и S(t). Тогда можно считать, что
dл(t) = dt ^5(t -тк) (2.6)
Ч й0
где 5( ) - функция Дирака, а tk - случайные моменты пуассоновского потока
^, и искать ^) и S(t) для каждой реализации ^к} как обычные решения
дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями, а на разрывах доопределять их пределами слева. Из такого построения очевидно следует, что 8 ^), N ^) будут неупреждающими процессами, подобно (2.2).
N(г) = N(г - 0), N(г) = Е{N(г) ,да)}, 8(г) = 8(г - 0), 8(г) = Е{8(г) ,да)},
(2.7)
2.2. Значения в точках разрыва, как выражения условий информированности
Процесс, описываемый уравнениями (2.3) - (2.5) можно реализовать и непрерывными справа функциями. Все зависит от того, как определить значения на разрыве для исходного «генератора случайности» - кусочнопостоянной функции ^(t). Содержательно эти процессы отвечают разным условиям информированности агента: Процесс, непрерывный слева, который
мы и будем изучать, соответствует ситуации, когда агент выставляет объявлении о продаже или покупке недвижимости (возможно, меняя условия каждый день), но когда появляется контрагент, сделка заключается согласно объявлению. Так происходят, например, сделки на бирже, работающей по правилу двойного аукциона. В случае процесса, непрерывного справа объявление играет роль рекламы, а определение объема сделки происходит по факту появления контрагента.
Более наглядно эта разница проявляется при традиционном подходе к решению задачи стохастического оптимального управления методом динамического программирования. Процессу непрерывному справа соответствует уравнение Беллмана с усреднением максимального значения, а процессу непрерывному слева - уравнение с максимизацией условного среднего. Собственно и приводимые ниже результаты исследования модели были первоначально получены из уравнения Беллмана. Однако если доказать существование единственного непрерывного решения уравнения Беллмана для рассматриваемой задачи сравнительно несложно, то обосновать корректность его асимптотического разложения при большой частоте сделок, как всегда, очень затруднительно. Поэтому мы избрали здесь несколько необычный подход на основе достаточных условий оптимальности.
Процесс непрерывный справа (с торгом по факту сделки) содержательно может показаться более реалистичным и такой подход широко распространен в моделировании скачкообразных процессов [4], [5]. Однако, при увеличении частоты продаж такое описание приводит к тривиальной и нереалистичной динамике детерминированной задачи. В то же время процесс непрерывный слева имеет при увеличении частоты продаж нетривиальный предел, который мы и предлагаем рассматривать как модель рынка недвижимости (см. последний раздел).
2.3. Условие кредитоспособности
На выбор неупреждающего управления М (г) наложим еще два естественных ограничения. Первое состоит в том, чтобы недвижимость оставалась неотрицательной, причем, очевидно, достаточно требовать этого только в начале процесса и после каждой сделки.
N(т + 0) > 0 (2.8)
где т начало процесса или момент сделки.
Второе связано с ограничением на 8^). Пока мы не предполагали, что 8 ^) > 0 . Отрицательные сбережения можно трактовать как кредит, взятый под тот же процент р, и допускать возможность, что этот кредит будет возвращен в результате продажи недвижимости5. Мы, однако, предположим, что агент ведет себя достаточно осторожно, чтобы не допустить неограниченного роста задолженности. Предположим, что задан сколь угодно большой, но конечный, лимит кредитования L > 0
Утверждение 1. Если неупреждающее управление М() обеспечивает неотрицательность недвижимости (2.8), то превышение лимита кредитования, т.е. событие
8 (t )<^ (2.9)
при некотором t > 0, имеет нулевую вероятность тогда и только тогда, когда р8(т + 0) > qN(т + 0) (2.10)
где т начало процесса или момент сделки.
Доказательство: В силу (2.4), с момента т последней сделки или начала процесса и до следующей сделки сбережения меняются по закону
5 Не следует смешивать это с ипотекой, при которой кредит может быть погашен самой недвижимостью, а не выручкой от ее продажи.
8 (()= qN (т +0) + (р 8 (т +0) - qN (т +0)) £р('-т) (2 11)
р р Если р8(т + 0) - qN(т + 0) < 0, то в силу (2.11) 8(t)^-да при t ^да . Но
время ожидания следующей сделки t - т имеет пуассоновское распределение и, поэтому, с положительной вероятностью оно может стать достаточно большим, чтобы выполнилось (2.9). Напротив, если р8(т + 0) - qN(т + 0) > 0, то в силу (2.11) вплоть до следующей сделки
(р 8 (т) - qN (т)) ер|^-т)
р8^) - qN^) = р8(t) - qN^^ ^-------------------> 0, (2.12)
р
откуда в силу (2.8) следует, что событие (2.9), между сделками не выполняется с вероятностью 1.
2.4. Переменная богатства
Ясно, что в отличие от сбережений величина богатства потребителя W ^) = р^) N ^) + 8 (t). (2.13)
не изменяется в результате сделки, поэтому ее удобно использовать в
качестве фазовой переменной вместо 8 ^). Кроме того, вместо цены
недвижимости р^) удобно использовать величину
s(t) = р(€) + ^ > 0 (2.14)
р
Выразив сбережения 8 ^) через W (t), и подставив в (2.4), получим уравнение динамики богатства
йЖ(t) = (р Ж(^ -рs(t) N(^ + s,(t)N(t)) А, (2.15)
которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение при каждой реализации скачкообразного случайного процесса (2.3).
Утверждение 2. При выполнении условий кредитоспособности
0 < Ж(0 < Ж(0) е(р+1)‘, 0 < N(t) < е(р+1}‘ . (2.16)
Рт
Доказательство Из условия N(t)> 0 и (2.10) следует, что 8(t)> 0, а тогда из (2.13) следует, что
Жа) > р(1)Nа). (2.17)
Поэтому из (2.15), (2.14), (2.1)
<р Ж (I)+Р) р(>) N(1) <(1+р)Ж (I) (2.18)
Из (2.18) получается первое неравенство в (2.16), а из него и (2.17), (2.1) следует второе.
Условие кредитоспособности (2.10) в новых перменных (2.13), (2.14) дает вместе с (2.8) требование на начальные условия
Ж(0) > 5(0)N(0) > 0 (2.19)
и
— Ж (!) > N^) + М (!) > 0 ^ (2.20)
Хотя выполнения этого неравенства достаточно требовать только в момент
сделки, в непрерывном слева пуассоновском процессе событие сделки
относится к будущему (^ + 0)), поэтому для неупреждающего управления
М(0 мы требуем выполнения (2.20) во все моменты. Заметим, что из (2.20),
(2.18) вытекает ограниченность М^) на каждом конечном интервале и
экспоненциальная оценка для его роста при t ^ да аналогичная (2.16).
При задании неупреждающего управления М () уравнения (2.3) - (2.5)
задают меру на выпуклом множестве LC пар кусочно-непрерывных и
непрерывных слева, ограниченных на каждом конечном интервале функций
Ж, 8: [0, да) ^ R1 с фиксированными начальными значениями,
сосредоточенную на решениях (2.3) - (2.5).
2.5. Задача потребителя
Итак, формально для потребителя вопрос сводится к выбору трех неупреждающих процессов М ^), N ^ ),Ж ^), удовлетовряющих условиям (2.3), (2.15), (2.20), реализации которых принадлежат подпространству
ЬС □ | f ^) = f ^ - 0),^ир {f (t)Пр+г)I}<да |
(2.21)
пространства кусочно-непрерывных функций / : [0, да) ^ Я1. При этом начальные условия N (0),Ж (0) фиксированы и удовлетворяют (2.19).
Считаем, что интересы потребителя заключается в максимизации
ожидаемой полезности от обладания недвижимостью е{| ^(N(т))е 5хАт|. Мы
рассматриваем случай полезности с постоянным относительным отвращением к риску (СЯЯА), в частности, логарифмической полезности. Ее выражение имеет следующий вид
Ма - 1
и(Ю = —~а^- > а е(0,1), (2.22)
Такая функция полезности часто встречается в анализе финансовых рынков и формирования оптимального портфеля (см. классические работы Каратцаса [6] и Мертона [7]). Из (2.16) следует, что при 5> а(р + г) функционал
определен для любого неотрицательного N(•) е ЬС, (2.21).
3. Оптимальное поведение торговца
Анализ задачи, сформулированной в предыдущем разделе, проведен по аналогии с методом, предложенным в [8] для случая винеровского процесса. В данной работе случайная составляющая имеет скачкообразный характер и анализ несколько отличается. Кроме того он проводится более строго, чем в [8] и [11]6. Мы опираемся на общее соображение о том, что для нахождения оптимального решения при ограничениях достаточно найти седловую точку функционала Лагранжа без ограничений. В работе [14] показано, что оптимальная стратегия покупки
М (!,Ж ) + N = Ж, г(^) = Кр! . (3 1)
определяется из решения уравнений
_ —Ь! у (t)а-1 да 1
(л + §) + ЛеЛ1 |е_Лт((1 -У(t))г(t) + г(т)У(т))а г(т)'-а и(т)Ат = и(3.2)
лгл,|е.л,((!-у(t))г(0+а-(т)у(т)Г (г(tг(т))в(т)а,-)
(л + 5)
(3.3)
х(у(1 ) -1) = 0.
X
6 Там аналогичные условия голословно объявлены необходимыми.
Первое из них задает функцию и(7), а второе по и(7) определяет функцию у (7) и, как следствие, стратегию покупки (3.1).
4. Равновесие рынка недвижимости в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок
4.1. Приближенное выражение для оптимальной стратегии в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок
В соотношениях (3.2), (3.3), определяющих оптимальную стратегию (3.1) можно выделить предельный случай, в котором стратегия очень просто выражается через состояние и допускает агрегирование для большого числа разнотипных независимых потребителей.
Во-первых, в (3.2), (3.3) не возникает никакой особеннсти при а ^ +0. Поэтому полагая а = 0 мы получим соотношения
которые дают приближенное выражение для оптимальной стратегии агента, имеющего функцию полезности (см. (2.22))
(4.1)
Х(Ж) -1) = °.
(4.2)
>0
N -1
и (N) = Нт------------
а^+° а
1п( N)
(4.3)
Во-вторых, будем считать частоту сделок Л много большей, чем остальные параметры модели - 5, р, г, имеющие размерность время1. В этом случае для оценки интегралов в (4.1), (4.2) можно применить
асимптотическое разложение Лапласа7. Оно дает выражения
г Л 2 (г) и (г) еЛ^ ^ 1
и------------V ---------------------------Л г = и (t ) + —
' I1 - У (г))2 (г) + 2 (г) У (г) Л
2
(,)
Л,
+
4(г)
Л2
I
Л( 2 ( , )-2 (г)) и (г) е А( г)
(1 - У(г))2 (г) + 2 (г) У(г)
Л г= и (1 ] к(' > + /.(')
2
(г)Л Л2
Отсюда в старшем порядке при Л ^ да из (4.1), (4.2) получаем
^ IЛИг)](-1+у(,))и(,) Л
е 1Ш ] + -и (г ) = 0 (4.4)
У (,) 2 (г) Лг
■ +
Л л
и (г)—2 (г) v ’ Л, w
У(,) 2 (,)
х(у(г) -1) = 0.
(4.5)
-5 г
е
>0
Нетрудно проверить, что в обоих режимах условия дополняющей нежесткости (обращении в 0 первого или второго сомножителя в (4.5)) из
Ли
(4.4) получается одно и то же уравнение на и(г):-----+ е~ы = 0. Единственным
Лг
7 Интегрировать по частям так, чтобы большое Л уходило в знаменатель. Исходя из соотношений (4.1), (4.2) по теореме о неявной функции можно показать, что возникающие при интегрировании по частям производные существуют и остаточные члены равномерно ограничены.
решением этого уравнения, удовлетворяющим некоторому техническому условию, сформулированному в [14], служит функция
и(г) = — е~ы 5
Подставляя эту функцию в (4.5) получаем выражение для у (г)
Л-2 (, )>-8 2 (,)
Лг2 (г )<-5 2 (г)
Отсюда получаем приближенное выражение для оптимальной стратегии потребителя в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок, которое и будем использовать в дальнейшем
N + М = X (г, Ж) = min {к(г, 5) ,1}, (4.6)
где
г
к( г, 5) = 5
тах <
0, р-
А
А
5(0
Л-1
(4.7)
1
На основе найденной стратегии можно построить выражения для динамики спроса и предложения совокупности агентов с различными характеристиками начальных запасов и предпочтения времени.
4.2. Детерминированное описание поведения макроагентов
Допустим сначала, что имеется много агентов с одним и тем же предпочтением времени 5 (и одной и той же полезностью (4.3)), примерно одинаковыми начальными значениями сбережений и недвижимости и независимыми потоками моментов сделок с одной и той же частотой Л. Согласно оптимальной стратегии поведения (4.7) все они будут действовать одинаково. Такую совокупность агентов назовем макроагентом. Сбережения, недвижимость и покупки макроагента суть суммы соответствующих величин по (микро)агентам, составляющим макроагента. А, поскольку это суммы независимых величин одного порядка, по закону больших чисел при достаточно большом числе (микро)агентов, их можно считать детерминированными величинами равными своим средним значениям.
Для одного агента период [г, г + Л ] с вероятностью 1 -ЛЛг + о(Лг) сделка не происходит, и сбережения прирастают на Л (р £ (г) - pN (г)) + о(Л); с вероятностью ЛЛг + о(Лг) сделка происходит и сбережения изменяются на величину приращения стоимости недвижимости (см. (2.4)). Поэтому условное среднее значение сбережений в момент г + Лг, при заданных £ (г) и N (г) выражается как
(1 - ЛЛ) (£ (г) + Л (р £ (г) - q N (г))) + ЛЛг (£ (г) - р(г )М (г)) + о(Лг), (4.8)
Усредняя выражение (4.8) по реализациям £ (г) и N (г), получим выражение для среднего значения Е{£(г + Лг)}. Аналогично из (2.3) находим (г+Лг)}.
В дальнейшем мы будем использовать только средние значения, а не реализации, поэтому для средних значений используем обозначения Е^(ї + А)}= S (ї), Е{^(ї + А)} = N(ї) и Е{М(ї + А)}= М(ї). Тогда для динамики средних с учетом (4.6) получаем
М(ї) = (Б(ї) + рт(ї))т1П 5) ЛІ - N(ї) (4.9)
АЯ(ї) = рЯ(ї)-qN(ї)-Лр(ї)М(ї). (4.10)
А
АN (ї) = ЛМ (ї). (4.11)
А
Наконец, поскольку уравнения (4.9) - (4.11) линейны, мы получаем для суммарных показателей макроагента уравнения того же вида. Итак, поведение макроагентов и изменение их состояния описывается детерминированными уравнениями (4.9) и (4.10), (4.11).
4.3. Разделение (макро)агентов на потребителей и спекулянтов
Предположим теперь, что совокупность участников рынка распадается на группы, которые можно считать макроагентами. Далее будем говорить только о макроагентах, поэтому приставку «макро-» позволим себе опускать. Считаем, что агентов (макро) на рынке тоже много. Они могут различаться величиной предпочтением времени 5 (при одной и той же полезности (2.22)).
Хотя выражение (4.9) формально описывает оптимальную стратегию при любом знаке величины к(ї, 5), будем исследовать модель в предположении, что
к(г, 5) < да.
Это предположение естественно по следующим соображениям. Совокупные расходы агентов на покупку недвижимости не могут расти быстрее совокупных сбережений, темп роста которых, в свою очередь, не превосходит р (см. (4.10)). Предложение же недвижимости в модели, по крайней мере, не убывает (см.ниже). Если окажется, что к(г,5) = да, т.е.
—s(t) >р ,то у агентов не хватит денег, чтобы купить всю предлагаемую s(t) Л,
недвижимость и оплатить ее содержание.
Из (4.9) следует, что оптимальные стратегии агента существенно различаются в зависимости от соотношения между к(,, 5) и 1: в каждый момент времени агенты делятся на два класса - те, у кого к(,, 5) < 1 и те, у кого к(,, 5) > 1.
Агенты первого класса (с небольшими значениями 5 и 0 <к(,, 5) < 1) ведут себя как стандартные потребители. Они диверсифицируют распределение своего богатства (£(,) + р(,)N(,)) между вложениями в полезный актив
N(0 +М(,) и вложениями в доходный актив (£ (,) - р(,) (N (,) + М (,))).
Агенты второго класса (с большими значениями 5 и к(,, 5) > 1) ведут себя как спекулянты. Они вкладывают все средства в недвижимость в расчете на достаточно быстрый рост цен на рынке недвижимости.
4.4. Равновесие рынка недвижимости
Основное наше предположение относительно рынка недвижимости состоит в том, что цена недвижимости р(,) в каждый момент времени выравнивает спрос и предложение на эту недвижимость.
Спрос агентов на недвижимость складывается из суммы величин (4.9) по всем агентам. Для агентов с малыми 5, то есть 0 <к(і, 5) < 1, обозначим сбережения через (і, 5), недвижимость - через Ns (і, 5), а покупку недвижимости - через М,. (і, 5). Для них оптимальная покупка выражается как
М,(/, 5) + N,((,5) = ((,5)+ М,((,5)Р(1 >К*)’8) . (4.12)
,(0 ,(і)
Для агентов с большими 5, то есть к(і, 5) > 1, обозначим сбережения через
Sb (і, 5), недвижимость - через N (і, 5), покупку недвижимости - через Мь (і, 5). Для них оптимальная покупка выражается как
Мь (і, 5) + Мь (і, 5) = Sb (і, 5)-^ + Мь (і, 5) ^. (4.13)
,(і) 5 0)
Граничным значением параметра 5 является то, при котором к(і, 5) = 1. Эта граница, которая обозначается d (і), выражается в виде
d (і) = р—К 7,(г). (4.14)
, (і) dt
В период времени [,,, + Л,] на рынок выходит доля Л Л, (микро)агентов из
каждого макроагента. Поэтому совокупный спрос на недвижимость в единицу времени составит величину
Л
^ d (і ) +ад ^
| (MS(Х5) + ^5))d5+ | (Мь(t,5) + М(А5))d5
d (і)
Предложение недвижимости в модели складывается из двух частей: предложения продаваемой агентами уже имеющейся у них недвижимости (вторичный рынок) и предложения новой недвижимости производителями (первичный рынок). Поскольку агенты, выходящие на рынок, продают там всю свою недвижимость, предложение на вторичном рынке в единицу времени составляет величину
Л
^ — (,) +ад ^
| Ns (,, 5)—5+ | Nb (,, 5)—5
— (,)
Считаем, что предложение первичного рынка независимо от цены растет
п,
с постоянным темпом п ив момент , составляет величину V е где V -нормировочный параметр, задающий единицу измерения недвижимости.
Цену первичного и вторичного рынков считаем одинаковой, поэтому она определяется равенством спроса и суммы предложений вторичного и первичного рынков.
—(,) +ад
| (М,(А5) + Ns(А5))— 5+ | (Мь(t,5) + ^(t,5))— 5
—(,)
| Ns (,, 5)—5+ | Nb (,, 5)—5-
0 — (,) Л (4.15)
Для каждого агента справедливы уравнения (4.9), (4.10). Для цены должно выполняться уравнение (4.15). Это и задает систему уравнений модели. Она упрощается введением новой переменной «приведенного богатства»
в, 5) = |5(t, 5) + р^) М *(t, 5), 5 ^ — (tX
^ ) (,, 5) + р(,) Къ (,, 5), 5 > — (,).
(4.16)
Из этого соотношения и (4.12), (4.13) можно выразить величины 5*(,,5), М8 (,, 5). через N * (,, 5) и В(,, 5), а Бъ (,, 5), Мъ (,, 5) - через Ыъ (,, 5) и В(,, 5). Подставляя полученные выражения в уравнения для динамики недвижимости (4.11) верные при всех 5, получим линейные дифференциальные уравнения для Ыъ (,, 5) и М (,, 5) в правые части которых входит В(,, 5). Интегрируя эти уравнения, в старшем порядке при Л ^ да получаем конечные равенства
В в (, ^3)^?п, 5 в (, ^5) п,
Ыъ (,, 5) = ъ —, N (,, 5) = —*(, )е , которые позволяют выразить все *(,) * — (, )*(,)
искомые величины через В(,,5). Уравнения (4.10) при этом сводятся к
одному уравнению на В(,, 5)
Интегрируя это линейное уравнение при заданном начальном распределении богатства В(0,5) и подставляя результат вместе с найденными ранее выражениями в (4.15), получаем условие равновесия рынка в виде.
я
—В(,, 5) = —В(,, 5)тт {5, — (,)} + В(,, 5) (р- п).
я,
(4.17)
—Т +
(4.18)
Найдя d(t) и *(,) из соотношений (4.18), (4.14) мы сможем определить искомую траекторию равновесной цены р(,) из (2.14).
Начальное распределение приведенного богатства В(0,5) нужно считать заданным. Можно считать заданным и начальное значение цены, а, значит, и значение *(0).
Что же касается значения Л(0), то, из приводимых в ниже результатов расчетов и асимптотического разложения следует, что эту величину, возможно, надо искать из условий продолжимости и ограниченности решения для Л (,) при , ^ да.
5. Приближенные и асимптотические решения системы уравнений
модели
5.1. Разложение в ряд Тейлора при малом времени
Рассмотрим уравнение (4.18) на отрезке времени [0,,] при малом ,. Считаем, для простоты расчетов, что в начале у всех агентов богатство одинаково и составляет
В(0,8) = В . Это позволяет вычислить второй из интегралов в уравнении (4.18).
о —(0)+р,—п, / 1
= —е—з-------1— (,)(еш(0) —(0) —1) — ,еы(0) — (,)2 + 2е,—(0)— (,) +(,)2 —
— 2— (,) +,2— (0) Л (, )2 — 2,— (,) Л (0) — Л (0 )2 Л (,) ,2)
Оставшийся интеграл в уравнении (4.18) можно вычислить или упростить, если предположить, что функция Л(,) монотонна на промежутке [0,, ]. Поэтому рассматривается два случая
1) d(t) возрастает на промежутке [0,, ].
В этом случае шт(ё(м), ё(,)) = й(ы), тогда
(р—п),—J шт(а(и ),а(, )) —и (р—п), —J а(и ) —и
В(0,а(, ))е 0 = Ве 0
Введя обозначение
,
R(t) = | а(и)—и
0
Получаем, что второй интеграл в уравнении (4.18) складывается из двух интегралов
| а (т)^—- а (т^ е ^)—йм+^)—т,
{ а (т)2 ^—а (т) ^ е -^)—,—(т)+т— (т)—т.
Если первый из них из них обозначить как
{ а (т)[ — а (т) | е-R(т)-td(т)+т—(т)—т = ф(,),
Лт
то второй выразится как
[ а (т)2 в {—а (т)1 е-^)—м(т)+т —т = ——ф(,)+а (,)—а (,) е~R(t>
0 у — т J
С учетом полученных выражений уравнение (4.18) принимает вид
1 2
0 = —Vа(,) *(,)+а(,)вI а(0) -+—+а(0)——а(,)——а(0)а(,)-| е
, ,
^—,а(0)+р,—п,
+
+(
—
р,-п,
+
(4.19)
+
( ( В
л
7 + ,
V И J
-,а(0)+р,-п,
—а (, )2 ве^-^}— в I ф(,)+-21 е^ — а (,).
—
Л,
е
Переменная * (,) определяется из (4.14)
—^(О = *(,) (р——(,)).
—
Из уравнения (4.19) можно выразить производную —а(,), затем
Л,
разложить оба уравнения (4.19) и (4.14) в ряд Тейлора до третьего порядка в окрестности , = 0 и приравнять коэффициенты при ,к, к = 0,1,2 в правой и
левой части. Эти коэффициенты содержат — а(,)
Л,
Л2 , —? ^)
—3 л-
—а(,)
а
Л
также —*(,)
Л2 ■—?*)
Л3
• —3 * >
, поэтому равенства для коэффициентов
позволяют их выразить через параметры системы и начальные значения Л (0), *(0). Отсюда можно вычислить разложение
,2 ,3
а(,) * а (0) + D (а)(0), + г>т (а)(о)- + г,"' (а)(о)-
, 2 ,3
*(,) * *(0) + Б(*)(0), + г'-] (*)(0)- + г<51 (*)(0)-
Здесь и ниже символы Г( к)(—)(0) обозначают, для краткости, выражения
—к
-Ты— (,)
, а символы Этк (В)(а, Р) обозначают
дхду
в( X У)
. Также для
х=а, у=р
,=0
2
д
разложения требуется знать производные ф(г) при t = 0. Эти выражения находятся непосредственным вычислением
Ф( 0) = 0,
D (ф)( °) =о (d)(0),
D[2) (ф)( о) = -2а (о )2о (а)(о)+а (о) D(2) (а)(о)+D (а)(о)
R (о ) = о, о (ІІ)(о )=а (о).
Таким образом, можно получит следующее разложение
а (t ) = а (о )+(-6у ^ (о)+ва (о )2 )^ -(і2в а (о) я (о)+збв я (о) п - 5 ва (о )3)
з\ Г
36В
+
+ (і7В2а(о)4 + 18оу2я(о)2-Ю5уа(о)2 я(о)В -9оуя(о)Вп2)
t3
27о В2
я (t) = я (о) + я (о)(р- Л (о))
и+
^( і /л\2 2 ] ^
41 - Л (о )р + Р2Г] я (о) + я (о )2 В
У
\Л
t2 +
+
р+Л(о) р-Л(°)у-Л(о) — я(о)+[^р+3-9Л(о)](я(о)) в
\\
2 V
(4.2о)
Аналогичным образом получаются разложения и во втором случае.
2) d(t) убывает на промежутке [0, t ],
В этом случае шт(й(и), й(г)) = й(г), тогда
г г
(р-п)г-| шт(а(и ),а(г ))йи (р-п)г-| а( г) й
в(о,а(/))е
= Ве
= Be(Р-”)t-t а^)
2
3
t
Первый из интегралов в (4.18) находится непосредственным вычислением, если учесть, что
!вег (а(х)-р+и)^ а (т) |а (т)|-а (г) а (т)+а (г )2 - ^а (г) |й т=
ч2 й йг
13
=г?а (г)(а (г) г+2)е
—а(г )г+рг-пг
^а (г)(а (0)2 г2 + 2 + 2г а (0) — а (г) г — а (0) а (г) г2) е" а(0)+рг—пг +
В ((1 + а (г) г) е й(г)г+рг—п — (1 + г а (0)) е -а(0)+рг—пг) й а (г)
Тогда уравнение (4.18) для порога предпочтений принимает вид
й () V а (г)2 5 (г) г3 — а (г) В (а (г) г + 2) е ^г)г — а (г) В (а (г) г — 2) йга (г) г В (1 + а (г) г) е~л[г)г — г В
Аналогичным образом, как и в случае 1), отсюда можно получить разложение функции й(г) в окрестности г = 0.
а (г) = а (0)+
( 5
V
+(Зба(0) — ЗВ(а(0)+Зп)5(0^г2+(за(0) — ~в s(0^г
((1 р2I V 1
5(г) = 5(0)+ — й(0)2 — й(0)р +-5(0) +— 5(0)2 г2 + (р — й(0))5(0)г +
I 3 2 В
270В
а (0 )4
+
7 vd (0 )2 -Vп
2 Л
18В
ЗВ
ЗВ
г3 +
1
(( „3
+
Л
\Л
рт+р й (0 )2 — р- й (0)—т08 й (0 )315 (0 ) + [р + 3—8 й (0 )15 (0 )2 В
п 8
Л
(4.21)
3
г
Если сравнить разложения в случаях 1) и 2), то они совпадают в трех старших порядках. Различия проявляются в слагаемых более высокого
порядка по t. Полученные разложения при определенных значениях дают траекторию цены недвижимости, которая имеет ярко выраженный максимум.
Рис. 1 Приближенное решение для цены на малом промежутке времени.
Вывод о существовании равновесной цены с максимумом подтверждается численными расчетами. Для этого интегралы в (4.18) были приближены суммами, а производные разностями. Из этого решения можно рассчитать значения функции р(?). Результаты расчетов представлены на графике.
О
I
1.1 Численное решение для начала процесса
<0 0.999*
0.9994-
0-9992:
0.9996
1.0004
1.0002:
10006
Рис. 2 Зависимость цены от времени, найденная с помощью численного решения уравнения (4.18).
Видно, что динамика цены имеет ярко выраженный пик. То есть имеет, вид, напоминающий финансовый пузырь.
Следует, однако, отметить, что использованный способ расчета простым алгоритмом по равномерной сетке и явной схеме, может оказаться неустойчивым на больших отрезках времени.
1.2 Асимптотика решения при большом времени
1.2.1 Предпосылки асимптотического разложения
Попробуем показать, что есть определенные основания рассчитывать на продолжимость до бесконечности решения системы (4.18), (4.14) имеющего «пузырь». Для этого мы, предполагая, что решение существует, найдем его асимптотику при г ^да. Поскольку ключевая неизвестная величина d(г) является слагаемым в выражении для темпа роста эффективной цены недвижимости s(t) (см. (4.14)) естественно рассматривать только решения, на которых эта величина ограничена вместе с производными и имеет конечный предел при г ^ да.
Присутствие в системе своеобразной «срезки» тт^(и), d(t)) показывает, что
и I г
для анализа существенны участки монотонности функции d(г). Простейшим предположением будет предположение о монотонном убывании d(г). Такие решения, видимо, существуют. (Во всяком случае, их асимптотику найти проще всего). Однако решения с монотонно убывающим d(г) не могут давать
«пузырь» цен. Чтобы пузырь (локальный максимум s(t), как на рис. 1) имел место, в силу (4.14) необходимо, чтобы траектория d(г) пересекала уровень п снизу вверх, т.е. чтобы d(г) имела возрастающий участок.
Следующим по сложности будет предположение о монотонном возрастании d(г). Однако, используя метод, подобный тому, который приведен ниже, можно показать, что решений со строго монотонно возрастающим и ограниченным d (г) у системы (4.18), (4.14) нет.
Будем поэтому рассматривать более сложный случай, когда предельное значение d (да) является единственным глобальным минимумом функции d (г) и при г ^ да функция d(г) убывает. Иначе говоря, мы считаем, что существует
9 > 0, такое что
d(г) < штd(и), dd(г) < 0 при всех г >9 (4.22)
0йи й9 dt
Решение с такими свойствами может демонстрировать «пузырь».
Кроме того, предположим, что агентов с предпочтениями 5 на малом отрезке [0,Б] нет. Величину Б считаем меньше всех остальных параметров системы, имеющих размерность обратного времени.
1.2.2 Асимптотическое разложение интегральных слагаемых
В уравнении (4.18) первое интегральное слагаемое, при достаточно большом г разбивается на два интеграла:
• интеграл по отрезку [0,9]
Экспонента, стоящая в этом интеграле, оценивается сверху как
- т d(u)йи - М(г)+^ )г
е 0
- г шш^и)- (г- г ^(/) - (г- q) шш d(u)
I е и т г ] е 0Т иТ «
Поэтому весь интеграл (4.23) по модулю не превосходит величины
-(г-9) шт d(u)
з 0<и<9
} В(0Дх))
у-d(х) d(х)
d х у
Л С (d
d(t)2 - d(х)d(t)
■ —
V
\л
dt
ад
у у
d х
интеграл по отрезку [9, г]
d | ( ( d -]"min(d(u),d(х))(Ы-М(х)+d(х)1
|в(0, I — ^х) I ^х) d(t)2 - ФЖО -1 — d(t)
dt
d х
На отрезке [9,г] в силу (4.22) шт(d(и), d(х)) = d(х), поэтому он принимает
вид
/В(0^(х))I ^d(х) |d(х) d(t)2 -d(х)d(t)-I Вd(t) I Iе-«х>А
d х
d
dt
(4.24)
Этот интеграл можно преобразовать, заменив переменную интегрирования х на 5 = d(х) и дважды проинтегрировав по частям с внесением е-5 экспоненты под знак дифференциала. В результате получится выражение
( ( л \ Л -г 1(9)+рг-пг
в(o,d(9))(-d(9) d(г)г+(1+гd(г) -—d(г)|-2d(г)d(9)| —~2—+
( d Л _ &(У+р1-пг
+В ( 0,d ( г d ( г )2 +(1 + г d ( г )) а d ( г ^ е—[2--+
/ — \ -г 1(9)+рг-пг
+г>{2)( в)(o,d (9)) d (9)(-d (г) d (9)+d (г )2-—d (г )|] - +
-+рг-пг 1 + d ( г ) D( 2)( в )( 0,d (г )) ^—2-~£ 6 ( г )-
" ?!)( 2 В (0'5) d {г ) + 5( —1 (г)-d (г)2 + d ^)5] ^В)(0> 5) +
+2( 2! (г) 5 - 1 (г )2 + — d (г)] D( 2) (В) (0,5)| еи+р-п)^5
В этом выражении у интеграла верхний предел интегрирования меньше нижнего. Но сам промежуток интегрирования конечный и отделенный от нуля (так как мы предполагаем, что на отрезке [0,Б] агентов нет). Поэтому интегралом пренебрегаем, как малым членом разложения, порядка меньше, чем -2. В итоге приближенное выражение (4.24) имеет вид
1 В(0,1(г)) — 1(г) 1(г) -d(г)d(t) + d(t)2 -—d(t)
* V —г у V —г
е0 (г
( { л -^ 1(9)+рг-п1
* В (o,d (9))|-d (9)2d (г) г+(1+г d (9))^d (г )2-—d (г )^-2d (г) d (9)] е—2—+
/ 1 \ - 1(г +рг-пг
+В(М(г^ d(г)2 +(1 +гd(г)) — d(гЛ е——2----------------+
ч2 ( \I е-1(9)+рг-^
^2
+£(2)(В)(м(9))d(9)^-d(г)d(9)+d(г)2 - —с1 (г^ ~2 +
-1(г )г+рг-пг »
+1 (г) В)(0,1 (г)) 1 (г)
• В уравнении (4.18) присутствует еще один интеграл
а""
І „-і5
В силу отсутствия агентов с параметром предпочтения 5 на отрезке [0, б ], он равен
Это выражение можно дважды проинтегрировать, внося экспоненту под знак дифференциала. Если в оставшемся после этого интеграле предположить подынтегральное выражение ограниченным, интегральный член будет меньше остальных, так как отрезок интегрирования отделен от нуля, и интеграл содержит как множитель экспоненту с большим отрицательным показателем. Таким образом, получается приближенное разложение для
(4.25)
(4.25)
+в (м (°))[-а (°) а (*) і+(1+і а (0))[а (ґ) -—а (і н-2а (ґ) а (0)! -р-+
! /7 \ -г1(
+02 (В)(0,1 (0))1 (0 )(-<) (г)1 (0) +1 (г )2 - - д (г)] ^
1.2.3 Преобразование уравнения и вычисление асимптотического разложения
Если подставить все разложения интегралов, полученные в данном разделе в уравнение, оно примет вид
+ (9)+рг-пг р /. \ --() +рг-пг
0 = -у - (г )2 * (г) + -------+ /2(г >е
г2 г2
/ ) е-+р-^ _______________________________________________________________+ (426)
г2 г2
9 / — | ( ( — ]] 1 Ш!п(1(и ),1( х)) -и-г,( х)+1( х)'
—х,
где для краткости записи введены обозначения / (г ) = (( г— (9) +1)( — (г )2 - — 1(г)]- — (9)2 г— (г)-2— (г)—(9)] В (0, — (9)) +
+— (9^ 1(г)2 - 1(х)1(г)-- 1(г)^Б2 (В)(0, — (9)),
/2 (г) =(—(г )2 +(г— (г) +1)——(г )| В (0,—(г)) +—(г) 02 (В)(0,—(г))——(г), V —г у —г
' 2„,. .„л. , .. „( — „Л , ,л2^
/3(г)= А2,(г)г + 21 (г)А + (гА +1)| — 1 (г)-1 (г)2 I В(0,А)
V ч —г уу
+ 1 А М (г )-А1 (г )2 +Д— 1 (г)] 02 (В)(0, А),
+
Л (‘ )=(( *а (о)+1)^ а (< )2 - 1 ад ]- 2а (I) а (о)- а (о)2 а (/) /1 в (о, й (о))+ +(а (| )'а (о)-а (о) |а (I)-а (I)а (о )2 1 а (в)(о,а (о)).
- тт(а(и),а(х))йи-га(х)+а(х)х „ лч ч
Т> /Л ЛЛ\ ^ -(|-0)т1Па(и) -й (0) -й (о)
В силу (4.22) среди экспонент е о < е °<и<е , е -а(0), е -а(о),
е-й (г), е-А, из уравнения (4.26), самой большой является последняя, а члены, содержащие первые три экспоненциально малы по сравнению с членами, содержащими е-й(г) при г ® Г . Отбрасывая эти малые члены разложения, приходим к выводу, что при г ® Г система уравнений (4.18), (4.14) модели приближенно сводится к системе
^а(1 ) = а(1 )2 -а(1 )А
5 (г) а (г )2 VI 3ег(А+п-р) + 2А а2 (в)(о,а (г)) а (г) + а (г)(2 + г А) В (о, А)
(2 + гА) а2 (В)(о, А) +А а22 (В)(о, А) + г (1 + г А) В (о, А)
Замена переменных
а« = «(1) 5(г) = е“*“-р^ [;]
приводит уравнения к виду
й / ч -« (и) + Аи (и)
—« (и ) =----у 7 2-----— +
йи и
и (и)(«(и) V X (и) + 2и 3А а2 (В)(о, А) + и2 А В (о, А) + 2и3 В (о, А))
и4 (2и + А)а2 (В)(о, А) + и3 (и + А)В(о, А) + и5Аа2,2 (В)(о, А)
(и ) = х (и)(«(и)-п-А) йи и2
Полученные уравнения можно разложить по формуле Тейлора в окрестности и = о, затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной
и. Это дает в исходных переменных асимптотическое представление
а(,) = п + А +1+ВМ)п + АпОг (В)(0, Д) + Д2А (В)(o, д)
Д В (о, А)( п + А)!
'( г ) =
А В (о, А) п п (В (о, А) п + А пБ2 (В) (о, А) + А2 Б2 (В) ( о, А)) v( п + А) г v( п + А)2 г2
(А+п-р)г
(4.27)
В полученной асимптотике величина а(г), как и предполагалось, монотонно убывает до значения п + А. Если а(о) < п, то на таком решении будет наблюдаться пузырь. Что же касается асимптотики цены, из (4.27)
р(г)~ е(р-п-А)7г,
где А - нижняя граница носителя распределения В (г, 5), которая считается достаточно малой.
6. Заключение
Основный вывод представленной работы состоит в том, что в модели рынка не вполне ликвидного товара, такого как недвижимость, возможна динамика равновесной цены, сходная с так называемым «пузырем». В этом случае рост цены сменяется ее падением. Важно, что это происходит в условиях полного предвидения агентами такой динамики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
lGrossman S.J., Laroque G. Asset Pricing and Optimal Portfolio Choice in the Presence of Illiquid Durable Consumption Goods // Econometrica. - 1990. - V. 58.
- P. 25-51.
2 Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория Мартингалов. - М.: Наука, 1986.
3 Жукова А.А., Поспелов И.Г. Монетарное и бартерное равновесие в стохастической модели обмена товарами в системе с большим числом агентов. - М.: Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2009.
4 Oksendal B., Sulem A. Applied stochastic control of jump diffusion. - New York: Springer Verlag, 2004.
5 SennewaldK., Walde K. ‘‘Ito’ s Lemma’’ and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View // Journal of Economics. - 2006. - V. 89, N.1. - P. 1 -36.
6 Karatzas I., Lehoczky J.P., Shreve S.E., Xu G.L. Martingale and duality methods for utility maximization in an incomplete market // SIAM Journal of Control & Optimization. - 1991. - V. 29. - P. 702-730.
7 Merton R.C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model // Journal of Economic Theory. - 1973. - V. 3. - P. 373 - 413.
8 Chow G.C. The Lagrange method of optimization with applications to portfolio and investment decisions // Journal of Economic Dynamics and Control. - 1996. -V. 20. - P. 1-18.
9 Беленький В.З. Оптимизационные модели экономической динамики. Беллмановский подход. Понятийный аппарат. Одномерные модели. - М.: Наука, 2007.
10 Кротов В.Ф. Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.
11 Situ Rong Optimization for a Financial Market with Jumps by Lagrange's Method // Pacific Economic Review. - 1999. - V. 4, N. 3. - P. 261-275.
12 Rockafellar R.T. , Wets R.J.-B. Nonanticipativity and L1-martingales in stochastic optimization problems // Stochastic Systems: Modeling, Identification and Optimization, Math. Programming Study. -1976. - V. 6. - P. 170-187.
13 Situ R. Theory of Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications // Book series “Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering”. - Springer Science and Business Media. - 2005.
14. Жукова А.А, Поспелов И.Г. ,«Стохастическая модель торговли неликвидным товаром», журнал «Труды МФТИ», том 4, 2012г.
