CC BY
17
УДК 519.86
А. А. Жукова, И. Г. Поспелов Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН
Исследование стохастической модели сбережений с инерционностью потребления
В данной работе техника, развитая в исследовании [3], применена к анализу стохастической модели оптимального потребления при переменном доходе и дополнительном предположении о динамике активов (так называемыми ограничениями ликвидности). Были рассмотрены постановки задачи с различными формами ограничения ликвидности в виде штрафа в максимизируемом функционале. Последняя форма особенно удобна для расчетов макроэкономических моделей межвременного равновесия и поэтому внимание сосредоточено на поиске штрафа, который имел бы удобную для расчетов и анализа форму и заменял прямое ограничение. Для различных типов штрафов выведены конечные уравнения, определяющие решение задачи, которые затем исследованы методом характеристик. Показано, что, как и в предыдущей задаче, решение имеет особый режим вблизи горизонта планирования.
Ключевые слова: оптимальное управление, фазовое ограничение, марковское управление.
1. Введение
В современных математических моделях экономики часто предполагают инерционность потребления, цен, и т.п. [1], [2], [5]. Обычно решения находятся несколько неформально. Мы делаем попытку формального анализа задачи агента в такой модели. Основой служит модель не вполне ликвидного товара с конечным горизонтом планирования.
Подход к исследованию такой задачи был предложен в работе [3] при бесконечном горизонте планирования экономических агентов. Мы применили этот подход к моделям, использующим идею Calvo [2], с конечным горизонтом планирования [6]. Анализ модели поведения агента основан на применении достаточных условий оптимальности к задаче агента. В результате обнаружен переходный режим, так называемый пограничный слой, в окрестности конца интервала планирования. Также переходный режим возникает при выравнивании рыночных показателей доходности активов. Эти режимы исследованы с помощью метода возмущений путем нормировки переменной времени [4].
2. Модель
Модель описывает оптимальное поведение потребителя, который получает доход и может тратить его на потребление. Агент выбирает план потребления на некоторый период и не пересматривает его в течение этого периода. Следующий момент пересмотра может быть случаен по различным причинам, среди которых существенные транзакционные издержки, асимметрия информации, издержки поиска и другие. В итоге достаточно реалистично предполагать, что агент решает проблему выбора потребления для каждого возможного случайного момента времени в зависимости от его возможностей в этот момент, так называемое, марковское управление.
При выборе стратегии агент исходит из оценки полезности потребления в данный момент и в последующие, оцененные с некоторым дисконтом. В данной работе мы предполагаем, что моментальная полезность потребления описывается CRRA-функцией, а дисконтирование экспоненциальное.
Случайные моменты возможности пересмотра потребления образуют поток щ..т. Горизонт планирования Т - конечный. В статье [3] приведен анализ аналогичной задачи на бесконечном интервале планирования, а в работе [6] та же задача рассмотрена при
конечном горизонте планирования. Обнаружено, что с этим связаны некоторые краевые эффекты на конце интервала планирования. То же самое наблюдается и в модели, представленной в данной работе. Близость моделей позволяет заключить то, что модель на бесконечном горизонте планирования в обоих случаях исследуется сходным образом.
Агент не обязан тратить весь получаемый доход на текущее потребление. Он может откладывать средства в виде остатков денег. Возможность займа мы не рассматриваем, поэтому предполагается, что остатки денег всегда неотрицательны. Попытки рассматривать модель с явным неравенством на остатки денег показали, что в результате накладываются слишком жесткие ограничения на возможные управления. Поэтому в данной работе мы вводим ограничения в виде штрафа на отрицательные значения остатков денег. Значения внутри интервала планирования штрафуются функцией, отличной от штрафа в конечный момент. Эти две функции штрафа имеют связь, которая будет продемонстрирована далее в данной работе в процессе анализа модели.
3. Задача агента
Индивид стремится максимизировать ожидаемую полезность будущего потребления с учетом случайности потока щ.,т возможных моментов смены потребления:
Е^..т 11 (и (С(щ.л)) - V (А(т.л))) е-НМ + е-ётW (А(т..т))
при ограничениях динамики потребления
(1С (г) = (и (г) - с (г)) (1ц, (2)
йА(г) = (у (г) - с (г)) <и, (3)
с заданными начальными условиями
Л(0) = Ас, С(0) = Со.
Имеется в виду, что непрерывный автономный процесс изменения запаса денег А (Ь) за счет поступления дохода У(¿) и затрат на потребление С (Ь) прерывается пуассоновским потоком моментов пересмотра потребления. В момент т потока ц потребление С(¿) можно скачком изменить на величину
С(т + 0) = С(т) + (И(т) - С(т)) = N(т),
где N(¿) - новый уровень потребления. Фазовые ограничения учитываются как штрафы в функционале полезности (1). Функция V(■) описывает штраф на значения остатков денег А (Ь) внутри интервала планирования, а функция Ш(■) - на его терминальное значение.
В данной модели агент выбирает величину N(¿) - новый уровень потребления, при условии, что Ь - это возможный момент смены потребления.
Считая, что перерыв между возможными сменами потребления не зависит от состояния агента и уже прошедшим временем ожидания, формально процесс моментов смены потребления описывается пуассоновским потоком ц(Ь) с частотой Л. Реализации этого процесса считаем непрерывными слева. Связанный с процессом ц (■) поток сигма-алгебр обозначаем через еЩ^, а естественную меру на еЩ^ - через Н. Все встречающиеся далее операторы ожидания являются интегралами по этой мере. Назовем неупреждающим управлением N (Ь) € М1 процесс, измеримый относительно еЩ^о с непрерывными слева реализациями, ограниченными на каждом конечном интервале:
N у) = М у - 0),М (I) = Еф,т ] [М (I)}
Формально все вышесказанное о процессе ^ (t) означает, что
dv (t)= ^ S (t - тк) dt,
Tfc >0
где ö (■) - дельта-функция Дирака, а тк - случайные моменты смены потребления. Таким образом, можно рассматривать решение уравнения (2) как непрерывную слева кусочно-постоянную случайную функцию, значения которой в точках разрыва доопределены пределом слева. По построению такое решение будет неупреждающим процессом,
С(t) = С(t - 0), С(t) = Ev[ttT](C(t)). Решение уравнения (3) - непрерывная функция.
Функция полезности U (■) в функционале (1) является CRRA-функцией с постоянным относительным отвращением к риску, то есть логарифмом или степенной функцией вида
С7 - 1
и (С) = —— п € (0,1) .
В силу этого потребление С(t) имеет естественное ограничение снизу, так как lim U'(C) = те.
3.1. Условия оптимальности в форме Лагранжа
Оптимизационную задачу агента можно исследовать с помощью техники, предложенной в статье [3]. Обозначим через ü(t), £(t) знаконеопределенные множители Лагранжа к ограничениям-равенствам (1.2),(1.3). Тогда функционал Лагранжа для задачи потребителя формально имеет вид
* {Г
(U (С (t)) - V (A(t))) e-st dt + ((Y (t) - С (t)) dt - dA(t)) £(t) + + ((N(t) - С(t)) dr/(t) - dC(t)) ü(t)
- W (A(T)) e-<5T} . После интегрирования по частям
* {Г
%),*(•)] iN(-),A(-),C(■)] =
(U (C(t)) - V (A(t))) e-Stdt + (Y(t) - С (t)) £(t)dt + A(t)d£(t) + + ((N(t) - С(t)) dr/(t)) ü(t) + С(t)dw(t)
+
ST
+ А(0Ш0) - А(Т)ЦТ) + С(0)й(0) - С(Т)й(Т) - Ж (А(Т)) е
Этот функционал вогнутый и гладкий по N(■), А(-), С(■), поэтому для того, чтобы найти его максимум, необходимо и достаточно, чтобы в точке (■),АГ](■) обращались в 0 производные по всем направлениям во множестве неупреждающих процессов с реализациями в подпространстве непрерывных слева функций пространства кусочно-непрерывных на [0,Т] функций (с учетом начальных условий). Вариации соответствуют реализациям процесса ц без учета возможности совпадения скачка ц с какой-либо точкой оси времени, поскольку такие события имеют вероятность 0. Для вариаций введем обозначение множества:
ЬС = {/(^ : !(^ = !^ - 0), !(^ = Еф>Т] и (!) ]} . Все вариации ниже принадлежат этому множеству.
вид
Ищем максимум, варьируя по С, И, А и отдельно по А(Т), С(Т). Пусть вариации имеют
С(г) = Спф+еф, Що,г)), с(■, Що,г)) € ЬС, N (г) = йг, (Ь)+£П(1 ,Що,г)), п(-,цт) € ЬС, А(Ь) = АГ!(г) + £ а(г, Що,ь)), а(-, Що,ь)) € ЬС,
А(Т) = А^(Т) + е ат (Цт), С(Т) = С„(Т) + £ ст (Цт).
= Е
= Е
т
т
^[ 4 = ^¿Ц(.)М-)] Ъ(■),Л(■) + е■)
и' (бг,е-*с(г)М - ф)№)(И - с(ф(№г1($ и' (Сг,(^ е-*Ф)(И - ф)ф)(И -
£=о т
- ! ш(г)йс (г)} =
о
т
+ ! ф) ¿¿¿(г)} =
о
Г г гт \и' (с('))- Ш + +
= / Еф^) с(г) < Еф,т] < м
л { (+ЛЕф,т] [(-ш(г)м + Аш$)) = тк}/
т (и' (С (г)) е-НМ - +
= ¡о ж ^м+ЛМе^Я[(-т+Ат)\г = Тк}
Вариация по переменной N:
^ [п] [Ш^(¿))ш(*)]} =
}
т
Е^[о, 1)п(1){Еф,т] {ЛМЕф,т] М^ = Тк }} }.
Вариация по переменной А:
П [а] = Е>.
т
-у' (А(г)) е- * + а (г)<%(г)
М} =
1о Е"[о,1) {'
Е,){ а (I) ЕфдЛ -У' (А(1)) е-6 * + ^+ ЛЕф,т]
К = Тк]
М.
Вариация по переменной А(Т):
8С [ат] = Г Е^ {атЕпт {-£(Т) - Ш' (А (Т)) е-&т}} М.
6А(Т)
Вариация по переменной С(Т):
т
[ст] =] Еф,т) [стЕят [-ш(Т)}} М. Система достаточных условий:
и' (С(I)) е-6*М - &)<И + Еф{ + ЛМЕфт] [(-¿¿(1) + Аш(1)) \1 = Тк }} = 0,
о
о
о
еф,т] {лмеф,т] [ш(г) = тк}} = о, -V №)) е-н + + ЛЕф>Т] {Д|(*) \1 = Тк } | =0,
Е,т {-!(Т) -Ж' (А (Т)) е-т } =0, Еят {-й>(Т)} = 0.
Запишем условия оптимальности, предполагая двойственные переменные функциями состояния, а чтобы они были непрерывными справа функциями, можно положить:
1(1) = £ (г, N(г),А(1)) е-*, ш ®=и (г, N(I), А®) е-Н.
Тогда:
^ = (I, С®,А®) + (У(I) - С-Ц^ш (I, С(1),А(1)),
= (I, С®,А®) + (У(I) - С^ (I, С®,А®), Еф,т] {(-т + Дсо(Ь)) \1 = Тк } = Еф,т] {-и(1 - 0) \1 = Тк } = -СО (I, С(¿),А(1)), Е„т{ Д&) = Тк} =£, (г, N (I), А(1)) - £ (I, С (1),А(1)).
С учетом этого достаточные условия оптимальности примут вид - -
и' (С) - С (I, М, А) + -ш (I, С, А) + (Г (I) - С) —и (I, С, А) - (Л+ 5) и (I, С, А) = 0, (4) - -
(I, С, А) + (Г(I) - С) —£ (I, С, А) - (Л + ¿К ^, С, А) + Л£ (I, N, А) - V'(А) = 0, (5)
ш (г, ы, А) = 0, (6)
и(Т, с, А) = 0, ат, с, А) = -\¥'(А(Т)). (7)
3.2. Анализ условий оптимальности
В данной части работы рассматривается случай У(Ь) = У. Из (6) следует, что N = N (Ь,А). Положив
,М (I ,А) ,А) = Е (г,А), (8)
в первом приближении при разложении (5) по Л
1 ( д д \ а (I, с,А) = Е (г, А) + Л у(у (г) - с) (г, с, А) - V' (А) + (г, с, А) - ^ (г, А)) .
Подставив это выражение в правую часть его самого, в первом приближении получится
1 ( д д \ £ (г, с,А) = Е (г, А) + Л у(у(г) - с) ^ (I, А) - V' (А) + (I, А) - ^ (г, А)} .
Следовательно, с учетом (8)
1 ( д д \ 0 = 1[(У ^) - N (г, А)) ~одЕ (I, А) - V' (А) + (I, А) - ^ (I, А)} .
Аналогичные преобразования уравнения (4) дают
" ^, С,А) = Л (С-Р (* ,А))
Видно, что терминальное условие (7) не согласуется с этим выражением, из чего можно сделать предположение о наличии сингулярности в окрестности £ = Т. Из этого выражения и из (6) следует
Р (I ,А) =
1
N (I ,А)
0=(т (г) - р^а) ,А) - У'(А) + ,А) - ,А)
(9)
(10)
Это уравнение определяет оптимальное управление N (Ь, А) при заданной функции штрафа У (А). По смыслу задачи У (■) быстро убывает до нуля при положительных аргументах и быстро растет при отрицательных.
3.3. Оптимальное управление
Оптимальное управление определяется из решения уравнения (10). Можно составить фазовую диаграмму этого уравнения. Для этого удобнее перейти к переменным
г£(А) и ['а _л
У (А) = ——йи,А = (т (и)) 1 йи. 70 т (и)
Ю т (и)
Тогда оптимальное управление определяется из уравнения
¡-с (г, о = - (С (г, о - г) ( ^С (I, о) т (О -С (I, $6+ С (I, о2 ^ (11)
Для экспоненциальной функции штрафа У (А) = е^ характеристики уравнения имеют вид, изображенный на рис. 1.
Рис. 1. Фазовый портрет решений уравнения (11)
Особенностью траекторий является наличие двух положений равновесия: седло в точке ) = у ,С{Ь, £(Ь)) = У и узел в начале координат. В силу этого и свойств решения в остальной части фазовой плоскости единственным ограниченным решением, не уходящим в ноль, является решение, лежащее на сепаратрисе седла.
3.4. Сингулярное разложение на конце интервала планирования
Для того чтобы получить вид решения в окрестности = Т, можно воспользоваться заменами
и (г, с,А) = п (л (т - г), с, А), ,С,А) = Е(Л(Т - I) ,С,А), N (г, А) = N (Л(т - г), А).
В результате разложения при большом параметре частоты возможных смен потребления Л, приближенные выражения для оптимального управления и двойственных переменных имеют вид
N (т,А) = - (W'(А))-1 +
г) W"(A)^j
J(2 - r)S . (г - 2)V> (А ((г - 2)Y +]W, у i
Ч W'(А) + (W'(A))2 4(W'(А))2 + (W'(A))3 ]W (А)]К
Е(т,С, А) = -Ш'(А) + + ( 6 Ш'(А)т - V'(А)т ^С - г Г + Щ-А) Л-1,
жт ,с,а) = с.
Л
Это разложение должно согласовываться как с решением (9) вдали от горизонта планирования Ь = Т, так и с терминальными условиями (7). Последнее условие выявляет связь между штрафом V (■), Ь <Т и штрафом терминального значения Ш (■) . Иными словами, мы можем получить решение только для определенной комбинации функций штрафов. Качество согласованности можно оценить по слагаемым в старшем порядке - они содержат переменную , которая зависит от ширины пограничного слоя, который мы рассматриваем.
4. Заключение
В данной работе рассмотрена модель оптимального потребления агента при случайных моментах возможностей смены уровня потребления. В модели введены ограничения ликвидности для запаса денег агента, а также конечный горизонт планирования. Мы остановились на конечном горизонте планирования, так как на бесконечном интервале планирования появляются трудности с условиями на бесконечности, аналогичными терминальным условиям [3]. Приведенный в данной статье анализ еще раз показывает, что удобнее исследовать модель с конечным интервалом планирования, а потом переходить к бесконечному. В противном случае возникают эффекты, связанные с ухудшением согласованности решений вдали от горизонта планирования и вблизи него.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-1100432).
Литература
1. Grossman S. J., Laroque G. Asset Pricing and Optimal Portfolio Choice in the Presence of Illiquid Durable Consumption Goods // Econometrica. — 1990. — V. 58. — P. 25-51.
2. Calvo G. A. Staggered prices in a utility-maximizing framework // Journal of Monetary Economics. — 1983. — N 12(3). — P. 383- 398.
3. Жукова А. А., Поспелов И. Г. Стохастическая модель торговли неликвидным товаром // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 4. — С. 131-147.
4. Verhulst F. Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics. Texts in Applied Mathematics. — New York: Springer, 2006. — ISSN 0939-2475. — P. 344.
5. Arefiev N. Generalized Calvo Approach // Working papers by NRU Higher School of Economics. Series EC «Economics». — 2011. — N 06.
6. Жукова А. А., Поспелов И. Г. Применение метода возмущений к исследованию стохастической модели поведения агента на рынке не вполне ликвидного товара // Труды 56-й научной конференции МФТИ. Управление и прикладная математика. — 2013. — С. 62-63.
Bibliography
1. Grossman S. J., Laroque G. Asset Pricing and Optimal Portfolio Choice in the Presence of Illiquid Durable Consumption Goods // Econometrica. — 1990. — V. 58. — P. 25-51.
2. Calvo G. A. Staggered prices in a utility-maximizing framework // Journal of Monetary Economics. — 1983. — N 12(3). — P. 383- 398.
3. Zhukova A. A., Pospelov I. G. A stochastic model of illiquid goods trade // Trudy of MIPT (in Russian). — 2012. — V. 4. — P. 131-147. — (in Russian).
4. Verhulst F. Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics. Texts in Applied Mathematics. — New York: Springer, 2006. — ISSN 0939-2475. — P. 344.
5. Arefiev N. Generalized Calvo Approach // Working papers by NRU Higher School of Economics. Series EC ¡¡Economics¿¿. — 2011. — N 06.
6. Zhukova A. A., Pospelov I. G. Application of perturbation methods to analysis of a model of an agent in an illiquid goods market. // Proceedings of the 56th MIPT conference. Control and applied mathematics (in Russian). — 2013. — P. 62-63.
Поступила в редакцию 15.12.2014■
