Об одной задаче для уравнения высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2014. № 2(9). C. 17-22. ISSN 2079-6641

УДК 517.953

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

А.В. Юлдашева

Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: [email protected]

В статье рассматривается некорректная задача для уравнения высокого четного порядка. Доказывается однозначная разрешимость при дополнительных условиях и условиях на область.

Ключевые слова: уравнения в частных производных высокого порядка, некорректная задача, метод разделения переменных, цепные дроби.

© Юлдашева А.В., 2014

MSC 35C05

ON ONE PROBLE FOR HIGHER-ORDER EQUATION

A.V. Yuldasheva

National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan, Tashkent c., VUZ gorodok st. E-mail: [email protected]

In this paper not well posed problem for the even-order equation is studied. The stability of the problem is restored by additional conditions and conditions to domain.

Key words: partial differential equations of higher order, not well posed problem, method of separation of variables, simple continued fractions.

© Yuldasheva A.V., 2014

Постановка задачи

В настоящей работе для уравнения

d2ku д2и

dx2k dt2

= 0, k = 2n + 1, n e N, (1)

в области D = {(x,t) :0 < x < n, 0 < t < 2п} рассматривается задача со следующими условиями:

д 2mu д 2mu

dX2mu(0,t) = 0, m = 0 l,...,k-l, 0 < t < 2п, (2)

и(ап,t)= f (t), 0 < t < 2п, (3)

где а некоторая постоянная из (0,1)и f(t)—заданная достаточно гладкая функция.

2k 2

Мы покажем, что если а иррациональное число, то в классе u е Cxt' (D)справедлива теорема единственности решения задачи (1)-(3).

Отметим, что данная задача некорректна, так как малое изменение функции f (t) в норме Cs(s е N) может вызвать сколь угодно большое изменение решения u в норме L2.

Регуляризировать эту задачу можно с помощью дополнительного условия, к примеру с помощью задания априорной оценки

дku \ 2

—k ) dtdx < E2, 0 < t < 2п, (4)

0 0

где E заданная постоянная. О корректности задачи

2k 2

Предположим, что существует функция u е Cxt' (D) удовлетворяющая условиям (1)-(3), тогда u можно представить в виде ряда

^ / \ u(x,t) = ^ sinnx(ancosnkt + bnsinnkt\, (5)

n=1

а из этого представления следует, что функция f(t) должна иметь вид

^ í \ f (t) = ^ sin nan (an cos nkt + bn sin nkt]. (6)

n=1

Теорема 1. Если а иррациональное число, то задача (1)-(3) имеет не более 2k 2

одного решения u е Cx t' (D).

Доказательство. Действительно, если в (6) f = 0 , тогда an = bn = 0. Следовательно, и u = 0. □

Замечание. Если а рациональное число, то единственности нет.

Например, пусть q некоторое натуральное число, тогда функция и (x, t) = sinqxcosqkt удовлетворяет (1), (2) и

и(-, t) = 0, 0 < t < 2п. q

Определение. Будем говорить, что иррациональное число а имеет порядок О, если О - это верхняя граница чисел а, удовлетворяющих неравенство

Р

а - -

q

1

1+ю

q

для любых р е Q. Известно, что почти все числа а имеют порядок О = 1 [3, ?].

ч

Следующее утверждение связано с вопросом об устойчивости решения в зависимости от а и f. Например.

Теорема 2. Пусть а иррациональное число. Тогда существует последовательность 2п - периодических функций е С™ (В), равномерно стремящаяся к нулю

и такая, что для функций ип е C^'2 (D), удовлетворяющих (1), (2) и

ип(ап, t )= fn(t),

выполняется соотношение

Доказательство. Пусть

lim ||ии||М0) = +с

(7)

(8)

fn(t) =

k

sin nkt,

тогда

un(x, t) = (^Vñ sin nan^j sin nkt sin nx. Известно, что [2] существует последовательность целых чисел pn,qn таких, что

lim qn = +<*>,

n—ж

Pn

а - —

qn

1

< ~2 qn

и тогда из следующей оценки следует утверждение теоремы

^тЧпап| = |81п (чпа - рП) п| < —.

чп

Заметим, что для любого данного целого 5 существует иррациональное число а (например, порядка 5 + 2) такое, что решение

un(x, t) = n 1 s(sin nan) 1 sin nkt • sin nx задачи (1), (2) и un(an,t) = n-1-s sinnkt удовлетворяет следующей оценке

lim НМЫО) = + ~ lim IIfn\\cs(D) = °>

n—У ж ) n—У ж \ '

из которой видно, что задача некорректна. □

Сейчас, мы покажем, что задача также неустойчива относительно a.

Теорема 3. Пусть р,q е N,р< q {ап} последовательность иррациональных чисел сходящихся к % .И пусть ип е С^2 (Б) решение задачи (1), (2) и ип (ап, г) =

q '

81и qkt, тогда

lim ||Un\\ьт = +~.

Решение запишем в виде ип(х,г) = ОхЦл* , откуда очевидно утверждение теоремы.

Поэтому необходимо дополнительное условие

П 2п

0 0

д^ыУ д xk)

dtdx< E .

Задача с ограниченным решением

Пусть а,£,Е некоторые положительные константы, причем а е (0,1).

2к 2

Пусть f е Ь2 (0,2п). Обозначим через Г (£,Е) класс функций и е Сх,t, (Л) удовлетворяющих (1), (2) и

||и (ап, ■) - f ¡¿2(0,2п) < £, (9)

д kU

д xk

E.

L2(D)

(10)

Условие (9) заменяет условие (3), а априорная оценка (10) необходима для корректности задачи.

Введем следующие обозначения

2п

|u||2 = sup u2(x, t )dt,

xe[0,n] ■'

0

(11)

A(e,E)= sup ||v — w||.

v,wer(e ,E)

Теорема 4. Пусть а рациональное число, a = p, (p,q) = 1 и пусть

(12)

2E q < 2— £

(13)

Тогда

Если же q =

E

А (£, E) < 3 E.

2E\k

, тогда

А (£,E) < 3VE^£. 20

2k 2

Доказательство. Пусть v,w е Г(е,E), тогда u = v — w е Сх1^ ф) удовлетворяет (1), (2) и

II / М1 д ки

11и(ап, 01^(0,2—) < 2е,

д xk

< 2E.

(15)

L2(D)

В силу представления u в виде (5), перепишем условия (15) следующим образом

„ 4е2

£ (аП+ь2) 81п2 пЧ л < ,

£ n2k(al + b2) <

n=1

8E2

п 2

откуда следует

Из (5) имеем

Из (12) следует

/ p g2\ 8g2 £ (sin2nqп + n2kE2j (an + ЬП) < —.

u =

п max £ (аП + b^) sin2 nx < п £ (аП + b^).

хе[0,п] n=i n=i

А2 (е, Е) < л £ (аП + Ь^) : ап, Ьп\ ,

\п=1

удовлетворяющие (18).

Согласно правилу множителей Лагранжа, находим

2-„1-„2„ , „2к е 2\-1

А2 (g, E) < 8g2 min (sin2 г-п + r2k-^ ) , г е N

q

Из (13) имеем

Р g2 g2

sin2 г-п + r2k—> q2k, 1 < г < q. q E2 E2

(16)

(17)

(18)

(19)

Подставляя эту оценку в (19) получим (14). Теорема доказана. □

Предположим теперь, что а иррациональное число, разлагаемое в цепную дробь

а =

1

ai +

1

«2 + ...

Теорема 5. а е (0,1) иррациональное число и пусть а[ < Ка,

А (g, E) < 3

Ka + 2 2

gE

(20)

Доказательство. Для того, чтобы убедиться в справедливости данной оценки, заметим, что из теоремы 4 следует, что для А(е,Е) верна оценка (19), тогда из условия, что а1 < Ка [3], получаем

2

sin гап>

27

4 (Ka + 2)2 г2

, г > 1.

Тогда

• i 27 2k £2 1 £ V27

min<-^--+ r—~ > > — ---.

reN\ 4 (Ka + 2)2 r2 E2 J > E (Ka + 2)

Отсюда следует требуемая оценка

A2 (£,E) < 9£E[Ka+^j .

□

Библиографический список

1. Frosali G. Papi. On the stability of the Dirichlet problem for the vibrating string equation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1979. V.6. P. 719-728.

2. Юлдашева А.В. Об одной задаче для уравнения высокого порядка // Доклады Академии наук Республики Узбекистан. 2012. № 5. С. 11-14.

3. Хинчин А.Я. Цепные дроби. Л.: ФМ, 1961. 112 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.10.2014