CC BY
26
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 1(12). C. 41-47. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-12-1-41-47
УДК 517.953
О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА
А. В. Юлдашева
Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: yuasv86@mail.ru
В статье рассматривается краевая задача для уравнения четного порядка. Доказывается однозначная разрешимость при дополнительных условиях и условиях на область.
Ключевые слова: уравнения в частных производных высокого порядка, краевая задача, метод разделения переменных, цепные дроби
© Юлдашева А. В., 2016
MSC 35C05
ON SOLVABILITY OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE EVEN-ORDER EQUATION
A.V. Yuldasheva
National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan, Tashkent c., VUZ gorodok st. E-mail: yuasv86@mail.ru
In this paper boundary-value problem for one even-order equation is studied. The unique solvability of the problem is restored by additional conditions and conditions to domain.
Key words: partial differential equations of higher order, boundary-value problem, method of separation of variables, simple continued fractions
© Yuldasheva A.V., 2016
Постановка задачи
Для уравнения
Lw = f (x, t),
где
Lw =
д
2k,
д 2 Pw
dx2k д12P '
k, p E N
(1)
(2)
в области О = {(х,г) :0 < х < а, 0 < г < Т } исследуется следующая краевая задача.
Задача. Найти в области О решение и (х, г) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
д 2mw
д x2m
(0,t)=
д 2mu д x2m
(a, t) = 0,0 < t < T, m = 0, k - 1
и
д 2mu д t2m
(x, 0):
д 2mu " д t2m
(x, T) = 0,0 < x < a, m = 0, p - 1.
(3)
(4)
Заметим, что корректность задачи зависит от значений к,р. Так, если (к — р) четное, то вообще говоря, задача некорректна. Устойчивость такой задачи исследована в работе [1]. Если к = р = 1, то задача (1),(3), (4) будет задачей Дирихле для уравнения колебания струны, разрешимость которой исследована в [3]. Случай, когда к е N, р = 1 рассмотрен в [2, 7], а случай к = р исследован в [4, 5].
Случай нечетности (к — р)
Лемма 1. Пусть и (х, г) - регулярное решение задачи (1),(3), (4) и (к — р) нечетное, тогда справедлива оценка
11и11<р(п) ^ сНЬи1к(п), (5)
где С > 0 - постоянное число, зависящее от размеров области О и к, р, но не зависящее от функции и (х,г).
Доказательство. Умножим обе части уравнения (2) на (—1)ки и проинтегрируем по области О
Та (- 1)к+г' — (д2к—1—'и ^ (дки^
^ ( 1) д х I д х2к— 1-' ' д х' / +
,.=0 дx V дx2k-1-i дxV V дxk 0 0 г=0
^ д /д2p-1-iw д'и\ , „/дpw\2
p-1 k+i д (д2р-1-гм дгм\ . Р/дРм\2 , , гf т , ,
г=0 -la
b2
Применяя неравенство 2 |ab| < ea2 + — (e = const > 0) к правой части последнего равенства, а также учитывая условия (3) и (4), имеем
a T if д k \2 f д Р \ 2\ a T ^ a T
II (д?)<ill"2(xf)dxrff+¿Я(iB)2dxd',
0 0 0 0 0 0
получим
д ku
д xk
+
д pu
По определению норма
д mu
д xm д mu
д xm
д tp
L2(Q) 2
L2 (П)
L2(ß)
£ ,, 2 1 и и 2
< 2 WuK(n) + 2е W^Kw
, m = 1, ■ ■ ■ , k — 1 равна
T a
д m+1u д m—1u д xm+1 ' дxm—1
dxdt.
0 0
Применяя к правой части последнего равенства неравенство
1
|ab| < - (a2 + b2),
находим
д mu
д xm
La(ß)
1
< -" 2
д^1 u 2
д x
m1
La(ß)
1
+ 2
д m+1 2
д xm+1
La(ß)
Суммируя неравенства (7) по m от 1 до k — 1, получим
д u
д x
+
La(ß)
д k—
д xk—1
La(ß)
д ku
д xk
Lz(ß)
Применяя (7) к неравенству (8) находим
д u
д x
+
L2 (П)
дk—1
д xk—1
La(ß)
£ 1
< 2 Hu^L2(n) + 2£ \\LuW2L2m.
Теперь суммируя (7) по m от 2 до k — 2, согласно (9) имеем
д 2u
д x2
+
L2(ß)
д k-
д xk—2
L2 (П)
£1
< 2 !ulL2(n) + \\Lu\\l2(a)
Продолжая аналогично, мы получим оценки для всех складывая которые с (6), (9), (6), получим
2
д mu
д xm
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
m = 1,..., k — 1,
L2(ß)
k
E
l=1
д lu
д xl
L2(ß)
2 k 2
<—\\u\k(n) + 4£ \Lu\L2(ß) .
£k
T
(11)
Поступая аналогично, только заменив x на t, а k на p, находим
2
p
E
г'=1
д lu
д tl
£ p
L2(n)
< ^ УИ^^ \\Lu\L2(П) .
Оценим \M\L2(n)
л a
(x, t) = y (u2(^, t)) d<§ < 2 j |u||ux| dx,
2
2
2
2
2
2
1
u
2
2
u
2
2
2
u
2
u
T a
ll2^t)dt < 2 j J |u| lux 1 dxdt < 2\u\l2(Q) ■ \\u*\\L2(n).
00
Интегрируя последнее неравенство по х от 0 до р и деля на ЦиЦ^^), получаем
2 2 2 11"Н12(П) - 4а Них ^(П) .
Откуда согласно (9) находим
2 2 1 £ 2 1 2 - 4а ( 2 Н"Н^2(п) + 2£ НЬиНь2(п)
Складывая последнее неравенство с (11) и (12), и выбирая
2
£ =
k + p + 8a2'
получим
k Ek
l=0
д lu
д xl
+E
La(&) l=1
д lu
д tl
22 (ß)
< C2 \Lu\L2 (ß).
(13)
где C2 =
□
8a2
2) 2
-. Извлекая корень из (13), получаем И^гс^(п) - СНЬиНь2(а).
Следствие. Из леммы 1 следует единственность и непрерывная зависимость регулярного решения задачи от правой части f (х,г) при нечетных значениях (к — р).
Теорема 1. Пусть (к — р) нечетное и функция f (х, г) е Ск+!/Р+1 (П) удовлетворяет следующим краевым условиям
д 2mf (0, t) д 2mf (a, t)
д x2m
д x2m
= 0, Vt g [0; T],
к к — 1
т = 0,1, ■ ■ ■, -, если к четное и т = 0,1, ■ ■ ■, ——, если к нечетное 22
д 2mf (x, 0) д 2mf (x, T)
2m
д t2m
д t2m
= 0, Vx g [0; a],
р р — 1
т = 0,1, ■ ■ ■, ^, если р четное и т = 0,1, ■ ■ ■, —^—, если р нечетное. Тогда решение
задачи (1), (3),(4) существует.
Доказательство. Функцию, удовлетворяющую условиям (3), (4) можно представить в виде
^ ^ /Л
_ _ /и_____ тгл тгт
(14)
<Ж <Х>
/ ч V V 2unm . nn .Km
(x, t)= E E '_Sln-x ■ sin 1.
' n=1^aT a
Подставляя в (1), имеем
(—1)k (nn )2k—(—1) p(=)
2p
T
unm — fnm,
(15)
2
2
8
„„ 2 . /хжп\ . /tnm\
где fnm = JJ sin
n VaT
находим
-J sin jf (x, t) dxdt. Из (14) при четном k и нечетном p
УПш
unm —
а при нечетном k и четном p
unm —
^пп^ 2k^ ^п ш^ 2p
fra
П п^ 2k^ ^пш^ 2p Итак, формальное решение задачи (1),(3), (4) имеет вид
Кх, t)— II
2
(-1)kfn
1 n— 1 V7^
пn A2k i f nm ^2p a J + l T
. пп . пm sin— x ■ sin— t. a T
Осталось доказать равномерную сходимость ряда (16), а также рядов д2ки „ ^ ' 2 Уиш
д x2k
д 2ku д t2p
В силу оценки находим
^ t)—и
ш—1 п—1 V aT
КП \ — I I п ш
a ) + 1 T
2k
п ш
2p
(x,')— II т= ■
ш—1 п—1 V aT
fn
пп^ 2k I / пш ^ 2p a) + l T
/ п ш \2p . пп . пш
— sin— x- sin-1
VT/ a T
^ пп + / пш \2p > 2 пk+pnkшp
aT
akTp
akTp '
1 /пш1 .
(16)
пп 2k пп пш
— sin— x ■ sin-1, (17)
V a / a T
(18)
*иш| - 2пк+рпктр ипт Тогда ряд мажорантный ряду (16) имеет вид
а Тр ^ ^ 1 Уиш1 п
п к+р^аТш^1 п=1 тр ,
откуда в силу условий наложенных на функцию f (х,г) следует равномерная сходимость ряда (16), а также рядов (17) и (18). Теорема доказана. □
Случай четности (к — р).
Теорема 2. Пусть (к — р) четное и функция f (х, г) е С2х+52р+3 (О) удовлетворяет следующим краевым условиям
д2ш/ (0, г) д2т/ (а, г) 0
дх2^ = = 0,Уг е [0'Т],
т = 0,1,•••,к + 1, если к четное и т = 0,1,•••,к + 2, если к нечетное,
д 2т/ (х, 0) д 2т/ (х, Т)
д t2m
д t2m
= 0, Vx g [0; a],
т = 0,1,■ ■ ■,р если р четное и т = 0,1,•••,р + 1, если р нечетное. Если числа а и
Т таковы, что число
a
является алгебраическим числом степени п > 2, то
ТРп к—р
решение задачи (1), (3),(4) существует и единственно.
Доказательство. Аналогично, как и в теореме 1 решение ищем в виде (14), подставляя которое в (1), получим (15) . Из (15) при четных к и р находим
unm —
пп\ 2k /пm\2p
a
а при нечетных k и p
unm —
/га
T
ж n\ 2k /кт\2p
Т
Итак, формальное решение задачи (1), (3), (4) при четных значениях (к — р) имеет вид
'(x, t )= И
2
(-1)k/n
1 n— 1 V/aT
/пп\ 2k ( nm А
2p
. пп . nm sin — x • sin —— t
a
T
(19)
Осталось доказать равномерную сходимость ряда (19), а также рядов полученных из (19) дифференцированием 2к раз по х и 2р раз по г. Для начала оценим разность
/ пп \2k / пт \2p
VW V Т
п n \k /пт\р a ) V T
п n \k /пт\р
т) + (т)
п kmp ak
n k
a
mp
TPп k-p
^ пп ^ пm ^ p
В силу того, что число -— является алгебраическим числом степени п > 2,
Тр жк р
то оно удовлетворяет следующей оценке
n k mp
a
TPп k-p
>
C
m2p
Тогда получаем,
/п n\ 2k / пm \2p
IvJ -lt)
>
CoV( f )2k + (^ )2p
p
m 2
Трпк—р
или в силу того что число -т— также является алгебраическим числом степени
ак
п > 2, находим
/пп\ 2k / пm \2p
IvJ -1 т)
>
cV (™ )2k + (™ )2p
k n 2
k
Т.е.
Откуда в силу условий наложенных на функцию f (х,г) следует равномерная сходимость ряда (19). Теорема доказана. □
Список литературы
[1] Юлдашева А. В., "Об устойчивости краевой задачи для уравнения четного порядка", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №1(10), 5-11; англ. пер.: "On the stability of the boundary value problem for even order equation", Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci., 10:1 (2015), 4-10.
[2] Amanov Dj., Yuldasheva A. V., "Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order", International Journal of Computer Mathematics, 38 (2009), 61-70.
[3] Березанский Ю. М., "Разложение по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка", Тр. ММО, 5, ГИТТЛ, М., 1956, 203-268.
[4] Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для двумерных уравнений в частных производных высших порядков", Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики, Материалы международного Российско-Болгарского симпозиума (Нальчик-Хабез), Изд-во НИИ ПМА КБНЦ РАН, Нальчик-Хабез, 2010, 212-214.
[5] Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений с частными производными высоких порядков и проблема Ферма", Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, 41, Изд-во Казанского математического общества, Казань, 2010, 98-102.
[6] Шидловский А. Б., Трансцендентные числа, Наука, М., 1987, 448 с.
[7] Юлдашева А. В., "Об одной задаче для уравнения высокого порядка", Доклады Академии наук Республики Узбекистан, 2012, №5, 11-14.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.11.2015
