Формула типа формулы Кристоффеля Шварца для счетноугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.А. Копанев, Л.С. Копанева

ФОРМУЛА ТИПА ФОРМУЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА ДЛЯ СЧЕТНОУГОЛЬНИКА

Получена формула для отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с помощью формулы типа формулы Шварца. Рассмотрены некоторые частные случаи.

Область В комплексной ^-плоскости будем называть областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси, если В = Ь(В), где Ь(-м') = w + 2п. Каждая область В с симметрией переноса вдоль вещественной оси является неограниченной и конечной (В ), а также либо односвязной, либо бесконечносвязной. Бесконечно удаленная точка может быть телом одного или многих простых концов границы области В. При преобразованиях = w + 2п об-

ласти В возможны только два варианта: в точке w = да среди всех простых концов неподвижными могут быть либо один простой конец, либо два простых конца. В первом случае область В будем называть областью типа полуплоскости. Во втором случае область В будем называть областью типа полосы. Будут рассматриваться только односвязные области типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси (см., например, [1]).

Пусть область В есть односвязная область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси, граница которой состоит из отрезков прямых и лучей, причем при движении по границе от точки Wo до точки Wo + 2п их должно быть конечное число. Будем такую область называть счетноугольни-ком.

Пусть отображение / (существование такого отображения следует из теоремы Римана) переводит верхнюю полуплоскость в счетноугольник. Двигаясь по границе счетноугольника от точки Wo до точки Wo + 2п в положительном направлении, обозначим последовательно встречающиеся угловые точки гра-

ницы через А(0), А20), ..., Л^00, аП0) ф + 2п

п є N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через , а2п, ..., апп. Если А^° є С, то

0 <ак < 2, если же = х , то ак = 0. Видно, что а! + а2 + ... + ап = п . Обозначим через ак0 прообраз

А>(0), к = 1, п, для отображения / . Без потери общно-

,(0)

В данной работе эта задача решается другим способом и при дополнительном условии, что lim (f(z) - z) = 0. Предел здесь равномерный от-

Im z^+да

носительно Re z.

Вспомогательное отображение g( z) = in f '( z) + z

есть голоморфное в верхней полуплоскости отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям

g(z + 2пк) = g(z) + 2пк , к g Z , lim (g (z) - z ) = 0.

Im z^+да

Таким образом, отображение g удовлетворяет следующей теореме, доказанной в работе [3].

Рис. 1

Теорема 1. Для голоморфного в верхней полуплоскости отображения И с симметрией переноса вдоль вещественной оси, непрерывно продолжаемого на вещественную ось и удовлетворяющего условиям И(г + 2 пк) = И(z) + 2 пк, к G Ъ,

Нш (И(г) - г) = А, А G С, 1т г > 0,

1т 2^+ да

сти можно считать, что все ак G (0,2п) (см. рис. 1). справедлива формула (типа формулы Шварца)

И. А .Александров в работе [2], используя принцип симметрии Римана - Шварца, получил формулу для отображения /

sin

(0) \ak-1 4-q

d q + с

2 9

1 2n x z h(z) = — J ctg---------Im h(x)dx + z + Re A .

2п о 2

Применяя эту формулу к отображению g и возвращаясь к отображению f, получим

1 2n

ln f Xz) = — J ctg (arg f'(x) + Im z)dx =

(0)

где целое отображение О, постоянные С2, ак

подлежат определению из условий конкретной задачи.

-1 j ctg arg f'(x)dx

Ini 2

Исходя из геометрического смысла аргумента производной, запишем отображение

arg f '(x) =

0 < x < a,

.(0) i >

у2 , a,0 < x < al0),

ano-î <x < ano).

an0 < x < 2п.

Возвращаясь к полученному выше интегральному виду 1п /'(г), имеем

а10) а(0)

, ... . V, г х - г , у2 г х - г ,

1п / (г) = —- I Сг-------------ёх +—— I Сг-------------ёх +...

2п " 2 2п (о, 2

0 а ’

an ) 2п

у„ Г x - z , У, f

— I ctg----------------------dx+ — I ctg

(п z 2п

¿IL a(0) A a(0)

n—1

x - z

dx .

Интегрируя и переставляя соответствующим образом слагаемые, получаем

ln f ' ( z ) =

у, - у2 . a,(0) - z

—------------2 ln sin —---------------

-ln sin -

a(0) - z

-+... +-

lnsin

a(,0) - z

- lnsin-

(0) a\ \ - z

- + с .

n 2

Геометрический смысл чисел vk , к = 1, w, приводит к равенствам

-1 -yk = (ak-1 - 1)п, k = l,n .

f ' ( z) = сіП

k=1

sin

(0) \ak

ak - z

f ( z)=Ci In

z* k =1

sin-

d — + Cz

обозначим через А1(0), Л2(0), А^(0), 0 < Яе А1(0) < < Яе Л!,0) < Яе А3(0) < 2п, 1т А1(0) = 1т А3(0)<1т А2;0), а угол при основании обозначим через уп. Тогда а1 =а3 =1 - у, а2 = 1 + 2у . Прообразами вершин

А1(0), А20), А^0) будут точки 0< а^0 = п-5 , а^0) = п,

а30) = п + 5 < 2п.

Формула Кристоффеля - Шварца примет вид

#)

f ( z) = C1 j

cosZy —

01 cos2 -- sin2 І

-d ç + C(.

Если угол у = 2, то A}0) = Af } и отображение за-

писывается в явном виде

f ( z)=Ci I

cos— l

—

2 2

■d — + C( =

0 icos2 — - sin2 —

z

sin —

l

= 2с, arcsin-------+ CZ.

1 S 2

cos— l

Из условия lim ( f (z) - z) = 0 получаем, что

После простых преобразований и потенцирования имеем

/ /т \а к-1

С =-1 и с2 = 2і 1п^-С05_2^ •

Пример 2. Пусть Б есть плоскость с разрезами по параллельным лучам ¡к = I + 2пк, к є Z, под углом

Р к вещественной оси. Пусть А1(0), А^0) - концевые

точки луча ¡ , причем А1(0) є С, А2;0) = х. Тогда

а1 = 2, а2 = 0. Прообразами вершин А1(0), А^0) будут

7(0) = ■ 2 _ '

В результате интегрирования по кривой в верхней полуплоскости от точки z0 до точки z получаем следующий результат.

Теорема 2. Для отображения f переводящего верхнюю полуплоскость в счетноугольник и удовлетворяющего условию lim ( f (z) - z) = 0, имеет ме-

Im z^+œ

сто формула (типа формулы Кристоффеля - Шварца)

Í (0) А“к-1

ак ) -

Формула Кристоффеля - Шварца примет вид

f ( z ) = Ci \-

sin— l

0 sin I Z + а

d — =

z f z

(cos а) i - (sin а) ln sin I ( + а

+ C4

где с, и с2 - комплексные постоянные, а(^) е (0,2п) - прообразы вершин счетноугольника с углами акп.

Постоянные с,, с2 и а((0> определяются из условий задачи и дополнительного условия на отображение f.

Приведем примеры применения полученной формулы Кристоффеля - Шварца.

Пример 1. Пусть область D есть полуплоскость с исключенными равнобедренными треугольниками Ek, Ek = E0 + 2nk, k е Z. Вершины треугольника E0

В частном случае, когда ст = —, отображение имеет вид

z

h(z) = c5 lncos— + c4,

а когда ст = —, отображение имеет вид 4

g( z ) = сб

z - IlnsinI z + -Z

+ сЛ

Из условия lim ( f (z) - z) = 0 получаем, что

Im z^+œ

с4 = 2i ln 2 , с5 = li и с6 =

1 - i

l

Заметим, что отображения И и g были получены в работе [3] через решения уравнения Левнера.

Пример 3. Пусть область Б есть полуплоскость с исключенными равнобедренными треугольниками Ек, Ек = Е0 + 2пк, к е Z. Вершины треугольника Е0

обозначим через Л{0), Л20), Л30), причем Л{0) +2п =

= л3(0) = л(1), а угол при основании обозначим через утс . Тогда а1 = 1 - 2у, а2 = 1 + 2у . Прообразами вершин Л(0), Л2;0), Л3(0) будут точки а(0> =0, а(2°'> = п, а30) = 2п.

Формула Кристоффеля - Шварца примет вид

2

/ (2 > = С1 [ йя27^- ё д + С2.

02

ЛИТЕРАТУРА

1. Копанева Л. С. Экстремальные задачи в классе отображений с симметрией переноса // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 44-47.

2. Александров И.А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса // Изв. вузов. Математика. 1999. № 6 (445). С. 15-18.

3. Копанева Л.С. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, 2001. С. 135-144.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 10 октября 2003 г.

Если угол у = - —, то отображение записывается в

явном виде

f (—) = ci и/tg—dq + c2 =

= c3

ln I sin — + cos —Vsin — | +

1 2 2 '

. — —

+arcsin | sin— cos— 2 2

+ cA.

Из условия lim (f (—) - —) = 0 получаем, что

c3 = i -1, c4 =-i (ln 2 - n) .