О формуле Чизотти и ее применении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 547.54

Л.С. Копанева, И.А. Кужман

О ФОРМУЛЕ ЧИЗОТТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИИ

Получена формула типа формулы Кристоффеля - Шварца для отображений с симметрией переноса. Дан вариант формулы Чизотти для этих отображений.

В монографии М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [1. С.227] приведена формула Чизотти, которая дает выражение для конформного отображения ш = f (г) из канонической области на односвязную область Б, ограниченную кривой Г, если известен угол наклона 0 = 0(г) касательной к Г в точке ш, соответствующей г на границе канонической области.

1. Формула Чизотти для отображения из единичного круга и верхней полуплоскости

Получим формулу Чизотти для конформного отображения Ш = f (г) из единичного круга Е = {zeC: |г| < 1} на односвязную область Б, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке ш = f (ей), ?е[0;2л], известен угол наклона 0 = 0(г) касательной к Г.

Введем вспомогательную функцию

А(г) = - / 1п(-;(1-г)2Дг)). (1)

Для нее Яе Ь(z)| _ и = ащ /\ей) + — + г = 0(г).

2

Если функция 0(г) известна и кусочно-непрерывна, то функция к(г) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [1. С.222] по формуле

1 2п и +

Н(г) = — [ 0(/)-—- Л + 1А ,

2 п 0 - - г

где А е К . Зная к(г), из равенства (1) находим искомое отображение ш = f (г). Потенцируя (1), получаем

1К 2)

142) = *' 7ТТ.

(1- г)

В результате интегрирования получаем

е

2о '

* .ад)

Тем самым доказана теорема.

Теорема 1. Пусть / Е ^ С - конформное отображение, где Е = {геС: N < 1}. Пусть f (Е) = Б, Б - односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г. Пусть угол наклона 0 = 0(г) касательной к Г в точке ш = f (ег% ?е[0;2л], - кусочно-непрерывное отображение. Тогда справедлива формула

г.

20

2п Ц

Г ^ + С0 ’ С0 е С , (2)

•'(1 - 4)2

1 г е + г где Н(г) = — J 0(?)—-----------(Л + гЛ, Л е Я.

2п 0 е~ - г

Формула (2) называется формулой Чизотти.

Получим формулу Чизотти для конформного отображения ш = f (г) из верхней полуплоскости П = (геС: 1т г > 0} на односвязную область Б, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке ш = f (х), хеИ, известен угол наклона 0 = 0(х) касательной к Г.

Введем вспомогательную функцию

А(г) = - / 1п/(2). (3)

Для нее Яе Н(г)| 1тг=0 = ащ /'(х) = 0(х) .

Если функция 0(х) известна, кусочно-непрерывна и существует

+ГО 1

1 ад ,

: х - 2

—го

то функция А(г) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [1. С.224] по формуле

+го 1

ах

к \ 1 ! аг \ ах

И(г) =— I 0(х)--------------------------+ гЛ ,

Г ГГ * V — >7

т * х - г

—го

где АеИ. Зная А (г), из равенства (3) находим искомое отображение ш = f (г). Потенцируя (3), получаем = f '(г).

В результате интегрирования получаем

™ = У(2) = | + с0 .

20

Тем самым доказана теорема.

Теорема 2. Пусть f: П ^ С - конформное отображение, где П=(геС: 1т г > 0}. Пусть f (П) = Б, Б - односвязная область ограниченная кусочно-гладкой кривой Г. Пусть угол наклона 0 = 0(х) касательной к Г в точке ш = f (х), хеИ, - кусочнонепрерывное отображение. Пусть существует

+ГО 1

1 ад-Л

х - z

—ГО

Тогда справедлива формула

^ = /(г) = |+ с0,с0 е С , (4)

1 Л

Ь(г) = — [ 0(х)---------------------+ гА, А е И.

ГТГ •* V — -7

где

гя ; х - г

—го

Формулу (4) будем называть формулой Чизотти для отображения из верхней полуплоскости.

2. Формула Чизотти для отображения с симметрией переноса вдоль вещественной оси

Область Б, Б с ^ называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если Б = ЦБ), Ц(ш) = ш + 2п.

Однолистное и голоморфное отображение /: П ^ C , где П = {ге^ 1т г > 0}, называют отображением с симметрией переноса, если оно удовлетворяет условиям:

1. / (П) = Б- односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости,

2. / (г + 2пк) = / (г) + 2пк , kеZ,

3. Пт (/(z) - z) - 0 и Пт f'(г) = 1.

1т г^+го 1т г^+то

Получим формулу Чизотти для конформного отображения ш = / (х) из верхней полуплоскости на область Б с симметрией переноса, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке ш = / (х), xеR, известен угол наклона 0 = 0(х) касательной к Г.

Введем вспомогательную функцию

А(г) = /)+*. (5)

Для нее 1т А (г) 11Ш г =0 = аг§ / '(х) = 0(х).

Отображение (5) является отображением с симметрией переноса и непрерывно продолжается на вещественную ось.

Если функция 0(х) известна, то функция А(г) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [2]

1 2п

И(-) = — [ 0(х)с1% ——-dx + - .

2п о 2

Зная А (г), из равенства (5) находим искомое отображение ш = / (г). Потенцируя (5), получаем = / '(г).

В результате интегрирования по гладкой кривой от точки г0 до г в П, где П = {ге^ 1т г > 0}, получаем

Тем самым доказана теорема.

Теорема 3. Пусть/: П ^ C , где П = {ге^ 1т г > 0}, - конформное отображение с симметрией переноса, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям:

1. / (П) = Б - односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г,

2. / (г + 2пк) = / (г) + 2пк , kеZ,

3. Пт (/(z) - z) = 0 и Пт f'(г) = 1.

1т г^+го 1т г^+то

Пусть угол наклона 0 = 0(х) касательной к Г в точке ш = / (х), xеR, - кусочнонепрерывное отображение. Тогда справедлива формула

™ = У(2) = | ека)-+ с0, с0 е С , (6)

г.

1 2^ 2

где Н(2) = — 10(х)С^-------------ёх + 2 .

2п 0

Формулу (6) будем называть формулой Чизотти для отображения с симметрией переноса.

Вообще, функция 0(х) неизвестна, и формула Чизотти не дает эффективного решения задачи конформного отображения. В случае отображения на многоугольник 0(х) равна известной постоянной на каждом отрезке вещественной прямой, соответствующем стороне многоугольника, поэтому формула Кристоффеля - Шварца легко получается из формулы Чизотти.

3. Формула типа Кристоффеля - Шварца для счетноугольника

Односвязную область Б с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, граница которой Г состоит из отрезков прямых и лучей, причем при движении по границе от точки до ш0+2п их должно быть конечное число, называют счетноугольником [3]. Двигаясь по границе счетноугольника от ш0 до ш0+2п в положительном направлении (то есть в таком, что счетноугольник остается слева), обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через 40), 40)40), 40) * 4°+2п, а углы обозначим соответственно через а:Л, а2п,...,а„л. Если е С, то 0 < ак < 2, если =<х>, то ак = 0.

Пусть отображение / является отображением с симметрией переноса. Пусть образом верхней полуплоскости при этом отображении является счетноугольник.

Обозначим через Ср прообраз А^0, к = 1, п, для отображения / Можно считать, что е (0;2п).

Запишем отображение / с помощью формулы Чизотти из теоремы 3. Исходя из геометрического смысла аргумента производной, имеем

.(«)

0( х) = ащ /'(х) =

01; 0 < х < а

02, а[0) < х < а20),

0п > аП0)1 <х < аП0) >

01, аП0) < х < 2п.

Построим вспомогательное отображение А: П ^ С, используя формулу Шварца для отображений с симметрией переноса [2]. Имеем

_ 40) _

2Н(г) = | 01С£-----------ёх + | 02^-----------ёх +... +

0 2 а<0) 2

„П0 - 2. -

+ | 0Я | 0хсгё + г.

2 12

„(0) л

ап

Интегрируя и переставляя соответствующим образом слагаемые, получаем

„(0)

„п-1

„ , 0! - 02 . ^ - 7

к( г) = —------- ІП 81П—1----------

]2 - 03 . а(0) - г

—------3 ІП 81П—2---------

п

,(°)

- ІП 8ІИ

(0) а\’ - г

п 2 п 2

Зная, что 0к - 0к+1 = (ак -1 )п, к = 1, п, после простых преобразований получим

Н( г) = г + 1п ^

к=1

(

81И

(0) \“*-1

ак - г

Подставив к в формулу (6), получим ^ а(0) - % - ^

81И-

20 ‘

dd + с2,

где Сь с2 - постоянные.

Тем самым доказана теорема.

Теорема 4. Пусть/: П ^ С, где П = {геС: 1т г > 0} - конформное отображение с симметрией переноса, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям:

1. / (П) = Б - счетноугольник;

2./ (г + 2пк) = / (г) + 2пк , кеТ;

3. Пт (f (z) - z) - 0 и Пт f'(г) = 1.

1т г^+го 1т

Тогда справедлива формула типа формулы Кристоффеля - Шварца:

/ (г) = с1 Щ

г* к=

Б1И-

+ с2 ,

где сь с2 - комплексные постоянные, } е (0;2п) - прообразы вершин счетно-угольника с углами акп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

2. Копанева Л.С. Параметрические представления отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - С. 135 - 144.

3. Копанев С.А., Копанева Л.С. Формула типа формулы Кристоффеля - Шварца для счет-ноугольника // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 52 - 54.

2

П

Принята в печать 30.11.07.