Об одной реализации нелинейного SVD-фильтра для цифровой обработки изображений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Сазонов В.В., Щербаков М.А.

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

ОБ ОДНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО SVD-ФИЛЬТРА ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Введение

Современные системы контроля и наблюдения, установленные на автоматизированном оборудовании, работающего без обслуживающего персонала, позволяют получать оперативную информацию о параметрах технологического процесса, что в значительной степени повышает надежность и эффективность управления производственными процессами. Однако подобные системы управления и контроля распределенными объектами постоянно сталкиваются с проблемой качества и достоверности исходной информации. Наиболее критичными в этом плане являются системы видеоконтроля и наблюдения, работающими в условиях воздействия различных индустриальных помех. Для устранения или минимизации дестабилизирующего воздействия шумов и помех широко используют различные методы и алгоритмы предварительной обработки информации, в частности, процедуры цифровой фильтрации сигналов и изображений.

Принято считать [1] , что наилучшее восстановление (в смысле минимальной среднеквадратической ошибки) для класса стационарных гауссовых сигналов достигается линейной системой, а ее оптимальной реализацией является фильтр Винера-Колмогорова [1-3], который может быть представлен в следующем виде :

xij = s2 y (1)

S +S yi,j,

где sx - дисперсия полезного сигнала, - дисперсия шума, xi,j- восстановленный элемент ис

ходного изображения, y j - элемент наблюдаемого изображения.

В общем случае решение задачи восстановления стационарного случайного сигнала или процесса на фоне случайных шумов и помех предполагает выбор одной из двух (как минимум) гипотез: определена

или нет априорная модель исходного сигнала. Это принципиальный момент, во многом определяющий дальнейшее решение поставленной задачи.

В первом случае наблюдаемый сигнал целенаправленно подгоняется под выбранную модель, при этом помеха рассматривается как пассивный параметр оценки несоответствия между моделью и сигналом. Соответственно, эффективность работы фильтра Винера в данных условиях во многом определяется точностью количественной оценки шумовой компоненты. Однако данный подход обладает определенными недостатками, в том числе:

оптимальность достигается интегрально по всей совокупности анализируемого процесса [1];

возможная неустойчивость алгоритмов фильтрации [2].

Эти недостатки хорошо известны и привели к появлению целого ряда достаточно успешных модификаций фильтра Винера, например, или в виде апертурных (масочных) алгоритмов, которые работают в окрестности локальных точек [3], или в виде робастных (устойчивых) алгоритмов [1].

В целом же следует признать, что эти подходы зачастую противоречат друг другу, поскольку переход к локальной оптимизации в силу естественного ограничения объема исходных данных может приводить к практической невозможности построения статистически устойчивых алгоритмов.

1. Линейная фильтрация изображений на основе сингулярного разложения матрицы наблюдаемых данных

Пусть xt j - значение яркости полезного изображения на пересечении і-ой строки и j-го столбца, а наблюдаемое изображение описывается моделью:

Уі,j = f (Xi ,j,hi,j), і = 0Т-Ї, j = о, J -1. (2)

Здесь - hi j значение помехи в точке с координатами (i,j); f(') - функция, описывающая взаимо-

действие сигнала и помехи, а I и J - соответственно число строк и столбцов изображения.

Рассмотрим широко распространенный на практике случай восстановления изображения при линейной модели наблюдения «без искажений», когда полезный сигнал Xi j и шум hi j статистически независимы.

Наиболее распространенным видом помехи является белый шум, аддитивно воздействующий на изображение .

Наблюдаемое в этом случае изображение (1) может быть представлено как:

Уи = xi,j +hi j i = ° 1 -1, j ° J-1. (3)

Рассмотрим некоторую k-окрестность точки наблюдаемого изображения Уттє2к-1^, j) , где k-апертура пространственного фильтра.

Такое представление элемента изображения позволяет сформировать подматрицу наблюдаемых данных A размером (2k-1)х(2k-1) , подлежащей дальнейшей обработке (без потери общности будем считать данную область локально стационарной). Одним из наиболее эффективных методов статистического анализа матриц является ее SVD-разложение в базисе сингулярных чисел и сингулярных векторов (singular value decomposition) с целью ее приведения к каноническому виду [4,5].

Пусть матрица Aє Rmxn имеет т столбцов и п строк, причем т > п. Такая матрица может быть представлена в виде разложения

n

A = U ■ S ■ VT = £ (4)

i=1

где ц и Vi - левый и правый сингулярные вектора матрицы А, являющиеся ортонормированными столбцами матриц Uє Rmxm и Vє Rnxn соответственно; Оі > 0 - диагональные элементы матрицы S, называемые сингулярными числами матрицы А:

S = diag(o7, a2,•••, on)є Rnxn.

В случае если соблюдается соотношение о} > 02 > ••• > оп > 0, где оп > 0, и матрица А имеет полный

ранг, то ее можно представить в виде разложения

n

A = a, ■ Aj + a2 ■ A2 +... + a, ■ An = Zat ■ X,, (5)

І =1

где A, = u, • vT - внешнее произведение столбца унитарной матрицы U и соответствующего

столбца унитарной матрицы VT.

В терминах матричного анализа SVD-разложение (4,5) предполагает возможность аппроксимации матрицы исходных данных матрицей более низкого ранга, что при восстановлении изображений, искаженного аддитивными некоррелированными шумами (3), позволит разделить наблюдаемую матрицу A на две компоненты: «полезное» изображение и шум.

В этом случае теорему Эккарда-Янга [5,6] об аппроксимации матриц можно сформулировать следующим образом.

Пусть A є Rmxn матрица ранга r. Пусть S є Rmxn - множество всех m х n - матриц ранга p < r. Тогда для всех матриц Bє Rmxn в S выполняется

llA - A'll <1 lA - B ,

где A' = U■ S'■ VT , (6)

а S' получается из матрицы S приравниванием к нулю всех ее членов, кроме p членов, имеющих наибольшее значение. В этом случае матрица A' является для исходной матрицы A оптимальной матричной аппроксимацией более низкого ранга с точки зрения минимизации нормы Фробениуса:

I m n In

N, =J ZZ «і2 , =J Zs

V ,=1 j=i V ,=1

Тогда в качестве критерия эффективности матричной аппроксимации (6) проксимации p) можно использовать критерий вида

p

Zs2

l(p) = p i=1 n---(7)

Zs2 + Z sj

i=1 j=p+1

(критерия выбора ранга ап-

n

где Лапт - эффективный порог аппроксимации, позволяющий оценить «мощность» шумов Z s2j , удаляе-

j=p+1

мых из рассмотренной окрестности матрицы исходных данных.

Следует заметить, что критерий (7) матричной SVD-аппроксимации полностью повторяет и структуру, и физический смысл классического фильтра Винера-Колмогорова (2).

Фильтр, в основу которого положено SVD-разложение (4,5) , было предложено [7, 8] назвать «SVD-

фильтром», а его модификацию (6,7) для пространственной фильтрации - «SVD-фильтром Винера-Колмогорова».

Важнейшим свойством предложенного подхода является свойство робастности данной SVD-фильтрации, т. к. любое пренебрежимо малое (даже равное нулю) значение сингулярного числа автоматически относится к шумовой составляющей, что полностью гарантирует устойчивость предложенного алгоритма.

На рис.1 приведен пример восстановления изображения «Лена» различными фильтрами, в т.ч. и SVD-фильтром Винера-Колмогорова (к =3, Аол;г=0,98).

в) г)

Рис.1 Пример восстановления изображений

а) исходное изображение, б) наблюдаемое изображение (шум Пуассона + мультипликативный шум с Gn=0.01); в) изображение, восстановленное фильтром Винера-Колмогорова; г) изображение, восстановленное SVD-фильтром Винера-Колмогорова.

На рис.2 приведены сравнительные графики эффективности шумоподавления стандартными фильтрами и SVD-фильтром Винера-Колмогорова при разных комбинациях шумовых компонент.

$

Сравнительный анализ восстановления изображения различными

фил-------

Отношение сигнал/шум (SNR), дБ Наблюдаемое изображение

— ♦— - Отношение сигнал/шум (SNR), дБ

Результаты восстановления Ранговый фильтр

Отношение сигнал/шум (SNR), дБ Результаты восстановления Медианный фильтр

Тип шума

Отношение сигнал/шум (SNR), дБ Результаты восстановления Фильтр Винера

Отношение сигнал/шум (SNR), дБ Результаты восстановления SVD-фильтр Винера

Рис.2 Сравнительный анализ восстановления различными фильтрами

2. Нелинейный SVD-фильтр, адаптированный к локальным свойствам изображения

Следует отметить, что в восстановленном, с помощью SVD-фильтра, изображении (рис 1.г) практически отсутствуют искаженные шумом области, однако его контрастность по отношению к исходному изображению в определенной степени ухудшилась. Это вполне ожидаемый результат, т.к. и фильтр Винера и SVD-фильтр относятся к классу линейных НЧ-фильтров.

Для устранения указанного недостатка в [9], авторами был предложен новый подход к проектированию нелинейных фильтров с адаптацией к локальным свойствам изображений. На его основе можно построить различные структуры цифровых нелинейных фильтров, отличающихся видом оценок, используемых для анализа локальных свойств сигналов, и параметрами адаптации.

В частности, входной процесс x(n) может быть представлен в виде низкочастотной xL(n) и высокочастотной хя(п) составляющих, а выходной сигнал y(n) фильтра формируется как сумма y(n) = xL(n) + axH(n) , (8)

где n = [Лі, П2] - вектор, определяющий координаты точки (пикселя) изображения, а параметр а

адаптации определяется локальным значением критерия (7) . В зависимости от локальных свойств изображения (фон или перепад) параметр а должен усиливать либо ослаблять вклад нелинейной составляющей фильтра. Таким образом, поведение такого нелинейного фильтра будет иметь адаптивный характер, изменяясь в зависимости от локальных свойств входного сигнала. Исходя из выбранной модели

(8), была разработана нелинейная модификация SVD-фильтра, сохраняющая контрастные свойства изображений .

Будем формировать выходной сигнал фильтра согласно следующему выражению: y(n) = (1 - ап ')x(n') + anx(n) , (9)

где ап — параметр адаптации, —1 £ ап £ 1, а Х(п) - выходной сигнал линейного SVD-фильтра.

Если параметр ап = 1, то выражение (9) будет соответствовать линейному фильтру нижних частот, при ап= —1 — фильтру верхних частот, а при ап= 0 входной сигнал будет передаваться без изменения. Определяя соответствующим образом параметр а адаптации, можно изменять поведение фильтра в зависимости от локальных свойств входного сигнала.

Допустим, требуется обеспечить фильтрацию импульсного сигнала от широкополосного шума без искажения фронтов. В этом случае фильтр должен изменять свое поведение, проявляя низкочастотные свойства на пологих участках изменения входного сигнала и высокочастотные — при обнаружении перепадов .

Одним из вариантов такого функция

а

1, l < a; 2ln — a — b

ib—a ’

—1, a > ^

a £ln £ b;

преобразования An в

(10)

параметр аЛ адаптации является

кусочно-линейная

где предварительная настройка фильтра на заданный динамический диапазон осуществляется изменением величин порогов а и b.

Пример фильтрации зашумленного изображения приведен на рис. 3. В качестве входного использовалось изображение "Замок" (рис. 3,а), искаженное гауссовым шумом с дисперсией g^=0.01 (рис. 3,6).

Результаты линейной фильтрации и адаптивной нелинейной фильтрации вида (9) со значением N = 5 показаны соответственно на рис. 3,в и 3,г. Параметр адаптации формировался согласно выражениям (7), (10) . Из сравнения приведенных результатов видно, что качество изображения после нелинейной обработки значительно выше и отличается более высокой степенью подавления шума и четкостью деталей изображения.

а) б)

в)

г)

Рис. 3. Результаты фильтрации изображения "Замок":

а) исходное изображение; б) — изображение, искаженное гауссовым шумом;

в) результат линейной низкочастотной SVD-фильтрации; г) результат адаптивной нелинейной фильтрации вида (9)

Заключение

Показано использование сингулярного разложения матрицы исходных данных для оперативного восстановления изображений, искаженных помехами различной природы.

Предложен подход к построению нелинейных SVD-фильтров с адаптацией к локальным свойствам изображений .

Приведенные примеры иллюстрирует потенциальные возможности линейной и нелинейной SVD-фильтрации при восстановлении изображений.

Анализ влияния размера апертуры и выбора порога эффективности SVD-аппроксимации, а также параметров адаптации на качество восстановления является отдельной задачей и требует дополнительных исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.:Техносфера, 2005. - 1072 с.

2. Методы компьютерной обработки изображений / Под ред. В.А.Сойфера.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.-784

с.

3. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений.-М.:Сов.радио, 1979. - 312 с.

4. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений: Пер. с

англ. - М.: Мир, 1969.

5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.-М.:Мир, 1999.- 548 с.

6. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ.-М.:Мир, 1982.-Кн.1 - 312 с.

7. Сазонов В.В., Щербаков М.А. Помехозащищенный видеомониторинг объектов // Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза: Пенз. гос. ун-т. - 2012. - Т.2. - С. 383-385.

8. Сазонов В.В. Восстановление телеизмерительной информации на фоне аддитивных помех. // Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза: Пенз. гос. ун-т. - 2012. - Т.2. -

С.381-383.

9. Щербаков М.А., Сазонов В.В. Проектирование нелинейных фильтров с адаптацией к локальным

свойствам изображения. // Проблемы автоматизации и управления в технических системах: Труды меж-

дународного симпозиума.- Пенза: Пенз. гос. ун-т. - 2013. - С.185-191.