Об одной обратной задаче восстановления плотности распределения источников в смешанной задаче для уравнения Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1261-1267

ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

© А. В. Герасимова, Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, Е. Ю. Пономаренко, В. В. Суровцев

Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Получено устойчивое решение обратной задачи восстановления функции плотности распределения источников, соответствующей телу постоянной толщины, в смешанной краевой задаче для уравнения Пуассона по данным на границе области. Ключевые слова: некорректно поставленная задача; обратная задача потенциала; класс тел Сретенского; метод регуляризации Тихонова

В работе рассматривается обратная задача восстановления плотности распределения источников, соответствующей телу постоянной толщины, относящегося к классу Сретенского [1] в рамках смешанной задачи для уравнения Пуассона. Задача сводится к обратной задаче потенциала [2], которая в свою очередь приведена к линейному интегральному уравнению первого рода, устойчивое решение которого строится на основе метода регуляризации Тихонова [3]. В этом случае решение обратной задачи потенциала аналогично решению векторного варианта [4] задачи продолжения поля потенциала [5], использованного в [6] для решения линейной обратной задачи потенциала для бесконечно тонких тел, а также для решения обратной задачи потенциала для тел постоянной толщины [7]. equatoin0

1. Постановка задачи

В цилиндрической области

ж) = {(х, у,г):0 <х<1х, 0 <У<1у, F (х, у) <г< то} (1)

рассмотрим краевую задачу

( A u(M) = р,

дпls=-hUs,

u\x=0,tx =0, u\y=0,iy =0,

, E — 0,z -ж,

M € D(F, ж),

(2)

где поверхность

S = {(x, y,z):0 <x<lx, 0 <y <ly, z = F (x, y) < H},

(3) 1261

Будем считать, что плотность источников р в задаче (2) соответствует телу постоянной толщины h , ограниченного плоскостями z = H и z = H + h :

р(х, у, z) = а(х, y)6(z - H)6(H + h - z). (4)

В соответствие с (4) мы рассматриваем функции плотности распределения источников постоянные вдоль оси z и переменные в плоскости (x,y) внутри носителя плотности.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть в рамках модели (2) функция u на поверхности S задается, то есть известна функция

Us = f, (5)

а плотность р неизвестна. Поставим задачу восстановления функции р вида (4) по заданной функции f . При известных параметрах H и h известны, задача состоит в восстановлении функции а(х, у) в (4) по известной функции f на поверхности S.

2. Восстановление плотности в случае точных данных

Отметим, что если и\ь известна, то в силу того, что на поверхности 5 согласно (2) имеет место третье краевое условие, известна и нормальная производная д функции и, а именно:

Iь = д = (6)

Пусть ф(М, Р) - функции источника задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Vх = {(х, у,г):0 <х<1х, 0 <у<1у, -ж <г< то} (7)

вида

2 ^ e V x у _ ппхм . птум . ппхр . птур ф(М, P) = —— -1 2 2-sin —-sin —I-sin —— sin --

П ixiy In I ^^ ix iy ix 1

xly n + ^^ lx ly lx ly

" n,m=l у P + P

Применим формулу Грина в области D(F, то) к решению u(P) задачи (2) и функции источника ф(М,Р), поместив точку М в область D(-to,F)

D(-to, F) = {(x, y,z):0 <x<lx, 0 <y<ly, -то <z< F (x, y)} , (8)

с учетом (5) и (6) получим

У р(Р)ф(М,Р)dVp = Ф(М), (9)

Suppp

где

Ф(М) = J [д(Р)ф(М, Р) - f (Р)dp(М, Р)] dap. (10)

S

Тогда для потенциала в (9) получаем

2 Г ~ e-4nX+t\ZM-ZP\

р(р)ф(М,р)dVp = — dVpp(p) £ -nr-m x

J 1x1y J n m-1 л/Пг + т

Suppp Suppp n,т-л V lx2 ly

. ппхр . ,птур . ппхм, . ,птум,

x sin(—-—) sin(—-—) sin(—--) sin(—--).

ix iy lx by

Отсюда и из (4), учитывая, что zm <zp в области zm < H , следует

lx ly H+h ^ n-2

" " " г ir+уг (zp-zM )

e V x íy _

• lxly J J J -' /n2 I m2

iSuppp 0 0 H nm=1 V ix + ly

2 í ( f ^ -kJ n-+mf(ZP-zM)

p(PMM,P)dVp = — I I a(xp,yp) J dzp e У*y

. nnxp . nmyp . ппхм . птум , , x sin —-— sin —-— sin —--sin —--dxpdyp =

lx ly lx ly

lx ly I 2 2 и „i, ra2 i m2 h

±. f f£ 5-ZM)2shП^ +J2 sin HZM sin п^ум x

lxly J J , п(n2 + mr) lx ly

oo n,m=l KlX ly ' y

lx ly

. . ппх пту ¡' ¡'

x a(x, y) sin——sin —-— dxdy = K (xM ,yM ,zm ,x,y)a(x,y)dxdy, (11)

lx ly J J

00

где

* ^ *M+f(H+h2-M) sh V f + f h K(xM,yM,zm,x,y) = ту e y -7^2—x

l l Z—/ „rín2 i m2 \

lxly n(-¡2 + тг)

" n,m=l v lX ly '

nnxM nmyM nnx nmy x sin—--sin—--sin —-—sin —-—. (12)

lx ly lx ly

Поместив точку M на плоскость zm = a , a< min F(x,y) , где функция F задает поверхность S, из (9) из (11) получим интегральное уравнение относительно функции а:

lx ly

у j K (xm ,Ум ,a,x,y)a(x,y)dxdy = ^(xm ,Ум ,a), (13)

00

где ядро интегрального оператора K имеет вид (12) и a фиксированный параметр, удовлетворяющий условию a < min F(x, у) < H .

Решая уравнение (13), находим плотность а, а, следовательно, и искомую плотность р вида (4).

Если плотность а , определяющая границу тела, имеет носитель D , то а(М) = а(М)xd(M) . где xd — характеристическая функция носителя функции плотности а, в частности, когда а = а0 = const в пределах носителя, то а(М) = a0XD(М) и

Xd (x,y) = — а(x,y). а0

Таким образом, если плотность а найдена как решение интегрального уравнения (13), а величина а0 известна, то носитель D плотности, определяющий «форму» тела, можно определить формулой

D = {(x, у) : — а(x, у) > Л, 0 < Л < 1}. (14)

а0

Решение интегрального уравнения (13) может быть получено в виде ряда Фурье

n 2 5 ni _L m2

V- ж ^+m(H+5-a) l2x + ly ~-.~nnx ._nmy

а^,у)= ^ 4>nm(a)e V lx ly ' -V^rh s™~T-> (15

- sh(n. 02 + h) lx 1у

n,m=l sh(^l lx + l2 2

X

где Фпт(а) — коэффициенты Фурье

1'х 1У

- 4 С С ппх пту

Фпт(а) = ^ Ф(х, у, а) 8Ш - вт ——йхйу

0 0

функции Ф вида (10) при хм = а . Вводя обозначение

Г^2 2 и п2 | т2

V ж+1 (н+^"а) Ъ +Т

Knm(a) = e V ^ ^ ^ --2 »_2 L , (16)

(15) можно записать в виде

те

, . v-^ ~ - . . . ппх пту , ч

а(х,у) = $n_(a)Kn_(a) sin -— sin —i—. (17)

ix iy

sh f + __21'

n,_-l

y

Отметим, что если функция в (5) известна точно, то правая часть в (13) вида (10) и, следовательно, (9) соответствует плотности а вида (4), поэтому коэффициенты фпт(а) = апт/Кпт(а) убывают быстрее, чем растет ехр{пЛ + у2(Н — а)}(пт22 + 1гг) и ряд (17) сходится по крайней

у х у х у

мере в ¿2 .

3. Решение обратной задачи в случае приближенных данных

Пусть вместо точных функций f и g известна функция f6 и g6 такие, что

!!f6 - f !!l2(s) < S, \\gs - g\\L2{s) < CS, (18)

В этом случае функция Ф вида (10) вычисляется приближенно:

Ф6 (М) = У [g6ф(М, P) - f6 dp (М, P)] dap, (19)

S

Отметим, что при g = -hf, g6 = -hf6 согласно (5) в качестве константы C в (18) можно взять C = h.

Для разности приближенной и точной правой части интегрального уравнения (13) нетрудно получить оценку

||Ф6 - Ф|к2(П(а)) < CiS, Ci = Const.

Здесь

П(а) = {(х,у,г) : 0 < х < lx, 0 < у < ly,z = a} , a < min F(х,у).

Устойчивое приближенное решение интегрального уравнения первого рода (13) как некорректно поставленной задачи может быть получено на основе метода регуляризации Тихонова [3]. В качестве приближенного решения интегрального уравнения будем рассматривать экстремаль функционала Тихонова

М[ад] =|| Kw - Ф6 ||L2(п(а)) +« II w IIL2, (20)

где K — интегральный оператор в (13). Экстремаль a^ может быть получена как решение уравнения Эйлера для функционала (20) в виде

6 / \ ^ Ф6n_(a)Kn_(a) . ппх . пту , л

а«ху) = n_-i 1+Kma) 17 sm —' (21)

где ФПт(а) - коэффициенты Фурье функции Фг|ща) вида (19) и Knm(a) имеет вид (16).

Приближенное решение (21) отличается от точного (17) регуляризирующим множителем в коэффициентах ряда.

Теорема 1. Для любого а = а(5) > 0 такого, что а(5) ^ 0 и 5/д/а(5) ^ 0 при 5 ^ 0 функция a^ вида (21) сходится к точному решению (17) в L2 при 5 ^ 0.

В случае, когда а(М) = aoXD (М) в соответствие с (14) построим приближение DД к носителю D плотности a на основе приближенной функции плотности источников (21)

D{ = {(x, y) : — asa (x,y) > X, 0 <A< 1}. (22)

ao

Теорема 2. В условиях теоремы 1 мера разделенной разности n(Dsx AD) ^ 0 при 5 ^ 0 .

Доказательство теорем 1 и 2 дословно повторяет доказательство соответствующих теорем в [7].

Формулы (22), (21), (19) решают поставленную обратную задачу.

4. Приложение результатов к обратной задаче термографии

Решение обратной задачи может быть использовано для решения обратной задачи термографии [8]. Задача (2) представляет собой модель теплопроводящего тела цилиндрической формы, содержащего источники тепла (4), на боковых гранях которого поддерживается нулевая температура, а на поверхности S имеет место теплообмен со средой нулевой температуры, описываемый законом Ньютона, т. е. третьим краевым условием. Если в рамках модели (2) распределение температуры на поверхности S может быть измерено как функция f , например, тепловизионными методами, то в рамках этой модели может быть поставлена рассмотренная здесь обратная задача восстановления плотности распределения источников. Полученные результаты могут быть использованы при математической обработке термограмм в теплови-зионных исследованиях в медицине [9] и других областях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала // ДАН СССР. 1954. Т. 99. № 1. С. 21-22.

2. Пpилепкo А.И. Обратные задачи теории потенциала // Математические заметки. 1973. Т. 14. № 5. С. 755-767.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

4. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. № 1. С. 105-112.

5. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко О.К., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации // Известия АН СССР. Физика Земли. 1968. № 1. С. 30-48.

6. Ланеев Е.Б., Муратов М.Н., Пономаренко Е.Ю. Об одной линейной обратной задаче потенциала в нечетно-периодической модели // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 5. С. 1249-1255.

7. Ланеев Е.Б., Муратов М.Н., Пономаренко Е.Ю., Бааж О. Об одной линейной обратной задаче потенциала для постоянной толщины // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2019-2025.

8 . Ланеев Е.Б., Муратов М.Н. Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе // Вестник РУДН. Серия Математика. 2003. № 10(1). С. 100-110.

9. Иваницкий Г.Р. Тепловидение в медицине // Вестник РАН. 2006. Т. 76. № 1. С. 48-58.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-05134) и инициативного проекта РУДН № 033801-0-000.

Поступила в редакцию 10 сентября 2017 г.

Герасимова Алена Валерьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected] Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Муратов Михаил Николаевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Пономаренко Екатерина Юрьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Суровцев Виктор Васильевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, заместитель директора по инновациям Медицинского института, e-mail: [email protected]

UDC 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1261-1267

ON ONE INVERSE PROBLEM OF SOURCES DENSITY DISTRIBUTION RECONSTRUCTION IN A MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE POISSON EQUATION

© A.V. Gerasimova, E.B. Laneev, M.N. Muratov, E. Yu. Ponomarenko, V. V. Surovtsev

RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

An inverse problem with mixed boundary value conditions for the Poisson equation for bodies of constant thickness is considered, aiming to reconstruct the sources density distribution. A stable solution of the problem is obtained.

Keywords: ill-posed problem; inverse problem of the potential; the Sretenskiy class of bodies; method of Tikhonov regularization

REFERENCES

1. Sretenskiy L.N. O edinctvennocti oppedeleniya fopmy ppityagivayushchego tela po znacheniyam ego vneshnego potentsiala // DAN SSSR. 1954. T. 99. № 1. S. 21-22.

2 . Prilepko A.I. Inverse problems of potential theory (elliptic, parabolic, hyperbolic, and transport equations) // Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1973. V. 14. Iss. 5. P. 990-996.

3. Tihonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnyh zadach. M.: Nauka, 1979. 288 c.

4. Laneev E.B. Ustoychivoe reshenie odnoy nekorrektno postavlennoy kraevoy zadachi dlya potentsial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2000. № 1. S. 105-112.

5. Tihonov A.N., Glasko V.B., Litvinenko O.K., Melihov V.R. O prodolzhenii potentsiala v storonu vozmushchayushchih mass na osnove metoda regulyarizatsii // Izvestiya AN SSSR. Fizika Zemli. 1968. № 1. S. 30-48.

6 . Laneev E.B., Muratov M.N., Ponomarenko E.Yu. Ob odnoy lineynoy obratnoy zadache potentsiala v nechetno-periodicheskoy modeli // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2015. V. 20. Iss. 5. P. 1249-1255.

7. Laneev E.B., Muratov M.N., Ponomarenko E.Yu., Baazh O. Ob odnoy lineynoy obratnoy zadache potentsiala dlya postoyannoy tolshchiny // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki -Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2016. V. 21. Iss. 6. P. 2019-2025.

8. Laneev E.B., Muratov M.N. Ob odnoy obratnoy zadache k kraevoy zadache dlya uravneniya Laplasa s usloviem tret'ego roda na netochno zadannoy granitse // Vestnik RUDN. Seriya Matematika. 2003. № 10(1). S. 100-110.

9. Ivanitskii G.R. Thermovision in medicine // Herald of the Russian Academy of Sciences. 2006. V. 76. № 1. P. 44-53.

ACKNOWLEDGEMENTS: The present research is supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 15-01-05134) and initiative project RUDN University № 033801-0-000.

Received 10 September 2017

Gerasimova Alyona Valer'evna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, post graduate student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Laneev Evgeniy Borisovich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Muratov Mikhail Nikolaevich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Ponomarenko Ekaterina Yuryevna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, post graduate student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Surovtsev Viktor Vasil'evich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, deputy director of innovation Institute of Medicine, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Герасимова А.В., Ланеев Е.Б., Муратов М.Н., Пономаренко Е.Ю., Суровцев В.В. Об одной обратной задаче восстановления плотности распределения источников в смешанной задаче для уравнения Пуассона // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1261—1267. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1261-1267.

For citation: Gerasimova A.V., Laneev E.B., Muratov M.N., Ponomarenko E.Yu., Surovtsev V.V. Ob odnoy obratnoy zadache vosstanovleniya plotnosti raspredeleniya istochnikov v smeshannoy zadache dlya uravneniya Puassona [On one inverse problem of sources density distribution reconstruction in a mixed boundary value problem for the Poisson equation]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1261-1267. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1261-1267 (In Russian, Abstr. in Engl.).