Об одной задаче продолжения потенциального поля в непериодической модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-82-88

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ В НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

© Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, Н. С. Сибелев, А. В. Герасимова

Получено устойчивое решение задачи продолжения поля потенциала с неплоской поверхности в рамках непериодической модели.

Ключевые слова: некорректно поставленная задача; продолжение потенциального поля; метод регуляризации Тихонова.

В данной работе обратная задача потенциала [1] решается в рамках концепции регуля-ризованного [2] аналитического продолжения поля потенциала [3]. В отличие от работ [4], [5], [6], [7], использующих периодические модели [4], здесь рассматривается поле непериодического потенциала. Тем не менее, продолжение осуществляется с поверхности общего вида в пределах той же области, что и в [4] — цилиндре прямоугольного сечения, что позволяет, использовать разложения в ряды Фурье, удобные для приложений при численных рассчетах. Задача некорректно поставлена. Устойчивое решение строится с использованием метода регуляризации Тихонова [2]. Отметим, что в работе [3] продолжение осуществляется с плоской поверхности.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в пространстве R3 потенциальное поле E, источники которого имеют плотность р с ограниченным носителем

rot E = 0, M е R3 (1)

div E = -4пр. ( 1

Если плотность р известна, поле E может быть найдено как градиент ньютонова объемного потенциала

E(M) = -V [ dVp = - [ Vm—p(P)dVp, M е R3.

J TMP J TMP

Suppp Suppp

Будем считать, что носитель плотности р располагается в бесконечном цилиндре прямоугольного сечения

Dx = {(x, y, z) : 0 <x <lx, 0 <y <ly, -ж < z < то} .

Если построить нечетно-периодическое продолжение относительно Dx плотности р на все пространство R3 , то соответствующее такой модели поле является решением задачи [5]

rot E(M) = 0, M е Dx, div E(M ) = -4пр, [n, E]\x=o,ix =0, [n, E]|y=o = 0, E ^ 0 при z ^

Пусть в области D^ задана поверхность S

S = {(x,y,z) : 0 <x<lx, 0 <y <ly,z = F(x,y)} ,

F € C2,S П Suppp = 0. (3)

Будем считать, что поверхность S такова, что ее пересечение с боковыми гранями цилиндра D^ лежит на плоскости z = 0 , то есть

F(0, у) = 0, F(lx,y) = 0, F(x, 0) = 0, F(x, ly) = 0.

Рассмотрим область

D(F, H) = {(x, y, z) : 0 <x <lx, 0 < y < ly ,H <z< F (x, y)} ,

где H такое, что носитель плотности находится вне рассматриваемой области D(F, H) , а именно в области z> H .

Предположим, что в рамках модели (2) плотность р неизвестна, а значение поля E на поверхности S задано в виде известной вектор-функции E0 = (EX, E^, E°)

E|s = E0.

Тогда в области D(F, H) , то есть в области вне источников, плотность которых неизвестна, получаем задачу продолжения поля [5]

rot E(M) = 0, M € D(F,H), div E(M )=0,

E|S = E0, (4) [n, E] |x=o,i, =0, [n, E] |y=o,zy =0,

В [5] построено устойчивое решение задачи. Информация о плотности р может быть получена интерпретацией поля, полученного как решение задачи (4), при z = H , то есть вблизи носителя плотности.

Пусть теперь в рамках модели (1) плотность р неизвестна, а задано значение поля E на поверхности S

и на боковых гранях цилиндра D(F, H)

E|x=0,lx,y=0,ly = E\

Тогда в области D(F, H) , т. е. как и в задаче (4) в области вне источников, плотность которых неизвестна, получаем задачу продолжения поля в модели (1), т. е. в непериодической модели:

rot E(M) = 0, M € D(F,H), div E(M )=0,

E|S = E0, (5)

E|x=0,lx,y=0,ly = E\

В отличие от задачи (4) в задаче (5) продолжения непериодического поля условия на боковых гранях цилиндра неоднородны. Функция E1 , как и E0 , предполагается известной.

Для компоненты поля Ez аналогично [5] получаем смешанную задачу, по сути — задачу Коши для уравнения Лапласа [8]

AEz(M)=0, M € D(H,F),

Ez ^ = E0,

E|s = E0.

QEz\ =! ( QEx + dEy \ n =(F F 1) (6)

"T— S = -[—.--+ ^^ , n1 = (Fx , Fy, -1) ,

дп щ V dx dy J

Ez и=0,1х = Ez, Ez ^=0,1^ = Ez,

Задача продолжения (6) компоненты поля Ех с поверхности 5, также как и задача (5) некорректно поставлена.

Построим точное решение задачи (6).

2. Решение задачи в случае точно заданного поля Е0 и Е1

Рассмотрим функцию ф(М, Р) — функцию источника задачи

Ди(М) = р, М € Б™, и\х=о,1х =0, и\у=о,1у =0, и ^ 0 при

т. е.

ф(м, Р) = —-— + W(М, Р), 4пгмр

где W(М, Р) — гармоническая функция по Р .

Функцию источника можно получить [9] в виде ряда Фурье

оо # + т\ZM-zp \

2 e У x y . ппхм . птум . -nxp . -myp ф{М, p) = -— -1 2 2-sm —i-sm---sin —— sin—i-, (7

-lxly n,m=l + ^T 1x 1y 1x 1y

или в виде суммы источников с периодом 2lx по х и 2ly по у

Ф(М,Р) = 4- ¿ (—-------— + —), (8

4— Vr1,nm r2,nm r3,nm r4,nm'

n,m=—oo

где

ri,nm = [(хм - xp + 2lxn)2 + (ум - yp + 2lym)2 + (zm - zp)2]1/2 r2,nm = [(хм + xp + 2lxU)2 + (ум - yp + 2lym)2 + (zm - Zp)2]1/2 Гз,пт = [(хм - xp + 2lxu)2 + (ум + yp + 2lym)2 + (zm - Zp)2]1/2 Г4,пт = [(хм + xp + 2lxu)2 + (ум + yp + 2lym)2 + (zm - Zp)2]1/2.

Следуя работе [5] можно получить точное решение Ez задачи (6) в виде Ez (M) = vz (M) - '^z (M) - Bz (M) =

£ (Фz,nm(a)+ Bznm(a))eVf+¥(zMsin ^M sin п_шу_M - $z(M) - Bz(M), (9)

xy

n,m=1 "

где a< min F(x,y) , а функции Фz и Bz с учетом (7), (8), (3) имеют вид

(x,y)

Ix ^V

т0(т А д W , T&f - д

íz(М) = | J[E°x(xp,yp)дРФ(М, P)|pes + E0(xp,yp)дУрф(М,Р)\р&S+ о 0

+ E0(xp, yp)(ni, Vpф(М, P))|pgsjdxpdyp, (10)

Н 1х

В, (М )=/ / - Е\ (хр, 0, гр)

дф(М, Р)

о о

+

Е](0,ур ,гр)

дур дф(М, Р)

у=о

+ Е\(хр ,1у ,гр)

дф(М, Р)

дхр

х=0

+ Е, (1х,ур ,гр)

дур дф(М, Р)

у=1у-!

(1хр +

дхр

х-1Х

(ур (гр (11)

Фг,пт(а) и В,ппт(а) — коэффициенты Фурье функций Ф, и В, , в частности

1-х 1У

- 4 /* С ппх пшу

Фг,пт(а~) = — Ф,(х, у, а) 8\П~— ЭШ —-(х(у

1хЛу J J 1х 1у

оо

Точное решение задачи (5), т. е. полный вектор Е , может быть получено на основе компоненты (9) с помощью двумерного преобразования Гильберта [10].

4. Решение задачи в случае приближенно заданного поля Е0 и Е1

Пусть теперь вместо точных вектор-функций Е0 и Е1 в задаче (6) известны функции Е0'5 и Е1'5 такие, что

||Е0,5 - Е°||Ь2(п(°)) <8, ||Е15 - Е1^ <5

1,5 T7.1l

В этом случае функции Ф, вида (10) и В, вида (11) вычисляеются приближенно:

1-х 1У

Ф,(М) = Х- [ АЕX'5(хр,ур)дхдрф(М,Р)Ыз + Е°/(хр,ур)ду-ф(М,Р)^^+

1х1у

О О

д_

дур'

+ Е°/(хр,ур)(щ, Урф^Р^р^](хр(ур; (12)

У

Н I-

В5 (М ) =

Е1/(хр, 0,гр)

дф(М, Р)

о о

+

Е1/ (0, ур ,гр)

дур дф(М, Р)

+ Е," (хр Л, гр)дфМР1

у-0 дур

у=1у

(хр +

дхр

х=0

+ Е» (хур ,гР) дф(М'Р >

дхр

х—1х

(ур (гр (13)

при этом устойчивое приближенное решение задачи (6) продолжение составляющей поля Ег с поверхности 5 может быть получено аналогично [5] с использованием метода регуляризации Тихонова [2] и имеет вид

У

Е'(М) = V5 (М) - Ф, (М) - В\ (М) =

п 2 + т2

^ (Ф,,пт(а)+ Щ,пт(а))е* 'Х 1у . ППхм . ПШум ^Гл^ г>5,Л/Г^ (ллЛ

> -!-!-,-2-2-8Ш —-8Ш —--Ф, (М ) - в5 (М ), (14)

+ 1Г (Н-а) 1х 1у

1 + ае V ¡х ¡у

^¡Х + уг (,м-а)

л 2Я. /п2 + т2 ( Н — а) 1х I

п,т=1 _ . + У

где фz,nm(a) и B&Znm(a) - коэффициенты Фурье функций B5Z|ща) и ФZ|щ«) вида (12) и (13).

Сходимость приближенного решения (14) задачи (6) к точному решению (9) обеспечивает теорема

Теорема [5]. Для любого а = а(5) > 0 такого, что а(5) — 0 и 5/у/аЩ — 0 при 5 — 0 функция Ez а вида (14) равномерно сходится к точному решению задачи (6) на любом замкнутом множестве в D(F, H) .

Устойчивое приближенное решение задачи (5), то есть полный вектор Ea , может быть получено на основе компоненты (14) с помощью двумерного преобразования Гильберта [10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Матем. заметки. 1973. Т. 14. № 5. С. 755-767.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

3. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко О.К., Мелихов В.Р. О продолжени потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. № 1. С. 30-48.

4. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. № 8 (1). С. 21-28.

5. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. № 1. С. 105-112.

6. Ланеев Е.Б. О погрешности периодической модели задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. № 9 (1). С. 4-16.

7 . Ланеев Е.Б. Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2002. № 1 (1). С. 8797.

8. Ланеев Е.Б., Васудеван Бхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. № 1. С. 128-133.

9 . Ланеев Е.Б. Некорректные задачи продолжения гармонических функций и потенциальных полей и методы их решения. М.: Изд-во РУДН, 2006. 139 с.

10 Ланеев Е.Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2001. № 1. С. 110-119.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-05134).

Поступила в редакцию 15 декабря 2015 г.

Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Муратов Михаил Николаевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Сибелев Никита Сергеевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Герасимова Алена Валерьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, студент магистратуры кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail:[email protected]

2016. T. 21, Bbm. 1. MaTeMaTHKa

UDC 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-82-88

ON A PROBLEM OF CONTINUATION OF THE POTENTIAL FIELD

IN NON-PERIODIC MODELS

© E.B. Laneev, M.N. Muratov, N. S. Sibelev, A. V. Gerasimova

A stable solution to the problem of the continuation of potential fields with non-planar surfaces under non-periodic models was obtained.

Key words: ill-posed problem; linear inverse problem of the potential; method of Tikhonov regularization.

ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 15-01-05134).

REFERENCES

1. Ppilepko A.I. Obpatnye zadachi teopii potenciala // Matem. zametki. 1973. T. 14. № 5. S. 755-767.

2. Tihonov A.N., Arsenin V.YA. Metody resheniya nekorrektnyh zadach. M.: Nauka, 1979. 288 c.

3. Tihonov A.N., Glasko V.B., Litvinenko O.K., Melihov V.R. O prodolzheni potenciala v storonu vozmushchayushchih mass na osnove metoda regulyarizacii // Izv. AN SSSR. Fizika Zemli. 1968. № 1. S. 30-48.

4. Laneev E.B. O nekotoryh postanovkah zadachi prodolzheniya potencial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2000. № 8 (1). S. 21-28.

5. Laneev E.B. Ustojchivoe reshenie odnoj nekorrektno postavlennoj kraevoj zadachi dlya potencial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2000. № 1. S. 105-112.

6. Laneev E.B. O pogreshnosti periodicheskoj modeli zadache prodolzheniya potencial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2001. № 9 (1). S. 4-16.

7. Laneev E.B. Ob osobennostyah primeneniya metoda Fur'e pri chislennom reshenii zadachi prodolzheniya potencial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya i komp'yuternaya matematika. 2002. № 1 (1). S. 87-97.

8. Laneev E.B., Vasudevan Bhuvana Ob ustojchivom reshenii odnoj smeshannoj zadachi dlya uravneniya Laplasa // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 1999. № 1. S. 128-133.

9. Laneev E.B. Nekorrektnye zadachi prodolzheniya garmonicheskih funkcij i potencial'nyh polej i metody ih resheniya. M.: Izd-vo RUDN, 2006. 139 c.

10. Laneev E.B. Dvumernyj analog preobrazovaniya Gil'berta v zadache prodolzheniya potencial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2001. № 1. S. 110-119.

Received 15 December 2015.

Laneev Evgeniy Borisovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Muratov Mikhail Nikolaevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Sibelev Nikita Sergeevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Gerasimova Alyona Valer'evna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, M.Sc. Student of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

УДК 517

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-88-95

НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ

© Е. А. Плужникова

Предложено распространение понятий накрывания и метрической регулярности на отображения пространств с векторнозначной метрикой (под такой «метрикой» понимается функция со стандартными свойствами метрики, значениями которой являются элементы конуса линейного пространства). Получена теорема о точках совпадения накрывающего и липшицева (относительно векторнозначной метрики) отображений. Это утверждение является аналогом теоремы А.В. Арутюнова о точках совпадения. На примере исследования одного класса разностных уравнений в пространстве измеримых существенно ограниченных функций иллюстрируются некоторые приложения полученных результатов.

Ключевые слова: точки совпадения отображений; накрывающие отображения; метрически регулярные отображения; пространства с векторнозначной метрикой; итерации.

А.В. Арутюновым в [1]—[4] получены утверждения о существовании и свойствах точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующих в метрических пространствах. Эти работы положили начало ряду исследований свойств множеств точек совпадения, приложениям результатов о накрывающих отображениях к неявным дифференциальным и интегральным уравнениям, задачам управления и др. (см., например, [5]-[7]). В работах [8]-[13] было предложено распространение понятия накрывания и теорем о точках совпадения на произведения метрических пространств.

Данная статья продолжает исследования [8]-[13]. Предлагается определение векторного аналога свойства накрывания (метрической регулярности) для отображений, действующих в пространствах с векторнозначной метрикой. Этим термином мы называем функцию со стандартными свойствами метрики, но значениями которой вместо неотрицательных чисел являются элементы конуса линейного пространства. Отображения в пространствах с вектор-нозначной метрикой оказываются полезными при исследовании конечных и бесконечных систем уравнений, в том числе, краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений относительно функций нескольких переменных.

Для метрического пространства X = (X,px) обозначаем через Вх (u,r) замкнутый шар {х € X : рх(x,u) ^ r} с центром в точке u € X радиуса r ^ 0.

Пусть X, Y — метрические пространства с метриками рх, Py ■ Пусть заданы отображения Ф: X — Y, Ф : X — Y. Рассмотрим уравнение

Ф(х) = Ф(х). (1)

Решение этого уравнения называют точкой совпадения отображений Ф и Ф. Вопрос о существовании и свойствах точек совпадения исследован А.В. Арутюновым (см. [1]-[4]) в предположении, что отображение Ф является накрывающим, а Ф — липшицевым.