CC BY
43
где 4Пт(а) - коэффициенты Фурье функции Фг|ща) вида (17) и Кпт(а) имеет вид (15).
Приближенное решение (19) отличается от (14) регуляризирующим множителем. Сходимость приближенного решения (19) в ¿2 к точному решению (14) обеспечивает
Теорема 1. Для любого а = а(6) > 0 такого, что а(6) ^ 0 и 6/ л/ а(6) ^ 0 при 6 ^ 0 функция а^ вида (19) сходится к точному решению (14) в Ь2 .
Доказательство. Следуя в целом схеме [10] оценки приближенного решения линейного интегрального уравнения, вводя функцию аа вида (19) при 6 = 0, получим
\\а&а - 0\\Ь2 = \\а&а - °ЛЬ2 + \\аа - о\\ьг =
= [ < гЩа)2'4 ^- 4
+ [ ^ (Г+Щ) )'|**(а)^ =
= max (^)11ф " ^(П,.)) + [¿£ () W =
Г
= + °(а(6)) ^ 0,6 ^ 0
а(6)
□
В случае, когда а(М) = аоХэ (М) в соответствие с (12) построим приближение к носителю О плотности а на основе приближенной функции плотности источников (19)
О = {(х,у): — а6а (х,у) > X, 0 <А< Г}. (20)
ао
Теорема 2. В условиях теоремы сходимости 1 мера 'разделенной разности АО) ^ ^ 0 при 6^0.
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что
Г л 6
у—аа - Хэ\и2(п(0)) = + °(а(6)) ^ 6 ^ 0-
ао а(6)
Из сходимости а^ к Хэ в Ь2 следует сходимость по мере [9]. Далее доказательство дословно повторяет доказательство теоремы в [8].
Формулы (20), (19), (17) решают поставленную обратную задачу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Математические заметки. 1973. Т. 14. № 5. С. 755-767.
2 . Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала // ДАН СССР. 1954. Т. 99. № 1. С. 21-22.
3. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. № 8(1). С. 21-28.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
5. Ланеев Е.Б. О погрешности периодической модели задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. № 9(1). С .4-16.
6 . Ланеев Е.Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. № 1. С. 105-112.
7. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко О.К., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. № 1. С. 30-48.
2023
8 .Ланеев Е.Б., Муратов М.Н., Пономаренко Е.Ю. Об одной линейной обратной задаче потенциала в нечетно-периодической модели // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. № 5. С. 1757-1762.
9 . Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
10 Ивйнйв В.К., Вйвин В.В., Тйнйнй В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-05134) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 15 октября 2016 г.
Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Муратов Михаил Николаевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Пономаренко Екатерина Юрьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Бааж Обаида, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, студент магистратуры, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
UDC 519.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2019-2025
ON A LINEAR INVERSE PROBLEM FOR THE NEWTONIAN POTENTIAL FOR BODIES OF CONSTANT THICKNESS
© E.B. Laneev, M.N. Muratov, E.Yu. Ponomarenko , 0. Baaj
Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
A linear inverse problem for the Newtonian potential for bodies of constant thickness is considered, the field of potential is defined on a non-linear surface. A stable solution of the problem is obtained.
Key words: ill-posed problem; inverse problem of the potential; the Sretenskiy class of bodies; method of Tikhonov regularization
2024
REFERENCES
1. Ppilepko A.I. Obpatnye zadachi teopii potentsiala // Matematicheskie zametki. 1973. T. 14. № 5. S. 755-767.
2 . Sretenskij L.N. O edinctvennocti oppedeleniya fopmy ppityagivayushchego tela po znacheniyam ego vneshnego potentsiala // DAN SSSR. 1954. T. 99. № 1. S. 21-22.
3. Laneev E.B. O nekotoryh postanovkah zadachi prodolzheniya potentsial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2000. № 8(1). S. 21-28.
4. Tihonov A.N., Arsenin V.YA. Metody resheniya nekorrektnyh zadach. M.: Nauka, 1979. 288 c.
5. Laneev E.B. O pogreshnosti periodicheskoj modeli zadache prodolzheniya potentsial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2001. № 9(1). S. 4-16.
6 . Laneev E.B. Ustojchivoe reshenie odnoj nekorrektno postavlennoj kraevoj zadachi dlya potentsial'nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2000. № 1. S. 105-112.
7. Tihonov A.N., Glasko V.B., Litvinenko O.K., Melihov V.R. O prodolzhenii potentsiala v storonu vozmushchayushchih mass na osnove metoda regulyarizatsii // Izv. AN SSSR. Fizika Zemli. 1968. № 1. S. 30-48.
8. Laneev E.B., Muratov M.N., Ponomarenko E.YU. Ob odnoj linejnoj obratnoj zadache potentsiala v nechetno-periodicheskoj modeli // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2015. T. 20. № 5. S. 1757-1762.
9. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsij i funktsional'nogo analiza. M.: Nauka, 1972. 496 s.
1(0 Ivanov V.K., Vacin V.V., Tanana V.P. Teopiya linejnyx nekoppektnyx zadach i ee ppilozheniya. M., 1978.
206 c.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 15-01-05134) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.
Received 15 October 2016
Laneev Evgeniy Borisovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Muratov Mikhail Nikolaevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Ponomarenko Ekaterina Yuryevna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, post graduate student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Baaj Obaida, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, M.Sc. student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail:[email protected]
Информация для цитирования:
Ланеев Е.Б., Муратов М.Н., Пономаренко Е.Ю., Бааж О. Об одной линейной обратной задаче потенциала для тел постоянной толщины // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2019-2025. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2019-2025
Laneev E.B., Muratov M.N., Ponomarenko E.Yu., Baaj 00. Ob odnoj linejnoj obratnoj zadache potenciala dlya tel postoyannoj tolshchiny [On a linear inverse problem for the newtonian potential for bodies of constant thickness]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2019-2025. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2019-2025 (In Russian)
2025
УДК 519.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2026-2041
НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ СИСТЕМ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
© Г. И. Малашонок
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Определяется новое поколение систем символьных вычислений - облачные математические сервисы, которые появились в последние 10 лет. Основная часть статьи посвящена описанию возможностей одной из таких систем, которая называется MathPartner. Обсуждается влияние этих систем на развитие многих современных технологий, в первую очередь, образовательных технологий. В заключительном разделе приводится обзор других известных облачных систем компьютерной алгебры и вычислительной математики.
Ключевые слова: облачная математика, компьютерная алгебра, MathPartner, символьные вычисления
1. Введение
Развитие систем символьно-численных вычислений, одновременно с развитием облачных технологий, привело к появлению нового поколения систем компьютерной алгебры - математических сервисов широкого назначения.
Одним из первых в этом классе систем является "Math Partner"[1]. Сегодня этот сервис доступен по адресу mathpar.cloud.unihub.ru.
Настоящее сообщение посвящено описанию его особенностей и тем новым возможностям, которые он предоставляет самому широкому кругу пользователей: от профессионалов математиков - до младших школьников, от физиков-теоретиков - до учителей математики и физики.
Можно ожидать, что облачные математические сервисы приведут к кардинальному изменению всей системы образования, к изменению статуса математического знания в современном обществе. Математическим аппаратом можно будет эффективно пользоваться, избегая технической рутины, во всех сферах деятельности человека.
Важным фактом, связанным с появлением облачных математических сервисов, является появление нового письменного языка математики. Этот язык максимально приближен к естественному языку, а его операторы понимает и исполняет сервер. Так как сервер свободно доступен в Интернете, то этим языком может воспользоваться и школьник, и студент, и инженер, и ученый. На таком языке можно создавать учебники и задачники, сохранять их в общедоступных базах. Такими учебниками удобно пользоваться. Можно просто копировать из них формулы и операторы, переносить их в свою рабочую тетрадь.
Для обращения к серверу не требуется приобретать какие-либо дополнительные программы. Достаточно воспользоваться современным браузером, который есть сегодня у всех. Пользователю легко освоиться на сервере, так как сервер снабжен многочисленными выпадающими меню, страницами помощи и выгружаемым руководством пользователя. Выпадающее меню содержит большой запас слов, предложений и операторов, за которыми стоят нужные пользователю математические конструкции.
2026
Основным объектом на сервере является рабочая тетрадь пользователя. Такая тетрадь заводится для каждого пользователя и сохраняет все введенные пользователем предложения. Тексты в такую тетрадь можно загружать и выгружать как обычные текстовые файлы или способом «копировать-вставить», как в любом редакторе.
Можно ожидать, что изменится качество образования в результате индивидуализации и интенсификации. Можно будет усилить обратную связь между учащимся и образовательной системой: автоматически проверять самостоятельные результаты учащегося, при наличии ошибки автоматически рекомендовать исправить или же демонстрировать правильное решение. При этом, все действия учащегося могут сохраняться в его облачном дневнике, а ученику может присваиваться рейтинг, отражающий его знания и умения.
Основная часть этой статьи посвящена описанию возможностей облачного сервиса MathPartner. В заключительном разделе приводится обзор других известных облачных систем компьютерной алгебры и вычислительной математики.
2. О языке сервиса MathPartner
Сервис предоставляет возможность вводить и исполнять программы на языке Mathpar.
Этот язык можно рассматривать как расширение подмножества выражений языка LaTeX, основу которого много лет назад заложил Дональд Кнут.
Текст, содержащий запись на языке - это текстовый файл, который может создаваться, редактироваться и сохраняться так же, как тексты на LaTeX.
Дополнительно введены операторы присваивания, операторы вычисления, операторы управления и создания процедур. Другой смысл и форму записи имеют операторы установки окружения и операторы вывода графиков. Операторы установки окружения определяют основное числовое множество, типы операций в этом множестве, имена переменных и некоторые константы.
Имеется группа операторов вычисления, которые предназначены для использования многопроцессорного кластера при проведении вычислении.
Исходный текст и результаты вычислений могут отображаться в двух видах: в исходном виде и в виде PDF. Они появляются в одном и том же окне, а сменить вид окна можно с помощью кнопки-переключателя, которая расположена над окном.
Принципиальное отличие Mathpar от LaTeX в том, что после исполнения сервером программы результатом будет новое математическое выражение или график, которые появятся как результат вычислений.
Для более подробного знакомства с языком Mathpar можно воспользоваться литературой [2]-[6], загрузить загрузить в компьютер с сайта "Руководство по языку" или воспользоваться страницами "Помощи" на сайте.
3. Элементы синтаксиса языка
Текст программы состоит из операторов языка, которые отделяются либо точкой с запятой, либо любыми выражениями, заключенными в двойные кавычки. Выражения, заключенные в кавычки, рассматриваются только как комментарии. А в операторах используются апострофы в тех случаях, когда нужно выделить текстовый фрагмент.
3.1. Операторы присваивания
Оператор присваивания в левой части содержит имя переменой, а в правой части - математическое выражение или функцию, которая определена в языка Mathpar.
2027
3.2. Процедуры и функции
Основному тексту программы могут предшествовать процедуры и функции. Процедура начинается со служебного слова, имеет имя и может иметь аргументы, оператор выхода из процедуры и оператор возвращаемого значения: \ return objectName.
Синтаксис процедур и функций такой: \procedure proc1(arg1, arg2,..){оператору оператор2;..}
3.3. Операторы управления
Кроме операторов присваивания доступны операторы управления:
if(){}else{} — оператор ветвления;
while() {} — оператор цикла с предусловием;
for( ; ; ){} — оператор цикла со счетчиком.
Кроме того, имеются специальные операторы: операторы вывода значения выражений, операторы вывода графиков и операторы настройку, окружения.
3.4. Вывод результата
Используется простое правило для вывода результата вычислений. Если в исполняемой части программы не встретился оператор вывода, то выводится значение выражения в последнем операторе. Когда выводится результат, то входные выражения и результат вычислений компилируются в PDF-подобный вид и демонстрируются на экране. В частности, все имена, которые начинаются с символа "backslash", пишутся жирным шрифтом "bold", а сам знак (\ ) не ставится.
3.5. Некоммутативные объекты
Все переменные, которые заводит пользователь, считаются коммутативными, кроме тех, у которых имена начинаются с символа backslash и заглавной буквы. Вот примеры некоммутативных переменных: \A , \Omega , \Table . Поэтому, например, при вводе a * b — b * a результатом будет 0, но при вводе \A * \B — \B * \A результатом будет A * B — B * A .
3.6. Допустимые отступления в записи оператора присваивания
Отметим, что синтаксис допускает следующие три отступления от правил в операторе присваивания. Слева от знака равно, в том месте, где должно быть имя переменной, разрешается размещать не только имя, но и сложное выражение. В одном операторе может присутствовать цепочка знаков "равно". Может совсем отсутствовать знак "равно"и вся левая часть.
Во всех этих некорректных случаях значение выражения, которое стоит справа, будет вычислено и доступно для вывода. Но это выражение не будет присвоено никакой переменной, если слева нет имени переменной. Все выражения, которые стоят до самого правого знака "равно", будут игнорироваться. Если оператор присваивания является последним, то вычисленное значение попадет в вывод.
Такая свобода в языке позволяет использовать сервис просто как тетрадь для записи решения задач. Например, можно ввести выражение "р=^=2-2" или " \ sin(a-a)= \ sin(0)". В обоих случаях будет получено значение 0. Число 0 в первом случае запишется в переменную p, а во втором случае 0 никуда не запишется.
2028
3.7. Комментарии
Комментарии - это текст, который заключен в двойные кавычки.
Так как в комментариях кроме обычного текста могут встречаться и математические выражения, то внутри комментариев действуют стандартные правила для текста, которые приняты в LaTeX. Переключение в математическую моду происходит путем окружения знаками доллара: $ выражение $ . Выделение выражения в отдельную строку с одновременным центрированием происходит путем окружения двумя знаками доллара: $$ выражение $$.
Специальная разметка текста в комментариях допускается только в пределах действия математической моды. Для красной строки можно использовать вот такое $\ \ \ $ сочетание символов. Жирный шрифт будет располагаться в центре строки, если текст выделить двумя знаками доллара: $$\bf \ЛЬох{жирный шрифт}$$ .
В комментариях можно писать шрифтом "италик" (\it) и использовать многие стандартные обозначения символов из LaTeXa, надстрочные и подстрочные символы. Эти символы можно найти в "подсказках" в левой панели.
4. Окружение
Окружение определяет пространство, в котором происходят вычисления. Оно позволяет установить основное числовое множество, типы операций в этом множестве, имена переменных и некоторые константы.
По умолчанию определено пространство R64[x, y, z, t] . Это пространство четырех переменных, самая младшая - х , самая старшая - t , над множеством приближенных действительных числе, которые хранятся в 64-битном машинном слове. Для таких чисел арифметические операции поддерживаются аппаратно.
Для смены пространства нужно выполнить команду установки нового пространства. Например, SPACE=Q[x] или SPACE=Z[p,q] и т. д.
4.1. Числовые множества
Пользователь может выбирать следующие числовые множества: Z - множество целых чисел ,
Zp - конечное поле Z/pZ , характеристика p задается пользователем (в постоянной MOD); Zp32 - конечное поле Z/pZ , характеристика p задается постоянной MOD32 которая должна быть меньше, чем 231 ,
Z64 - подмножество целых чисел {z : — 263 < z < 263} , Q - множество рациональных чисел ,
R - множество приближенных действительных чисел, у которых число цифр в мантиссе задается пользователем (постоянная ACCURACY),
R64 - множество приближенных действительных чисел (со стандартной 52-разрядной мантиссой и отдельным 11-разрядным полем для хранения порядка),
R128 - множество приближенных действительных чисел, использующих 128 бит: 52-разряда в мантиссе и отдельно 64-разряда для хранения порядка.
Еще 8 числовых множеств получаются в результате комплексификации этих восьми множеств: CZ, CZp, CZp32, CZ64, CQ, C, C64, C128. Всего 16 числовых множеств.
4.2. Переменные
Можно выбирать произвольные имена для основных переменных и порядок на переменных. Например, Z[c,b,a] - это пространство полиномов от трех переменных (c,b,a) над кольцом целых чисел, с таким старшинством c<b<a.
2029
