CC BY
48
УДК 517
О ФУНКЦИИ КАРЛЕМАНА-ЛАВРЕНТЬЕВА ДЛЯ ОДНОЙ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
© Е. Б. Ланеев
Ключевые слова: некорректно поставленная задача; задача Коши для уравнения Лапласа; функция Карлемана-Лаврентьева.
Для некорректно поставленной смешанной задачи для уравнения Лапласа построена функция Карлемана-Лаврентьева.
В работе [1] М.М. Лаврентьевым для задачи Коши для уравнения Лапласа рассматривается обобщение функции Карлемана, которое с одной стороны выполняет регуляри-зирующие функции, с другой — позволяет представить (приближенное) решение задачи Коши для уравнения Лапласа в виде интеграла от данных Коши. Таким образом, для некорректных задач предложен аналог функции Грина. Функция Карлемана-Лаврентьева может быть построена непосредственно на основе определения [1]. В [2] на основе метода регуляризации Тихонова [3] получено устойчивое приближенное решение одной смешанной задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида, аналогичной задаче Коши для уравнения Лапласа. В данной работе из этого приближенного решения в явном виде выделена функция Карлемана-Лаврентьева и доказано, что она является таковой и по определению.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую смешанную краевую задачу
Au(M) = 0, M £ D(F, H) = {(x, y,z) : 0 <x<lx, 0 < y < ly, F (x, y) <z < H},
u\s = f, S = {(x,y,z) : 0 <x <lx, 0 < y < ly, z = F (x,y)},
du (1)
— \s = g, F £ C2(П(0)), n(z) = {(x,y,z):0 < x < lx, 0 < y < ly,z = const}, vy
u\x=0,ix = 0, u\y=0,iy = 0.
Так как на поверхности S ставятся условия Коши, то эта смешанная задача структурно близка к задаче Коши для уравнения Лапласа и является некорректно поставленной. Решение задачи неустойчиво по отношению к погрешности в данных f и g . Отметим также, что поверхность S , на которой задаются условия Коши, описывается уравнением z = F(x, y) , где F — произвольная дифференцируемая функция, что не позволяет применить для решения задачи (1) метод Фурье непосредственно. В [2] предложен метод решения, применимый для широкого круга задач Коши для эллиптических уравнений и систем, основанный на сведении исходной задачи к интегральному уравнению первого рода, что позволяет, с одной стороны, получить в явном виде точное решение задачи, а с другой — применить схему регуляризации Тихонова [3] для получения устойчивого решения.
Пусть функции f и g в задаче (1) заданы с погрешностью, т. е. вместо f и g заданы функции f5 и g5 , такие что
\\f - f\\l2(s) < s, \\g5 - g\\L2{s) < Const • 5.
1757
Приведем приближенное решение задачи (1) в этом случае, сходящееся к точному решению при 5 ^ 0 , а также получим интегральное представление приближенного решения, аналогичное представлению решения задачи Дирихле, использующее функцию Грина.
2. Устойчивое решение
В [2] на основе метода регуляризации Тихонова [3] получено устойчивое приближенное решение задачи (1)
(М)= У6а(и) - Ф6(м), м е Б^И), (2)
где
Ф6(М) = У [-д6(Р)ф(М, Р) + ¡6(Р)др(М, Р)Цор. (3)
Функция ф(М, Р) — функция источника задачи
Ди(М) = р, М е Б™ = {(х, у, г) : 0 <х <1х, 0 < у < 1У, -ж < г < то}, и\х=о,1х = 0, п\у=о,1у = 0, и ^ 0 при \г\ ^ ж,
т. е.
ф(М, Р) = —-— + W(М, Р), 4ПГМР
где W(М, Р) — гармоническая функция по Р .
Функцию источника можно получить в виде ряда Фурье
^ ОО w I- I- ■
2 v-^ е Vх у nnxM пшум nnxP nmyP —— У -. 2 -sin—--sin—--sin—-—sin—--,
lxly n,m=l \ W + TT lx ly lx ly
n22+mr\zm-zp |
у
Функция Уа в (2) получена в виде ряда Фурье с регуляризирующим множителем и параметром регуляризации а
1 2 . m 2 у
Ы f Л IX + (zm-a) V^ ф0пт(а)е v x у . ппхм . птум
(M) =Y пт\а)е __-sin П^ХК sin П^К, (5)
n,m=l 1+ ^^/f+f^^ ^ 1У
где
~ x , . 4 f x ппх пту
фnm(a) = YY ф (x, y, a) sin — sin -— dxdy (6)
П(а)
— коэффициенты Фурье функции Фх вида (3) при z = a , a < min F(x, y) .
(x,y)en(ü)
Для приближенного решения (2) в [2] доказана
Теорема. Пусть решение задачи (1) существует в области D(F,H) . Тогда для любого а = а(6) такого, что а(6) — 0 и
¿/у/ф) — 0 при 6 — 0 функция ua(x) вида (2) равномерно сходится при 6 — 0 к точному решению в D(F + е, H — е), H — a ^ е > 0 .
Отметим, что при при отсутствии погрешности в данных f и g, т. е. при 6 = 0 формулы (2)-(6) при а = 0 дают точное решение задачи (1).
1758
3. Функция Карлемана-Лаврентьева
Получим теперь представление приближенного решения (2) задачи (1) и6а(М) = у&а(М) - Ф6(М), М е Б(Е, Н)
в виде интеграла по поверхности 5 , на которой заданы функции f и д . Получим функцию (5) в виде интеграла по поверхности Б :
оо
Фsnm{a)e ч lx ly..... . ппхм . птум
ví (M )= V ^^-sin ^ sin
Îr + mr(ZM-a)
n,m=1 ÎX + IT H-a) lx ly
1 + ae V lx ly
IjT + ir (zm-a)
e » l x l у 4 f s
-1 2 2-ту (1х(1Уф (х,У,а)х
n,m=1 îT + mT (H-a) 1х1У
1 + ae » x y i
1 + ae V 'x 'y n(a)
ппх пту ппхм птум х sin —-— sin —--Sin---Sin —--
lx ly lx ly
со //lX + l^(ZM-a)
v X+,
e x y 4
V^ e ' " 4 ,h s
n,m=l . + 2*M+ÍT(H-a) 1х1Уj
1 + ae » x y i
dх(у [-gó(P)ф(М ,P)+
1 + ae V l x l y n(a) s
, fSrr>\ дФ f дУ о\ы ■ ппх . пту . ппхм . птум + f s(P) ——(M , P)\aap sin —— sin —-— sin —--sin —--. (7)
дпР lx ly lx ly
Используя представление (4) для фундаментального решения ф и ортогональность системы функций
( \ œ
ппх пту < sin —;- sin 4
lx ly I
J n, m=l
получим
^ fe + JT (ZM-a)
e V l x l y 4 i , ' , ' i r s
vi(M)= ^ -==-— (х(у [-gs(P^(M,P)+
nm=1 2ж. Î22 + Í2(H-a) lxly J J
nm= 1 + ae v^ ^Г ; n(a) s
, t&!T3\ дф /„у dm л ■ ппх . пту . ппхм . птум + f "(P) я—(M , P)\aaP sin —— sin —— sin —--sin —--
дпР lx ly lx ly
2 m 2
Î2 +ir (zM-a) _ _ ÎT + ir (a-zp )
V- ........
n,m=i f+i2 (H-a) '^xly If + m "" ly
1 + ae V ' x ' y s V 'x 'y
Y- e V 1 x 1 y r s 2 ^ l'x iy . ппхр . птур
-г-2—^— [-g(P) zn—/ 2 2 i—sm—i—+
^ " ln¿ + m2 ( H — a) J пиц, /n_ _L m2 lx ly
П/#+i2 (a-zp )
+ f s (P ) 2 e v l x l ^ " sin ппхр sin птур ^^ sin ппхм sin птум
дпр п1^у ^ ! n + m? lx ly lx ly
y
1759
, ,„2 , m2
О ~ 1
S
Ргт + 12- (ZM-zp)
у t x 1 y
-h-g6(P)nVE 1 eV' "
ly nm=!i 2\¡ i2+i (H-a) Jf + m
1 + ae V 1 x 1 y V lx ly
nnxp nmyp ппхм птум
x sin —-— sin —-— sin —--sin —---+
lx ly lx ly
я O ~ 1 Vi2 + i (ZM-zp)
+ f6(P)E-X
dnp nlxly n^l Wf + f (H-a) lf + m
1 + ae V x y v lx ly
ппхр птур ппхм птум■, , , ч
x sin—-—sin—--sin—--sin—--\aaP (8)
lx ly lx ly
Обозначая
, nfy + 'y (zm-zp)
x y
Va (M,P )= * E 1 eV' '
nlxly пт=!л 2 ni f + mf (H-a) Х/Пг + m 1 + ae V 1 x 1 y v lx ly
ппхр птур ппхм птум , ч x sin —-— sin —-— sin —--sin —--, (9)
lx ly lx ly
получим va в виде интеграла
va (M) = f [-g6(P)Va(M,P) + f6 (P) dVa (M,P)\dap. (10)
S
Приближенное решение (2) с учетом представления (3) для функции Ф6 теперь можно записать в виде интеграла по поверхности S
u6a(M) = | [-д6 (P )Va(M,P) + f6 (P) ^ (M,P)\dap -S
- J[-д6(PMM,P) + f6(P)-dp(M,P)\dap =
S
= J[-g6 (P)Ca(M,P) + f6 (P) dCp (M,P)\dap, (11)
S
где
Ca (M, P) = V(M, P) + Va(M, P) = + Wa(M, P) =
4пrмp
o ~ -n\l f + f lzM-zP 1
2 v-^ e V x y ппхм птум пnxP пmyP
sin —--sin —--sin —-— sin
п1^у n,m=l sJ'jr + m lx ly lx ly
o ~ 1 f+i2 (zm-zp)
2 e 1 e v x y
п1xly n,m=i+ inM^H-a) jf+m
1 + ae " x y v x iy
1 + ae
. пnxp . пmyp . ппхм . птум ^ . ^
x sin—-—sin—--sin—--sin—--, a< min F (х,у), (12)
lx ly lx ly (x,y)en(Q)
X
X
1760
имеет смысл функции Карлемана-Лаврентьева [1], которая в отличие от условий, сформулированных в [1], должна удовлетворять еще и граничным условиям первого рода на боковых гранях цилиндра. Таким образом, функция Карлемана-Лаврентьева для задачи (1) определяется тремя следующими условиями.
I. Функция Карлемана-Лаврентьева имеет вид:
Са(М, Р) = Ф(М, Р) + Уа(М, Р) = + Ша(М, Р)
4ПГМР
причем функция Ша(М,Р) гармонична по Р в 0(Г,Н) II
дСа
дпр
(M,P)
dap ^ 0 при а ^ 0 (13)
| Ca(M, P) | +
П(Н)
равномерно по M на любом компакте в D(F, H) .
III. Функция Ca(M,P) удовлетворяет граничным условиям по P
Ca(M,P) |хр=о , x = 0, Ca(M,P) | yp=о ,у = 0
Очевидно, функция Ca вида (12) удовлетворяет условиям I и III. Проверим выполнение условия II. Для первого интеграла в (13), используя (12) при zp = H и zp > zm , получаем
У ICa(M,P)| dap = П(Н)
Е
ае
2^/# + # (H-a) ^fe + mfr (zm-zp) уху e V
у
nlJV пт=1л 2*M+if(H-a) If + m
1 + ае гx 1 y v lx
dxPdyP <
ТГ/ТГЧ " n,m=L ^ , " 'Д/ 12 1 12 \ / \ 1'2 I l
n(H) 1 + ае V 1 x 1 y V lx У
nnxp nmyp ппхм птум x sin —-— sin —-— sin —--sin
ly lx ly
2nxfW+m&(H-a) n / f + f2 (Zm-H)
V 1 x 1 у e V 1 x 1 у
< - у ае ''' —c'; ' • (14)
' ^ ^ In2 , m2 / TT \ /П2 I m2
п nm=li 2п In2 + f-(H-a) /П2 + m
1 + ае V 'x 'У V lx ly
Считая, что расстояние до компакта равно е , и zm — H < е , получаем
2П\If + f2(H-a) -же t
\ 1 x 1 y е V 1 x 1
/2 ж—^ ае V x у е v x у
CaMP) dap < - --==----
n(H) п i+ae2nji^(H-a) yt+f
Для последнего ряда ряд
/ n2 I m2
n — -же\ 1x + IT 2 _л е V 1 x 1 у
П n£ I m2
n'm=1 V i2x + iy
является мажорантным, и, таким образом, можно переходить к пределу по а
0 ~ 2\ri + rf-(H-a) -пеМ + i2 2 ае x у е x у
CaM, P)| dap < - V -==---2 2 ^ 0 при а ^ 0-
J п nm=l 2ж. + f (H-a) , + m
n(H) n'm=1 1 + ае V 1 x 1 2 ^ V lx ly
2
X
x
1761
Аналогично оценивается интеграл от второго слагаемого в (13) и, таким образом, условие II также выполнено. Это означает, что функция Са является функцией Карлемана-Лаврентьева по определению, и она позволяет выразить приближенное решения задачи в виде интегрального представления (11) решения через данные Коши / и д .
По аналогии с функцией Грина функцию Карлемана-Лаврентьева можно связывать с областью, на границе которой задаются однородные граничные условия, а также условия вида (13). Так функцию (12) можно называть функцией Карлемана-Лаврентьева для полуцилиндра прямоугольного сечения Б(-ж, И), на основе которой можно получить приближенное решение задачи (1) в Б(Е, И) вида (11) для любой функции Е и данных / и д .
ЛИТЕРАТУРА
1 . Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск:
СО АН СССР, 1962. 92 с.
2 . Ланеев Е.Б., Васудеван Бхувана. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для урав-
нения Лапласа // Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика. 1999. № 1. С. 128-133.
3 . Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00506).
Поступила в редакцию 27 августа 2014 г.
Laneev E.B.
CARLEMAN-LAVRENTIEV FUNCTION FOR ONE ILL-POSED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE LAPLACE EQUATION
For ill-posed mixed problem for Laplace equation built Carleman-Lavrentiev function. Key words: ill-posed problem; Cauchy problem for the Laplace equation; Carleman-Lavrentiev function.
Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: elaneev@yandex.ru
Laneev Evgeniy Borisovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: elaneev@yandex.ru
1762
