Об одной обобщенной математической модели Мальтуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 38-46. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-38-46 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.9

ОБ ОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ МАЛЬТУСА

Ф. М. Лосанова, Р. О. Кенетова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, Республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: [email protected], [email protected]

В работе рассмотрено обобщенное уравнение Мальтуса, описывающее одновидную популяцию. Решена задача Коши для случаев 0 < а < 1 и 1 < а < 2.

Ключевые слова: обобщенное уравнение Мальтуса, задача Коши, дробная производная, дробный интеграл, функция Миттаг-Леффлера

(с) Лосанова Ф.М., Кенетова Р. О., 2019

MATHEMATICAL MODELING

MSC 26A33

ON A GENERALIZED MATHEMATICAL MODEL OF

MALTHUS

F. M. Losanova, R. O. Kenetova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of Kabardino-Balkariya, Nalchik Shortanova st., 89 A, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

The paper considers the generalized Malthus equation describing a single-species population. Solved the Cauchy problem for cases 0 < a < 1 and 1 < a < 2.

Key words: generalized Malthus equation, Cauchy problem, fractional derivative, fractional integral, Mittag-Leffler function

© Losanova F.M., Kenetova R.O., 2019

Введение

Попытки количественного математического описания как динамики отдельных биологических популяций, так и сообществ, состоящих из многих взаимодействующих между собой популяций различных видов, имеют солидную историю.

Одна из первых моделей динамики роста популяций, в основе которой лежит задача о динамике численности популяции, является классическая модель неограниченного роста - геометрическая прогрессия в дискретном представлении хп+\ = дхи, или экспонента в непрерывном случае была предложена Мальтусом [1]. Эта модель может быть записана в виде

^^ = ¡лЫ (г), N (г) = N (0)елг, (1)

аг

где N(г) - численность популяции, л - разность между коэффициентами рождаемости и смертности.

При л > 0 модель (17) дает безграничный экспоненциальный рост численности популяции. Но этот эффект не наблюдается в природных популяциях, где ресурсы, обеспечивающие рост, всегда ограничены.

Пусть К - предельная численность, которой может достигнуть популяция в условиях ограниченности ресурса (величину К обычно называют "емкостью" среды). При г ^ N(г) ^ К. Первая модель, учитывающая этот факт, была предложена в 1825 г. Гомпертцем [2]

^ = ^(О« N(0=^)^. (2)

Эта модель описывает эффект "насыщения но эксперименты с животными показали, что этот эффект наступает гораздо быстрее, чем это следует из модели Гомпертца [2].

Наконец, в 1983 г. появилась "логистическая" модель Ферхюльста [3], достаточно хорошо описывающая динамику многих природных популяций:

dN (г )= ^ (г) „ „ Ш (°) (3)

= ~К~(К - N (г)), N (г) = N (0) + [К - N (0)]е-лг • (3)

К настоящему времени существует много самых различных популяционных моделей.

Что касается взаимодействующих популяций, то и здесь у Вольтерра, начавшего математическое изучение непрерывных биоценозов [4], были предшественники. В 1925 году Лотка выпускает книгу "Элементы физической биологии"[5]. Он пришел к системе дифференциальных уравнений описывающих динамику двух взаимодействующих биологических популяций:

^^^ = N1 (г )(£1 + у^(г)), ^^Т = + ^(0)- (4)

где £( - коэффициенты естественного прироста (или гибели), уг- - коэффициенты, описывающие межпопуляционные взаимодействия. В зависимости от выбора знаков этих коэффициентов эта модель описывает либо конкуренцию видов за один ресурс, либо взаимоотношения типа "хищник-жертва либо "паразит-хозяин".

Исходные положения Вольтерра и Лотки были очень близки, но Вольтерра пошел дальше и глубже в разработке моделей биологических сообществ. Если книга Лотки при всех своих достоинствах, - это все же собрание самых различных моделей, которое не может претендовать на звание общей теории, то труд Вольтерра, - это несомненно, теория биологических сообществ, построенная именно как математическая теория. С этой книги началась современная математическая экология. После чего Вольтерра занялся изучением экологических проблем с более общих позиций.

Математическое исследование биологических проблем началось недавно. Лотка в своей книге "Элементы физической биологии содержащей многочисленные приложения математики к вопросам химии и биологии, рассмотрел случай двух видов, получил геометрическую интерпретацию вариаций, оценил период колебаний.

В данной работе рассматривается уравнение, описывающее одновидную популяцию. Для того, чтобы охарактеризовать одним единственным числом некоторую популяцию в ограниченной области, сделаем допущение, что индивидуумы каждого вида однородны (пренебрегая возрастом и размерами). Будем также считать, что тип индивидуума не меняется со временем.

Вместо разрывных целочисленных функций, представляющих численность индивидуумов, введем непрерывные дифференцируемые функции, имеющие в каждый момент времени ту же целую часть, что и разрывные.

Нужно теперь найти для этих функций условия, достаточные для их определения, так, чтобы их целые части соответствовали бы полученным из опыта функциям-численностям популяций видов, живущих в биологических сообществах.

Рассмотрим вид животных, который живет изолированно в неизменной среде или сосуществует с другими видами без прямого влияния в некоторой среде, представляющей всегда одни и те же возможности существования для этого вида. В этом случае, пренебрежем периодичностью рождаемости или смертности. Тогда можно сказать, что для короткого интервала времени заданной длины в достаточно многочисленной популяции число рождений и число смертей пропорциональны общей численности индивидуумов, существующих в данный момент. Прирост числа индивидуумов N в некотором интервале будет пропорционален числу N. Этот прирост, очевидно, пропорционален длине интервала, пока последний мал. Приписывая это свойство функции, рассматриваемой как непрерывная, получаем

dN (г) = е N (г )йг,

где е - постоянный коэффициент пропорциональности, выражающий отношение скорости прироста dN (г ^/йг к числу N (г). Назовем его коэффициентом прироста. Из уравнения

dN (г )/dг = еN (г) при условии, что интегрированием получаем решение

N (г )= (г-го).

Это хорошо известный экспоненциальный закон развития видов, состоящий в том, что если время возрастает в арифметической прогрессии, то численность индивидуумов вида изменяется, следуя геометрической прогрессии. При е > 0 вид разрастается, е < 0 вид уменьшается, е = 0 вид остается постоянным, рождаемость в точности компенсирует смертность.

Решение задачи Коши для обобщенного уравнения Мальтуса

В теории популяции уравнение экспоненциального роста популяции, уравнение Мальтуса, записывается в виде:

dN (t) dt

= (B - D)N (t) = eN (t),

(5)

где N (г) - численность или плотность популяций в ограниченной области О, В и О - коэффициенты рождаемости и смертности соответственно, являющиеся постоянными величинами, если учесть, что внутривидовая конкуренция за ограниченные жизненные ресурсы с ростом плотности популяции приводит к снижению плодовитости и увеличению смертности в момент времени г € [г0, Т], Т - расчетное время.

Если теперь заменить в уравнении (21) производную первого порядка оператором дробного дифференцирования порядка 0 < а < 1, при г0 = 0, то мы получим уравнение, учитывающее предысторию в популяции.

Исследуемая задача формулируется следующим образом Задача А. Найти решение N (г) уравнения

D0«N(t ) = e N (t) + f (t),

0 < а < 1,

(6)

удовлетворяющее условию

Dt1N (t)

t=0

= N0,

(7)

где О«г - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка а, определяемый следующим образом [6, с. 28]

-ОТ/"

)

rd П,

< 0,

DXn) =

Г(-а) 0 (t-n)а+1

w(t), а = 0,

(dt)PDtPu(n), P - 1 < а < p, p e N.

Г( а) - гамма-функция Эйлера.

Перепишем уравнение (22) в виде

П^ (г) - е N (г) - / (г )= 0,

0 < а < 1,

и воспользуемся формулой дифференцирования интеграла агО-^ (г) = N (г). Тогда

- [О«-^(г) - еО0>(г) - О-1 /(г)] = 0, Из равенства (25) следует, что

0 < а < 1.

D0«-1N(t) - eDq-1 N(t) - D-1f (t) = C,

где C = const, или же

(8)

(9)

D0°t-1N(t) - eD0>(t) = D^f (t) + C,

0 < а < 1.

(10)

Подействуем на обе части соотношения (10) оператором D0- а. Тогда получим

t а—

N(t) - £ D—«N (t ) = D0t«/(t)+ C—, 0 < а < 1, (11)

t а-1

т.к. Dl-a 1 = --. 0t Г(а)

Лемма 1. Любое решение уравнения (22) является решением интегрального уравнения (11). Верно и обратное утверждение, т.е. решение интегрального уравнения (11) есть решение уравнения (22).

Перепишем уравнение (11) в виде интегрального уравнения Вольтерра II-го рода

N (t ) - £D-aN (t )= F (t ), (12)

где

t а-1

F (t)= D-«/(t) + —, (13)

решение которого дается в виде [7]

t

N (t ) = F (t) + £j F (s)(t - s)«-1E« ,а [£ (t - s)«]ds 0

или же, подставляя вместо F (t) выражение (13), получим

T t

t а-1 г

N (t ) = D—« / (t ) + г- + £j D-s« / (s) (t - s)«-1E« ,а [£ (t - s)«]ds+

0

t ! -1

— (t - s)«-1E«,а[£(t - s)«]ds, (14)

0

где Еа(z) - функция типа Миттаг-Леффлера [7].

В силу определения оператора дробного интегрирования, имеем, что

t ! ^ - s)«-1

D-«/(t) = //(s)(tr^- ds;

t

JD-«/(s)(t - s)«-1E«,а[£(t - s)«]ds =

0

t s

/о .С \Ы —1

J J/ (( )(s —1 d( (t — sr—!E« ,а [£ (t — s)«]ds =

0 0 ( )

t t

/о .с \ы —1

= I /(()d( I (s 1 (t - s^-1Еа,а[£(t - s)«]ds =

Jf (s)(t - s)2a-1Eа,2а[e(t - s)a]ds.

Подставляя последние выражения в формулу (14), получим:

t 1 1 t (t - s)a-1 , „t а-1

N(t) = / f (s)(tr(S)) ds + C^ + ej f (s)(t - s)2a-1Ea,2a [e (t - s)a]ds+

+et2a-1Ea ,2а (et а) = f (s)

-1

(t r(s)) + e (t - s)2«-1Eа,2 а [e (t - s)«]

ds+

+C

t -1

Г(0)+ e'20-'£а 2а(e'а)

(15)

Применяя формулу автотрансформации функции типа Миттаг-Леффлера к выражениям в квадратных скобках (15), окончательно получим:

N (t) = I f (s)(t - s) a-1E а, а [e (t - s)a]ds + Ct а-1Ea, а (et а).

(16)

Формула (16) есть общее решение уравнения (22). Удовлетворяя начальному условию (23), имеем

D0 t-1N(t)

D

t=0

-1

0t

Jf (s)(t - s) a-1E a, a [e (t - s)a]ds

t=0

+

l

+CD«-1t a-1E a, a (et a) [=q = J f (s)Ea ,1[e (t - s)a]ds[=Q + CEa ,1(et a)

t=0

= N0.

Так как

i

Jf (s)E a ,1[e (t - s)a]ds

=0

t=0

E a ,1(e t a)

= 1,

t=0

тогда С = N0.

Значит решение задачи (22), (23) имеет вид:

i

N(t) =|f (s)(t - s)a-1Ea, a[e(t - s)a]ds + N0ta-1Ea, a(et a)

t

t

t

t

и

Случай, когда 1 < а < 2

Далее пусть 1 < а < 2. Тогда Задача А ставится следующим образом Задача B. Найти решение и(г) уравнения

^ (г) = е N (г) + / (г), 1 < а < 2,

(17)

удовлетворяющее условиям

DoV2N (t )t=0 = No, D«t-1N (t )

t=o

= N1.

(18)

Так как по определению

d2

D«tN (t ) = ^ D «t°2N (t ),

то как и в случае а g (0,1) перепишем уравнение (17) в виде

d2

^ [D0°t—2N(t) - £D°t2N(t) - D—2/(t)] = 0,

или же

Dot°2N(t) - £D°t2N(t) = D-2/(t) + C1t + C2,

1—2

-2,

где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

(19)

Подействуем на обе части равенства (19) оператором а. В силу законов ком-

позиции операторов интегро-дифференцирования будем иметь

N (t ) - £ D—«N (t ) = D—«/(t ) + C1

1

+ C2-

t

а-2

т.к.

D

2 - а

0t

1

t=

Г( а)

D2-а1 = , D0t 1 =

Г( а) ' Г( а - 1)' tа-2

(20)

Г( а -1)'

Лемма 2. Любое решение уравнения (17) является решением интегрального уравнения (20), и наоборот, решение интегрального уравнения (20) есть решение уравнения (17).

Решение уравнения Вольтерра второго рода (20) выписывается в виде

N (t ) = £ Г

0

1

„ а-2

D—«/(s)+ C1

+ C2

Г( а) Г( а - 1)

(t - s)

а—1

1Е«, а[£(t - s)«]ds+

1

t а-2

+D°t а/ (t ) + C1 — + C2-

(21)

Г( а) 2 Г( а - 1)'

Удовлетворим формулу (21) начальным условиям (18) для определения С1 и С2. Для этого, учитывая обобщенную формулу Ньютона-Лейбница, находим

D Qt-2N (t ) = £ D,

0t

1

„ а-2

D--«/(s) + C1 — + C2

Г( а) 2Г( а - 1)_

(t - s)а-1Е«, а [£(t - s)«]ds+

t

+Я-2 / (г) + С1 + С2. (22)

При г = 0 из формулы (22) получим

Я«-^ (г )= С2 = N2. Аналогично, используя обобщенную формулу Ньютона-Лейбница, получим

1 2

DT1* (t) = £D0r

rrw i

DosV (s) + Ci ^ + C2-

Г( а) 2Г( а -1)

(t-s)« E a >а [e (t-s)«]ds+

to 1

+D°1 f (t) + Ci + N2^. (23)

Т(0)'

При t = 0 из равенства (23), учитывая, что ^^ = 0 имеем D«t-1N(t)

= С1 = N1.

г=0

Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (21) найдем решение задачи (17), (18) в виде

N (t) = eit Jo

sa-1 sa - 2

D^f (s)+ N1 + N2-

Г( а) 2 Г( а - 1)_

(t-s)a-1 Ea >а [e (t-s)«]ds+

t -1 t -2

+D„r/(t)+N ГС5)+ N гса-1). (24)

После элементарных преобразований окончательно получим

N(t) = Г/(s)(t-s)a-1Ea, a[c(t-s)a]ds + N1ta-1£a, a(cta)+ N2ta-2Ea>a_i(eta). (25) Jo

Формула (25) дает решение задачи (17), (18). Заключение

В настоящее время наиболее актуальным является применение дробного исчисления в различных областях науки, техники, естествознания и других отраслях человеческой деятельности, использующих как математические методы, так и средства компьютерного моделирования. В работе рассмотрено обобщённое уравнение Мальтуса, описывающее одновидную популяцию. Была рассмотрена задача Коши для случаев 0 <a< 1 и 1 <a< 2.

Список литературы/References

[1] Malthus T. R., An Essay on the principe of population Johnson, London, 1788.

[2] Gomperz B., "On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies", Philosophical Transactions Royal Society (London), 115 (1825), 513-583.

[3] Verhulst P. F., "Notice sur la loi gue la population suit daus son accroissement", Corresp. Math. etPhys, 10 (1938), 113-121.

[4] Вольтера В., Математическая теория борьбы за существование, Наука, М., 1976, 199 с. [Vol'tera V., Matematicheskaya teoriya bor'by za sushchestvovaniye, Nauka, M., 1976, 199 pp.]

[5] Lotka A. J., Elements of physical biology, Williams and Wilkins, Baltimore, 1925, 495 с.

[6] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с. [Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 pp.]

[7] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 670 с. [Dzhrbashyan M. M., Integral'nyye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti, Nauka, M., 1966, 670 pp.]

[8] Нахушев А. М., "Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах", ДАН СССР, 234:2 (1977), 308-311. [Nakhushev A. M., "Zadacha Shturma-Liuvillya dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka s drobnymi proizvodnymi v mladshikh chlenakh", DAN SSSR, 234:2 (1977), 308-311].

[9] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и прозводные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 687 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i prozvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya, Nauka i tehnika, Minsk, 1987, 687 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Malthus T. R. An Essay on the principe of population Johnson. London. 1788

[2] Gomperz B. On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies // Philosophical Transactions Royal Society (London). 1825. vol 115. pp. 513-583

[3] Verhulst P. F. Notice sur la loi gue la population suit daus son accroissement // Corresp. Math. et Phys. 1938. vol. 10. pp. 113-121.

[4] Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 199 c.

[5] Lotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. 495 p.

[6] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 c.

[7] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 670 c.

[8] Нахушев А. М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. Т. 234. №2. С. 308-311.

[9] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и прозводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 687 c.

Для цитирования: Лосанова Ф.М., Кенетова Р. О. Об одной обобщенной математической модели Мальтуса // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 38-46. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-38-46

For citation: Losanova F. M., Kenetova R. O. On a generalized mathematical model of Malthus, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 27: 2, 38-46. DOI: 10.26117/2079-66412019-27-2-38-46

Поступила в редакцию / Original article submitted: 14.06.2019