Об одной нелокальной задаче для нелинейного параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 42-49

УДК 517.956.6

об одной нелокальной задаче для нелинейного параболического уравнения

Ж. О. Тахиров, Р. Н. Тураев

В данной работе изучается нелокальная краевая задача для нелинейного параболического уравнения. Получены Шаудеровские априорные оценки. Доказаны теоремы существования и единственности.

Ключевые слова: нелокальная задача, априорная оценка, принцип экстремума, условие Гёль-деря5 нелинейное параболическое уравнение, принцип Шаудера, существование и единственность решения.

Нелинейные параболические уравнения второго порядка лежат на основе математических моделей самых разнообразных явлений и процессов в физике, механике и многих других областях знаний [1]. Для широких классов уравнений решены принципиальные проблемы разрешимости и единственности решений различных краевых задач, подробно изучены дифференциальные свойства решений. Здесь необходимо указать работы А. А. Самарского [2], О. А. Ладыженской [3], С. Н. Кружкова [4, 5], А. Фридмана [6], Н. В. Крылова [7] и др.

В работе [4] изучены первая и вторая краевые задачи, а также задача Коши для нелинейного параболического уравнения вида

В многомерном случае первая краевая задача для уравнения (1) исследована также в работах [7] и [8].

В настоящей работе в области Q = {(£, ж) : 0 ^ Ь ^ Т, |ж| ^ 1} для уравнения (1) рассматривается краевая задача с условиями

Поставленная задача представляет собой математическую модель спирального фил-лотаксиса [9] (филлотаксис — расположение листьев на стебле растения). Здесь ж) — концентрация морфогена в точке ж в момент Ь.

Используем результаты и обозначения работы [4]. Введем прямоугольники

щ = а(Ь,ж,п,пх ,пхх).

(1)

щ(ж, 0) = 0,

пх(г, —1) = о, —1) = 1).

(2)

(3)

(4)

Q- = {(Ь,ж) : 0 < Ь < Т, —1 < ж < 1 — 5},

Q0 = {(Ь,ж) : 0 < Ь < Т, |ж| < 1 — 5}.

© 2014 Тахиров Ж. О., Тураев Р. Н.

Для функции u(t, х), определенной на некотором множестве D, определим нормы

|u|D = sup |u(t, x)|,

D

D_l.lD , 4„n \u(t,x) -u(T,y)\

0 (\t-r\ + \x-y\^

|u|7 = Mo + sup

(t,x)ei (r,y)eD

Mf+7 = к + M?,

M2+Y = |u|l+7 + + |ut|D •

Всюду в работе предполагаем, что для уравнения (1) выполнены следующие основные условия.

А. Условия нараболичности: для (t,x) G Q, |u| ^ M и любых p и r

ar (t, x, u,p, r) ^ > 0. (5)

Б. Условие подчинения младших членов: для (t,x) G Q |u| ^ M и произвольных £

±a(t,x,u,£ + g(t), 2) ^ H, K,H> 0, (6)

g(t) ограниченная функция, |g| ^ go•

Исследование проводится по следующей схеме.

Сначала оценим максимум модуля решения задачи. В работе [4] сначала установлена оценка для |ux| вплоть до границы. В нашем случае это невозможно. Поэтому оценим |ux| в области Qi = {(t,x) : 0 < t < T, —l < x ^ l — Далее устанавливается оценка |u|2+7 ^ C, а затем при помощи нелокального условия получим оценку |ut(t, l) | y < C.

И наконец, доказывается существование (при помощи полученных априорных оценок) и единственности решения задачи.

Лемма 1. Пусть функция a(t, x, u,p, r) обладает производными по u, p, r и для (t, x) G Q и любых u(t, x) выполнены неравенства

1

J au(t, х,ти, 0,0) dr ^ a2, |a(t,x, 0,0,0)| ^ a1. (7)

0

Тогда для решения задачи (1)-(4) справедлива оценка

\и\ = (8) т — а2

где т удовлетворяет условию т — > 0. < Перепишем уравнение (1) в виде

Щ = Ьтхх + 62ПЖ + 63« + I(4, ж), ^ = {(;£,ж) :0 <4 < Т, |ж| <(9)

где

1

61 (4, ж, г) = У аг (4, ж, тг) ^т, о

1

62(Ь, ж, и,р) = У ар(Ь,ж,и,тр, 0) ^т,

1

63 (¿,ж,п) = У аи(Ь, ж,ит, 0,0) ^т, / (Ь,ж) = а(Ь, ж, 0,0,0).

0

Введем функцию ж) = е-ти(Ь,ж), т > 0, которая удовлетворяет уравнению

(т - Ьз) V + у^ = 61 «хх + + /е-т*. (10)

Умножив (10) на «(¿,ж), получим

(т - 6з)«2 + ш ■ V = б1«хж ■ V + &2Уж ■ V + /е-т ■ V. (11)

Пусть | V| принимает максимальное значение, отличное от нуля в некоторой точке внутри области. В точке положительного максимума и отрицательного минимума V ■ vxx ^ 0, vx = 0 Vt ■ V ^ 0. Следовательно, из (11) имеем

тах |/(Ь,ж)|

Ы ^-;-, т — 63 > т — яг > 0 в Я

т — 63

В силу принципа максимума и условий (3), (4) для и(Ь, ж) = етv(t, ж) имеем оценку

тах |/(Ь,ж)|етТ а тт

|и|<—- <—-=М. > (12)

т — а3 т — а2

Здесь приведем некоторые известные результаты С. Н. Кружкова [4], которые используются в дальнейшем.

Теорема 1 [4]. Пусть функция и(Ь, ж) непрерывна в ^ ^^^^^^^^^^ ^ ^оизводной их(Ь, ж) и удовлетворяет уравнению (1) всюду в Q, кроме, может быть, точек оси Ь : 0 ^ ж ^ Т, ж = 0. Пусть вирд |ихх| < |и| ^ М. Тогда для (Ь, ж) £ Q0

|их(Ь,ж)| ^ С(М,ао,К,Я,5). (13)

Теорема 2 [4]. Пусть в условиях теоремы 1 и(0,ж) = 0 или и(Ь, I) = 0. Тогда оценка (13) выполняется соответственно в Q0 или Ql+ (следовательно, если и(Ь, —I) = и(Ь, I) = 0, то оценка (13) выполняется в Qs). Если же и|7 = 0, то для (Ь, ж) £ Q

|их(Ь,ж)| < С(М,ао,к,н). (14)

В теореме 2 при выводе априорных оценок до боковой границы предполагалось нулевое условие первой краевой задачи, причем существенно применялась идея нечетного продолжения.

Совершенно аналогично идея четного продолжения при граничном условии (3) позволяет перенести все результаты об априорных оценках вплоть до боковой границы ж = —I, т. е. устанавливается оценка

|их| ^ С для Q-. (15)

Чтобы оценить производную ихх, нужно будет дифференцировать уравнение (1) внутри ^^ ^^^^^^^ ^^^^^ ^^^^^ ^^^ем предполагать, что функция а(Ь,ж,и,р, г) имеет первые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера на любом компакте.

Далее предполагается, что функция а(Ь,ж,и,р, г) удовлетворяет одному из следующих условий В ми В*:

В. Для (Ь,ж) £ Q, |и| ^ М, |р| ^ ро и произвольных г

|ах(Ь,ж,и,р,г)| + К(...)| + |гар(...)| < Коаг(...)(г2 + 1), (16)

а если еще |г| ^ г0, то (.. .)| + |аг(.. .)| ^ К1.

В*. Для (Ь,ж) £ Q, |и| ^ М, |р| ^ р0 и произвольных г

|ах(...)| < К0аг(...)(г2 + 1),

|а*С—)| < К0аг(...)(|г|2+е + 1), (17)

!>«(...)| < Каг(...)(|г|2+е + 1), е < 1,

а если еще |г| ^ г0, то |ар(.. .)| + аг(...) ^ К1.

Теорема 3. Пусть функция и(Ь, ж) является решением уравнения (1), удовлетворяющего условиям А, Б, В. Пусть |и(Ь, ж)| ^ М и и(0,ж) = 0 их(Ь, —I) = 0. Тогда

О25

М2+7 < С. (18)

< Дифференцируя (1) по ж для функции р = их, получим уравнение

Р = а2(Ь, ж, и,р,рх)рхх + ар(.. .)рх + а„(.. .)р + ах(...), (19)

с граничными условиями

р(0, ж) = 0, р(Ь, —1) = 0. (20)

Так как |р| ^ С в Qs_, то, применяя результаты теоремы 4 работы [2] к задаче (19), (20), имеем

О25

|пх|?+-7 < С. (21)

О25 О25

Следовательно, |ихх|О- < С а из уравнения (1) находим ¿)|О- < С.

Теперь в задаче (1)-(4), произведя замену v(t, ж) = и(Ь, ж) — и(Ь, I), получим задачу

р (Ь,ж) = а(Ь, ж, и, V, Vx, Vxx) — ЫМ), (22)

Vx(í, —0 = 0, (23)

v(i,0 = 0, (24)

v(0, ж) = 0. (25)

Если уравнение (22) рассматривать как линейное параболическое уравнение с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера с показателем а, то из задачи (22)-(25) находим

КЬ,ж)|О+а < С (26)

или

|и(Ь ж)|2+а

|и(Ь,ж)|О+а < С. > (27)

О25

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и их(Ь, —I) = 0. Тогда |и|2+7 ^ С. < Дифференцируя (1) по ж, Для Р = их получим уравнение

Р = аг(Ь, ж, и,р,Рх)Рхх + ар(.. .)рх + а„(.. .)р + ах(...) (28)

и граничные условия

р(0,ж)=0, —1) = 0. (29)

Тогда к задаче (28), (29), применяя результаты теоремы 4 работы [4], имеем

Я25

|«ж|7 ^ С.

Я2.5 ^25

Следовательно, |«хх|7 ^ (1) находпм |7 ^ С. Тогда при помощи

нелокального условия имеем (¿,0|7 ^ С.

Теперь в задаче (1)-(4), произведя замену «(4,ж) = «(4,ж) — «(4,1), получим задачу

ш(4,ж) = а(4,ж,и, V, «х — ЫМ)> (30)

г>*(4, —1) = их(4, — 0 = 0, (31)

и(М) = 0, (32)

г>(0,ж)=0. (33)

Если уравнение (30) рассматривать как линейное параболическое уравнение с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера с показателем а, то из задачи (30), (33) находим

К*, ж) < С

или

1«(*,ж)|Я+а < С. >

а(. . .)

быть решена при помощи соответствующих результатов для линейных уравнений. Теорема 5. Пусть относительно линейного уравнения

а(4, ж) + 6(4, ж) + с(*, ж)« + /(*, ж) = « (34)

выполнены условия

а(4,ж) ^ ао > 0, |а|Я + |6|Я + |с|Я = К< то,

и пусть «(4, ж) есть решение уравнения (34), удовлетворяющее граничным условиям (2)-(4) |«1Я+7 < то. Тогда существует такое С = С(7, а0, К), что

МЯ+7 < С|/(35)

< Доказывается при помощи теории параболических потенциалов [6]. > Существование решения задачи (1)-(4) доказывается при предположении, что функция а(4, ж, г), ее первые производные по всем аргументам, а вторые производные по (ж, г) ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера на любом компакте.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4, а также аи(4, ж, г) ^ 0 в за-

(1) (4)

решение «(4,ж) £ С2+7(ф).

< Сначала докажем единственность решения. Пусть «1 (4, ж) и «2(4, ж) — два решения задачи (1)-(4). Тогда для функции «(4, ж) = «1(4,ж) — «2(4, ж) имеем задачу

V = А1(4,ж)^хх + А2(4,ж)«х + Аз(4,ж)«, (36)

v(x, 0) = 0, vx(t, -0=0, v(t, -1) = v(t,1), (37)

где

1

Al(t,x) = J a^i,x,rui + (1 - T) U2,TUix + (1 - T) ^ж,™^ + (1 - т) dT,

0

1 1

A ap(...) dT, Аз(^,ж)^У au (...) dT.

00

В силу установленных оценок уравнение (36) можно рассматривать как линейное уравнение относительно v(t,x) с ограниченными коэффициентами.

Применяя принцип экстремума для параболических уравнений к задаче (36), (37), получая, что v(t,x) = 0.

Априорные оценки, установленные выше, позволяют доказать разрешимость задачи. Действительно, обозначим через H2+в, в £ (0,1), банахово пространство функций u(t,x)

на Q, удовлетворяющих граничным условиям (37) и непрерывных вместе со своими огра-

« 1 iQ 1 iQ 1 1 iQ ii iQ

ничеппыми производными с нормой |u|H2+e = |u|в + |их|в + |uxx|e.

Рассмотрим следующую задачу относительно функции v(t,x)

vt = (1 - T)vxx + Tqvxx + T[a(i,x,u, ) - quxx], (38)

v(0, x) = 0, (39)

Vx(t, -1)=0, v(t, -1) = v(t,1), (40)

где q > 1 — постоянная, u G H 2+в.

Эта задача определяет в H2+в оператор

v = F (u; T ), (41)

неподвижные точки которого при t = 1 являются решениями задачи (1)-(4). Неподвижные точки uT есть решения уравнения

uT = Ta(t, x, uT, uX, uXx) + (1 - т)uXx (42)

с условиями (2)-(4).

Уравнение (42) удовлетворяет всем условиям доказанных выше теорем, в которых были установлены априорные оценки для решения задачи (1)-(4). Действительно проверим, например, выполнение условий А, Б: А. Здесь a = та + (1 - т)uxx,

a~r = таг + (1 - т) ^ а0 > 0;

Б.

±â(i, x, u, е + g(t), = ±та(t, x, u, e + g(t), 2) ± (1 - т)(^K£2)

= ±Ta(i,x,u,£ + g(t), 2) - (1 - т)K£2 < H.

Докажем выполнение всех условий принципа Лерэ — Шаудера. Равномерная ограниченность в норме H2+в всех возможных решений uT (42), (2)-(4) дается теоремой 5 для

линейных уравнений. Действительно, если функция а(4, ж, г) удовлетворяет условию Гёльдера по £ с показателем |,пожс показателем /3, а по остальным аргументам непрерывно дифференцируема, то свободный член в (42) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем в Тогда Н^+д ^ С.

Теперь докажем непрерывность ^(«;т) по «в Н 2+в

т

Как и в случае уравнение (1), выбирая два близких элемента п1,п2 из Н 2+в и соответствующие им «1, «2, находим

МЙ-2+в < |«|Я+в < — «2| Н 2+в .

Аналогично доказывается непрерывность ^(«; т) по т. Действительно, пусть Т1 и Т2 соответствуют «1, «2, а «(4, ж) £ Н2+в. Для V = «1 — «2 получается задача с граничным условиями (37) для уравнения у = Ао+А^, ж)(т1 — т2). Таким образом для линейных уравнений получаем М^+д ^ N2^1 — т2|. Чтобы доказать, что ^(«; т) вполне непрерывное

т

лемму 2 [3, 6].

Лемма 2. Пусть т £ [0,1], «(4, ж) £ С2+в(ф) ж удовлетворяет уравнению

« = та(4, ж, «, «х,«жж) + (1 — т) «хх в ф. (43)

Тогда « £ С2+в (ф), «ххх £ Св(ф).

Отсюда вытекает, что постоянные Гёльдера по (4, ж) £ ф первого порядка функций (ухх) ограничены, т. е. М2+1 ^ С. Используя этот результат, можем заключить, что |V(4,ж)|^+1 ^ С, а множество таких у компактно в Н2+в. При т = 0 задача (43), (2)-(4) имеет единственное решение.

Таким образом, все условия принципа Лерэ — Шаудера выполнены. Следовательно, задача (43), (2)-(4) имеет решение и при т = 1. >

Литература

1. Самарский А. А., Михайлов А. 17. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.— М.: Физматлит, 1997.—320 с.

2. Самарский А. А. и др. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений параболических уравнений.—М.: Наука, 1987.—477 с.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—М.: Наука, 1967.—736 с.

4. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. Моск. матем. общ-ва.—1967.—Т. 16.—С. 329-346.

5. Кружков С. Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.—1979.—С. 217-272.

6. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.—М.: Мир, 1968.—428 с.

7. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка.—М.: Наука, 1985.—374 с.

8. Худяев С. И. Первая краевая задача для нелинейных параболических уравнений // Докл. АН СЬСР.-1963.-Т. 149, № З.-С. 535-538.

9. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—301с.

Статья поступила 24 апреля 2013 г. Тахиров Жозил Остановим

Институт математики и информационных технологий АН РУз, зав. отделом «Неклассические уравнения математической физики»

УЗБЕКИСТАН, 100125, Ташкент, Дурмон нули, 29 E-mail: prof. takhirov@yahoo. com

Тураев Расул Нортожиевич

Институт математики и информационных технологий АН РУз, старший научный сотрудник отдела «Неклассические уравнения математической физики» УЗБЕКИСТАН, 100125, Ташкент, Дурмон йули, 29 E-mail: rasul. turaevOmail. ru

ON A NONLOCAL PROBLEM FOR NONLINEAR PARABOLIC EQUATION

Takhirov J. O., Turaev R. N.

A boundary problem for nonlinear parabolic equation with nonlocal boundary conditions is considered. Some a priori estimates are derived to establish the global existence of the solution. Uniqueness and existence theorems are proved.

Key words: non-local problem, apriori estimations, extremum principle, Holder's condition, nonlinear parabolic equation, Shauder's principle, existence and uniqueness of solution.