Об одной нелинейной краевой задаче теории переноса излучения в плоско-параллельном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

ОБ одной нелинейной краевой задаче

ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СЛОЕ

© 2011 г.

А.В. Калинин, А.Ю. Козлов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

alexkozlov@gmail. com

Поступиса в редакцию 22.12.2010

Рассмотрена стационарная нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений переноса излучения и статистического равновесия, соответствующая модели двухуровневого атома в рамках предположения о полном перераспределении излучения по частоте. Для краевой задачи в плоскопараллельном слое доказана теорема о существовании и единственности решения.

Ксючевые ссова: перенос излучения, краевая задача, упорядоченные пространства, модель двухуровневого атома, система интегро-дифференциальных уравнений.

Постановка задачи и основные результаты

Рассматривается стационарная нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений переноса излучения и статистического равновесия в плоско-параллельном слое *1 ^ ^ * 2 ,

соответствующая модели двухуровневого атома в рамках предположения о полном перераспределении излучения по частоте [1,2]:

д y(v)

ц —Vг, v, ю) + hvn^[BnQ(z) -dz 2

- B21C2(z)Mz, v,ц) = hvn ^4,C2(z),

[C12 ne (z) + B121 j" ^(V) y(z, v, ю)dvd^]C1 (z) = і -1 2

■X(v)

[A21 + C21 ne (z) + j j-------V(z, v, ro)dvdro]C2 (z),

Q( x) + C 2 (x) = f (x), V(zt,v,|a) = 0, ц> 0, V(z2, v, ц) = 0, ц < 0.

всюду в своих областях определения, удовлетворяющие условиям

ess sup ne (z) = ne < го, ess sup f (z) = f < ro, (6)

2Є( Z1,z2)

2E(z1 ,z2 )

(1)

(2)

ess sup x(v) = X<*, [ X(v)dv = 1. (7)

veI i

В работах [3-5] рассматривались соответствующие нелинейные задачи для системы интег-ро-дифференциальных уравнений переноса излучения в пространственно-трехмерной постановке для ограниченной области. В настоящей работе рассматривается имеющая важное практическое приложение постановка соответствующей задачи в плоско-параллельном слое. Хорошо известно, что такие задачи имеют специфические особенности [6], связанные с неограниченностью области. В связи с этим невозможен прямой перенос результатов [3-5] на этот случай.

В работе используются обозначения

(3)

(4.1)

(4.2)

Я12 (V)(z) = C12ne (z) + B12S(^)(z),

Я21 (V)(z) = A21 + C21ne (z) +

s(v)(z) = j j V(z V, ц^ф.

(8)

(9)

Здесь * £ (*1,*2), *2 - * = d > 0, це [-1,1],

У£ 1 = [0, V 0], А, У^, V 0, ^21, В12 , В21 , С12 , С21 —

заданные положительные числа, удовлетворяющие условию [1]

В12С21 - В21С12 > 0. (5) Функции пе (*), f (*), * е (*1, *2), х(у), У£ I -заданные, измеримые и неотрицательные почти

Пусть, далее, множество й = [г1У 22] х 1 х[-1,1] Da (й) - класс функций у (2, V, ш) є La (й), абсолютно непрерывных на отрезке [21, 2 2 ] при почти всех фиксированных vє I, цє[-1,1], удовлетворяющих граничным условиям (4.1), д

(4.2) и таких, что ц—ці(2, V, ц) є Lw (й)

д2

Здесь ¿да (X) - пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду с нормой

где

\/ ||„= ^ /(х)|:

хеХ

esssup | f (х) |= inf sup | f (х) |,

хеХ РеЕ X\р

Е - множество всех множеств меры 0 из X.

Обозначим Кр (П) конус неотрицательных

функций в LP (П), 1 < р < да; Дда (й) = Дда (й)п пК„ (й) (соответствующие функциональные пространства в общем случае рассматривались в работе [7]).

Решением задачи (1) назовем функцию

ф(* V ц = { У(*, V цХ С1(*), С2(*)} е Д(й)X

хКда (*1, *2 ) Х Кда (*1, *2 ) ,

удовлетворяющую (1)-(3) почти всюду.

Из явного вида (8), (9) коэффициентов ЭТ12, ЭТ 21 и из (2) следует равенство

^ 12 (У)(*) • С1(*) = ЭТ 21 М00 • С2(*),

откуда, учитывая (3) и то, что при

у( *, V, ш) е D: ( й) с К да ( й)

ЭТ(у)(*) = ЭТ12 (у)(*) + ЭТ 21 (у)(*) > ЭТ 21 (у)(*) >

получим

> Л21 > 0,

д /(V)

ц —У( *, V, ц) + 12 —— х

д* 2

ЭТ(у)(*)

/(V) ЭТ12(^)(*)

2 ЭТ(у)(*)

ЭТ.. (ш)(;

С1(*)=

С2(*) =

ЭТ(у)(*) ЭТ„(у)(* )

-/ (*М*, V, ц) = = (10)

^21 / (*),

^ / (*),

) (11)

' -Г / \ / (*).

ф(*, v, ц)=м* v, цх C1(*), С2(*)} е Дда(й)х

хКда (*1, *2 ) х Кда (*1, *2 ) .

Теорема 1 является следствием более общего результата, установленного в следующем пункте.

Изучение общей задачи для дифференциально-операторного уравнения

Для доказательства существования и единственности решения уравнения (10) рассматривается дифференциально-операторное уравнение

ц^у(*, V, ц) + ^ Р М(*М *, V, ц) =

д* 2

Х(у)

2

(12)

Р(У)(*Х

ЭТ(у)(*)

Таким образом, ф(*, V, ц) = {у(х, V, ш), С1(*), С2( *)} тогда и только тогда является решением задачи (1), когда удовлетворяет почти всюду системе уравнений (10), (11). Поэтому для изучения разрешимости задачи (1) достаточно ограничиться изучением разрешимости в классе Dда (й) нелинейного интегро-дифференциаль-ного уравнения (10). После этого по формулам

(11) могут быть найдены функции С1(*), С2(*), лежащие в К да (*1, * 2).

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены все условия на коэффициенты (5)-(7), сформулированные выше. Тогда существует единственное решение задачи (10), (11)

где Р(У)(*Х Р(У)(*Х Р, Р : Кда (й) ^ Кда ( *1, *2 )

- операторы, удовлетворяющие при каждых

ф(*, V, ц), ^1 (*, V, цХ V2 (*, V ц) £ Кда ( ^ у1(*, V, ц) ^ V2(*, V, ц) (« ^ » - отношение порядка, порождаемое конусом Кда (й) в L да (й) следующими условиями при почти всех

* £ (*1, * 2):

1) Р(у)(*) <М, Р(у)(*) <М для некоторого

М > 0,

2) Р^)(*) < N для некоторого N > 0,

Р(У)(*)

3) Р(У1)(*) -Р(У2)(*) > 0, Р(У1)(*) -Р(^2)(*) <0,

4) Р(У1)(*)-Р(^2)(*) = 0 при Р(М/1)(*) -Р(^2)(*) = = 0,

5) Р(щ)(2Хщ)(*) -Р^ХФШ* >Р(щ)(*)-

-Р(У 2 )(*) .

Теорема 2. При выполнении условий 1) - 3) существует решение V*, V, ц) еД+ (й) уравнения

(12); при выполнении условий 1)-5) решение уравнения (12) единственно.

Для доказательства теоремы 2 потребуются предварительные утверждения, сформулированные в следующих леммах.

Лемма 1. Пусть а(*, V, ц), Ь(*, V, ц) е Кда (й), Ь( *, V, ц)

а( *, V, ц)

е К да (й), д

ц—У(* v, ц) + a(*, v, цМ * v, ц) = Поч

д* (13)

= Ь( *, V, ц).

Тогда существует единственное решение V*, V, ц) еДда (й) уравнения (13), причем у(*,%ц) е е Дда (й) и удовлетворяет соотношению Ь(*, V, ц)

а(*, v,ц)

"¿да (Ж) •

X

Доказательство. Пусть ц > 0 . Уравнение (13) с граничным условием (4.1) имеет единственное решение

гЬ(* ,%ц) \<а* ,чц)

,%Ц) ГС

= I--------ехР[-1-

к ц к ц

-с<к]к ,

абсолютно непрерывное и неотрицательное на

[*1, *2] для почти всех (^ц) е1 х[0, 1]. Справедливы следующие оценки:

Ь(*', V, ц) а*', V, ц) г а(*', V, ц) ,,

ц

гЬ(г ,v,ц) а(2 ,v,ц) ха^ , „ ,

Ч+ (2,чц) = I , , -------ехр|| —---------^<г ]< х

іаіі ^ц) ц к

г1 г1

Га(к>,Ц) \Ъ(2 ,

Ч-< ]=107.-

хехр-|^<к' Ах

ц і а(к ,v,ц) дг'

-1 г1

а(к','',ц) ¿г'1^'"™г И2" ^

хехр[

ц

ц

і Ьк,%ц)

<І Сг,чц) ІІІ‘”(с+) - ц

г

(ехр|

хехр

г

-/

а(г"

¿2" ] =1

а(г,чц)

ПАо(л+ )'

г

<(1-ехр|-

Ф ',v,ц) ¿г, ])

_ ц а(г,Чц)

Пусть теперь ц < 0. Аналогично, ГЬ(к ,^ц) ra(z",v,ц)

"4,Д+ )•

Ч-

гаг ,%ц) гс

= I---------ехр[- |-

г ц г ц

]<г

'+~У“1^2І Функция

1.

лЬ(г,чц) и и и ^<^^Ц) llí”(D+),ІІ а(г,Чц) ^

"Ч^ЦЯЬй) < таХ

) =

= |

b(г,v,ц)

Лемма 2. Пусть а(*), Ь(*) е Кда (*1, *2),

а(*) > 0, * е [*1,*2],/(V) е Кда (I) и выполнены

условия (7), функция V*,V, ц) еД+ (й)удовлетво-

д /(V)

ряет неравенству ц—у(*, V, ц) +-------------а(*) х

д* 2

/(V)

ху(*,V,ц) > Ь(*). Тогда имеет место со-

отношение:

*2 1

^ ^^ ц — у(*, V, ц)dцd*dv > Ь(*)й*

I *1 -1 *1

при некоторых а > 0.

Доказательство. Функция V* v,ц) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

д /(V)

ц— ч( * v, ц) + —— а( *Ш *, v, ц) = Ь1(*, V ц), д* 2

где Ь1 (*, V, ц) е К да (й), Ь1 (*, V, ц) > Ь( *).

Согласно лемме 1,

ЧІ2 V,Ц) =

где

Ч-(г,%ц), ц<0,

ІЧ+ (ХчцХ ц>0,

(г•v•ц) =Г^,^=хр[-Г,

г ц г 2ц

, , гЬ(к,чц) Г гхМа(к) „

У-(к,Чц) = I----------ехр[- I— -------йк]<як,

ц г 2ц

— решение (13) с граничным условием (4.2) для

почти всех (^ц)є! х[—1, 0], абсолютно непрерывное на [г1, г2], неотрицательное на

D+ =[г!,22]х[-1,0], || Ч-"і (D)<| Ьк,Л;,Ц) "і (D)•

" - а(к,%ц) ” -

¿2 22 1

ц

!Цц—Ч(г,V, ц)<ц<г<\> ■■

I г, -1 22 0

=-[1+sign Ц)Ч+ +

2 (14)

+(1^п ц)у-(к,^ц)] очевидно, является решением уравнения (13) в й= Д ^ Д :

+ 1 І ІЦ—Ч+ (к v,

г1 I 0

Рассмотрим первый интеграл

г2 0 -д

г1 I -1

0

-1 | цч- (г1, V, ц)ф,й^ =

ф,Чц) ^

При почти всех (V, ц) єI х [-1,1] ч(г, у,ц) абсолютно непрерывна на [г1, г2], удовлетворяет граничным условиям (4) и неотрицательна, поскольку неотрицательна! функции ч+ (г,v,ц), Ч- (г, V, ц), принадлежащие Кх (Д+), Ка (Д-) соответственно. Таким образом, 4(2, V, ц)єД (й).

0 г1

| |Ь1(г,^Ц)ехр[-|

I -1 г7 г'

^)С(2 )&г']<к'dцdv > 2ц

Г 0 г ъ(2'ж^ехр[ ]<г'dцdv =

2 2ц

I -1 г1 “

= ¿V ГЬ(к)<к Гехр[^С<]<ц =

2 2ц

I г1 -1 “

+

2-

Аналогично,

^21 д

(*, V, ц)dцd*dv >

I * 0

2

- 1 *2

—| ехр[--/а^^ц • | b(*)d*,

где а =11 «(*) 11г»(*1,*а) > d = *2 -*1.

Отсюда следует справедливость леммы при , 1

1 Г /а

а=— I ехр[----С] Сц.

2 0 2ц

Лемма 3. Пусть почти всюду

а1(*) < ФХ Ь1(*) > Ь2(*); ап (*), Ьп (*) е Кда (*1 , *2 ),

п = 1,2; Vn (*,у,ц), п = 1,2 - решение соответствующих уравнений

д /(V)

ц^ V п(к V ц) + —г- ап(*) V п(*, v, ц) = д* 2

2

(15)

Ьп (*).

Тогда v1 >■ V2.

Доказательство. Разность V = V1(•г,v,ц) --V 2( *, V, ц) удовлетворяет уравнению

д ~ /(V) ~

ц—V(*, v, ц) + —— а1( *)V(*, v, ц) = д* 2

[а2(*) - аl(*)]V2 (*, V, ц) +

+ /|)[Ь1(*) - \(*)].

По лемме 1 отсюда вытекает, что \р(*,%ц)еД (й) с Кда (й), следовательно v1 ^ V2.

Определим оператор А: Кда (й)^Кда (й)п пДда (й) = 0+ (й), ставящий в соответствие каждой функции V*, v,ц) еКда (й) функцию

ффХ^ц) = Л^Х^Чц), определяемую как решение из класса Дда (й) уравнения

ц^ф(*, V, ц) + ^ Р^Х*^ (*, V, ц) = д* 2

2

Конусный отрезок < 0, и > является полной подрешеткой [8, 9] условно полной решетки

дда (й).

Таким образом, задача о разрешимости уравнения (12) в классе Дда (й) сводится к задаче определения неподвижных точек оператора А', где А' - сужение оператора А на полную подрешетку < 0, и >.

Пусть ^(^ц), V2(*,v,ц)е<0,U>, Vl ^V2. Тогда, в силу условия 3), Р^Х*) > Р^Х*), Р^Х*) < F(V2)(*). Применяя лемму 3, можно

заключить, что А': <0, и>^ <0, и> - изотон-ный оператор. По теореме Тарского [8] и из результатов [4] множество его неподвижных точек не пусто и содержит, в частности, свою точную нижнюю границу y*(*, V, ц) и точную

верхнюю грань V (*, V, ц). Допустив теперь, что выполнены условия 4) и 5), покажем, что оператор А' обладает не более чем одной неподвижной точкой. Для этого предположим, что

функции V* (*, V, ц) , V* (*, V, ц) е дда (й) удовлетворяют уравнению (12). Тогда получим, что разность V =У(*,%ц)-^(^ц) удовлетворяет уравнению

ц|-~(*,V,ц) + ^[Р(V*)(*)У (*,V,ц) -

д* 2

- Р(V*)(*Ж(*,V,ц)] = )(*) - (17)

- Р^* )(*)].

Отсюда следует, что

дV д*

(16)

I I |ц"д*^*,v,ц^ц^-^*)(*)-

I *1 -1 *1

*2

- P(V* )(*)]с* + |[Р ^* )(*)s(V* )(*) -

*1

-Р (V* ^^^ *)(*№* = 0. Используя условие 5), получаем

1 V т

д*

Из леммы 1 следует, что решение ^^^еД (й) существует, единственно, и, согласно условию 2), удовлетворяет оценке

< N .

Отсюда следует, что оператор А отображает Кда (й) в конусный отрезок < 0,и >={феКда (й) ф < и(*, V, ц)}, где и(*, V, ц) = N почти всюду, и, в частности, оставляет инвариантным этот отрезок.

| I |ц—(*,V,ц)dцd*dv<0. (18)

-1 0 *1

С другой стороны, уравнение (17) может быть приведено к виду

^^^ ~(*, V,ц) + ^ Р (V* )(*)~(*, V, ц) = д* 2

2

[Р (V* )(*) - Р (V* )(*)]V* (*, V, ц) +

+ /у)№* )(*) -Р(^)(*)].

2

Из условия 3) заключаем, что справедливо неравенство

ц У( *, V, ц) + Р (V*)(*Ж *, V, ц) >

д* 2

>12)[ P(v*)(*) - р^„ )(*)].

Применяя к последнему неравенству лемму

2, заключаем, что

*2 1

д

■ >

| | {ц^*,V,ц)СцС*С^

*1 -1 I

*

>

а{ [P(V* )(*) - P(V* )(*)]d*,

где а= {ехр[-—МС] сц> 0.

0 2ц

Сопоставляя (18) и (19), получаем

|[P(v* )(*) - Р^* )(*)]с* < 0.

*1

Учитываем, что в силу условия 3) Р^* )(*) > P(v* )(*) почти всюду, откуда следует, что почти всюду Р^* )(*) = Р^* )(*). Следовательно, по условию 4) Р(V* )(*) = Р(V* )(*). Таким образом, y*(*, V, ц), v*(*, V, ц)удовле-творяют уравнению

д /(V)

ц—V*( к V ц) + —— Р (V *)(*)V(*, v, ц) = д* 2

X(V) 2

P(V*)(*).

Теорема 3. При выполнении условий (5)-(7) на коэффициенты уравнения (10) существует единственное решение ч^^ц) еД (й) уравнения (10) и, соответственно, существует единственное решение {У*,v,Ц),C1(*),C2(*)}еД (й)х

хКда^*2)хКда(*l,*2) задачи (1).

Доказательство. Достаточно показать, что операторы Р(v)(*), P(v)(*), взятые в конкретной форме:

(19)

Р (V)* = / (*)

В12Я21 МРО - В21Я12 (V)(*) . я^Х*)

= Ь^12/(*) Х

______В12Л21 + (В12С21 - В21С12)пе (*)_____.

Л21 + (С12 + С21)пе (*) + (В12 + ’

^2/(*)Л21 (С 12пе (*) + ВПе^Х*))

(20)

P(V)(*) =

Л21 + (СП + С21)пе (*) + (В12 + В^е^Х*)

= к, Л21

Но поскольку в силу леммы 1 решение этого уравнения единственно, получаем в итоге V*(*,V,ц) = v*(*,V,ц). Таким образом, единственность решения уравнения (12) в классе Дда (й) установлена.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что условие 2) на операторы Р^Х*), Р^)(*) использовалось только для доказательства того, что оператор А: Кда (й)^Кда (й)ПД (й) оставляет инвариантным некоторый конусный отрезок, являющийся полной решеткой. Поэтому условие 2) может

быть заменено условием 2'): || (v)() |1 (* *)<да

Р(v)(*) Мг1,г2)

для любой y(*, v,ц) еКда (й) , и 3 с > 0, такое,

что ||РP(y)|)||L"(гl,г2)<C для У(*, У,ц) еКда(й)

Уч^Л^Ь») < с.

Вернемся к задаче (6). Следствием теоремы

2 является следующая теорема.

я^Х*)

удовлетворяют условиям 1)-5) и являются положительными.

Положительность операторов следует из условий на коэффициенты задачи и условия (5).

Видно, что для выбранных таким образом операторов Р ^Х*), P(v)(*) справедливы

оценки

||Р(VX*)|L (ЧЛ) < hV12fB12,

У^Х*) ||¿да(г1,*2) < hv 12/Л21 .

Взяв М = ^пЬ/) тах{Л21,В12}, получим выполнение условия 1).

Неравенство

P(V)(*) = Л21 [С12пе (*) + ^^Х*)] <да

Р(V)(*) В12Л21 + (В12С21 - В21С12)пе (*)

справедливо почти всюду для каждой функции

4^*, V, ц) еКда (й).

Однако условие 2), вообще говоря, не выполняется. Докажем 2'):

P(v)(*) < Л21[С12пе (*) + ^^Х*)] < с

Р(V)(*) В12Л21 + (В12С21 -В21С12)пе (*)

тогда и только тогда, когда

Л21С12пе (*) _ Л21С12

с >-

(В12С21 - В21С12)пе (*) (В12С21 - В21С12)

Взяв указанное число с>0, получим 2').

Пусть теперь V >v2. Из (20) следует, что Р^ )(*) < Р(V2 )(*) почти всюду.

Рассмотрим разность

ЛжХ^ - P(V2 )(*) = ^12/(*)Л21 х

Х [е(Vl)(*) -е(>2 )(*)] Х (21)

X Л21В12 + (В12 С21 - В21С12)пе (*)

+ КЫ2 )(*) ,

что в силу предположения В12С21 - В21С12 > 0 приводит к выполнению условия 3).

X

Как видно из полученного выражения (21) для Р^— )(*) - Р^2 )(*), равенство Р^ 1 )(*) = = Р^2)(*) при V ^ v2 имеет место тогда и только тогда, когда /(.^[е^Х*)-е^Х*)^0. В этом случае, используя (20), имеем

Р(^Х*) - Р(V2 )(*) = /(*)(В12 + В21) х

Х (В12 Л21 + (В12 С21 - В21С12 )пе (*)) Х

х е(V2 )(*) -е(Vl)(*)

R(Vl)(*)R(V2 )(*) ’

Р (v1 )(*) = Р (V 2 )(*), т.е. выполняется условие 4).

Далее,

Р^ 1 )(*)е(V 1 )(*) - Р(V2 Х*^^2 )(*) --[P(Vl)(*) - P(V2 )(*)] = Н2 /(*) х

х[Л21В12 + (В12С21 - В21С12)пе (*)] Х

х пе (*)(С12 + C21)[е(Vl)(*) - е(V2 )(*)] > 0 R(Vl)(*)R(V2 )(*) ’

откуда следует выполнение условия 5).

Таким образом, операторы Р^Х*), P(v)(*) удовлетворяют условиям 1), 2'), 3)-5), и можно применить теорему 2.

Список литературы

1. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.: Наука, 1969.

2. Михалос Д. Звездные атмосферы. М.: Мир, 1982. Т. 1,2.

3. Калинин А.В., Морозов С.Ф. О стабилизации решения нелинейной системы переноса излучения в двухуровневом приближении // ДАН СССР. 1990. Т. 311. № 2. С. 343-346.

4. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Об одной нелинейной краевой задаче теории переноса излучения // Журн. вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30. С. 1071-1080.

5. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Смешанная задача для нестационарной системы нелинейных ин-тегро-дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 10521066.

6. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

7. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории // Тр. МИАН СССР. М., 1961. Вып. 61.

8. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

ON A NONLINEAR PROBLEM OF RADIATIVE TRANSFER IN A PLANE-PARALLEL LAYER

A. V.Kalinin, A Yu.Kozlov

A stationary nonlinear system of integro-differential radiative transfer and statistical equilibrium equations has been considered which corresponds to a two-level atom model in the approximation of the complete frequency redistribution of radiation. The theorem on existence and uniqueness of solution for a boundary-value problem in a plane-parallel layer has been proved.

Keywords: radiative transfer, boundary-value problem, ordered spaces, two-level atom model, system of integro-differential equations.