CC BY
22Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 5, 1998
УДК 519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ С ОБРАТИМЫМ ЗАХВАТОМ И ДИНАМИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Ю. В. Заика
Дается математическое обоснование модели переноса газа сквозь мембраны с учетом взаимодействия с ловушками и физико-химических процессов на поверхности. Последнее приводит к динамическим граничным условиям. Вопрос о непротиворечивости уравнений модели сводится к исследованию класса функционально-дифференциальных уравнений, аналогичного системам с последействием нейтрального типа. Модель является содержательным примером полудинамической системы в гильбертовом пространстве.
§ 1. Модель переноса водорода сквозь металлические мембраны
Имея в виду конкретную прикладную задачу, будем для определенности рассматривать пару водород — металл. С непринципиальными изменениями модель и полученные результаты могут использоваться и для других систем газ — твердое тело. Водород занимает особое место в теоретических и прикладных исследованиях [1-6] — достаточно упомянуть задачи энергетики, защиты материалов от водородной коррозии, проектирования химических реакторов, ракетостроения, вакуумной техники и технологии. В частности, поскольку в термоядерных реакторах будет использоваться радиоактивный изотоп
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований,(проект 95-01-00355).
© Ю. В. Заика, 1998
водорода — тритий, то возникает проблема возможных диффузионных утечек трития и его накопления в конструкционных материалах первой стенки реактора. В связи с этим разработка адекватных моделей водородопроницаемости и методов их идентификации по результатам эксперимента для конкретных материалов представляет значительный интерес.
Экспериментальный опыт показывает, что лимитирующими являются не только диффузионные процессы внутри металла, но и сложные физико-химические явления на поверхности ( см. [4]). Кинетические кривые, получаемые методами водородопроницаемости и термодесорбции, содержат информацию и о скоростях адсорбционно-десорбционных процессов, о взаимодействии с ловушками.
Цель статьи — изложить математическое обоснование одной из возможных моделей переноса водорода сквозь металл. Базой послужили экспериментальные работы под руководством А.А.Курдюмова и И.Е.Габиса (см. [4-6]). Здесь не будут обсуждаться условия и границы применимости используемой модели. Для (1-переходных металлов при относительно малых концентрациях в диапазоне температур 300-1000 К адекватность модели подтверждена численно и экспериментально. Из-за ограниченности объема статьи не будут также излагаться методы идентификации неизвестных априори параметров по результатам измерений ( метод сопряженных уравнений изложен в
И)-
Будем считать, что концентрация растворенного водорода (в атомарном состоянии) в металле достаточно мала и часть его взаимодействует с ловушками. В качестве математической модели диффузии с обратимым захватом внутри мембраны примем систему уравнений ( см. обзор [5]):
Вс д^с
^1=В(Т)—С
дх
= D(T)тrJ-a1(T)c + a2(T)z, (1)
дх
— = а1(Т)с- а2(Т)х, хе[0,1], ге[0,и\, (2)
где с(£, ж) — концентрация диффундирующего водорода, г^,х) — концентрация захваченного диффузанта, В — коэффициент диффузии, а1,а2 — коэффициенты поглощения и выделения водорода ловушками.
В правой части (2) диффузионное слагаемое отсутствует, поскольку ловушки ( различного рода дефекты физико-химической структуры металла) предполагаются неподвижными. Величины D, а* зависят от температуры T(t) с приемлемой точностью по закону Аррениуса с соответствующими предэкспоненциальными множителями и энергиями активации:
Dq, Ed, CLoiч Е{, R — const, D = D0exp(-ED/RT(t)), a,i = aoi ехр(-Е{/RT(t)).
Отметим, что именно аррениусовость коэффициентов в дальнейшем изложении не играет принципиальной роли. Важно лишь, чтобы после подстановки T(t) коэффициенты были функциями времени t и, может быть, неизвестных констант, подлежащих идентификации. Поэтому при необходимости можно использовать и другие температурные зависимости. Необходимо сохранить только свойства гладкости, монотонности с ростом Т , отделенности от нуля и положительности, как имеющие физический смысл.
Существуют более детализированные математические модели диффузии. Однако значительное увеличение числа неизвестных параметров делает задачу их экспериментального определения труднообозримой. Поэтому здесь и в дальнейшем принят разумный компромисс между полнотой модели и реальными возможностями ее идентификации имеющимися экспериментальными и вычислительными средствами.
Основные трудности связаны не с уравнениями (1), (2), ас динамическими нелинейными граничными условиями. Перейдем к их описанию.
Пусть поверхность мембраны контактирует с газообразным водородом. Тогда с учетом адсорбционно-десорбционных процессов на поверхности краевые условия моделируются следующим образом (см.обзор|
[5] и [4]):
с(0,ж)=с(ж), z(0, х) = z(x), хе[0,£\, (3)
Со (г) = c(t, 0) = g(T)q0(t), ct{t) = c(t,i) = g{T)qt{t), (4)
jtq0{t) = fis(T)po(t) - b(T)ql(t) + D(T)^\x=0,
jtqdt) = Vs{T)pt{t) - b{T)qj{t) - D(T)^\x=i, (5)
T = T(t), t G
д(Т) = д0 ехр(-Ед/ЯТ), Ъ(Т) = Ъ0 ехр(-ЕЬ/ЯТ),
з(Т) = 80ехр (-Е8/КГ).
Здесь до (£) 5 0.1 (£) — концентрации диффундирующего водорода на соответствующих поверхностях мембраны (х = 0,^ ), д(Т) — константа равновесия между концентрациями на поверхности и в приповерхностном объеме мембраны, ц — кинетический коэффициент, з(Т) — коэффициент прилипания водорода в газовой фазе к поверхности, Ро(^),Рг(^) — давления газообразного водорода с соответствующих сторон мембраны, Ь(Т) — коэффициент десорбции.
Поясним несколько подробнее смысл соотношений (3)—(5). Начальное условие (3) определяется начальным насыщением мембраны водородом. Если перед экспериментом мембрана обезводорожена, то с(х) = г(х) = 0. Соотношения (4) означают, что объемные приповерхностные концентрации со (£), (£) ” отслеживают” (пропорцио-
нальны) текущие концентрации qo{t)^)ql{t) на поверхности. Наконец, рассмотрим уравнения баланса потоков (5). Чем больше давление газообразного водорода, тем больше атомов в единицу времени попадает на единичную площадку поверхности (первые слагаемые в правых частях (5)). Вторые слагаемые означают, что часть атомов, оказавшихся на поверхности, снова соединяются в молекулы водорода и покидают поверхность (десорбционный поток). Квадратичность закона десорбции, характерная для водорода, в дальнейшем изложении не принципиальна. Последние слагаемые в правых частях (5) соответствуют притоку или оттоку атомов водорода к поверхности за счет диффузии в объеме мембраны.
Кроме нелинейности граничные условия (4),(5) имеют следующую особенность. Значения слагаемых В(Т^))дс/дх\х=о/ в момент времени £ > 0 определяются всей предысторией поверхностных концентраций до (т)?^(т) на отрезке [0,*] . Образно говоря, согласно (4) часть атомов с поверхности ” ныряет” в объем и диффундирует внутри мембраны в соответствии с (1), (2). Диффузионный приток (отток) к (от) поверхности при этом определяется ” профилем” концентрации по толщине.
§ 2. Методика экспериментов и модель измерений
2.1. Метод термодесорбционной спектрометрии
В камеру с лентой из исследуемого материала подается водород в газовой фазе при сравнительно большом давлении. Лента нагревается электрическим током с целью увеличения скоростей адсорбционно-десорбционных процессов и диффузии. После установления стационарной концентрации, когда лента поглотит достаточное количество водорода, она быстро охлаждается. При этом резко падают скорости указанных процессов и значительное количество водорода остается в ленте (в частности, в ловушках). В режиме ваку-умирования камеры лента через определенный промежуток времени снова нагревается. Закон нагрева может варьироваться в достаточно широких пределах. С помощью масс-спектрометра измеряется давление молекулярного водорода в вакуумной камере, обусловленное десорбционным потоком с поверхности ( плотность этого потока обозначим через J{t) ):
Здесь и далее для упрощения обозначений b{t) = b(T(t)), g(t) = g(T(t)), D(t) = D(T(t)), ai(t) = s(t) = s(T(t)).
Для метода ТДС выполнены условия симметричности:
p(t) = Po(t) = Pi(t), q(t) = q0(t) = qt(t),
t
(6)
0
J(t) = b(t)q2(t) = b(t)g 2(t)c2e(t).
(7)
co(t) = Ci(t), D(t) — (t, 0) = -D(t) — (x,l), c(x) = c{i — ж), z(x) = z{i — x).
(8)
Константа 0\ зависит от площади поверхности ленты *5 (#1 = *5^2), #о и #2 определяются конкретными характеристиками экспериментальной установки, в частности, объемом камеры и скоростью откачки
вакуумной системы. Выбор модели измерений (6) обусловлен опытом: впрыск порции водорода в камеру (й-импульс) приводит к резкому скачку давления с последующим экспоненциальным затуханием. Уравнение (6) является в определенном смысле классическим в теории измерений. Специфику задачи отражает (7).
В начальный момент времени, определяемый повторным нагревом,
с(0,ж)=с, г(0,ж)=г, х Е [0, £], (9)
где константы с, вообще говоря, априори неизвестны. Время окончания эксперимента определим условием р{Ь) « 0,£ > £*, т. е.
с(£*,ж) = г(и,х) = 0, хе[0,£\. (10)
Перепад температур Т(£*) — Т(0) должен быть при этом достаточно велик. Отметим, что какой-бы глубокий вакуум ни создавался, наличие давления и взаимодействие водорода с ловушками приводят к тому, что какая-то его часть неизбежно останется в образце даже при очень большом £*. Это следует и из линейности уравнений (1), (2). Поэтому условие (10) является приближенным и означает лишь, что относительно ничтожной частью водорода мы пренебрегаем. Подобные замечания в дальнейшем будем опускать.
2.2. Метод проницаемости
С входной стороны предварительно обезводороженной и нагретой до фиксированной температуры Т мембраны (перегородки вакуумной камеры) скачкообразно создается достаточно высокое постоянное давление газообразного водорода ро- С выходной стороны в режиме постоянной откачки водорода измеряется давление согласно модели
(6), (7), где следует заменить р, д на рц^ц. Условия симметричности
(8) отсутствуют.
Начальные данные считаем нулевыми:
с(0,ж) = с(х) = 0, z(0,ж) = г(х) =0, х Е [0,^]. (11)
Время окончания эксперимента определим временем установления выходных давления и потока: рг^) =сопз1, J{t) =сопз1, I > £*.
В методе проницаемости нецелесообразно варьировать температуру мембраны во времени, так как при этом существенны искажения,
вызванные поглощением и выделением водорода соприкасающимися с мембраной стенками камеры. Для оценивания всех интересующих параметров необходимо несколько экспериментов с различными температурами Т.
§ 3. Теоремы существования и единственности решений уравнений модели
После интегрирования линейного уравнения (2) система (1), (2) преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение с частными производными. На границе, с учетом соотношений (6), (7), получаем динамические условия: нелинейные интегро-дифференциальные уравнения со свободными членами, содержащими диффузионные потоки к поверхности мембраны. Непротиворечивость такой модели не является очевидной.
Отметим, что модель (1)-(5) можно рассматривать безотносительно к измерениям (6), (7) или другим экспериментальным методам, считая Po(t),Pi(t) заданными функциями времени. Все последующие выкладки лишь упростятся. Учет того, что po(t) и (или) pi(t) могут содержать обратную связь (в частности, в смысле (6), (7)), лишь делает задачу более содержательной. Поэтому сразу будем рассматривать полную модель, т. е. с учетом ”экспериментального вмешательства” в (1)-(5).
Остановимся вначале на методе термодесорбционной спектрометрии (ТДС).
Температуру T(t) будем считать непрерывно дифференцируемой на рассматриваемом отрезке времени [0, £*] и ограниченной: 0 < Т~ < T(t) < Т+. Зависимость коэффициентов от температуры T(t) для определенности предполагаем аррениусовской, хотя в дальнейшем достаточно лишь свойств гладкости, монотонности с ростом Т , положительности и отделенности от нуля в диапазоне [Т-,Т+] как имеющих физический смысл.
Начальные концентрации постоянны:
с(о,х) = с, z(0, ж) = z, х £ [0,4
Далее достаточно лишь условия симметричности с(х) = с(£—х), z(x) =| z(£ — х).
Перейдем к описанию полученной краевой задачи в компактной форме.
Проинтегрируем линейное уравнение (2):
;г(£,ж) = ехр(— / а2(з)с18)г + / ехр( / 0,2(3) (18)а,1{т)с{т,х)(1т, (12)
Jo «/о Л
(£,ж) Е <2** = (О,**) х (0,£).
Замечание. Эта операция пока проделана формально - аналитические свойства функции с(£, х) уточнены ниже. Изложение будем вести в терминах обобщенных решений, следуя в терминологии в основном книге [9]. Докажем, что с(£, ж) Е Н12((Э**), т. е. функция с(£, ж) Е £2(СО имеет обобщенные производные
—(*,ж), е£2(<?*.).
Тогда для каждого фиксированного ж Е (0,^) определен след с(-,ж) Е £2(0, £*) и функция г^,х) Е #1,2((2г*) определена формулой (12) в области Qt^ корректно.
После подстановки (12) в (1) вместо системы (1), (2) в области Qt^ получаем интегро-дифференциальное уравнение:
дс д2с Г
— = £>(г)— - сч{г)с + а2(г) ехр(-у аг^)^)^
+а2(£) / ехр( / а2(в)ск)а1(т)с(т, ж)с£т,
■)о Ь
(13)
(*,ж) е <5*, = (о, **) х (о,^),
£>(*)=£> (Г(^)), а4(*)=а<(Т(*)).
Краевые условия:
с(0,ж) = с, ж Е [0, £], (14)
со(*) = с* (г) = 5(*)д(*), = (15)
д(Т( 0))д(0) = с. (17)
Соотношения (15) являются следствием симметричности метода ТДС в смысле (8), (16) получено подстановкой (6), (7) в (5), а (17) согласует начальные и граничные условия. Здесь мы также воспользовались обозначениями $(£) = з(Т(£)), д{Ь) = д(Т(£)), Ь(£) = Ъ(Т{Ь)).
Уточним, в каком классе функций ищется решение и в каком смысле оно удовлетворяет (13)-(17). По аналогии с [9] дадим в терминах обобщенных производных следующее определение.
Определение 1 Решением п. в. (почти всюду) поставленной краевой задачи назовем функцию с(£, ж) Е Н12((20? удовлетворяющую уравнению (13) при почти всех (£, ж) Е (Зг* и согласованным симметричным начальным и граничным условиям в смысле теории следов (т.е. следы
с(-,0) Е Ь2((М), с0(«) = с(.,0), сД.) = с(.,*),
|,,о), |(.,о €«»,<.)
подчинены (14)-(16) для почти всех ж Е [0,£\, t Е [0,£*] соответственно). При фиксированной дс/дж(-,0) с начальными данными д(0) = д_1(Т(0))с понимается в смысле Каратеодори.
Опишем пока в общих чертах ’’путь”, приводящий к решению уравнений (13)-(17). Фиксируем для уравнения (13) симметричные начальные данные (14) (с(0,ж) = с(0,£ — ж)) и граничные условия первого рода Со(£) = сД£) Е ^1(0,^). Эти краевые условия определяют симметричное решение п. в. с(£, ж) = с^у£ — ж) Е #1,2((2г*), для которого дс/дж(£, 0) = —дс/дж(£,£) п.в. в (0,£*) (см. ниже следствие 1 из теоремы 1). Подставим функцию времени <9с/<9ж(-,0) Е Ь2(0,£*) в интегро-дифференциальное уравнение (16), которое введением дополнительной переменной сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть абсолютно непрерывное решение #(£) с начальными данными (17) определено на [0, £*]. Если теперь будет выполнено оставшееся первое условие в (15) со(£) = <7 (£)#(£)? то модель будем считать обоснованной. Таким образом, необходимо доказать, что на некотором отрезке времени [0,£*] можно проделать ’’замкнутый круг” и вернуться к исходным со (£), С1 (£). Из физических соображений необходима единственность такого решения.
Пусть решение п. в. существует. Укажем некоторые следствия.
Прямоугольная область Qt^ удовлетворяет сильному условию £-рога [12], поэтому элементы #1,2((3г*) равномерно непрерывны в Qt^ и продолжаются по непрерывности на замыкание Qt^. Следы с(£, -),с(-,ж) можно понимать в обычном смысле — как непрерывные функции с(£, ж) при фиксированных Ь Е [0,£*] или ж Е [0,£].
Поскольку дс/дж(-,0) Е Ь2(0,£*), то решение #(£) уравнения (16) принадлежит пространству Н1(0,£*), т.е. является абсолютно непрерывной функцией на [0,£*], производная которой существует почти всюду (в классическом смысле) и принадлежит Ь2(0, £*). В силу (15) и со(^), сД£) Е ^1(0,^). Кроме того, как следует из [8],с(£, •) Е ^1(0,^) для любого £ Е [0,**], причем с(£, •) непрерывно зависит от ^ в норме
ях((М).
С ростом гладкости условий задачи будет расти и гладкость решения. В частности, в случае аррениусовской зависимости коэффициентов модели от температуры при линейном нагреве Т (£) = То + Ы Е [Т-,Т+] (наиболее часто используется на практике) решение п.в. с(£, ж) будет бесконечно дифференцируемым в любой строго внутренней подобласти (2, 0 Е (2**-
Ближайшая цель — доказать существование и единственность решения п. в. при достаточно малом £*. Вопрос о продолжимости решений требует специального изучения.
Докажем вначале одно вспомогательное общее утверждение.
Рассмотрим в области (2** = (0,£*) х (о, I) уравнение
дс д2 с
^ - а1(^)с +у Н(г,т)с(т,х)с1т + Н(Ь,х), (18)
Н(Ь,т) € С7([0,£*] х [0, £*]), Н{Ь, х) € Ь2((2г,)-
Зададим согласованные краевые условия первого рода:
с(0,ж) = <р(ж) Е Ях(0,^), с(£,0) = с0(£), с(£,£) = с*(£),
со(£),с*(£) Е Я1(0,£*), со(0) = у>(0), сДО) = </?(£). (19)
Для произвольной функции с(£, ж) Е #1,2((2г*) определены следы с(0, •) Е Ь2(0,£) и с(-,0), с(-,£) Е £2(0,£*) (см.[9]). Под решением п. в. задачи (18), (19) понимаем такую с(£, ж) Е Я1,2((5^^), которая удовлетворяет (18) п. в. в а указанные следы принадлежат Н1 (0, ^), Н1 (0, £*) соответственно и подчинены (19) для заданных (р(х ),со(г),с1(г).
Теорема 1. Решение п. в. краевой задачи (18), (19) существует; единственно и удовлетворяет неравенству
ІМІЯ1-2^,) < ^(ІМІНг(0,і) + ІІ^іи2(<3,,)+ ҐПП)
+ ІІс0І|я1(0,і») + Н^Ня^СМ.)),
в котором константа Л > 0 не зависит от </?, /г, со, С£. Доказательство. Введем новую переменную и(Ъ,х):
Г 1
c(t, х) = ехр(— J ai(T)d,T)u(t,x) + j(xci(t) - (х - i)co(t)), (21)
Oi j О2 и ~
~dt=D^dx^ + J H(t’T)u(T’x)dT + Н*,х), (22)
h(t,x) = exp( j ai{T)dT){h{t,x) + 7 / Н{Ь,т){хс/.(т)-
1 a
(x - £)c0(t))(It - j(xct(t) - (x - £)c0(t)) - ^j{xct{t) - (x - l)c0(t))}.
После монотонной замены времени t «->■ s,
8 = [ D(r)dr, s(t) = D(t) > 0, (23)
Jo
для функции v(s,x) = u(t(s),x) получим краевую задачу в области Qs* = (0,s*) х (0, t), s* = s(U) :
dv d2v ds dx2
/ (s, v)v(i/, x)dv + r(s, x), (24)
Jo
R(s,v) Є C([0,s*] x [0,s*]), r(s,x) = £>_1(ф))/і(ф),ж) Є L2(QsJ,
v(0,x) = <p(x) - j(xci(0) - (x - ^)co(O)) = ф(х) Є Нг(0,£),
v(s, 0) = v(s, i) — 0, s Є [0, s*].
Рассмотрим теперь итерационную процедуру
і>(0)(в,ж) = 0, (s,x)eQs,,
dv^ _ d2v(k'> ,k)
f(k)(s,x)= ( Щв^^У^ ^ (ту, х)(1р + г(з, ж),
Jo
у(к\о,х) = ф(х) е н1 (о,2),
у^(з,0) = у^к\х,1) = 0, в£[0, в*].
По теореме 4[9] для каждого к > 1 при фиксированной у(к~^ (в,х) решение п.в. у^(в,х) Е Н1,2((3<?*) существует, единственно и
< ^(Н^Н#1^) + Н/^Нмз**))’ (26)
где константа А\ не зависит от ф, /(к\
В оценке (26) момент времени можно заменить на любой Е (0,8*), не изменяя при этом константу А\. Действительно, положим
йк)=!(к\ ее (О,во), /о&) = о, (во,в*)-
Соответствующее /((|/’;| решение иЦ'1 будет совпадать с в С^,0 =
(0, во) х (0,^) как элемент Н1,2((280) — достаточно рассмотреть однородную краевую задачу для у^ — у№ в области (^8о и воспользоваться оценкой типа (26). Следовательно,
Н^^Ня1.2^^) = < Н^Ня1'2^,,) <
< ^1(||‘^||н1(0^) + Н/о^Нь2^») = (27)
= АА\\Ф\\т(о,г) + ||/(к)|\ь2(я,0)) е (0,в*].
Далее, для и/1) = гД1), ъи(к+1) = — г>(к\ к > 1, получаем
дюд2-и}(к+1'1 (*+1)/ \ / \ гл
дз = дх2 +д( + )(а^), (в,*)едв.,
д{к+1\з,х)= [ К{з,р)ш{к)(р,х)<1р,
'о
гу(*:+1)(0,ж) = 0, х £ [0,£], гу(А:+1)(в, 0) = ги(*+1)(в,£) = 0, в £ [0, в*],
откуда в силу (27)
Ік(‘+1)І|2я1.2№.)<^ІІ^+1)ІІІ2(д.) =
= А\ [ [ ([ І1(іі,р)ґш(кк\р,х)(1р)‘2(1іі(1х <
Jo Jo Jo
Пв
/ і^2(^і, р)уо^ (г/, х)(Ь/(И^х < (28)
<А\Ё2 [ Ь\\ю{к)\Ц2{д }<йі <
[ *іІк(і:)||яі,2((3 Увє(о,в*],
«/О
А2—А\К^ Я = тах |Д(з, г/)|, 5,1/Е [0,5*].
Воспользуемся оценкой многократно:
||'^(А:+1)Ия1’2(д3#) ^ ^2 [ 11я1’2(д<1)^1 ^
«/ о
~А*1о І1 іо - ••• -
< [ І1 [ ..Лк-1 [ ік\^1)\\2юаіп( \<1Ьк ■■■&!<
Jo «/о «/о й
П'ш(1)Пй-1.2(<5„ ) / *1 / / и<Ик...(И1 =
* «/о «/о «/о
<
(29)
= ^ (2Ч!)-1, Л>1,
Лз = 1к(1)||я1.2(д8.) = ||«(1)||я1.2(д8,)-
Элементы гД*5) Е .Я1,2((3<?*), к > 1, являются частичными суммами ряда г*/1) + г</2) + + ..., который мажорируется сходящимся
числовым (достаточно воспользоваться признаком Даламбера):
1к(1)||я1,2(<2^) + ... + ||ад(*!+1)||я1.2(<з<„) + • • • <
< А3 + ... + А3А^(2кк\)~1/2 + ... = А3А4.
Поэтому последовательность гД*5) сходится к V Е причем
г;^(5,ж) = 0 => /^(5, ж) = г(^, ж) =>
Л3 = ||г>(1)||я1.2((з51) < Ах{\\Ф\\т(о,1) + Пг11ь2(<Э„,)) => Н^Ня1-2^,) < ММ <
< АхМ{\\Ф\\т(о^) + ||г||ь2(<з„))-
Переходя к пределу при к —>• +оо в (25) заключаем, что и(5,ж) Е Я1’2^^) — решение п. в. краевой задачи для уравнения (24).
Если предположить, что существует еще одно решение у(в,х), то для у (в, х) — г?(^, х) получаем однородную краевую задачу (г(в, х) =0, ф{х) = 0). Из оценки (30) следует у{в, х) = £7(5, ж) в .Я1,2^**). Замены переменных (21), (23) гарантируют включение с(£, ж) Е #1,2((3<?* )• Таким образом, существование и единственность решения п. в. краевой задачи для (24), а значит, и задачи (18), (19), доказаны.
Осталось доказать оценку (20). Возвращаясь к времени £, из (30) получаем:
11и11я1-2(<Э41>) < М{\\Ф\\н1(о,() + \\Ы\ь2^,))-
Воспользуемся теперь определениями функции /г(£, ж) в (22) и начальных данных ф(ж) для уравнения (24):
Н^Ня^о,^) < Н^Нячм) + + ^)1//2(с^(о) + со(0)) <
< ЦфЦнЦО/) + + НсоНя1^,**))
(здесь мы воспользовались тем, что пространство Н1(0,£*) вложено в С[0,и\, т. е. II • \\с < л7II • ЦяО,
Ш\ь2(Яи) ^ ^8(11^11 Ь2(Яи) + ЦсоЦя^О,**) + 0,4*))-
Тогда
\\и\\н^(ди) < М(\\ф\\т{ъ,1) +
+ 11^1 \ь2(Яи) + НсоНя^о,**) + Н^Н#1^,**))
и справедливость оценки (20) теперь следует из (21).
Теорема доказана. □
При со(£) = сД£), (р(х) = с доказательство теоремы 1 несколько упрощается — выражения (хс1(£) — (х—£)со(£))/£, (хс1(£) — (х—£)со(£))/£ равны соответственно со(£), со(£), а </5 (ж) = 0.
СледствиеПусть условия краевой задачи (18), (19) СИММЕТРИЧНЫ:
(р(х) = (р(£-х), хе[0,£\, со(*) = с*(£), ге[0,и],
/г(£, ж) = /г(£, ^ — ж)п. в. в Qt^.
Тогда с(£, ж) = с(Ь,£ — ж) в (2**, <9с/<9ж(£,0) = —дс/дж(£,£) п. в. в
(о, **).
Действительно, для функции с(*, ж) = с(£, £ — х) получаем ту же краевую задачу (18), (19), что и для с(£,ж). В силу единственности решений с(£, ж) = с(£, ж) в Я1,2 ((5^), т. е. с(£, ж) = с(£, ж) V (£, ж) Е (Зг*. Равные в Я1,2((3г*) элементы определяют равные в Ь2(0,£*) следы <9с/<9ж(£,0) и дс/дж(£, 0) = —дс/дх(Ь,£).
СледствиеФункция г(£,ж) е Я1’2(<20? определенная формулой
(12), ИМЕЕТ НЕПРЕРЫВНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ПО £ И УДОВЛЕТВОРЯЕТ УРАВНЕНИЮ (2).
Иными словами, в классе решений из Я1,2((3г*) система (1), (2) действительно эквивалентна уравнению (13). При этом г^,х) продолжается по непрерывности на замыкание Qt^ и следы ;г(£, •), z(^,x) можно понимать как функции ;г(£, ж) при фиксированных £ Е [0,£*] или ж Е [0,4 Более того, если подставить в (24) решение и(5,ж) Е и считать интегральное слагаемое уже известной функцией из ^((Зз*), то из теоремы 2.1 [8,с. 158] в исходных переменных получаем с(£, •), z(t,^) Е Я1(0,^) Е [0,£*]. Зависимость по £ здесь непрерывная в норме Я1(0,^).
СледствиеРассмотрим УРАВНЕНИЕ (18) КАК ОБЩИЙ ВИД СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ (13) ПРИ Т(-) Е С1[0,^*], Т(г) Е [Т_,Т+], Т_ > О, с ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ 'ф Е Ь2(0,£) ВМЕСТО 2 (ПОСТОЯННОЕ НАЧАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ф(х) = г — ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ) И КРАЕВЫМИ условиями (19). Тогда в оговоренном классе температурных зависимостей коэффициентов модели справедлива оценка
||с||я1’2(д<*) < ^(||^11я1(о^) +
+ \\'Ф\\ь2(0,1) + НсоНя^О,**) + 0,4*))?
где константа А не зависит не только от (р,ф,С0,С£, но и от допустимой реализации Т (•).
Действительно, определим условием
Я(Т(т))йт < в* УТ(-).
Например, s* = D(T+)t*. Из уравнения (25) в Qs*, полагая произвольной из L2(Qs#) и u(fe)(s,0) = v^(s,£) = 0, s G [0, s*], получим согласно [9] оценку вида (26) для s* = s* с независящей от Т(-) константой Ai ( ”коэффициент диффузии” в (25) равен единице). В силу (27) такой оценкой можно пользоваться и при s* < s* независимо от допустимой реализации Т(-). Далее, в (28) норма \\R\\c равномерно ограничена по Т(-) и можно выбрать Л2 / Л2(Т(-)), Л4 / Л4(Т(-)), Л5 / Л5(Т(-)). Из анологичных соображений определим А8 / Л8(Т(-)). Константа Л7 (Л6) зависит от £*, но не от Т(-). Для вывода (31) остается воспользоваться конкретным видом функции h{t,х) в (13).
Если ф(х) Е L2(0,l) подставить вместо z и в (12), то dz/dt Е L2{Qu) и уравнение (2) удовлетворяется п. в. Гладкость c(t, ж), z(t, ж), естественно, зависит от гладкости начальных данных tp(x), ф(х).
Вернемся к исходной задаче (13)-(17), полагая реализацию Т(-) на [0,и] фиксированной (произвольной допустимой). Рассмотрим уравнение (13) с симметричными краевыми условиями
с(0,х) = с, c0(t) = Ct(t) £ Н1 (Со(0) = q(0) = с.
Поскольку выполнены все предположения следствия 1, то необходимо варьированием со (t) добиться выполнения оставшегося динамического условия (16):
^(5-1 (*)<*(*)) = -b{t)g~2{t)c20{t) + D(t)^(t,0) +
+p.s{t)9i f exp(r - t/e0)b{T)g~2{T)cl{T)dT, co(0) = c.
Jo
Обозначив w(t) = Jq b(r)g 2(t)cq(t) ехр(т/во)с1т, перепишем уравне-
ние в форме системы
co(t) = £_1(г)#(г)сo(t) - b(t)g~1(t)cl(t)+
r\
+D(t)g(t)-^(t,0) + g(t)fis(t)e1exp(-t/e0)w(t), (32)
w(t) = b(t)g~2(t)exp(t/90)cl(t), co(0) = c, w(0) = 0.
Перейдем к более общему рассмотрению. В предположениях следствия 1 о симметричности краевой задачи (18), (19) определим при фиксированных h(t,x) Є L2(Qt*), ф{х) Є і?1 (0,-0 (h(t,x) = — x)
п. в., ip(x) = ip(t — x), co(t) = ci(t)) операторы
F(c0): ПСЯНОЛІЧЯ1'2^,),
F(c0)(t,x) = c(t,x),
SI = {c0 Є Я1(0,і*)|со(0) = <£>(0)}, (33)
G(u) : H^iQt,) ^ L2(0,U),
G(u)(t) =—{t,0) п.в..
Здесь c(t,x) — решение п. в. задачи (18), (19).
По известному свойству следов функций из H1,2(Qt^) [9] оператор G линеен и непрерывен:
\\Є(и)\\ь2(о,і*) < Ao\\u\\ф A0(u).
Следовательно, с учетом (20) для оператора GF : О —>• L2(0,£*) справедлива оценка
\\GF(c0)\\L2(o,t*) < Ai\\h\\l2(qu) + + Аз\\со\\нЦо,і*), (34)
где константы А{ (отличные от А{ в доказательстве теоремы 1) не зависят от /г, (/?, со - Из дальнейшего станет ясно, что Л з целесообразно выбрать, по возможности, минимальной.
Подчеркнем, что со и (р не являются независимыми (со(0) = </?(0)), операторы F, GF, вообще говоря, нелинейны — их множество определения О не является линейным при у?(0) / 0. Значения F, GF определяются при фиксированных симметричных /г, ip в (18), (19), аргументом является со Є О = £1(ф) (в (19) ci{t) = Co(t)).
Система (32) имеет следующий общий вид:
со(*) = Л(г,с0(г), «>(£)) + Цсо(-)Щ,
(35)
«>(*) = /г (*, со(*)), Со(0) = у(0), м(0) = О,
где Ь(со(•))(£) = #(£) 22 (£)С-Р(со (•))(£)• Обозначение со(-) оттеняет тот факт, что числовые значения Ь(со(-))(^о) п- в- в [0,£*] определяются с учетом всех значений функции со : [0,£*] —> Я1. Точнее, как нетрудно заметить, используются со(£), I Е [0,£о]? т- е- (35) не является системой с опережающим аргументом. Определенная сложность исследования системы (35) заключается в том, что непрерывность правой части формулируется лишь с учетом производной со (в норме пространства Н1), которая входит и в левую часть. В теории уравнений с последействием [10, 11] системы с подобными свойствами относятся к нейтральному типу и требуют более сложной техники доказательств теорем существования и единственности решений.
Лемма 1. Оператор СЕ является липшицевым на О, причем в качестве константы Липшица можно взять Аз из оценки (34).
Доказательство. В самом деле, разность С^Р(со1) — С^Р(со2) = С(-Р(со1) — ^(сог)) представляет собой след д/дх\х=о(с1(1, х) — сг(£, х)) разности двух решений п. в. симметричных краевых задач (18), (19) с равными /г, ср и различными соь с02- Эта разность сама является решением п. в. (18), (19) с /г = 0, (/? = 0 со = С01 — со2- Условие согласования выполнено (со(0) = 0), поэтому в силу (34)
||С^Р(со1) — (0)2)111,2(0,£*) < А3||с01 — С02||я1(0,П)« (36)
Для оператора Ь в качестве константы Липшица можно взять А4 = Аз тах(<7(£)£)(£)), £ Е [0,£*]. В контексте замечания 3 возможен выбор А4 независимо от Т(-). □
В (36) формально Аз = Аз(£*). Однако в процессе доказательства теорем 2, 3 потребуется, возможно, уменьшать £*. Необходима уверенность, что при —У 0 (т. е. на некотором отрезке времени [0, ^о]) можно пользоваться оценкой вида (36) с независящей от Е (0, £о] константой Липшица. Сужению со на [ОД*], < £*, соответствует
сужение С^Р(со) на [ОД*].
Лемма 2. Пусть для некоторого ^ в О = О(£о) = {со Е
ії1(0, іо)|со(0) = ¥>(())} выполняется оценка (36). Тогда
ІІ^(соі) — ОР(со2)\\ь2(о,і,) < Аг(1 + *о/4)||соі — ОгНя^см.)
Доказательство. Фиксируем со; £ !)(£*) и определим соД£) = С(н(£), Ь £ [0,*,], с0;(£) = сог(и), Ь £ [и,Ь]. Тогда
с01 £ П(*0),
С*(*,ж) = ^(с0г)(^,ж) = Сг(Ь,х) = ^’(с0*)(*, ж),
(*, ж) е <з4„ = (о,**) х (о,£),
^(*,0) = С^(о0(*) = ^(*,0) = С^оОф п.в. в (0,£*)
и в силу (36) для (0,£о)
||С^(с01) - С^(о2)||12(0А) = 1|е^(со1) - 0^(002)111,(0,*.) <
< ||С^(с01) - <?^(с02)||12(0,<0) < "4зРо1 - С02|1я1(0,*0) =
= Лз(||со1 - О2||я'(0,*„) + (С01 (**) - С02(**))2(^0 - и)).
Далее, поскольку Со1(0) — 0)2(0) = </?(0) — </?(0) = 0, то
и выполняется (37). Лемма доказана. □
Оценка (37) является достаточно грубой, ее можно уточнить, однако для наших целей в этом нет необходимости.
Обобщая систему (35), рассмотрим векторное функциональнодифференциальное уравнение
\/£* Є (0,^о]5 ^Соі Є 0(£*).
(37)
Следовательно,
\\GFM- 6^(02)111,(0,*.) <
< А\(1 + иЦ0 - і*))||оі - с0211^1(0,*,)
х(і) = +1(і,Хі(-)), ж(0) = х0 Є и, (38)
где U — область в Rn, вектор-функция / непрерывна и локально липшицева по х в области (ti,^) xU D [0, to] х U, xt(-) = ж(-) : [0,t\ —>• С/ — сужение вектор-функции х{') на отрезок [0,t\.
Относительно отображения £ будем предполагать, что:
1) £{ti •) : 0(£) —у Rn, £ > О,
0(i) = {y(-)Gff1((0,i),i?")|t/(0) = a;o};
2) для произвольных t* Е (0, to] и 2/(') Е 0(£*) вектор — функция А(') со значениями A(t) = £(t,yt(')) принадлежит ^((О, t*), Rn)]
3) операторы 2/(-) н->> А(-) (параметром служит Е (0, to]) равномерно липшицевы, т.е.
IIAi(*) - A2(')||l2((o,u),jr-) < B\\yi(-) ~ y2(')\\H1((o,t*),Rn)i (39)
где yi{') Е £}(£*), а константа В не зависит от t* Е (0, to].
Под 2^2((0, t*), V), 221((0, £*),У) понимаем пространства вектор-функций со значениями в У и компонентами из £2(0, t*), 221(0,£*) соответственно,
ІІ2/(-)ІІяі = ІІ2/(-)ІІі2 + ІІгКОІІ
в 22n — евклидова норма | • |.
Преобразуем уравнение (38) в интегральное:
х{і) = х0 + [ /(т,ж(т))с?т + ( £(т,хт(-))(1т.
Jo Ло
В операторной форме:
х(-) = х0 + ф(ж(-)) + Л(ж(-)), (41)
Ф(ж(-))№ = J І(т,х(т))(1т, Л(ж(-))(і)=У 1(т,хт(-))<1т,
Ф °:Я1((0,^),С/)^Я1((0,^),Л"),
А : її(і,) ->■ Я^^,*,), Д"), V** Є (0,іо].
Под решением п. в. уравнения (38) понимаем вектор-функцию х(-) Е 221((0, £*),[/), которая удовлетворяет (38) почти всюду на [0,£*] и заданному начальному условию ж(0) = хо. Для оператора жо + Ф + А это решение является неподвижной точкой в 0(£*) П 221((0, £*),[/). Как обычно, жо обозначает вектор или вектор-функцию х(ї) = жо в зависимости от контекста.
(40)
Вначале рассмотрим случай / = f(t).
Теорема 2. Пусть в (39) В < 1. Тогда при t* < (В~2 — I)1/2 решение п. в. на [0, £*] уравнения
x(t) = £(t, xt(-)) +£(t), ж(0) = x0 e U = Rn, (42)
существует bQ(U) и единственно V£(-) G T2((0, t*),Rn). Отображение
£(•) E Ь2 и-» ж(-) G H1 непрерывно.
Доказательство. Запишем задачу в операторной форме:
ж(-) = х0 +А(ж(-)) +??(•), Ф)=[ Z(T)dT. (43)
J О
Определим итерационную процедуру
ж(^+1) (.) = ж0 + Л(ж^) (•)) + ту(-), к > 0, х^ (•) = ж0. (44)
Тогда для к > 1
H^fc+i) _ ж(*) |||fi =||А(®(*))-Л(*(*-1))|||Г1 =
= \\j\l{r,X^{-))-l(T^-1]{-)))dr\\l2 +
< ||i1/2||*(r,4fc)(-)) -^('r,4fe“1)(-))lli-2((0,i),K")lll2(0,i,) +
+Б2||^)-4^1)||2я1 <
< tt\\£(t,xik)(-)) - ^,4fc_1)(-))lll2 + B2\\xW - x^\\2Hl < <B2(l + tl)\\x^ -x^\\2H1,
L2 = L2((0,U),Rn), H1 = Я^О,**), Дп).
Следовательно, при t* < (B~2 — l)1/2
\\x(k+l) _ x(k) ||ffl < ф(к) _ x(k-i) ||ffl ? q = B(l + tl)1/2 < 1,
и последовательность x^(-) сходится к x(') E H1. Поскольку сходимость в H1 влечет сходимость в (7([0, £*], Дп ) и ж^)(0) = Xoj то ж(0) = хо и х(') Е 0(£*). Переходя к пределу в (44), заключаем, что х(') — искомое решение.
Предположим, что существует другое решение у(-) Є 0(£*) Тогда
1И0 - уОНя1 = ЦЛ(яг(-) - А(г/(-))||я1 < д|И0 - уОЬь
откуда х(') = у(') и единственность доказана.
Пусть теперь жі(-), хъ{') — решения задачи при различных £і(-),
^2 (')' ХА') — Х0 + МХі(')) + ИЗ ОЦЄНОК
ІкіО-^ОІІяі <!№(•))-Л(Ж2(-))||^ + Цгл(-) - 42(011*1 <
< «їмо -х2(-)\\т + ца(-) - ш\\ь3 + її 1\ш - ш)<іт\\ь2 <
<Ч\Ы-)-Х2(-)\\нг+\\Ш-Ш\\1« +
+ Н^2||6(0 - 6(-)іи2((о,і),д™)іи2(о,і,) ^
< 9ІМ0 - х2(-)\\„і + (1 + г*)НЫ0 - 6(-)11ь2
получаем
І1*і(0 - Ы-)\\ю < ^НЫО - &(0іи2. (45)
Последнее влечет непрерывную зависимость х(-) от £(•).
Теорема доказана. □
СледствиеПри и < (В~2 - І)1/2 оператор (I - А) : П(£*) -»• П(£*)
НЕПРЕРЫВНО ОБРАТИМ, (I - А)-1 ЯВЛЯЕТСЯ ЛИПШИЦЕВЫМ. Здесь I — тождественный оператор в Н1 = Я1 ((0, £*), Яп).
Доказательство. По построению оператор (I — А) определен на множестве 0(£*) и отображает его в 0(£*). Рассмотрим теперь в 0(£*) уравнение (I — А)(ж(-)) = /і(-) Є 0(£*). Положим в (43) £(£) = (і(ї) п. в. Тогда в силу теоремы 2 оператор (/—А)-1 : 0(£*) —> 0(£*) существует. Из
ІМ-) - Х2(.)\\Нг < д\\Х1(.) - Х2(.)\\Нг + 1Ы-) - т(.)\\Нг
получаем ||жі(0-ж2(01|ні < (1 -<?)_1||/*і(0 ~М2(ОІІнь откуда следует непрерывность (I — А)-1 на 0(£*). В качестве константы Липшица можно взять (1 — q)~1.
Подчеркнем, что как А, так и I — А не являются линейными операторами в силу нелинейности множества своего определения 0(£*) при хо ф 0. □
Перейдем к исследованию общего случая.
Теорема 3. Пусть в (39) В < 1. Тогда при достаточно малом решение п. в. на [0, £*] уравнения (38) существует и единственно.
Доказательство. Выберем < (Я-2 — I)1/2 и а настолько малыми, чтобы на множестве
П = {(£,ж)|£ £ [0,**], |ж - хо\ < а} С [0,£о] х С/
вектор-функция / была липшицевой по ж с некоторой константой Липшица N.
С учетом непрерывной обратимости оператора (I — А) перепишем уравнение (38) в операторной форме (см.(41)):
ж(-) = Ф(ж(-)) = (/ - А)_1(ж0 + Ф(ж(-))). (46)
Если х(-) Е Мс = {#(•) Е С([0, £*], Дп)| \х^)—Хо\ < а}, то ж0 + Ф(ж(-)) Е 0(£*) и применение оператора (I — А)-1 правомерно.
Определим
^ (*) 5 (Л-7)
*(*+!)(.) = (/ - Л)-!(Жо + Ф(я<*> (•))), ^ ^
т. е. (•) = жо + Ф(ж^)(•)) + Л(ж^+1)(•)), к > 0. Напомним,что жо
— вектор или вектор-функция ж(£) = жо в зависимости от контекста.
Чтобы последовательность х^ (•) была определена корректно, докажем, что при достаточно малом из ж(-) Е Мс следует ?/(•) = Ф(ж(-)) Е Мс. Действительно, по построению у(-) Е 0(£*) => у(-) Е Н1, 2/(0) = х0 => у Е (7, где Я1 = Я1((0,£*),#п), (7 = (7([0,£*],ДП). Далее:
\\у(-)-х0\\с < (1-иВ) + £ + 11/2В\\у(-)\\ь2), (48)
||у(-)11ь2 < *1/2/ + В\\у(-) -ж0||Н1 + \\£{Ь,х0)\\ь2 <
< £/2 / + в£/2\\у(-) - х0\\с + В\\у(-)\\ь2 + ||^,ж0)||ь2,
Ш-)\\ь2 < (1 - ВГНй'Ч + £/2В\\у(-) - Х0||с + \№,*о)|к2). (49)
Здесь мы дополнительно предположили, что в (48) £*1? < 1. Подставляя теперь оценку (49) в (48), получим:
Ы-) - х0\\с < (1 - ивуНив^ - В)~Ч+
+ив2( 1 - ВГ'М-) - жо||с + &/2В( 1 - В)~1\\£^,х0)\\ь2 + **/ + £), Цу(-) - *о||с(1 - (1 - иВ)~Ч.В2(1 - В)-1) <
< (1 — ив) *(£*.В(1 — В) 1/ + £*/ + £-\-
+й/2В(1-В)-1\\£(Ь,х0)\\Ь2)
и |\у(-) — хо\\с < сх. при достаточно малом t*.
Перейдем теперь к доказательству сходимости последовательности ж^)(') в С = (7([0, £*], Дп), точнее, в Мс:
||а;(*+1) - ж«||с < т„\\х^ - х{к-1)\\с+ +й/2в\\х(к+1^ -Х(к)\\ю <т*\\х^ -х(к~1'>\\с+
+й/2В(\\х{к+^ - ж(*)||ь2 + ||яг(*+1> - х(к^\\Ьа) <
ЛГ**||я;(*> - х^-^Цс + иВ\\х{к+1) -х{к)\\с+ (50)
+й/2В\\х^ -х(к}\\Ь2,
||а;(*+1) _ х(к)\\с < (1 _ ^ву'^Щх^ - х(к~1)\\с+ +£/2В\\±(к+1> -х^\\ь2),
11^+1) _ *(*)||ь2 < Щх(к> - х{к-1}\\ь2 +
+В\\х(к+1) - х{к)\\Н1 < £/2Ы\\х(к) - х(к~1)\\с+
+й/2В\\х(к+1) - х^\\с + В\\х^к+1^ -х(к)\\ь2, (51)
р(*+1) _ х^)\\Ь2 < (1 - В)~хЦ\12Щ\х^ - ж(к_1)||с+
+11/2В\\х{к+^ -х«||с).
Из (50), (51) следует
ц^+1) -х(к)\\с < (г-ъвуЧиЩхМ -х^\\с+
+й/2в{ 1 - в)-1 [й/2и\\х{к) - ||с + *1/2вц®<*+1> - х{к) ||с]),
||а;(*+1) - ж«||с(1 - (1 - ив)~1ив2{ 1 - В)-1) <
< (1 - ив)-1^ + в( 1 - в)-1)*,^®**) -®(*_1)||с,
т. е. при достаточно малом и всех к > 1
||а;(*+1) _ ж(*) ||с < д||а;(*) _ ж(*-1) ||с> 9 < 1. (52)
Таким образом, последовательность х^ (•) сходится в норме С = (7([0, £*], Дп) к некоторой вектор-функции ж(-) Е Мс.
Далее, поскольку
шх(-))-Ф(хМтн1 <
< II ^ (/(^жИ) -/(т,ж(‘!)('0)Мт||ь2 + (53)
+ ||/(*,®(*)) - /(1,х^т\Ь2 < 1\/2{1 + и)Щх(-) - х«(-)||с,
то последовательность хо + Ф(ж^(-)) Е 0(£*) сходится в норме Н1 = Я1 ((0, £*), 22п) к вектор-функции ж0 + Ф(ж(-)) Е 0(£*). Поэтому в (47) можно перейти к пределу при к оо. В результате получим (46), откуда следует ж(-) Е Н1, ж(0) = хо, т. е. ж(-) Е 0(£*). Существование решения доказано.
Предположим,что существуют два решения п. в. х(') и у(-). При необходимости снова уменьшая , изложенным выше способом полу-
чим
1И0 - у(-)\\с(1 - U(B + N)) < tl/2B\\x(-) - у(-)\\ь2,
Р(0 - У(-)11ь2(1 ~В)< tl/2(N + В)\\х(-) - у(-)\\с, Ы-)-у(-)\\с<Ф(-)-у(-)\\с, я<1,
q = U( 1 - t„(N + В))“1В( 1 - By^N + В).
В силу q < 1 эти решения совпадают на соответствующем [0,£*].
Итак, найдется некоторый общий отрезок времени [0,£*], на котором решение поставленной задачи существует и единственно. Теорема доказана. □
В качестве следствия в обозначениях доказательства теоремы приведем одну оценку, которая понадобится в дальнейшем.
Вследствие липшицевости оператора (I — А)-1 на области своего определения 0(£*), из (47) по аналогии с (53) получим
H^fe+i) _ x(k) ||ffi < Kl\\x(k) _ x(k-1) ||C) k>l,Ki= const,
откуда с учетом оценок (52) для решения задачи ж(-) = lim х{ к> (•),
к —> +оо, следует
||ж||Я1 < ti/2\x0\ + ||ж(1) - х0\\Н1 + ||ж(2) - ж(1)||Я1 + ... < t\/2\x0\ +
+ ||ж(1) - Х0\\ю + #1(||ж(1) - ж0||с + ||ж(2) - ж(1)||с + ...)<
< ^/2|ж0| + ||ж(1) - Х0\\ю + Ki(l - д)_1(||ж(1) - Х0\\с =>■
=4> ||ж||Н1 < tl/2\x0\ +К2\\х(1) -х0\\Н1. (54)
Проводя некоторую аналогию с теорией уравнений с последействием, отметим, что ограничение на константу Липшица по производной ( типа В < 1 в (39)) является существенным при доказательстве теорем существования и единственности решений систем нейтрального типа [10].
Приведем не претендующие на математическую строгость рассуждения по обоснованию физического смысла условия В < 1 . Образно говоря, в соответствии с причинно-следственными связями производная со, которая является неявным аргументом диффузионного потока к поверхности мембраны в правой части исходной системы (32),
не должна ” забегать вперед” по отношению к со слева. В контексте лемм 1, 2 ( см. (32), (33), (36), (37)) условие (39) запишется в виде
||5(^(*)(^(*,0)-^(*,0))|и2(о>*.) <
< Б||с01 — С02||я1(0,П) УЪ* Е (0,^о], Сог(О) = с.
Можно выбрать
В = тах(#(г)£>(г))Аз(1 + ^/4)1/2. (55)
[СМо]
С учетом линейности диффузионного уравнения (13)
Ш*)О(Ь)дс/дх(Ъ0)\\Ь2(0^) < ВЦсоЦнмо,*,)- (56)
Здесь с(£, ж) £ H1’2(Qt,) — решение п. в. симметричной краевой за-
дачи
Ос О2 с
т = дх2 ~ 0,1 ^С + Т^Т' Ж^Г’ (57)
(Ь,х) е = (0,**) х (0,£),
Н{Ь,т) = а2 (£) ехР(^ “2 (8)с1з)а1 (т), со(£) = сгф € Я^О,**),
^(*>°) = пв’ в (°>**)>
с(0,ж) = 0, жЕ [ОД], со(0) = с(0,0) = 0.
В задаче (57) с нулевыми начальными данными причиной появления диффузанта внутри мембраны является заданная концентрация Со(-) Е Н1 в приповерхностном объеме , а следствием — индуцированный Со(-) диффузионный поток. Поэтому предположение В < 1 в (56) (если не завышать to и Аз в (55)) не выглядит искусственным. Для металлов, используемых в качестве конструкционных материалов в реакторах, диффузионный поток мал, характерный диапазон коэффициента диффузии 2}(£) — 10_6 — 10-9 см2/с.
По своему определению константа Аз не зависит от функции #(£). Поэтому с чисто математической точки зрения В < 1 при относительно малом
д = тахд(£) = д0 ехр(-Е^/ДтахТ(^)) < д0
[СМо] [СМо]
( при использовании неаррениусовских температурных зависимостей остается первое равенство ). Именно при малом д (до) принятая модель наиболее адекватно отражает ситуацию , когда существенны поверхностные процессы и только сравнительно малая часть водорода проникает в объем мембраны. С ростом значений д(Ь) в силу Со = g(t)qo{t) диффузант все легче ”протыкает” поверхность и процессы на поверхности перестают быть лимитирующими. В этом случае на граничащих с вакуумом поверхностях обычно задают нулевые граничные условия первого рода. Поток газа с поверхности практически становится не десорбционным, а диффузионным: «/(£) = 2)(£)<9с/<9ж(£, 0).
Не исключено, что формально и при т 1В > 1 (В — из (56)) модель математически непротиворечива — в численных экспериментах при варьировании параметров в широких пределах никаких ” особенностей” не наблюдалось, включая вопросы продолжимости решений.
§ 4. Зависимость от параметров и продолжимость решений
Следующий важный вопрос — зависимость решений от параметров. Для определенности считаем зависимость коэффициентов модели от температуры аррениусовской. Наиболее чувствительно решение к изменению коэффициента десорбции Ь(£) = Ьо ехр(—Еъ/КТ(£)), который является множителем при квадрате концентрации Сд (£). Исследуем зависимость от Ьо подробнее.
Запишем исходную систему (32) в виде
со(*) = Г!(г)со(г) + Ь0г2(£)со(£) +
Г* 8 г (58)
+Ь0 у Д(г,т)со(т)йт + д^)Б(г) — (*, 0),
г1(1)=д(1)1т = ЕдТ(1)1ЕГ2{1),
Г2&) = -д-Ч^еМ-Еъ/ЯТ^)),
Щ*,т) = дЦ)^(1)в 1 ехр(-Еь/КТ(т))д~2(т)
ехр((т - Ь)/60), со(0) = с.
Если формально положить Ьо = 0 , то получаем предельный случай: водород копится на поверхности или диффундирует в объем, но не десорбируется с поверхности.
Фиксируем для случая Ьо = О отрезок [0,£*], определяемый доказательством теоремы 3.
Теорема 4. Существует /3 > О такое, что определяющие решение задачи функции co(t, bo), c(t, ж, bo) определены соответственно в [0, £*], Qt* — (0,U) х (0, £) при всех неотрицательных Ьо < /3 и аналитичны по Ьо :
оо
co(t,b0) = ^c0i(i)&0) Coi(t) G #*(0,u),
i=0 oo
c{t,x,b0) = ^2 ci(ti X)K’ Ci(t,x) e #1>2(QtJ,
2 = 0
0 < 60 < /3.
Сходимость рядов при фиксированном bo понимается в Н1 (0, £*) и Н12 (Qt*) • При этом сходимость абсолютна, т. е. сходятся и мажорирующие числовые ряды из норм.
Доказательство. При малом изменении Ьо в доказательстве теоремы 3 малое приращение получит при необходимости лишь константа Липшица N. Поэтому существование co(t,bo) на отрезке времени [О, £*] и c(t, х, bo) в области Q** для Ьо < (3 можно считать доказанным.
Абсолютную сходимость рядов докажем позже, что и послужит оправданием приводимых ниже преобразований.
Подставим формальные ряды для co(t, bo) и c(t, ж, bo) в (58) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Ьо:
о
Coo(t) = ri(t)c00(t) + g(t)D(t)-^(t, 0), (59)
соо(0) = с,
дс'
C0i(t) = ni^coiit) + g(t)D(t)-^(t,0) + fi(t), (60)
СОг(0) = 0,
Ш)= XI (r2(t)c0k(t)c0j(t) + ( R(t,T)cok(T)coj(T)dT),i > 1. k+j=i — 1 0
Здесь со(£, ж) £ 221,2((Э^#) — решение п. в. неоднородного уравнения (13) с симметричными краевыми условиями
с(0, ж) = с, с0(£) = сг(г) = соо(^),
|<(,0) = -£«,<> и.».,
а с*(£, ж) — решение п. в. задачи (57) с со(£) = со*(^)-
Если применять теорему 3 к уравнениям (60), то получим те же константы N и В < 1, что и для невозмущенного уравнения (59). Константа Липшица N определяется функцией Г].(£), В — оценкой (56) для задачи (57). Таким образом, решения Со;(£), с*(£, ж) определены и принадлежат 221(0,£*), #1,2(ф*#) соответственно.
В обозначениях (60) из оценки (54) получаем
НОгНя1 < К2\\С^\\Н1.
Здесь - первое приближение решения (60), т. е.
г)
+ Ш)> см}(°) = °> (61)
с^(£, ж) — решение п. в. задачи (57) с со(£) = Сд^(£). Полученное уравнение (61) имеет общий вид (42). Момент времени удовлетворяет условию < (В~2 — I)1/2 теоремы 2. При жо = 0 возмущению ту(£) = 0 в (43) соответствует решение ж(£) = 0. Поэтому из (45) получаем оценку вида
I|^0г11Н1 (0,4*) < -^гЦСо^Ня^О,*,) < Кз\Ш\ь2(0,и), (62)
где константа не зависит от номера i и функций
Для номера % — 1 получаем Цои!!#1 ^ ^4||Соо||^. Константа К4 определяется £*, 2Сз, ||г2||с, II221|с- По индукции доказываются оценки
||с0г||я1(0,^^) ^ 2^4 | |соо 11 (0,** ) '
Следовательно, ряд С0г(^)^ сходится равномерно по £ Е [0,**]
для комплексных г в круге \г\ < /3, /3 < К^1 ||соо||#1 • При фиксированном вещественном г — Ъо ряд сходится в 221(0,£*) , причем абсолютно.
Остается доказать аналогичное утверждение для ряда, формально представляющего с(£, ж, Ьо).
В силу теоремы 1 для решения с*(£, ж) задачи (57) с со(£) = Он(£) справедлива оценка
\\с%\\н^(яг*) < ^бЦсогЦямо,^)
с независящей от г, со* Е Я1 ((),£*) (со*(0) = 0) константой К$. Поэтому ряд ^2^0С{^,х)Ьг0 абсолютно сходится в #1,2((2£*) к некоторой функции с(£, ж, Ьо)? которая по построению с*(£, ж) является в паре с со(^?Ьо) решением рассматриваемой задачи при 0 < Ьо < /3. Теорема доказана. □
В условиях теоремы имеется возможность приближенного построения с(£, ж) путем последовательного решения линейных задач.
Перейдем к вопросу о продолжимости решений. Известно, что уже в обыкновенных дифференциальных уравнениях с квадратичной нелинейностью возможен уход решений на бесконечность за конечное время. Реальна такая ситуация и в используемой модели при отсутствии ограничений на параметры. Поэтому обратимся к физическому смыслу слагаемых в (16). Первое интегральное слагаемое в правой части уравнения (16) в условиях вакуумирования камеры значительно меньше десорбционного потока J(t) = Ь(£)до(£) — лишь малая часть водорода, десорбировавшегося с поверхности , вернется обратно на поверхность. При физически осмысленных наборах параметров сумма первых двух слагаемых в (16) отрицательна. Наихудший в смысле накопления водорода на поверхности вариант связан с отсутствием десорбционного оттока (Ьо = 0). Покажем, что в этом случае исключен уход решения на бесконечность. При Ьо > 0 количество водорода в мембране лишь уменьшается (рассматривается метод ТДС).
ТЕОРЕМА 5. Пусть для некоторого момента времени £о > 0 в оценке (56) В < 1 У£* Е (0,£о] независимо от непрерывно дифференцируемой реализации Т(£) Е [Т“, Т+] . По следствию 3 из теоремы 1 при выборе В по формуле (55) это предположение выполнено при относительно малом д+ = до ехр(—Ед/ЯТ+). Тогда для Ьо = 0 решение п. в. со(£), с(£, ж) уравнения (58) (задачи (13)-(17)) продолжимо на [0,+оо), т. е. с(£, ж) Е Я1,2((5^), с0(£) = с(£, 0) Е Н1(0,£*) \/£* < +оо.
Доказательство. Выполнены все условия теоремы 3. Константа Липшица N для уравнения (58) (Ьо = 0) определяется по функции
Г].(£), и ее можно взять зависящей только от Т~, Т+ \/t* Е (0, ^о]* Выберем теперь отрезок [0,**], определенный доказательством теоремы 3, ДЛЯ которого решение Со(£), с(£, ж) (со(г) = с(£, 0)) существует и единственно . Функция с(£, ж) Е Я1,2 ((20 для области (2**, удовлетворяющей сильному условию ^-рога [12], равномерно непрерывна в Qt^ и, следовательно, непрерывно продолжается на замыкание Qt^. Более того, если фиксировать со(£), проделать замены переменных (21), (23) и считать интегральное слагаемое в уравнении вида (24) известной функцией из Ь2(С}8*), т0 вследствие теоремы 2.1 [8,с. 158] получаем с(£, •) Е Н1(0,£) Е [0,£*], причем с(£, •) непрерывно зависит от ^ в норме Н1(0,1). Поскольку задача симметрична ( в смысле следствия 1 из теоремы 1), то с(£,ж) = с{1ь,1 — ж), г(£, ж) = г{1ь,£ — ж) в (^1^. Перенесем начало отсчета времени в — е (е > 0 — достаточно мало) и повторим для с(ж) = с(£* — £,ж), £(ж) = 2:(£* — г,ж) приведенные выше построения, которые не зависят от конкретизации симметричных начальных данных с(ж), £(ж) Е Я1(0,^) (вместо констант с, г). В области (£* — е, £*) х (0, ^) решения совпадут, что в силу [9,гл.3,$ 3] означает возможность продолжения решения исходной краевой задачи (Ьо = 0) на отрезок времени [0, 2£* — г] . Таким способом продолжаем решение на [0,+оо) (У£* < +оо с(£, ж) Е Я1,2((5^^), со(^) = с(*,0) Е Я1(0,^)), поскольку длина отрезка продолжения на каждом шаге не изменяется. Теорема доказана. □
§ 5. Метод проницаемости. Заключительные замечания
Остановимся теперь на модификации полученных результатов применительно к методу проницаемости. В этом случае начальные данные г(х) = ф(х), с(ж) = <р(х) в (13), (14) (вместо констант г, с) определяются начальным насыщением мембраны водородом и не являются, вообще говоря, симметричными. Условие (15) отсутствует, но к интегро-дифференциальному уравнению вида (16) (следствие (5)
- (7)) для входной стороны мембраны (ж = £, д(Т(0))<^(0) = с(£)) добавится аналогичное для ж = 0 (см.(5)), в котором интегральное слагаемое заменено на заданную функцию времени /ивро^), д{Т(0))до(0) = с(0). Оценка (31) остается в силе, вместо двух уравнений (32) получим систему ДЛЯ трех переменных Со(£), сД£), ъи^):
со (г) = #_1(гЖг)с0(г) - Ь(ь)д~1(ь)с1(ь)+
+g(t)D(t)dc/dx(t,0) + g(t)fj,s(t)po(t), ci(t) = g~x{t)g(t)ci(t) - b(t)g~1(t)cj(t)-—g(t)D(t)dc/dx(t,£) + g(t)fis(t)Oi exp(—t/Oo)w(t), w(t) = b(t)g~2(t)exp(t/90)cj(t), co(0) = c(0), c/(0) = c(£), w(0) = 0.
Вместо операторов F, G в (33) аналогичным образом определим
du
F(c0,ct)(t,x) = c(t,x), G0,t(u)(t) = -^\x=o,t,
Q = {c= (со, ct) e Нг(0,и) x co(0) = ^(0),q(0) = <p(l)},
GF = (G0F, GtF) : fi -»• L2((0, t*), R2).
Тогда (см.(36), (37))
\\GF(c1) - GF(c2)||jl2((o,u),jr2) < 4зр1 - С2\\нЦ(о,**),я2)? где константу Аз можно считать независящей от t* G (0, to], Ci G 0(£*),
T(-) GC^O,**],^) g [т-,т+].
Решение п. в. c(t, x) G H12{Qt*) краевой задачи для метода проницаемости при малых t* существует и единственно, поскольку теоремы 2, 3 доказаны в векторном варианте. Соответствующее условие В < 1 имеет аналогичный физический смысл и, в частности, выполняется при относительно малом = д(Т+).
Теоремы 4, 5 нетрудно перефразировать на случай двух уравнений вида (58) для co(t) и ci(t), в одном из которых интегральное слагаемое заменено на регулируемую экспериментатором ограниченную непрерывную функцию времени /J,s(t)po(t), Po(t) G [р-,р+], р~ > 0, р+ < 00.
Таким образом, при переходе к методу проницаемости никаких дополнительных математических особенностей не появляется.
Для грубой ориентировки приведем диапазон основных параметров, который учитывался при численном моделировании метода проницаемости:
Ро ~ 0.1 — 5 тор, D ~ 10-9 — 10-3см2/с, g ~ 10 — 104см-1,
s ~ 10-7 — 10-1, Ъ ~ Ю“20 - 10“1Осм2/с, а* ~ 10_6 — 10-1с-1, ц — 1.46 • 1021мол/см2с тор.
При po(t) =const кривая проницаемости (выходного десорбционно-го потока J(t)) возрастает, а затем асимптотически приближается к горизонтальной прямой. При ступенчатом ро = ро + (—1)гАр (t Е [г At, (i + 1) At]) поток со временем входит в режим стационарных колебаний. Это согласуется с экспериментами.
Отметим следующую особенность рассматриваемой задачи с динамическими краевыми условиями. Решение для t > 0 однозначно определяется только начальными данными с(0,х) = ^р(х), z(0,х) = ф(х). При ip , ф Е Н1(0,1) и фиксированном t > 0 выполняются включения c(t, •), z(t, •) Е Н1(0,1). Поэтому целесообразно принять пространство Н1(0,1) х Н1(0,1) начальных функций ip , ф в качестве фазового. В силу доказанной (в указанных ограничениях ) единственности решения краевых задач для методов ТДС и проницаемости полугрупповое (t > 0) свойство по времени здесь выполнено. Иными словами, получаем нелинейные полудинамические (определены только для t > 0 ) системы в фазовом пространстве Н1(0,1) х Н1(0,1). В случае непро-должимости на [0, +оо) — локальные, если не учитывать физически оправданные ограничения на параметры.
Таким образом, модель (1) - (8) является достаточно общей, а ее качественное исследование как нелинейной полудинамической системы в гильбертовом пространстве Н1 х Н1 представляет интерес и с чисто математической точки зрения.
В заключение автор хотел бы выразить благодарность И.Е. Габи-су за постановку задачи и содержательные обсуждения физического смысла модели.
Rezume
Mathematical justification of diffusion model with reversible trapping and dynamical boundary conditions is given. The dynamical boundary conditions are determined taking into account adsorption - desorption processes on surface.
Solvability problem of model equations is reduced to consideratoin of some class of functional-differentional equations similar to neutral type systems. The model is a significant example of semidynamical system in Hilbert spaces.
Литература
[1] Водород в металлах/ Под ред. Г. Алефельд, В. Фелькль. М.: Мир, 1981. Т.1, 506 с.; Т.2, 430 с.
[2] Гельд П. В., Мохрачева JL П. Водород и физические свойства металлов и сплавов. М.: Наука, 1985. 231 с.
[3] Взаимодействие водорода с металлами/Под ред. А. П. Захаров. М.: Наука, 1987. 296 с.
[4] Габис И. Е., Компаниец Т. Н., Курдюмов А. А. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы // Взаимодействие водорода с металлами . С. 177-206.
[5] Бекман И. Н., Габис И. Е., Компаниец Т. Н., Курдюмов А. А., Лясни-ков В. Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники//Обзоры по электронной технике. Серия 7. Вып.1(1084). М., 1985. 66 с.
[6] Габис И. Е., Курдюмов А. А., Тихонов Н. А. Установка для проведения комплексных исследований по взаимодействию газов с металлами. //Вестник С.-Петербургского ун-та. Серия 4. Вып.2. 1993. С.77-79.
[7] Заика Ю. В., Габис И. Е. Определение параметров водородопроницаемости металлов методом сопряженных уравнений //Заводская лаборатория (диагностика материалов). 1996. N.1. С.18-26.
[8] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[9] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1983. 424 с.
[10] Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.:Наука, 1981. 448 с.
[11] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.
[12] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1975. 480 с.
