Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярного интеграла Адамара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.К.Фарайдунов

ОБ ОДНОЙ НАИЛУЧШЕЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА АДАМАРА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 29.09.2014 г.)

В работе для сингулярного интеграла рассматривается вопрос построения наилучшей квадратурной формулы для некоторых классов функций.

Ключевые слова: экстремальная задача - наилучшая квадратурная формула - сингулярний интеграл.

1. Экстремальная задача построения наилучшей или оптимальной квадратурной формулы для регулярных интегралов является достаточно хорошо изученной и почти все результаты по этой проблематике полностью изложены в добавлении Н.П.Корнейчука к монографии С.М.Никольского [1]. В этом добавлении, в частности, отмечается, что для многомерных интегралов и некоторых других видов интегралов (криволинейных, сингулярных и т.д.) аналогичные задачи ещё ждут своего решения. Отметим, что для сингулярных интегралов указанная задача решена в очень редких случаях (см., напр., [2-6]).

В данной статье задача отыскания наилучшей квадратурной формулы для заданного класса функций рассматривается для сингулярного интеграла Адамара следующего вида

= а <с <Ь, (1)

где шей, т>2 . Интеграл (1) понимается в смысле конечной части, то есть когда

' " Л0 ^ , г Л0 ^ ,

J(f;c)= lim Г J w dt+ I J w dt+ , 'J -41 if-сГ l(t-cT sm-1 J

(2)

где функция у/(с) выбирается так, чтобы указанный предел справа в (2) существовал (см., напр., [7], с. 424).

Пусть с е (а, Ь), где а и Ь произвольные фиксированные действительные числа. Обозначим через Жс(т)Н(а)Ь(М; а, Ь) - множество функций /(г), представимых в виде

/(г) = /(с)+| г - с |т-1+а 8Ен{г - с)р(г), (3)

где 0 <а< 1, а р(г) е Ж(1) Ь(М; а, Ь) - класс функций, у которых

Адрес для корреспонденции: Фарайдунов Осим Косумшоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: osim.88.tj@mail.ru

и

) IЛ < м.

Для приближённого вычисления сингулярного интеграла (1) введём в рассмотрение квадратурную формулу

//"у" = (с)+ £ Рк/&)= к- /)' (4)

где с и ^ : а < ^ < ¿2 <... < ^ < ... < ¿и < Ь - различные узлы, А и рк - коэффициенты, Яп (/) - погрешность квадратурной формулы. Если М - некоторый класс функций, заданных и определённых на отрезке [а, Ь], то величина

Яп(М) := Яп(М-Т,Р) = вир{| Яп(/;Т,Р) |: / е М} (5)

является точной оценкой остатка квадратурной формулы (4) на классе М. Среди всевозможных квадратурных формул при фиксированном п, требуется найти такую, для которой величина (5) достигает своего минимального значения. Иными словами, требуется найти величину

8ХШ) = ЩЯп{Ш-,Т,Р) (6)

и указать вектор (Т*, Р*) = ({^ },{рк }), на котором достигается нижняя грань в (6), то есть когда

Еп(Ш) = Яп(Ш-,Т\Р').

Всюду далее задачу (6) будем решать при условии, что квадратурная формула (4) точна для функций / (?) = 1. Тогда имеет место равенство

1 п

А =-- [(а - с)""+1 - (Ь - с)""+1 ]-£ А. (7)

"-11 ^ к=1

Таким образом, задача состоит в том, что при выполнении условия (7) требуется найти вели-

чину

8п (Ж{ст)Н{а)Ь{М-,а,Ь)) = ЫЯп (Жс(т)Н(а)1(М;а,Ь) : Т,р). (8)

2. В этом пункте мы приведём решение задачи (8) при выполнении условия (7) к решению экстремальной задачи отыскания наилучшей весовой квадратурной формулы для Ж(1)Ь{М- а, Ь). Итак, с учётом формулы (3) и равенства (7) из (4) будем иметь

/тт^^^т = -^¡-[(а - с)-"+1 - (Ь - с)-"+1]/(с) +

•> ^ - с) т -1

а

а

п 1

Рк[/(к) - /(с)] + Яп (/) =--[(а - с)-"+1 - (Ь - с)-™+1]/(с) -

+ > РI / (К) - / (с)| + . к=1 "-1

п

+£ Рк I ¡к - с Г ^к - с)^) + Яп (/). (9)

к=1

С другой стороны, в силу формулы (3) запишем

Ь/ т _

~"[(а - с)-"+1 - (Ь - с)-"+1]/(с) + /Ь^Т.

аас)" 1

Из последнего равенства и формулы (9) сразу следует, что

Яп (/) = 1 ТГ^ Л - А/(с) - £ Р/(¡к) =

а (1 с) к=1

= - £ Рк I ¡к - с Г ^(¡к - с)ф(Хк) := Яп ф). (10)

а 1 1 с 1 к=1

Итак, мы доказали, что погрешность формулы (4) равна погрешности квадратурной формулы

вида

= £. Афк) + Яп(ф), (11)

а 1 1 с 1 к =1

где положено А^ = р^ | ^ - с Г sgn(tk - с), ¡к Ф с .

Таким образом, отыскание наилучшей квадратурной формулы вида (4) для класса Ж,(") Н Г) Ь(М; а, Ь) при выполнении условии (7) сводится к отысканию наилучшей квадратурной

формулы вида (11) с узлами ^ Ф с (к = 1, п) на классе Ж(1) Ь{М ; а, Ь). Отметим, что рассмотренный

сингулярный интеграл (1) в случае " = 1, то есть случай, когда интеграл существует в смысле главного значения по Коши ранее по приведенной выше схеме подробно исследован А.Л.Кузьминой [2].

3. Пусть теперь функция q(t) > 0 и интегрируема на [ а, Ь] и феЖ(1) Ь(1М; а, Ь) . Требуется найти наилучшую весовую квадратурную формулу вида

Ь п

1 q(t)ф(t)dt = £ ркф?к ) + Яп (ф) (12)

а к=1

на классе Ж(1) Ь{М; а, Ь), которая задана векторами узлов

Т = {к а < ^ < ^ <...< п Ь}

и коэффициентов Р = {рк}"к=1, остаточный член Яп(р) := Яп(р;Т,Р). Решение этой последней задачи имеется в работах [2,5], где доказывается, что единственной наилучшей на множестве Ж(1)Ь(М; а, Ь) квадратурной формулой вида (12) является формула

| д(г )р(г )йг = ^ £ р(гк) + Яп (р), (13)

а П к=1

а узлы г находятся как единственное решение системы уравнений

/ _ ^ Л __ь

а(гк ) = ^ 1--^—^(а), к = 1, п, а(г) = | ц(и)йи, а < г < Ь. (14)

При этом точная оценка погрешности квадратурной формулы (13) на всём классе функций Ж т Ь{М; а, Ь) равна

В частности, когда д (г) = | г — с |а 1 (0 <а< 1), то, полагая

Ь йи 1

®(г) = Г—^ = - Г (Ь — с)а—1 г — с |а *%п(г — с)\ а < г < Ь, \ | и — с | Г л

для квадратурной формулы (11) получим следующее утверждение.

Теорема 1..Единственной наилучшей на классе Ж(1)Ь(М; а, Ь) квадратурной формулой вида (11), точной для р(г) = 1, является формула с коэффициентами

= (Ь -. >а+(с—. >г , к=^

ап

и узлами гк, являющимися решениями системы уравнений

(Ь—с)а— | гк — с 1^(гк — с) =

■( 2 к — 1 ^ —

1--|, к = 1, п.

V 2п

= [(Ь — с)а + (с — а)а

При этом

/ т ч М\{Ъ-с)а+{с-а)\ £п(жтЦМ;а,Ь)) = -^-(0<а<1).

Замечание 1. Результат теоремы 1 остаётся справедливым и для сингулярного интеграла Адамара вида

Ь

* \ t-ту

|/-г|

где у > 1 и, в отличие от предыдущих параграфов, может принимать и нецелые значения, [у] - целая часть числа у.

В качестве второго приложения квадратурной формулы (13) находим точную оценку погрешности квадратурной формулы

1 /24 = £Рк/^ ) + Яп (/) (15)

-1 >Д - t к=1

на классе Ж(1)Ь(М;-1,1) . Имеет место следующая

Теорема 2. Единственной наилучшей на классе Ж(1)Ь(М;-1,1) квадратурной формулой вида (15), точной для /^) = 1, является квадратурная формула Эрмита - Чебышёва

[тЬ-ж&Г-ъг'ГМ (|6)

При этом для точной оценки погрешности наилучшей формулы (16) на всём классе функций справедливо равенство

2 п

Приведём ещё одно приложение квадратурной формулы (13). Пусть требуется найти точную оценку погрешности квадратурной формулы

¡ТГ^Л = £РкЖ)+Яп (/), (17)

0 1 + t к=1

где Р = {Рк }"к=1 - произвольный вектор-коэффициентов,

Т = 0 < ^ < t2 <...< ¡п <+»}

- произвольный вектор узлов, Яи (/) - погрешность формулы (17) на функцию / е Ж(1)Ь(М; 0,+да).

Теорема 3. Единственной наилучшей на классе / е Ж(1)Ь(М; 0,+да) квадратурной формулой вида (17), точной для /^) = 1, является формула

. +1 2п к=1 ^ 4п ) Точная оценка погрешности формулы (18) равна

Мж 4п '

Замечание 2. Отметим, что квадратурная формула (13) в случае [а, Ь] = [0,+да) с узлами гк,

удовлетворяющими условиям (14), для класса Ж(1)Ь(М;[0,+да)) ранее была найдена в работе Ю.Гиршовича [6], а в общем случае для произвольного отрезка [а,Ь] в работе А.Л.Кузьминой [2]. В работах [4,5] для весовых функций, имеющих устранимые особенности на концах промежутка интегрирования, найдены наилучшие квадратурные формулы на классе функций Ж(1)Ь(М; а, Ь).

Поступило 29.09.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 279 с.

2. Кузьмина А.Л. Об одной наилучшей квадратурной формуле для интегралов с ядром Коши. - Изв. вузов. Математика, 1980, т.216, №5, с.28-31.

3. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью. - Изв. вузов. Математика, 1981, №9, с.76-79.

4. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью. - УМЖ, 1995, т.47, №9, с.1300-1305.

5. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости - ДАН РТ, 1998, т.41, №10, с.69-75.

6. Гиршович Ю. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале. - Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ-мат. наук., 1975, №24/1, с.121-123.

7. Эдвардс Р. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1969, 1071 с.

О.К.Фарайдунов

ОИДИ ФОРМУЛАИ КВАДРАТУРИИ БЕ^ТАРИН БАРОИ ИНТЕГРАЛИ

СИНГУЛЯРИИ АДАМАР

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола барои интеграли сингулярй масъалаи сохтани формулаи квадратурии

бех,тарин барои баъзе синфи функсияхо дида баромада шудааст.

Калима^ои калиди: масъалаи экстремали - формулаи квадратурии беутарин - интеграли

сингулярй.

O.Q.Faraydunov

ABOUT THE BEST QUADRATURE FORMULA FOR ADAMAR'S SINGULAR

INTEGRAL

Tajik National University

A matter of construction of the best quadrature formula for some classes function is considered for singular integral in this work.

Key words: extreme problem - the best quadrature formula - singular integral.