Об одной математической модели вентильного электрического двигателя Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЕНТИЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ

И.Е. Овчинников, А.В. Куленков, С.В. Кузнецов

В статье предлагается упрощенная математическая модель трехфазного вентильного двигателя, для которого фазные напряжения заменены их первыми гармониками без учета коммутационных «выбросов» и «провалов» напряжения.

Модель, на основе которой исследуются некоторые переходные процессы, предполагает изменение мгновенной круговой частоты гармоник фазных напряжений и ЭДС, определяемых мгновенной скоростью ротора. Принципиальная схема вентильного двигателя (ВД), о котором идет речь, показана на рис. 1. Транзисторный коммутатор содержит транзисторы VT1-VT3' и обратные диоды VD1-VT3'. Обмотка статора двигателя состоит из фаз 1-3. Ротор имеет 2р-полюсную магнитную систему из постоянных магнитов (на рис.1 2p=2). На валу двигателя имеется сектор якоря датчика ротора (ДПР) С, ось симметрии которого перпендикулярна оси полюсов NS. Неподвижная часть ДПР выполнена в виде обоймы с шестью чувствительными элементами (1-6' ), каждый из которых управляет (включает или отключает) соответствующим транзистором коммутатора. Например, чувствительный элемент 1 (датчик Холла, фотодиод, дроссель насыщения или датчик другого типа) управляет транзистором VT1, чувствительный элемент 2 - транзистором VT2', и т.д. При нахождении чувствительного элемента в зоне действия сектора C чувствительный элемент возбуждается и выдает сигнал на отпирание соответствующего транзистора, а при выходе чувствительного элемента из зоны действия сектора C сигнал управления исчезает и соответствующий транзистор запирается. На рис. 1 при вращении ротора против часовой стрелки возбуждается элемент 1 и открывается транзистор VD1, исчезает сигнал с элемента 2 и отключается транзистор VT2, продолжает находиться в возбужденном состоянии элемент 3 ' и продолжает оставаться открытым транзистор VT3 ' .

+ *-

VT1 VT2 VT3 VD1 VD2 VD3

¿ПП-

U

VD1' VD2' VD3 ' VT1' VT2' VT3'

N С S

1' 2 ДПР

Рис. 1. Принципиальная схема ВД.

Таким образом, в положении, показанном на рис. 1, фазы двигателя 1 и 3 оказываются подключенными к источнику питания и, а фаза 2 - отключенной от него. Ток в фазе 1 начинает нарастать, а ток в фазе 2 - спадать, замыкаясь по контуру, образованному обратным диодом У02' и открытым транзистором УТ3' .

Участок по углу поворота ротора длительностью у эл. рад., на котором ток отключенной фазы спадает до нуля, называется коммутационным интервалом, а участок, следующий за ним до очередного переключения в схеме - внекоммутационным интервалом [1]. По мере вращения ротора через каждое п/3 эл. рад. поворота в соответствии с расположением чувствительных элементов 1-3' ДПР осуществляются переключения

3

транзисторов и подключения соответствующих фаз двигателя, создающих однонаправленный момент двигателя. Последний обеспечивает вращение ротора в заданном направлении. Последовательность соответствующих переключений в течение одного «электрического» оборота ротора можно проследить из табл. 1. В таблице, содержащей 6 интервалов (периодов), каждый из которых имеет длительность п/3 эл. рад., показаны состояния подключенных и отключенных фаз двигателя и направление тока в них.

№ Межкоммутационный период. Коммутационный интервал Внекоммутационный интервал

1 VT1,VT3' 0-п/3 s VD2'

* i&J

2 VT2' ,VT1 п/3- 2п/3 VD32

Li^

3 VT3,VT2' 2п/3-п ^VDi' л-Ту^ХЛ _0

* з чи -

4 VT3,VT1' п- 4п/3 VD22 ± Г7^1 7

5 VT2,VT1' 4п/3- 5 п/3 k VD3'

*- + 1 2 чи "

6 VT2VT3' 5п/3- 2п VD22 , П2^з -' ~ '

Таблица 1. Состояния подключенных и отключенных фаз двигателя и направление тока в них

Uid) U

а)

Ui/U

UiO)

U

А

^ 2п/3^

п

->

Л

л/3 V п

17"

-V

б)

Рис. 2. Диаграмма фазного напряжения: а) с учетом коммутационных процессов, б) в пренебрежении коммутационными процессами

Характер напряжения, приложенного к любой из фаз двигателя (например, фазы 1), показан на рис.2,а.

В течение первого коммутационного интервала (строка 1 таблицы 1) наблюдается коммутационный «выброс», и к фазе прикладывается напряжение и1 = 2-и/3, где и -напряжение, подводимое коммутатору (напряжение источника в пренебрежении падением на транзисторах и диодах). Далее после исчезновения тока в отключенной фазе 2 к фазе 1 прикладывается напряжение и1 = и/2. В следующий межкоммутационный период (строка 2 таблицы 1) наблюдается коммутационный «провал», и напряжение на фазе 1 становится равным и1 = и/3. Последний коммутационный «всплеск» для фазы 1 в течение первой половины оборота наблюдается в положении ротора, характеризуемом строкой 1 таблицы 1, когда напряжение на фазе 1 и1 = и/3.

В течение второй половины оборота ротора, характеризуемой эквивалентными схемами таблицы 1 для положений 4-6, напряжение на фазе 1 имеет ту же форму, что для рассмотренных положений 1-3, но с противоположным знаком. Пространственный сдвиг фаз 2 и 3 по отношению к фазе 1 двигателя предопределяет и соответствующий угловой сдвиг фазных напряжений и2 и и3, имеющих форму, аналогичную изображенной на рис 2,а. Разложение в ряд Фурье напряжения, показанного на рис. 2,а, с удержанием лишь первой гармоники дает следующее значение для ее амплитуды [1]

ит(1) = 8-50087-л/3вту . (1)

п

Вычисление длительности коммутационных участков у в переходном процессе представляет существенные трудности и значительного усложняет математическую модель двигателя. В целях упрощения будем пренебрегать углом коммутации, полагая у ~ 0, и тогда в соответствии с формулой (1) получим амплитуду первой гармоники фазного напряжения в виде

ит(1) = Ти' (2)

С учетом формулы (2) уравнения равновесия фазных напряжений ВД будет иметь вид , п л/3

+¡1 к = ^ ш„(з+р0),

Ш П

^ +12к = ^Шп(& + Р0 - ^ & 2 п 3

+12к = — Шп($ + в0 - 2п), (3)

ШГ3 т „ л/э

+1 к = — Шп(3 + Р0 +-П),

сИ 3 п 3 у

где ^,2,3 - потокосцепления соответствующих фаз, /1,2,з - токи фаз, Я - активное сопротивление фазы, - угол поворота ротора в эл. рад., в0 = в0м^и - угол опережения

включения фазы [1] с учетом возможности изменения знака напряжения, I - время.

Предположим далее, что изменения токов в фазах двигателя не наводят токов в массивах постоянных магнитов, которые могут иметь пренебрежимо малую (феррито-вые магниты) либо достаточно малую (редкоземельные магниты) электрическую проводимость. В этом случае выражения для потокосцеплений определяются формулами

^ = Ыг + т1212 + т1313 - Фwlecos§,

2

= Ы2 + т21 ¡1 + т23¡3 - - 3 п) (4)

2

= Ы3 + т3111 + т3212 -Ф^1есо^(д + 3 п).

Здесь полагается, что собственные индуктивности фаз одинаковы и постоянны по величине благодаря малой внутренней магнитной проницаемости постоянного магнита Цу, близкой к проницаемости вакуума ц0. В частности, мы принимаем их равными

Ll=L2=Lз=L. То же самые можно сказать о всех коэффициентах взаимоиндукции между фазами [1]

m 12=m 13=m23=L/2.

Заметим также, что в приведенных выражениях для потокосцеплений Ф - максимальный поток магнита, сцепленный с фазой, = k 01 эффективное число витков

фазы, k01- обмоточный коэффициент, р - число пар полюсов. При соединении фаз в

звезду в силу закона Кирхгоффа имеем

i1 + i2 +i3 = 0 .

С учетом приведенных соотношений выражения для потокосцеплений (4) примут вид 3

^ =- LI1 -Фw1ecosЗ,

3 2

^2 = 2 Ы2 - ФWleCOS(3 - 3 П),

3 2

= — LI3 - Фw1ecos(3 + — п).

Подставив эти выражения в уравнения в уравнения (3), получим уравнения равновесия фазных напряжений в следующем виде:

3 Ld± + 11 R + CE = — Шп(& + р 0), 2 ш п

2Lddt +12R + СЕ3п) = —Шп(& + в0 -2п), (5)

2 L(~dt +13 R + СЕ + 3 п) = — Шп($ + в 0 + 3 п).

Здесь угловая скорость ротора & и конструктивная постоянная Се, задаются формулами

& =---, Се = pФWle.

Р t

Момент двигателя, создаваемый тремя фазами двигателя, определяем как

22

М = pФw1e[ + 1^т(3 —п) + 1^т(3 + — П)] . (6)

д 3 3

Уравнение равновесия моментов на валу двигателя запишем в виде Jdd& = Мд - Мн, (7)

где J - момент инерции, приведенный к валу двигателя, Мн- момент нагрузки. Далее полагаем, что момент сухого трения Мн= Мно sign&, и при этом sign& = 1 при & > 0 и sign& = -1 при & < 0.

Уравнения для угла поворота ротора в эл. радианах задается выражением

3 = 30 + р} , (8)

0

где начальный угол положения ротора.

Уравнения (5)-(8) представляют математическую модель двигателя для исследования переходных процессов в различных системах электропривода. Напряжение и, в уравнениях (5), подводимое к коммутатору, может изменяться в пределах -итах<и<итах. В установившемся режиме, при U=const и при t ^ да, когда скорость двигателя О становится постоянной величиной, из (5) и (6) можно получить выражение для момента двигателя в виде

М~ чг?' г п пг!''г О• (10)

3л/3 pФw1 и 3 (рф^, )гЯ

М = 3*3 Р ^Ц со^-р0)-¿КР г ^г п• (9)

д гп ТЯчх7 г я 2 + х2

3 рЬО 3 Здесь tgф =--; X = — рЬО.

г я г

При угле опережения в 0, равном нулю, после некоторых преобразований получим зУз pФw1eUЯ 3 (рф^1е)гЯ

д гп я2 +х2 г я2 +х2

Таким образом, выражение для механической характеристики О = / (М н ) примет вид

П = - --Я-+хГ- м н 1 (11)

п рФ^е 3 (pФw1e )г Я н

Как следует из (11), механическая характеристика нелинейна и имеет падающий характер. Нелинейность характеристики обусловлена зависимостью эквивалентного индуктивного сопротивления фазы X от скорости ротора О (9). Эта нелинейность обнаруживается и при других, более точных методах определения характеристик ВД [1].

Выражения (5)-(8) удобно привести к безразмерной форме, используя следующие безразмерные и базовые величины, обозначенные индексом «5»: безразмерное напряжение и = ;и5 = итах; безразмерный ток / = —; I5 = —; безразмерная ско-пи5 п 15 Я

о „ и5 ^ ~ М _ _

рость ш=—;Ц =-; безразмерный момент ц =-;М5 = pФwleI5• Кроме того, обо-

О рРФЪе Мъ

значим: Те = 3Я - эквивалентная электрическая схема постоянная времени фазы; т

Т =--электромеханическая постоянная времени.

М 5

Разделив все члены уравнений (5) на величины и5 = 15 Я = pФw1e О 5, а выражения (6) и (7) - на величину М5 = pФw1eI 5, перейдем к следующей системе безразмерных уравнений, определяющих математическую модель вентильного двигателя:

Т —+ А + = ият($ + в0),

СII

г

Т —г + а2 + — п) = ият($ + в 0 - п),

яг 3 3

^—а^ г * г

Т —- + /3 + + — п) = шт(§ + в 0 + 3п),

— 3 3 (1г)

гг

ц д = + - 3 п) + /3 + 3 п),

Т —ю = и и

т — - цд - цн,

г

$ = -&0 + рО 5| т—Г.

0

Эта модель пригодна для приближенного исследования различных режимов как в разомкнутых, так и в замкнутых системах электропривода. Приближенность модели обусловлена, во-первых, тем, что реальное напряжение, подводимое к фазам двигателя,

1 Аналогичные (10) и (11) выражения приведены в [г].

учитывается только первой гармоникой ряда Фурье, а во-вторых, пренебрежением коммутационными процессами отключения фаз, имеющими конечную угловую длительность у, зависящую от коммутируемого тока и скорости ротора и сильно искажающими форму фазного напряжения (рис.2,а). Кроме того, модель (12) описывается непрерывными, хотя и нелинейными уравнениями (угол 3 входит под знак синуса в первых трех уравнениях (12)), в то время как в реальной модели дифференциальные уравнения относительно токов фаз являются уравнениями переменной структуры, изменяющейся от интервала коммутации к внекоммутационному интервалу (см. таблицу 1).

В качестве примера на рис.3 приведены результаты моделирования процесса прямого пуска ВД с использованием системы уравнений (12).

1 Т

0,5 -

0

-0,5

-1-1-1-1-ЬНЛ с

0 0,008 0,016 0,008

Скорость Момент

Рис. 3. Изменение скорости и электромагнитного момента в относительных единицах

в процессе прямого пуска

Малоинерционный, быстродействующий двигатель имел электромеханическую постоянную времени Тм~1,0-10"3с, а электрическую постоянную времени Те~1,15-10"3с. Такое соотношение постоянных времени 4Те>Тм для «непрерывной» системы (12) привело к некоторой колебательности процесса для электромагнитного момента и скорости ю. На начальном этапе разгона в районе 0,002<<0,003с электромагнитный момент принимает отрицательное значение, что приводит к уменьшению заброса скорости и ее последующему выравниванию. Процесс выхода на установившейся режим ю=const заканчивается за время 20-25мс. Добавим, что моделирование было проведено при относительном моменте на валу двигателя ц~0,031, а всплеск электромагнитного момента при прямом пуске был равен (цд)тах~0,68.

На рис.4 представлены временные диаграммы изменения скорости и момента двигателя (в безразмерных величинах) под действием периодически изменяющейся полярности максимального по величине напряжения питания (м=±1), частота изменения «входного» напряжения составила 10 Гц. Двигатель имел нагрузку на валу, аналогичную предыдущему примеру. Колебания момента и скорости, предшествующие достижению установившегося состояния, хорошо видны и из этого рисунка. Следует отметить, что использование более точной и более сложной математической модели вентильного двигателя показало отсутствие склонности двигателя, имеющего аналогичное соотношения постоянных Тм и Те, к колебаниям. Это объясняется тем, что в реальных условиях работы транзисторного коммутатора с двигателем, имеющим продолжительность включенного состояния транзистора 120° эл., каждое новое подключение фазы через каждые 60° эл. осуществляется при нулевом значении тока в ней. Благодаря этому, а также одновременному принудительному отключению фазы, выходящей из работы, двигатель в процессе пуска практически никогда не разгоняется до скорости, превы-

шающей скорость идеального холостого хода. Это означает, что противоЭДС вращения на любом межкоммутационном периоде почти всегда меньше напряжения питания, а значит, в обмотке двигателя не возникают «отрицательные» токи, приводящие к появлению отрицательных тормозных моментов, вызывающих колебания (или уменьшение) скорости в период разгона. Наблюдается лишь монотонное возрастание скорости.

2Т

Скорость

■Входное напряжение Скорость

Рис. 4. Изменение скорости и момента при периодически изменяющемся

входном напряжении

Для доказательства сказанного предположим, что соотношение постоянных времени 4Те>Тм, предполагает существование колебательности переходного процесса пуска для «непрерывной» модели двигателя. Для «дискретной» модели на любом угловом межкоммутационном периоде п/3 при возрастании тока подключаемой фазы от нулевого значения скорость двигателя будет изменяться в соответствии с зависимостью (все в безразмерном виде)

ю(и)=1-е

2Т

[1 - ю(0)]

4Те

4Те -Тм

соб(ю и - ¥).

(13)

*

где ю =

4Т -Т..

4Т2 Т..

cosx¥ =

А

4Те -Т..

4Т

ю(0) - значение скорости в начале любого ком-

мутационного периода.

В соответствии с (13) для того, чтобы для любого п-го периода переключения коммутатора скорость ю, приближаясь к своему установившемуся значению юда=1, никогда не превосходила бы значения 1, что являлось бы признаком отсутствия колебательности (забросов скорости), необходимо выполнение неравенства

ю и - ¥ < п/3,

где и1- время, затрачиваемое двигателем на угловой поворот, равный межкоммутационному периоду п/3. Приближенно это время можно оценить как и1~п/(3^Й5ю(0)).

После подстановки в (14) выражения для ю , ¥ и t\ можно получить критерий отсутствия колебаний в виде

3pQ5ю(0)Te

T 2

-м— (1 + — arctg

4Te -T/ п 5

Т

4T„ — Т

) > 1

(15)

Здесь предполагается достаточная близость скорости ю(0) к установившемуся значению ю«=1. В частности, можно полагать 0,8<ю(0)<1. Например, в случае, отображенном на рис. 3, для «непрерывной» системы (13) при 7М~1,040"3с, ^-^^•Ю^с, Й5~400 1/с и р=3 критерий (15) для данных параметров будет выполнен (полагаем ю(0)~0,9):

-3-) = 2,57 > 1.

3 • 3 • 400 • 0,9 • 1,15 -10—

1-10—

2

—-(1 + - arctg Ч-3 п

1-10—

(41,15-1,0)10—

(4 • 1,15—1,0) • 10

Это означает отсутствие колебательного переходного процесса пуска реального вентильного двигателя, модель которого более точно отражается «дискретной» системой дифференциальных уравнений.

Надо, однако, отметить что критерий (15) не учитывает влияния отключаемой фазы, дающей некоторое, хотя и малое, приращение скорости на межкоммутационном периоде. В предположении малости угла коммутации вблизи установившейся скорости юда=1 это допущение не должно вносить большой ошибки.

Мд, (Нм) 50,0 42,86— 35,71 -28,5721,43— 14,29

7,14 , , ^ „

Л (с)

0

п ^- ' ' 1

Мн

0,0043 0,0129 0,0214 0,03 0,0086 0,0171 0,0257

Рис. 5. Изменение электромагнитного момента в процессе прямого пуска для более точной «дискретной» модели (кривая 1) и «непрерывной» модели (кривая 2)

В подтверждение сказанного на рис. 5 приведены кривые изменения электромагнитного момента в процессе прямого пуска для одного и того же двигателя с применением «дискретной» модели, учитывающей коммутационные и внекоммутационные участки (кривая 1), и «непрерывной» модели (кривая 2). Из сравнения кривых обнаруживается их достаточная близость, однако «непрерывная» модель (2) показывает наличие колебательности момента, в то время как «дискретная» модель показывает монотонное в среднем уменьшение момента до его установившегося значения. В то же время более точная «дискретная» модель хорошо подчеркивает наличие пульсаций момента, связанных с коммутацией фаз через каждые 60° эл. угла поворота ротора.

Таким образом, «непрерывная» нелинейная модель вентильного двигателя (12), игнорирующая коммутационные процессы включения и отключения фаз и учитывающая лишь первую гармонику фазного напряжения прямоугольной формы с угловой

длительностью 120 эл. град., в целом неплохо согласуется с более точным результатом моделирования, полученным на основании «дискретной» модели. Однако колебательность переходных процессов при соотношении постоянных времени 4Те>Тм, свойственная «непрерывной» модели, в реальных условиях применения вентильного двигателя с дискретным датчиком положения ротора и дискретным характером переключения фаз при 120-градусной коммутации чаще всего будет отсутствовать.

Литература

1. Овчинников И.Е. Теория вентильных двигателей. М.: Наука, 1985.

2. Ковчин С.А., Сабинин Ю.А. Теория электропривода. М.: Энергоатомиздат, 1994.

3. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе. СПб: «Корона Принт», 2006.