CC BY
14
УДК 517.946
ОБ одной краевой задаче
ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ БИЦАДЗЕ - ЯНУШАУСКАСА
© 2012 А.М. Абдрахманов^ Р.П. Абдрахманова2
В полупространстве решена краевая задача для многомерной вырождающейся эллиптической системы Бицадзе - Янушаускаса.
Ключевые слова: эллиптические системы, краевая задача.
Как известно, любая эллиптическая система уравнений второго порядка с двумя искомыми функциями от двух переменных с постоянными коэффициентами приводится к одному из комплексных уравнений [1] Wzz = 0 или Wzz = 0, где
W = - + v д = 1 {д - ii).
Класс, составляющий первое уравнение, хорошо изучен. Второе уравнение в вещественной форме записывается в виде системы
-Аи + 2dx(их - vy) = 0;
-Av + 2 дх (иу + vx) =0. ()
Если вместо W = и + iv взять W = и - iv, то система Wzz =0 в вещественной форме запишется
-Аи + 2 дх (их + vy) = 0;
-Av + 2 дХ (их + vy) = 0.
Системы (1) и (2) схожи по своей структуре. Система (1) была рассмотрена А.В. Бицадзе [2], который показал, что однородная задача Дирихле в круге имеет бесконечное число линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи Дирихле требуется бесконечное число условий разрешимости.
А.И. Янушаускас [5] рассмотрел многомерный аналог системы (2)
-Аи, +2jf g) = 0,j = 1,2,... ,n. (3)
Далее в работе [6] им же была рассмотрена система
+ а£(Ё gi) = 0,j - -------- (4)
которая совпадает с системой (3) при А = 2.
1Абдрахманов Айдар Максутович (abdrai@mail.ru), кафедра математики Уфимского государственного технического университета, 450000, Российская Федерация, г. Уфа, ул. Карла Маркса, 12.
2Абдрахманова Римма Петровна (abdrai@mail.ru), кафедра вычислительной математики
и кибернетики Уфимского государственного технического университета, 450000, Российская Фе-
дерация, г. Уфа, ул. Карла Маркса, 12.
Поэтому систему (4) будем называть многомерной системой Бицадзе - Яну-шаускаса.
Будем рассматривать систему «.-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с п искомыми функциями от п переменных с постоянными коэффициентами и действительным параметром Л
+Лдг(± =<>•*(5)
Система (5) на плоскостях xn = 0 и xn = Л вырождается. Продифференцируем j-ое уравнение системы (5) по Xj, j = 1, 2,...,п и получим
. duj , д2 I v^ Buh \ -Xn^^j + Лд-2 У" тт^ =0, j = 1, 2,... ,п - 1,
dXj dX2 \t=í dXk )
. . dun , , д2 (n диЛ о -Aun - XnA---+ Л—г- у -— = 0.
ÓXn ox4 \h=í OXk J
Сложим полученные соотношения и получим
(Л - Xn)A(£ ^ =AUn.
Умножим обе части последнего равенства на xn и с учетом п-го уравнения системы (5) получим
xn(Л-^(Её)=^(.S Щ <6'
Обозначим через H = ^uk' тогда (6) примет вид
к=1
дН
хп (Л - хп)АН = Л—. (7)
А система (5) примет вид
дН
ХпАщ = Лд^Т,3 = 1 2,..., п. (8)
Рассмотрим ограниченную область Б С Жп с границей Г = Го и Г и Гд; где Го — часть плоскости хп =0 с границей ¿Го, Гд — часть плоскости хп = Л, а Г1 — боковая граница.
Для системы (5) рассмотрим следующие краевые условия:
uj
г = fj (xi,...,Xn), j = 1, 2,... ,п - 1, (9)
H
м = fn (xi, ... , Xn), (10)
г0 U г1
= 1п+1(х1,...,Хп-1, 0), (11)
йГо
где fj(х1,... ,хп), 3 = 1, 2,... ,п — 1 — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Будем изучать следующую задачу: найти регулярное в области Б решение системы (5), удовлетворяющее условиям (9)—(11).
1. Решим сначала первую краевую задачу для вырождающегося дифференциального уравнения с частными производными (7) при условии (10). При решении этой задачи будем следовать М.И. Вишику [4]. Перепишем уравнение (7) в виде:
) = £ дХ; ^ (А - д^) +2 х - а) дХП = (12)
г=1 4 7
Уравнение (12) эллиптично при 0 < хп < А.
Обозначим через П0 множество всех непрерывных в Б функций, имеющих ограниченные кусочно-непрерывные первые производные и обращающихся в ноль в некоторой граничной полоске области Б. Через Оу обозначим градиент функции у(х1, Х2,хп): Оу = (удш^, а множество, составленное из элементов Оу,у € П0, через Ж0. Введем в Ж0 скалярное произведение
/п ди ду
Хп (А - Хп) дХ дхк
^ г,к = 1 ; к
Обозначим Ж — замыкание Ж0 в норме (Ои, Оу). Обозначим через П множество всех функций у(Х) : Оу € П. Ясно, что ОП = Ж, т. е. П — область определения оператора градиента.
Обозначим П1 — множество, состоящее из градиентов функции /, имеющих в области Б обобщенные первые производные и (О/, О/) < то.
Пусть / € П1, определим билинейную форму
В(/, У) = -(О/, ОУ) + (Хп - А) д/, V € П0.
Билинейная форма В(/,у) непрерывно зависит от элемента V, измеряемого в метрике ||у||2 = (Оу,Оу).
Обобщенным решением уравнения (12) назовем функцию Н € П1, для которой В(Н,у) = 0 для любой функции V € П . Коэффициенты уравнения (12) — гладкие функции, поэтому все его обобщенные решения являются дважды непрерывно дифференцируемыми в Б решениями уравнения (12).
Первая краевая задача (10), (12) состоит в нахождении решения Н уравнения (12), принимающего на Г^ У Г1 те же значения, что и заданная функция /п € П1 : /п - Н = т € П, и остающегося ограниченным при хп ^ А. При сделанных допущениях эта задача имеет единственное решение [4]
Н = /п -
где т = О-1 (-Е + К *) 1 д, оператор К * сопряженный с оператором
ду
К : (Ои, КОу) = -2 [и, (хп - А) + V
\ дХп
Действительно, при /п € П1 в пространстве градиентов Ж уравнение (12) можно реализовать в виде
В(/, у) = (д, Оу), где д € Ж, и найти такую функцию т € П, чтобы
В(/ - т,у) = 0, V € П0
д дН дН
или
B(fn,v) = B(w, v). 2. Определим n — 1 компоненты решения задачи.
По известной функции H определим функции Uj ,j = 1, 2,..., n—1 из уравнений (8) и краевых условий (9). Уравнения (8) запишем в виде:
M( •) У"^ д ( duA duj
j dxi\ n dxi ) dxn ßxj'
i=i 4 y J
j = 1, 2,...,n.
Для доказательства того, что решения уравнений (8) принимают наперед заданные значения при xn = 0, покажем, что существует барьер А.В. Бицадзе [3]. Барьер будем искать в виде
(xi,x2, .. ., xn) = (xi — x°) + (x2 — x§) + ... + (xn-1 — x0ri-i) + xn, 0 <ß< 1.
Покажем, что так выбранная функция является барьером.
1. Рассмотрим полушаровую окрестность точки Q (xi ,x<0,...x<n_ i, 0)
(xi — x°)2 + (x2 — x0)2 + ... + (xn-1 — xn-l)2 + x2n < p2, xn > 0.
Понятно, что v (xi, x2,..., xn) непрерывна в этой окрестности.
2. v(Q) = 0.
3. v (xi, x2,... ,xn) > 0 во всех точках окрестности, отличных от Q.
4. M(v) = 2xn(n — 1) + ß(ß — 1)xn-i < 0 для достаточно малых xn.
Так как решения уравнений (8) как функции переменного xn при xn ^ 0 ведут себя как решения обыкновенного дифференциального уравнения xn d 'ХХ П = = А^, то
OXj '
хп хп
Я1 дН
хп дх" ^хп, 3 = 1, 2,...,п
оо п j
ограничены при условии Н|х о = 0.
Следовательно, существует решение задачи (8), (9).
3. Найдем ип по известным Н и щ ,3 = 1, 2,...,п — 1 из соотношений
Л дН
Аип = —д~, (13)
хп дхп
дип=н—± щ=^......хп). <»>
г=1
Аналогично пункту 2 решение уравнения (13) принимает наперед заданные значения при хп = 0.
Проинтегрируем равенство (14)
ип = ! ф (х1 ,...,хп) dХn + 'Ф(х1,. .. ,хп-1). (15)
о
Подставив (15) в (13), имеем
др /* Аип = д--+ ^1рд,Хп + Аф
дХп ./
п1
где А1 = £ дЪ = А - дХп •
к=1
Откуда
др [ [ д2р
Аип = А1Ф + ---+ Арё,Хп - тт-уЛхп,
дХп ] ] дхп
00
др , 7
Аип = А1Ф + дхп\Хп=0 + I Арйхп.
А так как
получим
1
А АН А у дик АН А у"^ д2Н
^ дхк Хп дхк ,
к=1
к=1
Аип = А1* + .дР\хп=0 + / АН - АЕ ^ I*.
к=1
8x1
Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулу (7)
,тт А А д2Н хп - А л тг А д2Н АН--АН + — — = -АН +
Хп Хп 8ХЮ Хп
1 дН
А дН + А д2Н = А д
дхп \Хп дхп
Итак,
др \ л [ д (1 дН\ 1
Аип = А1ф + дХп\хп=0 + А] дг\г~дг) ^ =
0
А дН (др А дН . \
= хп дХп + А1ф Ч д^ + гЖ) \<=0
Следовательно, функция ф (х1, ... ,хп—1) определяется из уравнения
Л , , (др А дН . А1ф + 11т [-£ + -— ) =0.
^0 V дг г дг
(16)
(17)
Теорема. Краевая задача (9), (10) для системы (8), где Н,/^= 1, 2,...,п — дважды непрерывно дифференцируемые функции, Н — ограничена при хп ^ А и равна нулю при хп = 0, разрешима, ее решения и^= 1,2,...,п - 1 единственны, а компонента ип находится по формуле (15) с точностью до функции ф (х1, ..., хп— 1), определяемой уравнением (17).
Литература
[1] Фролов П.С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости // Доклады АН СССР. 1968. Т. 181. № 6. С. 1350-1353.
[2] Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
[3] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
[4] Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Математический сборник, 1954. Т. 35 (77), № 3. С. 513-568.
[5] Янушаускас А.И. О многомерном аналоге системы А.В. Бицадзе // Доклады АН СССР, 1978. Т. 238, № 4. С. 816-819.
[6] Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск, 1985.
Поступила в редакцию 16/////2012; в окончательном варианте — 16/////2012.
A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DEGENERATIVE SYSTEM OF EQUATIONS OF BITSADZE - YANUSHAUSKAS
© 2012 I.M. Abdrakhmanovf R.P. Abdrakhmanova4
In the article, a boundary value problem for a singular many-dimensional system of elliptic type equations in half-space is considered.
Key words: elliptic system, boundary value problem.
Paper received 16/Ш/2012. Paper accepted 16/Ш/2012.
3Abdrakhmanov Idar Maksutovich (abdraiSmail.ru), the Dept. of Mathematics, Ufa State Aviation Technical University, Ufa, 450000, Russian Federation.
4Abdrakhmanova Rimma Petrovna (abdrai@mail.ru), the Dept. of Calculus Mathematics and Cybernetics, Ufa State Aviation Technical University, Ufa, 450000, Russian Federation.
