Об одной краевой задаче для модельного нагруженного дифференциального уравнения в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

который не может быть получен с применением диффузионной модели Фишера-Холдена-Райта. Заметим, что полученные для нашей демо-генетической модели значения времени T1Q вполне способны объяснить, почему, несмотря на продолжительное и интенсивное выращивание трансгенной кукурузы в США и других странах, Bt-устойчивые насекомые-вредители до сих пор не были выявлены. Таким образом, несмотря на то, что предложенная здесь демо-генетическая модель (1) является достаточно простой, она в отличие от модели Фишера-Холдена-Райта позволяет воспроизвести и объяснить механизм стратегии «высокая доза - убежище» для борьбы с адаптацией насекомых к трансгенным растениям.

Мы также показали, что не только размер убежищ, но и их пространственная конфигурация на трансгенных полях играет ключевую роль в эффективности «высокая доза - убежище».

Литература

1. Comins H.N. // J. Theor. Biol. 1977. Vol. 64. P. 177-197.

2. AlstadD.N., Andow D.A. // Science. 1995. Vol. 268. P. 1894-1896.

3. Абросов Н.С., Боголюбов А.Г. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. Новосибирск, 1988.

4. Vacher C. et al. // J. Evol. Biol. 2QQ3. Vol. 16. P. 378-387.

5. Cerda H., Wright D.J. // Agriculture, Ecosystem and Environment. 2QQ4. Vol. 1Q2. P. 163-174.

6. Kostitzin V.A. Biologie Mathématique. Paris, 1937.

7. СвирежевЮ.М., ПасековВ.П. Основы математической генетики. М., 1982. Ростовский государственный университет б октября 200б г

УДК 517.956

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО НАГРУЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

© 2006 г. А. А. Токова

The problem with non-local boundary condition of second kind for loaded differential equation averaged over one of independent variables is considered in this article. Theorem of existence and uniqueness of the solution is proved.

Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный А.М. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным уравнениям [1, 2]. В связи с этим вызывают интерес постановка и исследование краевых задач для нагруженных уравнений.

В данной работе для модельного нагруженного дифференциального уравнения

(2)

К(У)|г + 1Т2Т Iм ( y)dt = f(y), (D

dx r dy о

где K(y), fy) - заданные непрерывные на сегменте [0, Т] функции, в области Q = {(x, y ):0 < x <r ,0 < y <Т} рассматривается следующая краевая Задача. Найти регулярное в области Q. решение u(x,y) уравнения (1) из класса С(Q) с производной ux = du/dx, непрерывной вплоть до точек (0, y) и (r, y), 0 < y < T, удовлетворяющее краевым условиям: u(0, y) = (p(y), 0 < y < T, aux (r,y) + ßUx (0,y) = w(y), 0 < y < T 1 r 1 d r

— J u (x,0)dx = S0, lim--J u(x, y)dx = SX, (3)

r 0 y ^0 r dy 0

где p(y), ц>( y) - заданные функции, S0,S1 = const, a2 + ß2 Ф 0. Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть ß ф 2a, p(y), у/{y) e C1 [0, T]n C2 (0,T) . Тогда

существует единственное решение задачи (1)-(3).

Доказательство. Легко видеть, что любое решение уравнения (1) пред-ставимо в виде

u(x, y) = A( y) x2 + B(y) x + C (y), (4)

где A (y), B(y), C(y) - некоторые функции, подлежащие определению. Подставляя (4) в (1), получим уравнение

2 A( y) K ( y) + y A" ( y) + 2;B" (y) + C " (y) = f (y). (5)

Из (2) следует

C ( y) = p( y),

(6)

2arA( y) + (a+ß) B( y) = ¥( y),

w( y) — 2arA( y)

Рассмотрев случай, когда a + ß Ф 0 , найдем B(y) =-.

a+ß

Подставив в (4) значение B(y) и C(y) и учитывая, что ß Ф 2а, получим обыкновенное дифференциальное уравнение

A"( у) + (K (y ) A( y) = g ( y), (7)

с условиями Коши

А(0) = ( fe -p(0) — 2Ä

2 I r 2(a + ß)

V HJ^ (8)

А'(0) = ((5. — P(0) —

2 V r 2(a + ß)

14

6(a + ß) ч 3(а + ß) где Х= \ ; g(y) = --+-^

¥ (У) +

г V (У)

2(ß + a)

- f (У)

г 2(в_ 2а) г 2(в_ 2а)

Так как К(у) е С [0, Т] и §(у) е С (0, Т), то существует единственное

решение уравнения (7) [3].

В случае, когда а + в = 0, С(у) и Л (у) сразу находятся из (6). Используя (1), (3), с учетом (6), находим

В(0)=_ МО) В'(0) = _ 2^1(0) ^'(0)

За

За

Из (5) B(y) = \(ßQ У) - 2 ¥y) -^00 --^ ^ (£)( y+ r r За ar о

+2 JTf (#)( У

Таким образом,

u(x, у) = v(У) x2 + x 2ar

2 2 1

— (^о +&1 y)--¥(У)-—¥(У)

r 2 r 3a

2x у 2Ху

--- J*(f)(y - + —Jf (#)(y - + ¥(У).

ar о r о

(9)

Легко проверить, что и(х,у), определяемое выражением (9), действительно является решением уравнения (1) и удовлетворяет краевым условиям (2)-(3). Из представления (9) и существования единственного решения задачи Коши (7), (8) следует единственность решения задачи (1)-(3). Теорема доказана.

В случае, когда К (у) = у, /(у) = 0, справедлива

Теорема 2. Пусть в ф 2а, и (х, у) е С (О) п С2 (О). Тогда существует единственное решение задачи (1)-(3), представимое в виде

и(х,у) х2 +р(у) _

2ar

2 L ч / ч л 1 , ч 2 . . 2¥У)

—7 J (У - z)zy(z)dz + —V(y) —2(Т + yvi) — ar2 о 3a r2 r

при a + ß = о и

и(х,у) = А(у)\ х2 -Овх|+а+4х + ^(у), а + в ) а + в

где А (у) - решение задачи Коши для уравнения типа Эйри, при а + в Ф 0.

Отметим, что в случае К (у) = _1 для уравнения (1) в [4] рассматривалась задача оптимального управления.

Литература

1. Нахушев А.М. // Диф. уравнения. 1982. Т. 18. №1. С. 77-81.

2. Нахушев А.М. // Диф. уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 103-108.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М., 1974.

4. Амангалиева М.М., ДженалиевМ.Т., РамазановМ.И. // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Междунар. российско-узбекского симп. Нальчик, 2003. С. 26-29.

Институт прикладной математики и автоматизации,

г. Нальчик 29 августа 2006 г.

УДК 532.5

УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ ДЛЯ ДВУХ- И ОДНОМЕРНЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ

© 2006 г. В.А. Толпаев, С.А. Гоголева

On the basis of the known spatial equations of a filtration of the perfect gas the equations for the approached calculation of currents of gas in thin curvilinear layers of a constant and variable thickness and in layers in the form of curvilinear veins are deduced. The deduced equations leaning the equation of a condition of ideal gas by Klaiperon-Mendeleyev, applicable to gas deposits with formation pressure up to 40 -- 60 MPa. For deposits with lager formation pressure the offered equations demand specification by replacement of the equation of a condition of ideal gas by the equation of a condition of real gas.

В статье на основе известных [1] пространственных уравнений фильтрации совершенного газа выводятся уравнения для приближённого расчёта течений газа в тонких криволинейных пластах постоянной и переменной толщины и в пластах в виде криволинейных жил. Выведенные уравнения, опирающиеся на уравнение состояния идеального газа Клайперо-на-Менделеева, применимы к газовым месторождениям с пластовыми давлениями до 40 -н 60 МПа. Для месторождений с большими пластовыми давлениями предложенные уравнения требуют уточнения путём замены уравнения состояния идеального газа на уравнение состояния реального газа.

1. Уравнения пространственной фильтрации газа

Линейная напорная изотермическая фильтрация совершенного газа в изотропных неоднородных средах описывается [1]: 1) законом Дарси

k

v =--grad P ; (1)

И