CC BY
14
Литература
1. Нахушев А.М. // Диф. уравнения. 1982. Т. 18. №1. С. 77-81.
2. Нахушев А.М. // Диф. уравнения. 1976. Т. 12. № 1. C. 103-108.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М., 1974.
4. Амангалиева М.М., Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Междунар. российско-узбекского симп. Нальчик, 2003. С. 26-29.
Институт прикладной математики и автоматизации,
г. Нальчик 29 августа 2006 г.
УДК 532.5
УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ ДЛЯ ДВУХ- И ОДНОМЕРНЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
© 2006 г. В.А. Толпаев, С.А. Гоголева
On the basis of the known spatial equations of a filtration of the perfect gas the equations for the approached calculation of currents of gas in thin curvilinear layers of a constant and variable thickness and in layers in the form of curvilinear veins are deduced. The deduced equations leaning the equation of a condition of ideal gas by Klaiperon-Mendeleyev, applicable to gas deposits with formation pressure up to 40 -- 60 MPa. For deposits with lager formation pressure the offered equations demand specification by replacement of the equation of a condition of ideal gas by the equation of a condition of real gas.
В статье на основе известных [1] пространственных уравнений фильтрации совершенного газа выводятся уравнения для приближённого расчёта течений газа в тонких криволинейных пластах постоянной и переменной толщины и в пластах в виде криволинейных жил. Выведенные уравнения, опирающиеся на уравнение состояния идеального газа Клайперо-на-Менделеева, применимы к газовым месторождениям с пластовыми давлениями до 40 -н 60 МПа. Для месторождений с большими пластовыми давлениями предложенные уравнения требуют уточнения путём замены уравнения состояния идеального газа на уравнение состояния реального газа.
1. Уравнения пространственной фильтрации газа
Линейная напорная изотермическая фильтрация совершенного газа в изотропных неоднородных средах описывается [1]: 1) законом Дарси
k
v =--grad P ; (1)
И
2) уравнением неразрывности
д( mp)
div(p v) + v ' = 0; (2)
dt
3) уравнением состояния идеального газа
p=pmP . (3)
am
В уравнениях (1)-(3) V - поле скоростей фильтрации; ^ - коэффициент динамической вязкости; Р - приведённое давление; к(х, у, х) - коэффициент проницаемости пористой среды, задаваемый в виде произведения к(х, у, х) = к0 ■ к(х, у, х), где к0 - размерный постоянный коэффициент, а к(х, у, х) - безразмерная функция координат х, у, х; т - пористость среды;
р - плотность газа; рат - плотность газа при пластовой температуре и атмосферном давлении Рат.
Если ввести в рассмотрение потенциал скорости фильтрации
Р(йлХ, 0 = -—, (4)
М
то закон Дарси и уравнение состояния идеального газа можно представить в виде
V = к(й, п, С) ■ grad р,
р = -РатМ<. (5)
Рк
ат 0
Для вывода уравнений фильтрации газа в криволинейных пластах и в криволинейных жилах понадобятся ортогональные криволинейные системы координат. Обозначая, как обычно, через х, у, х декартовую систему координат, ось х которой направлена вертикально вверх, уравнения связи декартовых и криволинейных координат представим в виде
х = х(й,пО, у = у(й,ПО, х = х(6) С помощью уравнений связи (6) по известным формулам [2] вычислим параметры Ламе
"1 4-,-], Н = Нз =
1 )Цдй дй) ду) у{ЗС ЗС
где Я = х1 + у] + хк - радиус-вектор текущей точки М(х, у, х); а 1, ^ к -
декартовый базис.
Подставляя равенства (5) в уравнение неразрывности (2), в системе ко -ординат й, у, С придём к следующему уравнению для потенциала ф:
1
НН2 Нз I дй
H2 д
д
+ —
дп
dz
H1H 2
k (Z.n.Z)
д(^)A
dZ
+ 2 o.
dt
(7)
Для приведённого давления уравнение (7) после подстановки в него (4) запишется в виде
1
д
Hi H2 H3 I
'H2H3 k(П) ^2) '
Hi
д_
дп
HiH3 вд.„.о д(
H
дп
dZ
HiH 2
v H3
k (Z.n.Z)
д(P2) _ 2^ d(wP)
(8)
дZ
дt
С помощью уравнений (7), (8), дополненных начальными и краевыми условиями, описываются пространственные изотермические фильтрационные течения совершенного газа в продуктивных пластах.
2. Уравнения фильтрации газа в тонких криволинейных слоях
На практике чаще всего приходится изучать фильтрацию газа в искривлённых пластах переменной толщины. Поэтому проведём специальное преобразование уравнений (7), (8) с целью их приспособления к специфике задач фильтрации газа в тонких искривлённых пластах с непроницаемыми подошвой и кровлей.
Пусть непроницаемые подошва и кровля тонкого искривлённого пласта совпадают с координатными поверхностями Z =Z\ = const и Z = Z2 = const соответственно. Под «тонким» пластом подразумеваем такой пласт, в котором параметры Ламе H\,H2,H3 криволинейной системы координат Z,V,Z при изменении Z от Z\ до Z2 меняются весьма незначительно, и поэтому можно принять, что
H\ = H\ (,n,Z\) = h\ (z,n); H2 = H2 (,n,Z\ ) = h (Z,n) . (9)
Кроме того, для тонких слоёв естественным будет предположение, что
к = к (z,n).
Приближённое значение третьего параметра Ламе Н3 целесообразно выразить через длину Z координатной линии, заключённой между кровлей и подошвой. Обозначая длину этой координатной линии как H (Z,n), получим
Z2
h(4,п)_ I Hз (£,n,Z)dZ *нъ (z.n.Zi)(Z2 -Zi).
Zi
Из (i0)
H3 (Z.n.Zi ) =
h (Z.n)
Z2-Zi
(io)
(ii)
Подчеркнём, что именно толщину слоя Н (й,П), а не параметр Ламе Н3 ) целесообразно с точки зрения приложений ввести в уравне-
ние фильтрации.
Если подставить в (7), (8) формулы (9) и (11), принять, что ф и Р не зависят от С (что обусловлено фактом непроницаемости кровли и подошвы,
к(М) др
на поверхности которых v^
_1_
h (Z,rj)- h2 (Z,ri)- H (Z,ri)
h (z,rj)
H3 dZ
= 0), то придём к уравнениям
д(
h2 Wh (f,n)k аИ
dn
h2 (#,v)
d(2 )
dn
(12)
d(mrn) + 2 У =0,
dt
\ (П h2 (П H (#,n)
d
( p2 )
^Щн (#,rj)k -
dn
h2 (#,V)
dn
(13)
2ß d(mP)
dt
Уравнения (12), (13), дополненные начальными и краевыми условиями, приближённо описывают изотермические фильтрационные течения совершенного газа в тонких искривлённых пластах с переменной толщиной Н(й,п). При этом в (12), (13) переменные £ и п можно рассматривать как ортогональную координатную сеть, выбранную на подошве слоя. Сама подошва может быть задана не как координатная поверхность ^ = С\ , а параметрическим уравнением вида Я = х(£, ц)1 + у(£, ц)\ + х(£, п)к. Функцию Н(й,п) в (12), (13) приближённо можно истолковать как длину перпендикуляра, восстановленного в точке (£, п) к подошве пласта и заключённого между подошвой и кровлей. Параметры Ламе к1 и к2 в уравнениях (12), (13) будет удобно выражать через коэффициенты первой квадратичной формы ds2 = Edй2 + Gdr|2 [3] криволинейной поверхности подошвы слоя по формулам к1 =л/Е и к2 =\[о .
Описанная трактовка коэффициентов к1 (й,|), к2 (й,|) и Н (й,Г) делает уравнения (12), (13) удобными для построения конкретных математических моделей фильтрации совершенного газа в тонких искривлённых пластах переменной и постоянной толщины.
d
1
d
3. Уравнения фильтрации газа в узких криволинейных жилах
Рассмотрим криволинейный пласт, размеры которого вдоль % всюду существенно больше двух других размеров вдоль п и Q. Такой пласт кратко будем называть криволинейной жилой. Боковая поверхность криволинейной жилы состоит из %-координатных линий, сечения же такого пласта координатными поверхностями % = const представляют овалы, диаметры которых всюду много меньше протяженности пласта. Боковую поверхность криволинейной жилы будем рассматривать как непроницаемую. В
связи с этим на боковой поверхности пласта в виде жилы = = 0 .
дп dZ
Поэтому в приближённых расчётах естественным будет принять, что
(р = ф(£,t), P = P(Z,t) . (i4)
Кроме того, так как координаты п и Z по сравнению с % в криволинейной жиле меняются незначительно, то естественным будет допущение о возможности применения приближённых равенств
H\ = H\ (,no,Zo) = h\ (Z) ; к = к(Z,n,Zo) = к(Z), (\5) где п = п0 = const и Z =Z0 = const - некоторая зафиксированная %-коор-
динатная линия внутри жилы.
Два других параметра Ламе H2 и H3 в (7) и (8) присутствуют в виде произведения, с целью оценки которого вычислим площадь сечения жилы S(%) координатной поверхностью % = const. Имеем
S(Z) = Я H2 (#,n,Z)-H3 (Z,n,Z)dZdn « H2 (Z,По,Zo)x
((=const) (\6)
xH3 (oZ)Aп^Z, где An и AZ - изменения координат п и Z в сечении % = const (принятом для наглядности за криволинейный прямоугольник [п\,П2; Z\,Z2]). Из формулы (\6) получаем, что
s (z)
H2 • H3 «-. (\7)
2 3 Дп•AZ
Если теперь подставить (\4), (\5), (\7) в (7) и (8), то придём к следующим уравнениям изотермической фильтрации совершенного газа в пласте в виде криволинейной жилы с непроницаемой боковой поверхностью:
"s(z)^(z) i<p2)"
hi (z)-s (z) дz
h (z)
дZ
д(гпф) + 2 У _ 0 дt
(i8)
hi (z) S (z) д#
s(z).k(z) д(р2)'
hi (z)
дZ
2ц д(ппР)
дt
(i9)
и
С помощью уравнений (18) и (19), дополненных начальными и краевыми условиями, описываются одномерные фильтрационные течения совершенного газа в пластах в виде криволинейных жил.
Уравнениям (18) и (19) можно дать другую интерпретацию, более удобную для построения конкретных математических моделей.
Пусть пласт в виде криволинейной жилы задан, во-первых, параметрическими уравнениями своей оси Я = х(£)\ + у(£)\ + 2(£)к и, во-вторых, функцией, задающей площадь его поперечных сечений = Дифференциал й1 дуги криволинейной оси равен [3]
й.I = (Ж. йЯ) = ч/к^Т^ТТ2^ = \ (£) й£. (20)
Поэтому с учетом (20) уравнениям (18) и (19) можно придать более удобный для практических приложений вид
d
S (l )k (l)-
И
dl
+ 2-S (l )-dM = о
dt
(21)
д_
dl
S (l )k (l)-
!M
dl
2- j- S (l) d(mP )
dt
(22)
В уравнениях (21) и (22) применяется естественный параметр I криволинейной оси, связь которого с параметром £ может быть найдена при помощи (20).
В заключение отметим, что из выведенных уравнений (12) и (13) фильтрации совершенного газа в искривлённых пластах в частном случае для стационарных режимов течений вытекают уравнения О.В. Голубевой [4], полученные ею ранее совершенно другим путём. В общем случае нестационарной фильтрации совершенного газа нелинейные уравнения (13), (19) и (22) имеют сходство и особенности, присущие уравнению Буссине-ска [5], описывающему безнапорные движения грунтовой жидкости со свободной поверхностью. Поэтому общие подходы [5] к решению задач о безнапорной фильтрации жидкости могут при соответствующей модификации применяться и к уравнениям (13), (19) и (22).
Литература
1. Басниев К. С. и др. Нефтегазовая гидромеханика. М., 2003.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М., 2000.
3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М., 2003.
4. Голубева О.В. // ПММ. 1950. Т. 14. Вып. 3.
5. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1977.
Северо-Кавказский государственный университет
8 сентября 2006 г
и
