УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ ИСКРИВЛёННЫХ СЛОЯХ ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5 + 622

УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ ИСКРИВЛЁННЫХ СЛОЯХ постоянной и ПЕРЕМЕННОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

© 2004 г. В.А. Толпаев, В.И. Дедовской

The equations of a bidimentional linear filtration of a fluid in the anisotropic curved layers of a constant and variable thickness.

Введение. Потенциальные движения идеальной несжимаемой жидкости, происходящие параллельно некоторой криволинейной поверхности, стали изучаться в 1878-1881 гг. в работах [1-4] и др., показавших, что вопрос о потенциальном движении жидкости в весьма тонком слое постоянной толщины, расположенном на криволинейной поверхности, сводится с помощью картографической проекции к вопросу о потенциальном движении жидкости, параллельном плоскости.

Через 70 лет эти работы получили дальнейшее развитие в статьях О.В. Голубевой [5] и П.Я. Полубариновой-Кочиной [6]. Далее теория двумерных течений жидкости в искривлённых бесконечно тонких слоях постоянной и переменной толщины с приложениями к задачам подземной гидромеханики развивалась в трудах учеников О.В. Голубевой: Быстрова КН. [7], Гладышева Ю. А. [8], Хмельника М.И. [9], Черняева А.П. [10], ПивеньВ.Ф. [11] и др.

Независимо от школы О.В. Голубевой фильтрация жидкости в круговых конических, параболоидальных и сферических весьма тонких пластах постоянной толщины изучалась В.П. Пилатовским [12], а также с позиций построения новых эффективных методов интегрирования системы уравнений двумерной фильтрации Амираслановым И.А. и Черепановым Г.П. [13].

Все процитированные работы объединяет то, что толщина искривлённого пласта в них считалась бесконечно малой (по сравнению с наименьшим из главных радиусов кривизны подошвы слоя), а сам пласт - изотропным.

В данной статье, по-видимому, впервые, уравнения двумерной фильтрации жидкости выводятся для анизотропных искривлённых пластов постоянной и переменной конечной (а не бесконечно малой) толщины. Если в выведенных авторами уравнениях толщину слоя устремить к нулю, то в пределе получаются уравнения движения, совпадающие с уравнениями теории О.В. Голубевой. Другая новизна, вытекающая из предлагаемой авторами уточнённой теории двумерных фильтрационных течений в том, что не во всех изотропных однородных искривлённых пластах постоянной толщины (как это получается в процитированных работах) движение жидкости можно описать методами теории аналитических функций комплексного переменного.

Перейдём к выводу уточнённых уравнений двумерной фильтрации. Начнём с уравнения неразрывности для рассматриваемого класса фильтрационных течений.

1. Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины. Пусть непроницаемые криволинейные поверхности подошвы и кровли слоя совпадают с координатными поверхностями 1 = 1]= const (подошва) и 1 = 12 = const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной системы координат с. г|. Q. Поверхности тока фильтрационных течений в таких слоях будем считать стационарными и совпадающими с координатными поверхностями Q = const. Эго, конечно, идеализация, но в большинстве случаев реальная схема течения почти во всём пласте близка к идеализированной. Предложенная схема течения могла бы быть реализована практически, если бы в пласте удалось построить тонкие непроницаемые поверхности Q = const, которые увеличат фильтрационное сопротивление пласта и, следовательно, расчёты потоков по предлагаемой кинематической схеме окажутся заниженными против реальных значений. Поле скоростей в принятой кинематической схеме течения фильтрации будет иметь вид:

где еь ег, ез - орты базиса в системе ортогональных криволинейных координат с, г], х, у, г найдутся, как известно, по формулам

где R = х • і + i * j + z * к — радиус-вектор точки наблюдения; i, j, k - декартовый базис, а Яь Я2, Я3 - коэффициенты Ламе.

Рассмотрим теперь поток сжимаемой жидкости с полем скоростей (1) через боковые грани криволинейного параллелепипеда с = const, ;+dc = const, r| = const, r|+dr| = const. Сечение ABCD этого параллелепипеда поверхностью Q = const показано рис. 1. Через грань АВ за время dt в параллелепипед втечёт масса жидкости

Сг

М АВ = dt ■ )dv -Н3(£,п,еУі£ •

Cl

Через противоположную грань из параллелепипеда за время dt вытечет масса жидкости

V = Vf + v4 (t.v.C.t)-*! ’

(1)

1 е? д% ’ 1

1 5R ТТ 5R

2 = еу Н 2 = —

(2)

1 5R тт 5R 7—нз = ТТ

Ї2

м СВ = Л ■ \ р(% + (1% ,Г] ,і ,і)-Н 2(% + ,?]

Сі

х яз(£ +

Поэтому за счёт потоков через пару противоположных граней АВ и СО из параллелепипеда за время (й вытечет масса жидкости

м

СІ % ■ (И Г} • СІІ

? [я 2 (£. Ч ■ ) ■■ н з (£, ч, С) ■ р (£, ч, С, 0 ■ V; {4, Г, X ,1)] ■■ а с.

г;л

(3)

Совершенно аналогично подсчитывается вытекшая за время Ж масса жидкости за счёт потоков через противоположные гранив!) и ВС параллелепипеда:

М 2 = М вс ~ М ав = А !;• й Г] • йг у*

-^[н .V ,С )■ Н .V ,С )■ р($ .V ,С .V ,С ,!)\ лс

(1 дг!

Общее количество массы жидкости, вытекшей за время А из параллелепипеда . 1В(1) за счёт потоков через боковые грани равно М=М\ +М2. С другой стороны, это же количество вытекшей массы через изменение ПЛОТНОСТИ р жидкости и пористости т среды можно подсчитать по формуле

£ 2

- М = I р($ ,17 ,С ,г + * )■ га (<? , п , С , < + * ) ■ Н1(^,Г) X ■ Н 2^ .V , С )Лп -Н г{$,г), с )л с -

£1

£2

Знак «минус» перед М поставлен потому, что если из параллелепипеда. I Н( 1) вытекает больше жидкости, чем втекает в него, то разность интегралов в правой части отрицательна, а в то же время величина М для такой ситуации положи-

тельна. С помощью формулы частного дифференциала по I последнюю можно переписать в виде

д г \

М = • <іг] ■ Л ■ I —\р ■ т)• Н\Н2^1 ■ <і(^ ■

Сі

ді

(5)

Поэтому в соответствии с формулами (3) - (5) равенство М\ +М2 = М приводит к соотношению

С{ {\н 2 ((?, V, С )■ н з (<?, т?, £ )■■ Р ((?, V, С, л■ ,77,4-, 0] +

+ — 1я1(#,77^)-я3(#,77^)-р(#,77^,0'^

+ Я 1 (1,77,^ )■ Я 2 (|,77^)-Я з (|,77^)- = 0.

Уравнение (6) и будет уравнением неразрьшности в интегральной форме для двумерных течений сжимаемой жидкости в искривлённом пласте переменной толщины с деформируемой пористой средой.

Для несжимаемой жидкости и недеформируемой в пласте пористой среды уравнение неразрьшности (6) принимает более простой вид

А [я 2 (§ ,77,4-) • Я 3 (*, 77,4-) • У{ (§, 77,4-, I)]+

+ [я! (*, 77,4-) • Я з 77,4-) • К, (§, 77,4-, г)]

•6/4- = 0.

(7)

2. Уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины. Перейдем к выводу уравнений линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Сам слой считается заполненным пористой анизотропной (в частном случае - изотропной) средой, у которой одно из главных направлений анизотропии (ГНА) всюду направлено по касательным к (^-координатным линиям, а два других ГНА относительно с- и г|-координатных линий имеют произвольную ориентацию. Требование, чтобы одно из ГНА среды совпадало с С,- координатными линиями, приводит к тому, что в системе координат 'П, С симметричный тензор проницаемости будет иметь вид [14]

к п к 12

О

к и к 22 О

(8)

Если все три ГНА среды будут совпадать соответственно с ;-. г|- и I- координатными линиями, то тензор К будет диагональным: к,, = О, если IФ] и ки = где /_, - главные проницаемости (все значения /_]. /_2. /_3 различны).

Если (^-координатные линии определяют одно из ГНА, а главные проницаемости двух других ГНА равны между собой, т.е. /_] = /-2^ /-> то тензор К в системе координат г|, С будет иметь выражение:

&i i = к22 = Л-1; &зз =4 и ку = 0 для i Ф j. (9)

Анизотропная среда, тензор проницаемости которой имеет вид (8), представляет собой модель слоистого грунта, слои которого всюду расположены перпендикулярно к (^-координатным поверхностям Q = const, в том числе к подошве и кровле пласта.

Анизотропная среда с тензором (9) представляет модель другого слоистого грунта, слои которого расположены на (^-координатных поверхностях.

Если в формуле (9) положить /_| = /_3 = X, то, придём к случаю, когда искривлённый слой переменной толщины будет заполнен изотропной средой с проницаемостью равной X.

В дальнейших выкладках будем исходить из тензора проницаемости общего вида (8), так как последний случай и случай (9) можно рассматривать как частные по отношению к первому.

Тензорный закон Дарси для анизотропной среды с тензором проницаемости (8) приводит к следующему распределению проекций скорости фильтрации [14]: у = к1]_8Ф_+к12^8Ф_^ у =к22^8Ф_+к2^8Ф_^ у = кук_дФ_^ (Ю)

1 Hi 5# Н 2 дт] ’ 2 Hi 5# Н 2 дг/ ’ 3 Нъ д£

где ф = - — = - Р + ; и - коэффициент динамической вязкости флюида; Р -

ц ц

приведённое давление; р - гидродинамическое давление; g - ускорение свободного падения и h - нивелировочная высота точки наблюдения. Подчеркнем, что компоненты тензора проницаемости кц, к]2. к22, к33 и коэффициенты Ламе Нь Н2 и Н3 в формулах (10) в общем случае зависят от всех координат г|, С-

Поскольку сейчас рассматриваются двумерные течения, для которых Q-координатные поверхности представляют поверхности тока, то проекция скорости V3 = 0 и, следовательно, 8Ф _ 0 • Таким образом, одно из условий возможно-

54-

сти существования двумерных течений в искривлённых анизотропных слоях переменной толщины заключается в том, что функция Ф, а значит и приведённое давление Р, должны зависеть только от координат с и г|. т.е. Ф = Ф(с. т|). Предполагая последнее условие выполненным, из (10) получим следующее распределение проекций скорости фильтрации в искривлённом слое:

Г ки^,П,ОдФ t ки{4,г!,ОдФ

1 Н!(£,?],£) Я2(#,?ьО дг] _

у кп{%,т1,^)дФ | к22 (4 ,Ч,<4) дФ

2 д4 н2(4,ч,О дп

Если после подстановки (11) в стандартное уравнение неразрывности div V = 0 получится уравнение не содержащее координаты Q для функции только двух переменных Ф(с. т|), то это будет означать, что рассматриваемые двумерные течения действительно существуют в строгом математическом смысле. Но течения с заранее заданными поверхностями тока встречаются крайне редко - это лишь случаи плоскопараллельных, осесимметричных течений и течений в сферическом слое, граничные поверхности которого имеют общий центр.

Поэтому сразу примем, что условие существования математически точных двумерных течений с заданными поверхностями тока Q = const не выполняется. В связи с этим будем рассматривать вместо уравнения div V = 0 интегральное по толщине криволинейного слоя уравнение неразрывности (7). Подставляя в него уравнения (11), для функции Ф(с. т|) получим уравнение:

С 2

J

Cl

Я 2 ■ Я з дФ тт , дФ

ки --------+ Н

I Я, 11 Э£ 3 ’ 12 д г)

9 ,ки д_Ф_ + Н1 -Я3 ^ ЭФ

(12)

d£ = О

дг) |_ Я 2 дг) _

Выполняя в левой части (12) почленное интегрирование и учитывая независимость от С, производных и , а также считая, что функции

дт]

н 2 н з н 1 н з имеют непрерывные частные производные во

ц 11 ’ .э ’ ц а.

всей области течения (вследствие чего операции дифференцирования по г| и интегрирования по С, будут перестановочными), для Ф(с. т|) получим следующее искомое уравнение:

8

Si;

8Ф дФ

Ти(?,П) — +Т12($,П) —

д g д г)

8 т л8Ф т л8Ф п (13)

-— Tu(t,ri)——+T22(?,ri)-— =0.

О V) ОС, О Г)

В уравнении (16) через Тц(с. г|). Т12(§, Л)- Т2гЙ, Л) обозначены выражения

7 (Я 3 -*12 У? ; (14)

( і ( Н , ■ Н з 'і (і

Ти((,Ч)=^ ^------2Яі 3 -кп ус ■ !-1г({,!) ^

І гг V [Н гнН23 'кгг ] <Г .

которые далее будем назьшать коэффициентами проводимости анизотропного искривлённого пласта.

При решении конкретных задач уравнение (13) ламинарной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых анизотропных пластах переменной толщины иногда целесообразно рассматривать совместно с системой уравнений в частных производных типа Коши-Римана. Чтобы получить такую систему заметим, что уравнение (13) обратится в тождество, если первая квадратная скобка в

(13) будет равна производной а вторая квадратная скобка будет равна

дг/

дЧ1

-----, где 'I' - некоторая произвольная дифференцируемая функция от с и г|. т.е.

8і

если будут вьшолнены равенства

V„(^)ff+r12fe,>/)^= (15)

drj drj •

5 -г (* \дФ -г (* \дФ

12 {? ,4 )^Г+ Г22 Ъ’Ч ^-----=

drj

В самом деле, перекрёстное дифференцирование системы уравнений (15) приводит к уравнению (13) для функции Ф(|, г|). Система уравнений (15) в теории обобщённых аналитических функций [15] играет важную роль, аналогичную условиям Коши - Римана в теории аналитических функций. Поэтому совместное рассмотрение уравнения (13) и системы уравнений (15) позволит применить методы теории обобщённых аналитических функций к исследованию течений в искривлённых анизотропных слоях переменной толщины.

Если в системе уравнений (15) перейти к новым переменным с і и г|ь которые с прежними переменными г) связаны системой уравнений Бельтрами [15]

т 3^1 Т 3^1 Т ®-£і- + т 3^1

1 11 Л г 1 12 -- Я М2 л е + 1 22 "Г- я

____д_4_______д г] _ о г) t ____д_4______д г] _ о rj t >

Vrp т 'г 2 д г/ (т 'р т> 2 д £

Ml 1 22 ~ 1 12 Vі 11 1 22 - 1 12

то система (15) примет канонический вид

(16)

oil дт1\ дт1\ дІі

где

р(£иЧі)= ФиТ22 - I’ll • (17)

После перекрёстного дифференцирования системы (16) для функции Ф(§ь Лі) получается следующее каноническое уравнение:

, fel + _2_Г, fel, )™_| = о • (18)

0#! L V J д,п L J

Система уравнений (16) известна как система уравнений, определяющая р-аналитические [2.10] функции г|,) + i-'Ir(r,. г|,) = w(^) комплексного переменного 1\ = її + і-г|і. Таким образом, в общем случае в плоскости вспомогательных переменных г)! течения в искривлённых анизотропных пластах конечной переменной толщины описываются комплексными потенциалами w(^i), являющимися р-аналитическими функциями Г.Н. Положего [15].

Отметим ещё два важных следствия, вытекающих из (17) и (18).

Следствие 1. Если выражение Т„-Т22 - Т122 = const, то, как видно из (18), в ПЛОСКОСТИ вспомогательного комплексного переменного ^1 = С] + І-Г| 1 функция <І)(;_і. г|і) будет удовлетворять уравнению Лапласа а2 ф < 2 ф = 0. Поэтому

в? і2 + бт;2

во всех тех частных случаях, когда коэффициенты проводимости искривлённого

анизотропного пласта переменной конечной толщины будут удовлетворять условию Тц-Т22 - т122 = const, для описания линейной двумерной фильтрации в таких слоях можно будет применять методы теории аналитических функций комплексного переменного.

Следствие 2. Рассмотрим теперь настолько тонкие искривлённые слои переменной толщины (приближение О.В. Голубевой [5]), в которых можно пренебречь изменениями коэффициентов Ламе по толщине слоя (по координате С) и принять их равными своим значениям на подошве слоя, т.е.

Значение третьего коэффициента Ламе /А,(с. г], _Г|) в формулах (19) из соображений геометрической наглядности выражено через длину

кровлей и подошвой слоя. Поэтому величину //(с. Т]) в первом приближении можно рассматривать как толщину криволинейного слоя в точке (с. ?/). Для выполнения условий (19) толщина пласта П(с. г]) в любой его точке должна быть намного меньше главных радиусов Н\п, и К2кр кривизны подошвы и кровли слоя.

О таких пластах, следуя О.В. Голубевой [5], будем говорить как о бесконечно тонких.

Пусть для бесконечно тонкого искривлённого слоя переменной толщины 11(с. г]) выполнены условия (19) и, кроме того, компоненты тензора проницаемости к,, не зависят (так как слой бесконечно тонкий) от £ Тогда после подстановки коэффициентов Ламе из (19) в формулы (14) для коэффициентов проводимости искривлённого бесконечно тонкого пласта получим значения:

Заметим, что из формул (20) вытекает равенство: Тп-Т22 - Т122 = Н2 х х (кц • к22 - к122). Поэтому если толщина искривлённого слоя постоянна, Н = const и слой заполнен однородной анизотропной (в частности однородной изотропной) средой, для которой kn-k22 - k122 = const, тогда Тп-Т22 -- TJ22 = const, и на основании следствия 1 приходим к следующему выводу: двумерные течения в любом бесконечно тонком однородном анизотропном (в частности, изотропном) искривлённом слое постоянной толщины описываются аналитическими функциями комплексного переменного.

В работах О.В. Голубевой и её учеников рассматривались бесконечно тонкие изотропные неоднородные слои с переменной толщиной, причём на подошве

(19)

п ц } = , ц ,) £x)dt; Я' ™ f-координатной линии, заключённой между

Cl

(20)

искривлённого слоя выбирались изотермические координаты, для которых коэффициенты Ламе И] и 1ь оказываются одинаковыми, т.е. И] = 1к Поэтому описание течений в искривлённых изотропных бесконечно тонких слоях переменной толщины в теории О.В. Голубевой осуществляется с помощью решений уравнения

д г \5Ф д г \5Ф

— Р\$’Г})^Г +— РК£,Г})----

ОС, ОС, О Г) О Г)

(21)

которое вытекает как частный случай из (13) и (20) при И] = 1к к]2 = 0, кц = = к22 = к, и р(;.г|) = Н(;.г|)-к(:;.г|). Сравнивая (18) и (21) видим, что каноническое уравнение (18) для Ф в предложенной уточнённой теории двумерных течений в искривлённых анизотропных слоях конечной толщины и уравнение О.В. Голубевой (21) для течений в бесконечно тонких изотропных искривлённых слоях имеют одинаковый вид. Тем не менее между этими уравнениями большая разница, так как уравнение (18) записано для вспомогательных переменных и для искривлённых анизотропных слоёв конечной толщины. А уравнение (21) записано в координатах физической области течения и для бесконечно тонких искривлённых изотропных слоёв.

Укажем ещё способ расчёта коэффициентов проводимости в общем уравнении двумерной фильтрации (13) для анизотропных искривлённых слоёв с постоянной конечной толщиной Н.

3. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной конечной толщины.

Пусть подошва ^ криволинейного слоя задана параметрически с помощью ортогональных на ней координат с и;/ уравнением вида Ы = И,/с ;/).

Определение. Криволинейный слой будем называть слоем постоянной толщины, если его кровля /<2 представляет геометрическое место концов отрезков постоянной длины, отложенных на нормалях к подошве слоя /•’, (рис. 2).

В дифференциальной геометрии такие поверхности ^ и называют параллельными криволинейными поверхностями.

Для того, чтобы получить уравнение кровли /-ч предварительно находим координаты вектора единичной нормали п к подошве /'] по формуле

дко„дко

п дг] • (22)

дко ,, дко дг/

О

Рис. 2. М\Ы\ =М^г = ... =Н= соті; Н— толщина криволинейного слоя

Радиус-вектор внутренней точки М криволинейного слоя, как видно из рис. 2, найдётся по формуле

где 0 < <,"< 1. Уравнение (23) при сГ= 0 даст уравнение подошвы 1‘]. а при С= 1 -кровли /'2 слоя.

Важно заметить, что для криволинейных поверхностей і7!, относящихся либо к поверхностям вращения, либо к коническим, либо к цилиндрическим поверхностям, формулы (22) и (23) приводят, как правило, к ортогональным криволинейным координатам с, //, С,.

Приведём конкретный пример расчёта коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в слоях постоянной толщины - в слоях вращения.

Как известно из дифференциальной геометрии, поверхность вращения /•’, (когда ось вращения совпадает с осью г), задаётся параметрически уравнением вида

Геометрический смысл параметров с, г/ и функций г(с). г(с) в уравнении (24) показан на рис. 3.

С помощью формул (22), (23) и (24) находим следующие уравнения связи мслсду декартовыми х, у, г и криволинейными с, //, С, координатами точек слоя вращения постоянной толщины:

(Знаком «штрих» обозначено дифференцирование по с). С помощью формул (25) и (26) легко убедиться, что в области рассматриваемого слоя вращения постоянной толщины Н координаты с, //, С, ортогональны. Формулы (2), (25) и (26) приводят к следующим выражениям для коэффициентов Ламе:

Щ£/7,0 = Ко(£/7) + <Г-Я-п,

(23)

Ыо(£ >1) = г(д ■ (сое ц • і + віл ц ■ .і) + • к.

(24)

* =Ж 0 • сое //; V = Ж£ о ■ япг =/2(£ О-

(25)

где

С ■Н -г'(ье).

4ЁЦу

(26)

Я,

l( s/i ]2 + [ ' 5/2

/и,- J 1 ч J

; я2 = |/l(;,c)|; н ъ = н = const

(27)

Рмс. |ЛМ| = г(^); |-ВМ| = г(ф; угол между Ко и положительным направлением оси г; ц —угол ме-

жду векторной проекцией Ко на плоскость хОу и положительным направлением оси х

С помощью формул (26) выражение для коэффициента Н\ приводится к виду

где

Н1 = Vf2 ' Н ~ ■ А~ (д) + 2 £ ■ Н -B(g) + E(g)

<ь > =

f ’-'Ч> ) 2 [ z'i4) 1

{ 1 J 1 -JE ( ь 1 J

(28)

B(t) =

r'(t)

- /•'(£)■

Теперь по формулам (14) можно будет вычислить коэффициенты проводимости криволинейного слоя вращения постоянной толщины и записать затем конкретный вид уравнения (13) двумерной фильтрации.

К примеру, когда подошва 1'\ представляет собой сферу радиуса Я\. функции г (с) И 2(с) в формуле (24) имеют вид

г(^)=Л18т^; г(с) = 7^ сове.

Потому, в соответствии с (26) - (28), получаем, что

Н1 +сД: Н2 = (^ +4Я)5ШС; НЪ=Н . (29)

Коэффициенты проводимости для изотропного однородного сферического слоя постоянной толщины 77 будут, в соответствии с (23) и (29), равны:

Тц = к • Н • sin £ ;

= 0;

кН sin 4

Поэтому в этом частном случае для однородного изотропного сферического слоя постоянной толщины 77 оказывается выполненным условие

2 2 2

7| | • 722 - /| 2 = к 77 = const и, следовательно, для изучения течений в них

можно в соответствии со следствием 1 применить методы теории аналитических функций комплексного переменного.

В подавляющем большинстве других случаев слоев вращения постоянной ко-

о

нечной ТОЛЩИНЫ 7| | • ?22 - 712 ^ const и поэтому необходимо будет применять для описания двумерной фильтрации в них методы теории обобщённых аналитических функций.

Литература

1. Beltrami Е. II Rendiconti d. Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1878. Vol. 11. P. 199-210.

2. HillMJ. II Quarterly J. of pure and applied mathematics. 1879. Vol. 16. P. 306-323.

3. Allen AJ.C. // Quarterly J. of pure and applied mathematics. 1881. Vol. 17. P. 65-86.

4. Умов HA. //Мат. сб. 1878. Т. 9. С. 121-127.

5. Голубева О.В. //ПММ. 1950. Т. 14. Вып. 3. С. 287-294.

6. Полубаринова-КочинаП.Я. //ПММ. 1950. Т. 14. Вып. 1. С. 280-284.

7. Быстров КН. II Изв. АН СССР. МЖГ. 1968.№1.С. 169-175.

8. Гладышев Ю.А. // Учён. зап. МОПИ им Н.К. Крупской. Тр. кафедры теор. физики. 1964. Т. 142. Вып. 5. С. 39^8.

9. ХмельникМ.И. II Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики. М., 1988. С. 95-100.

10. ЧерняевА.П. //ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 6. С. 1047-1049.

11. Piven’ VF. II J. Appl. Maths. Mechs. 1997. Vol. 61. №4. P. 577-586.

12. Пшатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М., 1966.

13. АмираслановИ.А., ЧерепановГ.П. //ПММ. 1981. Вып. 6. С. 1142-1146.

14. ТолпаевВ.А. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. № 7. С. 7-18.

15. Положий Г.Н. Теория и применение p-аналитических и (рд)-аналигических функций. Киев, 1973.

Северо-Кавказский государственный технический университет 19 февраля 2004 г.