ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

«Труды МАИ». Выпуск № 81

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 517.927

Об одной краевой задаче для дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии

Алероев Т.СД Хасамбиев М.В.**, Исаева Л.М.***

Московский государственный строительный университет, МГСУ, Ярославское шоссе, 26, Москва, 129337, Россия *e-mciil: aleroev(q),mail. ги **е-тай: hasambiev(q),mail.ги ***е-тай: 1. т. isaeva(q),mail. ги

Аннотация

В данной работе рассматриваются некоторые аспекты применения дробного исчисления в исследовании массопереноса в средах с фрактальными свойствами. Решена задача для стационарного уравнения переноса вещества в режимах супер диффузии и аномальной адвекции. Изучены свойства решения краевой задачи для одномерного уравнения адвекции-диффузии дробного порядка.

Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, функция Миттаг-Леффлера, собственные значения, собственные функции, коэффициенты Фурье.

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка:

^^ = ОЦ+ и (X,г), (1)

дг

и (0, г) = и (1, г) = о, (2)

и (х,0) = 8( х), (3)

Т^а / Ч 1 д х и(2, г^2

где О0+ и(х, г) =--2 I--— производная дробного порядка (в смысле

Г(2 - а) дх 0 (х - z)a 1

Римана-Лиувилля) 1 < а < 2 [1]. Такие краевые задачи возникают при описании физических процессов стохастического переноса, при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой фрактальной среде.

Дифференциальное уравнение диффузии дробного порядка

д и(х, г) . , „ .

—-—- = О0+ и (х, г) описывает эволюцию некоторой физической системы с дг

потерями, причем показатель а дробной производной и(х, г) указывает на долю

состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции.

Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной памятью», занимающие промежуточное положение между системами,

обладающими «полной памятью», с одной стороны и Марковскими системами, с другой.

Развитие дробного исчисления способствовало разработке фрактальной теории переноса, что привело к созданию нового математического аппарата для описания диффузионных процессов [1], [2]. С его использованием в данной работе изучается краевая задача для уравнения (1).

Постановка задачи

Рассматривается краевая задача (1), (2), (3). Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Функция u(x,t) = exp{\t}xа~lEa, а(Änxа) является решением

n=1

х x а) k

задачи (1), (2), (3). Здесь Eaа(Änxа) = ^ ———-— - известная функция Миттаг-

к=о Г(а + ак)

Леффлера [3], а срп - соответствующие коэффициенты Фурье.

Теорема 2. Решение u (x; t) краевой задачи (1), (2), (3) удовлетворяет условиям: а) lim u (x, t) = 0, б) lim ut (x, t) = 0.

Приведем доказательства этих теорем.

Доказательство теоремы 1. Найдем непрерывное в замкнутой области (0 < x < 1, 0 < t < T) решение однородного дробного дифференциального уравнения

ut (x, t) = D> (x, t), (1)

удовлетворяющее начальному условию

u (x,0) = p( x); 0 < x < 1 (3)

и однородным граничным условиям

u(0,t) = 0, u(1,t) = 0; 0 < t <T. (2)

Для решения этой задачи рассмотрим, как принято в методе разделения переменных [4], сначала основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

ut (x, t) = D> (x, t), (1)

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

u (0, t) = 0, u (1, t) = 0 (2)

и представимое в виде

u (x, t) = a>( x) p(t), (4)

где (o( x) - функция только переменного x, p(t) - функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (4) в уравнение (1) и производя деление обеих частей равенства на ((x) p(t), получим:

p) = D(=it (5)

p(t) ((x)

где Л = const, так как левая часть равенства зависит только от t, а правая - только от x. Из (5) следует, что

Бах фх) = Лсо(х), (6.1)

0($) = Р). (6.2)

Граничные условия (3) дают:

ф(0) = 0, ф(1) = 0. (7)

Таким образом, для определения функции ф( х) мы получили задачу о собственных значениях (задачу Штурма-Лиувилля)

Щ ф(х) = Лсо(х), ф(0) = 0, ф(1) = 0, (8)

изученную в работах [5], [6], [7]. В этих работах было показано, что только для собственных значений Лп, являющихся нулями функции Еаа(Л), существуют

собственные функции задачи (8), равные

ф = ха-%ха(ЛпхаХ. (9)

Этим собственным значениям Лп, очевидно, соответствуют решения уравнения (6.2)

Рп = Фп ехрЦ/Ь где 8п - неопределенные пока коэффициенты.

Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что функции

ип^г) = Ф(х)Рп) = (рп ехр{Лп1}ха-1Еаа(Лпха) являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям.

Обратимся теперь к решению задачи (1), (2), (3). Формально составим ряд

(X, О = £( ехри/КХаСЛЛ- (10)

и V

п=1

Функция и (х, ?) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем:

( X) = и (х,0) = Х^ХХа^Х)- (11)

п=1

В [8] было показано, что система функций сп = [ха~1Еаа(А,пха)Уп=1 образует базис в £2(0,1). Так как базис соп = (ха-1Еаа(Апха)}Х=1 не ортогональный, то вместе с системой сп будем рассматривать систему 2п ={(1 - х)а-1 Еаа(Лп(1 - х)а)}п=1 -биортогональную к системе сп [9]. Вообще говоря, система 2п = {(1 - х)а-1 Еаа(Яп(1 - х)а)}хп=1 - это система собственных функций сопряженной задачи [10].

Теперь неизвестные коэффициенты ( можно определить с помощью системы функций ^ = {(1 - х)а-1 Еа,а(Л (1 - х)а)}!=1:

(п= (((х), о, (12)

где (((х), 2п) - скалярное произведение функций ((х) и 2п.

Рассмотрим теперь ряд (10) с коэффициентами (, определяемыми по формуле (12) и покажем, что этот ряд удовлетворяет всем условиям задачи (1), (2), (3). Для этого нужно доказать, что функция, определяемая рядом (10)

дифференцируема, удовлетворяет уравнению (1) в области 0 < х < 1, ? > 0 и непрерывна в точках границы этой области (при ? = 0, х = 0, х = 1).

Так как уравнение (1) линейно, то в силу принципа суперпозиции ряд, составленный из частных решений, также будет решением, если он сходится и его можно дифференцировать почленно один раз по ? и дважды по х (1 <а< 2).

Докажем, что для любых 0 < х < 1 и 0 < ? < Т ряд (10) сходится абсолютно. Так как достаточно большие по модулю нули Лп функции Еаа(Лпха) находятся вне

(I I апI П

Лп :|а^(Лп, то а^(1п) >— [11]. В этом случае

справедливы следующие соотношения [11]:

|ехрЦ/}|< 1,

(13)

1Еа,р(К )1<

1+11

(14)

Для достаточно больших (по абсолютной величине) нулей Лп функции Еаа(Лп) также справедливо следующее соотношение [11]:

Ла = 2пп - (1 + а)

п

1п(2 пп) + — I

+ 1п-

а

Г(-а)

+ 0(1) =

-(1 + а) 1п( 2 пп) + 1п

а

Г(-а)

+ 0(1)

+

п

2 пп--(1 + а)

2

откуда следует, что | Ла |2=

-(1 + а)1п(2 пп) + 1п

а

Г(-а)

+ О (1)

+

п

2пп -—(1 + а)

□

□ [(1 + а)1п(2пп)]2 + (2пп)2 □ 0(п2). 7

1

Таким образом,

У|П 0(па).

(15)

С учетом (13), (14) для ряда (10), получаем:

( ех №хТ%ЛЯпха) |<| ( I • I Еа(Апха) |<| (п

1+1 У | х

1 , . 1

а I тп

п." l\|X)

Рассмотрим теперь мажорирующий ряд

X X 1

Х ^ = Х у

п=1 п=1\ Ап

(16)

Воспользовавшись эквивалентностью (15), мажоранту (16) запишем в виде

I

Х—, (1 <а< 2).

=1 п

(17)

п=1

Как видно, ряд (17) является сходящимся обобщенным гармоническим рядом, из чего следует абсолютная сходимость ряда (10) для любых 0 < х < 1 и 0 < X < Т.

Покажем теперь, что при X > 7 > 0 (Т - любое вспомогательное число) ряды

производных

удип(х;X) и Х_ди2(х;X) ^ дг ^

п=1

п=1 дх

сходятся равномерно. Сформулируем дополнительные требования, которым должна удовлетворять функция ((х). Предположим сначала, что ((х) ограничена, | ((х) |< М ; тогда

(п | = 2

< 2М,

откуда следует, что

дип(х, г)

дг

< 2M|Лnехр^г К-Хаа^)^

< 2М | Я_ | —1—- < 2М | Я_ | —^ < 2М для г > Т.

1+11

1

и аналогично, учитывая что

V ¿г у

*"ХДга) = в-1Еав-т (га)

д2ип(х, г)

дх2

2М

^ I [ха-1 Еа,а(1ха)]ехр{1пг}

дх

= 2М | ха-3Еаа-2(Лпха) || ехрЯг} |< 2М для г > г.

Отсюда следует, что при г > 0 ряд (10) представляет собой функцию, дифференцируемую почленно один раз по г и два раза по х , а значит, имеющую

производную порядка а, так как 1 < а < 2.

Если функция <( х) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям <р(0) = 0 и <(1) = 0, то ряд (10) определяет непрерывную функцию при г > 0.

Действительно, из неравенства

и

(х,г)|<| <п | (при г >0, 0 <х < 1)

сразу же следует равномерная сходимость ряда (10) при г > 0, 0 < х < 1, что и доказывает справедливость сделанного выше утверждения, если учесть, что для непрерывной и кусочно-гладкой функции <(х) ряд из модулей коэффициентов Фурье сходится, если <(0) = <(1) = 0 .

Таким образом, краевая задача для дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии решена полностью. Доказательство теоремы 2.

Докажем соотношение (а) lim u(x, t) = 0. Известно, что решение задачи (1),

t

(2), (3) имеет вид

то

u (x, t) = exp(V}xaX*(Va).

n=1

Найдем оценку сверху для абсолютной величины решения u (x; t):

то

lu(x,t)| < XKIexp[Änt}xa- Eaa(\xa).

n=1

Как известно [11], для достаточно больших по модулю нулей функции Е))(Япх)) справедлива оценка:

1

E (Äxa)

а,а V n У

<

1 + й\- xc

Если 0 < x < 1, то

xa-1 то

|и(х,X)| < Х Ип| ехр{УпХ} • —^га < ХК|ехрух}.

п=1 1 + |Лг|х п=1

Также известно [11], что |Уп| ~ 0(па) и |а^(Яп)| < , тогда для достаточно большого п

I ехР{ЛЛ| = ехР{ |Л/| (cos(аrg(уnX)) +1 ^п(ШБ(уХ)))}

exp{ \Ant\cos(arg(lnt ))}=exp \\^nt\=exp |o(nat )cos + 8

2

2

Отсюда следует, что

u

(x, t)| < ¿З exp |о(nat)cos П81 < О

n=1

1

exp{0(nat)}

<

<I о

n=1

1

exp{0(na)}exp{0(t)}

1

IО

exp{0(t)} t!

1

exp{0(na)}

^ 0 при t ^ да.

Проводя вышеуказанное доказательство, мы можем получить, что

lim и (x, t) = 0.

t

Докажем соотношение (б) lim ut (x, t) = 0.

Очевидно, что

и

'(x,t) = ISnXn exp{Xnt}xa~lEaa(XnXa)

n=1

Пусть для достаточно большого t

ЗЛ exp{V} • ха-1ЕаЖха) < \SJ • exp{V}

Ш x

a-1

1 + Ш xa

ъ у 0( n^at)

Если lim----— = 0, то

n^ exp{0(nat)}

Sn\expRt}• xa-1 Ea-a(\xa) <3

0(na)

x

,a-1

< О— < о

0(exp{0(nat)}) 1 + \Ä\xa 0(n2at)

v na ' nt J

Пусть X O (~с

па

\

сходится, тогда из вышеуказанных неравенств следует

)

lim ut (x, t) = 0.

t —то

Таким образом, в данной работе доказано, что решение краевой задачи для дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии ut (x, t) = u (x, t), с заданными краевыми условиями u(0+, t) = u(1, t) = 0, u(x,0) = S(x), удовлетворяет условиям lim u (x, t) = 0, lim ut (x, t) = 0.

t—>+то t—^то

Заключение

В данной работе полностью решена задача и изучены свойства решения задачи для стационарного уравнения переноса вещества в условиях супер диффузии и аномальной адвекции. Полученные результаты могут быть использованы в теории фильтрации жидкости и газов в средах с фрактальной структурой, а также при моделировании изменения температуры в нагретом стержне.

Библиографический список

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

2. Джрбащян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля дробного порядка // Известия АН Армянской ССР. Серия: Математика. 1970. Т. 5. № 2. С. 71-96.

3. Джрбащян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Издательство МГУ, 1999. - 799 с.

5. Aleroev T.S., Kirane M., Y.-F. Tang. Boundary-value problems for differential equations of fractional order. // Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013, Volume 194, Issue 5, pp. 499-512.

6. Самко С.Г., Килбасс А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск, Наука и техника, 1987. - 688 c.

7. Aleroev T. S., Aleroeva H. T. A problem on the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional-order differential operator /// Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ., № 25, 18 p. (2009).

8. Хасамбиев М.В., Алероев Т.С. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ. №6. 2014. С. 71-76.

9. Aleroev T.S., Kirane M., Malik S.A. Determination of a source term for a time fractional diffusion equation with an integral type over-determining condition. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2013 (2013), No. 270, pp. 1-16. ISSN: 1072-6691. //URL: htpp://ejde.math.txstate.edu

10. Алероев Т.С., Алероева Х.Т. Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. // Известия ВУЗов. Математика. 2014. №10. С. 3-12.

11. Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера // Современная математика. Фундаментальные направления. РУДН. Т. 40. 2011. С. 3-171.