CC BY
22
Таблица 2 - Число минизон N, положение дна минизон ек и их ширина Дк для различных значений 5
5 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3 tk Дк 1,839 0,045 3,387 0,463 4,485 6,511
6,5 4 Ek 1,992 3,621 5,908 6,065
Дк 0,003 0,056 0,357 0,427
10 7 Ek 2,008 3,749 5,168 6,416 7,526 8,501 9,363
Ak <0,001 <0,001 0,002 0,011 0,095 0,275 0,462
11,5 8 Ek 2,031 3,775 5,198 6,454 7,598 8,649 9,605 10,487
Дк <0,001 <0,001 <0,001 0,001 0,006 0,036 0,148 0,471
20 18 Ek 2,106 3,857 5,286 6,549 7,703 8,779 9,793 11,682 12
Дк меньше 0,001
С ростом S ширина минизоны А экспоненциально убывает (табл. 1), а е; стремится к нижнему уровню электрона (дырки) в бесконечно глубокой треугольной яме (т.е. к значению 2,34, которое соответствует первому корню уравнения Л1(-а) = 0 /6/).
При S >> 1 число энергетических минизон в пилообразной сверхрешетке N возрастает при увеличении S (табл. 2), а ширина нижних (е « S) минизон экспоненциально уменьшается. Таким образом, спектр носителей тока в нижних минизонах пилообразной сверхрешетки анизотропен и является практически двумерным.
Для пилообразной сверхрешетки р-типа, рассмотренной в /4/, оценки энергии Ферми двумерного дырочного газа указывают на возможность заполнения всех дырочных минизон. В этом случае движение дырок становится почти свободным, что подтверждает сделанное в /4/ предположение о том, что в пилообразных сверхрешетках потенциал не влияет на движение дырок.
Литература
1. Esaki L. InAs-GaSb superlattices-synthesized narrow- gap semiconductors and semimetals// Lect. Not. Phys. 1980. Vol. 133, №2. -P. 302-323.
2. Dohler G.H. Doping superlattices ( ‘n-i-p-i Crystals’)// IEEE J. Quant. Electron. 1986. Vol. QE 22, №9, -P. 1682-1685.
3. Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла // Физика Твердого Тела. - 1962. - Т4, №8. С. 22642267.
4. Sercel P. C., Vahala K. J. Analytical formalism for determining quantum-wire and quantum-dot band structure in the multiband envelope-function approximation // Phys. Rev B 1990. Vol..42, №6. P. 3960-3709.
5. Razeghi M., Duchemin J. P. MOCVD growth for heterostructures and two-dimensional electronic systems// Springer Ser. Solid State Sci. - 1984. Vol. 53, №1. - P. 100-114.
6. Абрамович М., Стиган И. Справлчник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979.-С.50-140.
References
1. Esaki L. InAs-GaSb superlattices-synthesized narrow- gap semiconductors and semimetals// Lect. Not. Phys. 1980. Vol.133, №2. -P. 302-323.
2. Dohler G.H. Doping superlattices ( ‘n-i-p-i Crystals’)// IEEE J. Quant. Electron. 1986. Vol. QE 22, №9, -P. 1682-1685.
3. Keldysh L.V. O vlijanii ul'trazvuka na jelektronnyj spektr kristalla // Fizika Tverdogo Tela. - 1962. - T4, №8. S. 2264-2267.
4. Sercel P. C., Vahala K. J. Analytical formalism for determining quantum-wire and quantum-dot band structure in the multiband envelope-function approximation // Phys. Rev B 1990. Vol..42, №6. P. 3960-3709.
5. Razeghi M., Duchemin J. P. MOCVD growth for heterostructures and two-dimensional electronic systems// Springer Ser. Solid State Sci. - 1984. Vol. 53, №1. - P. 100-114.
6. Abramovich M., Stigan I. Spravlchnik po special'nym funkcijam.- M.: Nauka, 1979.-S.50-140.
Исаева Л.М.1, Эдилова Р.М.2
'Аспирант, Кафедра высшей математики, Московский государственный строительный университет; 2Ассистент факультета среднего профессионального образования, Грозненский государственный нефтяной университет КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
Аннотация
Рассматривается одна из краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений дробного порядка. Используя метод Фурье, в явном виде выписано решение этой задачи. Полученные результаты могут найти применение в теории течения жидкости во фрактальной среде и моделировать изменения в температуре.
Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, метод Фурье, коэффициенты Фурье, собственные значения и собственные функции, функция Миттаг-Леффлера.
Isaeva L.M.1, Edilova R.M.2
'Post-graduate student, Chair of higher mathematics, Moscow State University; 2Assistant of the faculty of secondary vocational
education, Grozny state oil University
THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE ONE-DIMENSIONAL FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
ADVECTION-DIFFUSION
Abstract
The paper considers one of boundary value problems for one-dimensional differential equations of fractional order. Using the Fourier method, explicitly written the solution to this problem. The results can find application in the theory offluid flow in a fractal environment and to simulate changes in temperature.
Keywords: the equation of fractional order, fractional derivative, Fourier method, the Fourier coefficients, eigenvalues and eigenfunctions, the Mittag-Leffler function.
8
Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости и газа в сильно'-пористых (фрактальных) средах [1], [2], [3], приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Рассмотрим одну из таких краевых задач для одномерного дифференциального уравнения дробного порядка:
dau( x, t) дры( x, t)
dta дхр
u(0, t) = u(1, t) = 0, u( x, 0) = g (x),
(1)
(2)
(3)
где
dau( x, t) dfiu( x, t)
дробные производные порядков а и [3 соответственно (0 <a < 2, 1 < < 2).
dta x
Имеют место следующая теорема.
Теорема. Функция u(x, t) = Z gnEai (лпtа) xfi~lEр p(^nxP^) является решением задачи (1), (2), (3). Здесь
n=1
Ea,B (z) = Z-
- известная функция Миттаг-Леффлера, а gn - соответствующие коэффициенты Фурье функции
k=0T(ak + /3)
g(х) по базису {(On (x)Y^=1 = \cfi~lEp, р (lnxfi )^=1 [1].
Доказательство. Найдем непрерывное в замкнутой области дифференциального уравнения
dau(x, t) dfiu(x, t)
(0 < x < 1,0 < t < T) решение однородного дробного
(1)
dta dxfi
удовлетворяющее условиям (2) и (3).
Для решения этой задачи рассмотрим, как принято в методе разделения переменных [4], сначала основную вспомогательную задачу:
найти решение уравнения (1), не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям (2) и представимое в виде
u(x, t) = o(x)p(t) , (4)
где о(x) - функция только переменного x, p(t) - функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения (4) в уравнение (1) и производя деление обеих частей равенства на o(x)p(t) , получим:
1 dap(t) 1 dо( x)
P(t) dta o(x) dxfi
■ = Л,
(5)
где Л = const, так как левая часть равенства зависит только от t, а правая - только от x. Из (5) следует, что
(6)
d Р о( x) dxfi
dap(t)
= Ло (x),
Граничные условия (3) дают:
dta
о(0) = 0
= Лр (t) .
(7)
о( 1) = 0 .
(8)
Таким образом, для определения функции о(x) мы получили задачу о собственных значениях (двухточечную задачу Дирихле)
Dfio(x) = Ло(x), о(0) = 0 , о(1) = 0, (9)
изученную в работах [1], [5], [6]. В этих работах было показано, что только для собственных значений Лп , являющихся нулями функции Ер р (Л) , существуют собственные функции задачи (9), равные
On(x) = xfi 1EAfi(4xfi).
(10)
Уравнение вида (7) рассмотрено в работах [5], [6], [7], в которых показано, что для собственных значений Лп , являющихся
нулями функции Ea 1(Л) , существуют собственные функции вида pn (t) = gnEa 1 (^nta ), где gn - неопределенные пока коэффициенты.
Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что функции
un (xt) = gnEa,1 (Л»а )- xP~lEP,P (^rxP )
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям (2).
Обратимся теперь к решению задачи (1), (2), (3). Формально составим ряд
<
k
z
9
Ъ gnEa,l{*nta\ Х ^ppf
(11)
u(X, t) = Z §nEai n=1
Функция u(x, t) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем:
g(x)=u(x,0) = Ъgn •x 1ep,p{kxP)- (12)
n=1
В [8] было показано, что система функций вида |on (x)}“ образует базис в L2(0;1) . Так как
базис {pn (x)}° °=1 ={xP_lEP,p(^nxP)jn=i не ортогональный, то вместе с системой {(Dn (x)t= будем рассматривать
систему {zn (x)j“=1 ={ 1 — x)p 1 Ep p(xn(1 — x)p)l - биортогональную к системе {(Dn(x)}“_j [9]. Система
{zn (x)Yn U = { 1 — x)P 1 Ep p(ln(1 — x)'} - это система собственных функций сопряженной задачи (9) [10].
Теперь неизвестные коэффициенты g можно определить с помощью системы функций
{zn (x)}^=1 = Ь — x)p—1 Ep,p(ln (1 — x)p}u1:
gn = (g(x),Zn) , (13)
где (g(x),zn) - скалярное произведение функций g(x) и Z .
Докажем, что для любых 0 < x < 1 и 0 < t < T ряд (11) сходится абсолютно. Для достаточно больших по модулю нулей zn функции Ea p(zn) справедлива следующая оценка [11]:
\Ea,p(zn )|<
1 +\zn\
При этом [11],
|zn| ~ o(na), 1 <a< 2
Тогда, учитывая (14), (15) получаем следующие соотношения:
Ы ~ o(np)
Ea1 (Anta}<—1-
1 1+ Ы t
Теперь, согласно (16), (17), оценим (10) по модулю
gnEa
n^a! (Ant<a )- xp lEp,p (Kxp ) < \gn\ •--------------Г1
1 1 + Ы
p—1____L
Ep,p(Anxp)
|gn|
< -
1 + |^w|x^
(14)
(15)
(16) (17)
<
\K\tc
1+\Kw ы taxp
2ap
1
Рассмотрим мажорирующий ряд Ъ an =Z—TW 5 который является сходящимся рядом.
n=1 n=1n
Из сходимости мажоранты следует сходимость ряда (11).
“ dau(x, t) “ dPu(x, t)
и
Покажем теперь, что при t > t > 0 (t - любое вспомогательное число) ряды производных Ъ~------
n=1 dt
“0 nu( ^t) “д 2u( x, t)
сходятся равномерно. Для этого достаточно показать сходимость рядов Ъ-------- и Ъ-------------,
n=1 dt n=1 dx
так как 0 < a < 2, 1 < p < 2.
Сформулируем дополнительные требования, которым должна удовлетворять функция g(x) . Предположим сначала, что g(x) ограничена, |g(x)| <M .
1
Тогда \gn\ = |( g (x), zn )| = 2
j (g(x)zn (x)dx < 2M , откуда следует,
учитывая
0
dEa,p(z) = —[Eap 1(z) — (p —1)Ea,p(z)] :
dz az
dun (x, t)
dt
<
2M-----1—7 Ea,0 {К™ ']• xp lEp,p(Kxp t < 2M для t > t .
a • Xn • t
1
a
что
10
I д
Аналогично, учитывая что I —
m
■I [z^E„]
= z
[—m—1 j
^а,[-
(za) :
Л a
2
д ми (x, f) дх 2
<
2ME,
а,1
Л -а
V
[—3 Ер,[—2 {^щХ^
< 2M
x
для t > t .
Тем самым доказано, что при t > 0 ряд (11) представляет собой функцию, дифференцируемую почленно по t и два раза по х, а значит, имеющую производные порядков а и [ , так как 0 <а < 2, 1 < [ < 2 .
Итак, задача нахождения первой краевой задачи для одномерного уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным начальным условием решена полностью.
Литература
1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. // (Физматлит, 2003). 272 с.
2. Алероев Т. С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка. // Сиб. электрон. матем. изв. 10, 41-55 (2013).
3. T. S. Aleroev, M. Kirane, Malik S. A. Determination of a source term for a time fractional diffusion equation with an integral type over-determining condition. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2013 (2013), No. 270, pp. 1-16. ISSN: 1072-6691. //uRl: htpp ://ejde.math. txstate.edu
4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Издательство МГУ, 1999. 799 с.
5. Самко С.Г., Килбасс А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника, 1987. 688 c.
6. Джрбащян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля дробного порядка /// Известия АН Армянской ССР. Серия «Математика», 5:2 (1970), 71-96.
7. Алероев Т. С., Алероева Х. Т. Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. // Изв. ВУЗов, 2014, №10, с. 3-12.
8. Хасамбиев М. В., Алероев Т. С. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии. // Вестник МГСУ №6, 2014, с. 71-76.
9. Aleroev T. S., Aleroeva H. T. A problem on the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional-order differential operator /// Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ., № 25, 18 p. (2009).
10. T. S. Aleroev, M. Kirane, Y.-F. Tang. Boundary-value problems for differential equations of fractional order. // Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013, Volume 194, Issue 5, pp. 499-512.
11. Попов А. Ю., Седлецкий А. М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера. // Современная математика. Фундаментальные направления, 2011, т. 40, с. 3-171.
References
1. Nakhushev A.M. Fractional calculus and its application. - Moscow: Fizmatlit, 2003.
2. Aleroev T. S. Boundary value problems for differential equations of fractional order. // Sib. electron. Mat. Math. 10, 41 -55 (2013).
3. T. S. Aleroev, M. Kirane, Malik S. A. Determination of a source term for a time fractional diffusion equation with an integral type over-determining condition. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2013 (2013), No. 270, pp. 1-16. ISSN: 1072-6691. //uRl: htpp ://ejde.math. txstate.edu
4. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. - Moscow: Moscow State University Press, 1999. 799 pp.
5. Samko S.G., Kilbass A.A., Marichev O.I. Integrals and derivatives of fractional order, and some applications. - Minsk: Science and Technology, 1987. 688 c.
6. Dzhrbaschyan M.M. Boundary value problem for the differential operator of Sturm-Liouville fractional order /// News of Sciences of the Armenian SSR. Series "Mathematics", 5: 2 (1970), 71-96.
7. Aleroev T.S., Aleroeva H.T. A class of self-adjoint operators associated with differential equations of fractional order. // Math. Universities, 2014, №10, p. 3-12.
8. Hasambiev M.V., Aleroev T.S. Boundary value problem for the one-dimensional differential equation of fractional advection-diffusion. // Herald MGSU №6, 2014, p. 71-76.
9. Aleroev T. S., Aleroeva H. T. A problem on the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional-order differential operator /// Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ., № 25, 18 p. (2009).
10. T. S. Aleroev, M. Kirane, Y.-F. Tang. Boundary-value problems for differential equations of fractional order. // Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013, Volume 194, Issue 5, pp. 499-512.
11. Popov A., AM Sedleckii Distribution of zeros of the Mittag-Leffler. // Contemporary Mathematics. Fundamental direction 2011 m. 40, p. 3-171.
Исмаилова Л.Ю.1, Косиков С.В.2
'Кандидат технических наук, НИЯУ МИФИ, 2 Институт Актуального образования ЮрИнфоР-МГУ ПРИКЛАДНОЙ ПОДХОД К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ
Аннотация
В статье представлен прикладной подход к способам концептуальной визуализации, осуществляемой при помощи компьютера. Мы используем термин «концептуальная визуализация» для обозначения концептуальной информации визуально -графического представления данных в форме структурированных и неструктурированных описаний доменных объектов и их отношений с целью эргономики и удобства пользователя. Представлен анализ широкого класса электронных инструментов для обработки подобной концептуальной информации. Построена прикладная вычислительная модель основанная на лямбда-исчислении и предоставлены способы ее поддержки в виде набора специализированных комбинаторов, которые представляют и обрабатывают графически-ориентированные концептуальные данные. Прикладной характер вычислительной модели позволяет предложить метод ее выполнения с использованием инструментов прикладного характера.
Ключевые слова: доменная модель, концепт, зависимости концепта, концептуальное проектирование, концептуальный домен, теория типа, графический формат, графические объекты, построение диаграмм, вычислительная среда, концептуальная визуализация.
11
