CC BY
87
УДК 517.927
М.В. Хасамбиев, Т.С. Алероев
ФГБОУВПО «МГСУ»
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
Приведены некоторые аспекты применения дробного исчисления в исследовании массопереноса в средах с фрактальными свойствами. Решена задача для стационарного уравнения переноса вещества в режимах супердиффузии и аномальной адвекции. Доказано, что система собственных функций исследуемой задачи образует базис в L2 [0, 1].
Ключевые слова: уравнение, дробный порядок, дробная производная, функция Миттаг — Леффлера.
В связи с широким применением дробного дисперсионного уравнения в задачах фильтрации, было написано много работ для нахождения численного решения этого уравнения. Многие авторы [1—3] занимались численной аппроксимацией уравнения диффузии дробного порядка. В связи с этим следует отметить важные работы В. Псху [1], где с помощью преобразования Лапласа получено фундаментальное решение дробного дисперсионного уравнения.
Настоящая работа посвящена исследованию первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка:
^ = и (х ,); (1)
дг
и(0+,г) = и (1,г) = 0; (2)
и (х ,0) = 5(х), (3)
где £>0а+ и (х) — оператор дробного дифференцирования (в смысле Римана — Лиувилля) порядка 1 < а < 2 [1]. Такие краевые задачи возникают при описании физических процессов стохастического переноса [2], при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой фрактальной среде [3—5].
Дифференциальное уравнение диффузии дробного порядка д и (х ,0 „
-= и0+ и (х,() описывает эволюцию некоторой физической системы с
потерями, причем показатель а дробной производной £>0а+ и (х) указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции.
Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной памятью», занимающие промежуточное положение между системами, обладающими «полной памятью», с одной стороны, и Марковскими системами — с другой.
В данной работе впервые рассмотрены разностные методы для решения задачи Штурма — Лиувилля для уравнений дробного порядка.
ВЕСТНИК 6/2014
6/2014
Итак, рассматривается краевая задача (1)—(3). Имеют место следующие условия.
да
Теорема. Функция u(x,t) = ^5пехр{Х/}ха ^адД^^'1) является решением
и=1
да (х ха)к
задачи (1)—(3). Здесь Еаа(хпха) = ^ —^—-— — известная функция
к=о Г(а + ак)
Миттаг — Леффлера [5], а 5я — соответствующие коэффициенты Фурье [6].
Доказательство. Используя метод разделения переменных, будем искать решение вышеупомянутой задачи в виде н(х,0 = р(0ю(х). Тогда функция ю(х) является решением задачи
' £>0а+ю (х) = Хю; (4)
< ю(0+) = 0; (5)
ю(1) = 0. (5а)
Известно [2], что число X является собственным значением задачи (4), (5), (5 а) тогда и только тогда, когда X является нулем функции Е (1) и соответствующие собственные функции имеют вид юя(х) = ха-1Еаа(Хяха). Известно, что все нули функции Еаа(Х) можно ранжировать следующим образом:
..., Х-3, Х-2, Х-1, Х1, Х2, Х3, ...
Покажем, что функции (ю„ (х)}и°=1 образуют базис в Ь2 [0,1].
Известно [7], что для того, чтобы система (ю„ (")}+"1 образовала базис в гильбертовом пространстве Н, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям:
10) (ю„ (")}+" 1 полна в Н;
0) (х)}+®
30) существует константа М > 0, что для всех х е Н
20) (ю„ (х)} ж 1 минимальна;
N
х) V
г = 1
< М\\х\\
для всех N е N где {у.} — система, биортогональная к системе (ю„ (х)}+ж .
1 П = 1
В [6] показано, что система собственных функций задачи (4), (5), (5а) удовлетворяет условиям 10, 20. Покажем, что система собственных функций задачи (4), (5), (5а) удовлетворяет и условию 30.
Для уравнения (4), вместо задачи (5), (5а) рассмотрим более общую задачу: ю(0)cosa = ю'(0^та = 0; (6)
ю(1)^Р = ю'(1)вшр = 0. (7)
При а = 0, в = 0 из краевых условий (6), (7) мы и получим краевые условия для задачи (5), (5а).
Если ю = ю(х, X) есть решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям
ю(0) = sina; (8)
ю'(0) = -cosa, (9)
то функция ю = ю(х, X), очевидно, удовлетворяет и граничному условию (6).
x
Известно [2], что D0I+ ro(t) =-1-Jro"(í)(* -1) adt. Учитывая это равен-
о
ство, уравнение (4) можно записать в следующем виде:
x
L"ш- о adt =-к®. (10)
Г(1 -a) J
о
Далее разобьем отрезок [0,1] на n равных частей. Тогда х.=ih (i = 0, 1, 2, ..., n), где h = 1/n — шаг равномерной сетки an = {xk}. Через юк обозначим значение ю(хк) непрерывной функции ю(х) в узле xk сетки on. Функцию целочисленного аргумента ®k(k = 0, 1, 2, ...) можно рассматривать как сеточную функцию.
S™ = к1 a — степенная сеточная функция.
Первую и вторую производные функции заменим их разностными отношениями [9]:
к h h
2 (к = 0,1,2,... ,n-1)
rV Ю* = Ю*+1 ~ 2®ь + <ак-1
V>k —г — •
к h h
(ii)
Для ю0 из начального условия (8) получим
ю0 = sina. (12)
юч определим с помощью начального условия (9):
юч = sina + hcosа. (13)
Заменив в уравнении (10) вторую производную выражением (11), получим уравнения в конечных разностях:
x,.
1_ у Г t)adt=x
Г(1 -a) J h_
®k -1 ..........
k = 1 x.
к2 Г(2-а) V '
h
-1-а
Г(2 -а)
^ Д^! AS-, = A.®*-i • (i = 1, 2, ..., n) (14)
k = 1
h~l~a ASa
Положив-= aik, систему уравнений (14) запишем в виде
Г(2 - а)
i
^ А2 щ_ха1к = (i = 1, 2, ..., n). (15)
к = 1
ВЕСТНИК
6/2014
Присоединим к задаче (15), (12), (13) граничное условие
ю„ _! cosp + ^—sinp = 0,
03 - ю
h
(16)
которое получается из граничного условия (7) в результате замены производной разностным отношением. Полученная задача в конечных разностях, очевидно, представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения в п-мерном векторном пространстве. Из граничных условий (12), (13), (16) следует, что:
ю_! = ю „(1 + И^а); (17)
Подставив эти значения в систему уравнений (15), мы получим систему п однородных уравнений с п неизвестными ш0, ш ..., ш Матрица этой системы является нижней почти треугольной или матрицей Хессенберга п-го порядка [8], которая отличается от треугольной наличием еще одной побочной диагонали.
Покажем, что собственные значения этой матрицы просты. Предположим, что Х — кратное собственное значение. Тогда ему должны соответствовать, по крайней мере, два различных собственных вектора ш = (ш0, ш1, ..., шп-1) и г = (г0, г1, ..., гп-1) Можно считать, что ш0 Ф 0, г0 Ф 0 (если, например, ш0 = 0, то согласно (17) = 0, и поэтому из уравнения (15) получаем шк = 0 для всех
Кроме того, так как уравнение (15) однородно, то, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что ш0 = г0. Но тогда из (17) получаем шч = г-1 и, значит, из уравнений (15) следует, что шк = гк для всех к = 0, 1, 2, ..., п - 1.
Теперь, так как соответствующая матрица имеет простую структуру, то точно так же как и в [9], можно показать, что система собственных функций задачи (4), (6), (7) образует базис в Ь2 [0,1].
Таким образом, в данной работе полностью решена задача для стационарного уравнения переноса вещества в условиях супер диффузии и аномальной адвекции, а полученные результаты могут быть использованы в теории фильтрации жидкости и газов в средах с фрактальной структурой.
1. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. : Наука, 2005. 200 с.
2. Saigo M., KilbasA.A. Some classes of differential equation of mathematical models of non-local physical processes. Fukuoka University Science Reports, 1999. Vol. 29. No. 1. Pp. 31—45.
3. MalamudM.M., OridorogaL.L. On some questions of the spectral theory of ordinary differential fractional-order equations // Dopov. natsional'naya akademiya nauk Ukrainy. 1998. No. 9. Pp. 39—47; J. of Math. Sci. 2011. Vol. 174. No. 4.
4. MandelbrotB.B. Fractal Geometry of Nature. N.Y. : Freman, 1983. 497 p.
5. Самко С.Г., Килбасс А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987. 688 c.
6. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003.
®и =юи-1 (1 -hctgР)-
П
(18)
к = 0, 1, 2, ..., n - 1).
Библиографический список
272 с.
7. Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложение : сб. науч. тр. Киев, 1996. С. 42—43.
8. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М. : Наука, 2006. 174 с.
9. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. № 1. C. 9—14.
Поступила в редакцию в мае 2014 г.
Об авторах: Хасамбиев Мохаммад Вахаевич — аспирант кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, hasambiev@mail.ru;
Алероев Темирхан Султанович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 361-09-63, aleroev@mail.ru.
Для цитирования: Хасамбиев М.В., Алероев Т. С. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ 2014. № 6. С. 71—76.
M.V. Khasambiev, T.S. Aleroev
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE-DIMENSIONAL FRACTIONAL DIFFERENTIAL ADVECTION-DISPERSION EQUATION
An equation commonly used to describe solute transport in aquifers has attracted more attention in recent years. After a formal study of some aspects of the advection-diffusion equation, basically from the mathematical point of view with the solution of a differential equation with fractional derivative, the main interest to this problem shifted onto physical aspects of the dynamical system, such as the total energy and the dynamical response. In this regard it should be pointed out that the interaction with environment is expressed in terms of stochastic arrow of time. This allows one also to reach a progress in one more issue. Formerly the equation of advection-diffusion was not obtained from any physical principles. However, mainly the success concerns linear fractional systems. In fact, there are many cases in which linear treatments are not sufficient. The more general systems described by nonlinear fractional differential equations have not been studied enough. The ordinary calculus brings out clearly that essentially new phenomena occur in nonlinear systems, which generally cannot occur in linear systems.
Due to vast range of application of the fractional advection-dispersion equation, a lot of work has been done to find numerical solution and fundamental solution of this equation.
The research on the analytical solution of initial-boundary problem for space-fractional advection-dispersion equation is relatively new and is still at an early stage of development. In this paper, we will take use of the method of variable separation to solve space-fractional advection-dispersion equation with initial boundary data.
Key words: equation, fractional order, fractional derivative, the Mittag — Leffler function.
References
1. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Equations of Partial Derivative of Fractional Order]. Moscow, Nauka Publ., 2005, 200 p.
ВЕСТНИК 6/2014
6/2014
2. Saigo M., Kilbas A.A. Some Classes of Differential Equation of Mathematical Models of Non-local Physical Processes. Fukuoka University Science Reports. 1999, vol. 29, no. 1, pp. 31—45.
3. Malamud M.M., Oridoroga L.L. On Some Questions of the Spectral Theory of Ordinary Differential Fractional-order Equations. Dopov. Natsional'naya Akademiya Nauk Ukrainy. 1998, no. 9, pp. 39—47. J. of Math. Sci. 2011, vol. 174, no. 4.
4. Mandelbrot B.B. Fractal Geometry of Nature. N.Y., Freman, 1983, 497 p.
5. Samko S.G., Kilbass A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of their Applications]. Minsk, Nauka i Tekhnika Publ., 1987, 688 p.
6. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fraction Count and its Application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 272 p.
7. Bechelova A.R. O skhodimosti raznostnykh skhem dlya uravneniya diffuzii drobno-go poryadka [On the Convergence of Difference Schemes for Diffusion of Fraction Order Management]. Nelineynye kraevye zadachi matematicheskoy fiziki i ikh prilozhenie: sbornik nauchnykh trudov [Nonlinear Boundary Problems of Mathematical Physics and their Application: Collection of Scientific Papers]. Kiev, 1996, pp. 42—43.
8. Nakhusheva V.A. Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov [Differential Equations of Mathematical Models of Nonlocal Models]. Moscow, Nauka Publ., 2006, 174 p.
9. Aleroev T.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Boundary Problems for Differential Equations of Fraction Order]. Doklady Adygskoy (Cher-kesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences]. 2013, no. 1, pp. 9—14.
About the authors: Khasambiev Mokhammad Vakhaevich — post-graduate student, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; hasambiev@mail.ru;
Aleroev Temirkhan Sultanovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; aleroev@mail. ru; +7 (495) 361-09-63.
For citation: Khasambiev M.V., Aleroev T.S. Kraevaya zadacha dlya odnomernogo drobnogo differentsial'nogo uravneniya advektsii-diffuzii [Boundary Value Problem for One-Dimensional Differential Advection-Dispersion Equation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 71—76.
