CC BY
63
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2014
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 517.927
Л.М. Исаева, Т.С. Алероев
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА
ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
Показаны свойства решения краевой задачи для одномерного уравнения адвекции-диффузии дробного порядка. Доказано, что решение краевой задачи для дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии с естественными краевыми условиями на бесконечности обращается в ноль.
Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, функция Миттаг — Леффлера.
В последнее время проявляется повышенный научный интерес к теории массопереноса во фрактальных средах [1—8]. Это вызвано тем, что в таких средах процесс массопереноса может протекать более интенсивно или наоборот менее интенсивно по сравнению со средами, не обладающими фрактальными или однородными свойствами. Интенсификация процесса массопереноса зависит от фрактальных характеристик среды. Эти характеристики определяют всю сложность и неоднородность структуры среды. Например, если среда пористая, то фрактальность или неоднородность такой среды будет означать сложную топологию пор (изрезан-ность, изломанность и т.д.). Во фрак-
L.M. Isaeva, T.S. Aleroev
QUALITATIVE PROPERTIES OF ONE-DIMENSIONAL FRACTIONAL DIFFERENTIAL ADVECTION-DIFFUSION EQUATION
An equation commonly used to describe solute transport in aquifers is called an advection-dispersion equation. It has been observed that in case of diffusion processes, where the diffusion takes place in a nonhomogeneous medium, the traditional Fick's law is not satisfied and the classical advection-diffusion may not be adequate without detailed, decimeter-scale, information of the connectivity of high and low hydraulic conductivity sediments. The fractional advection-dispersion equation is presented as a useful approach for the description of transport dynamics in complex systems, which are governed by anomalous diffusion and non-exponential relaxation patterns. Fractional advection-disper-sion equations are nonlocal, they describe transport affected by hydraulic conditions at a distance. Space-fractional advection-dispersion arise when velocity variations are heavy tailed and describe particle motion that accounts for variation in the flow field over the entire system. Time-fractional advection-dispersion equations arise as a result of power law particle residence time distributions and describe particle motion with memory in time.
Due to vast range of applications of the fractional advection-dispersion equation, we have done a lot to find numerical solution and fundamental solution for this equation. Some authors have discussed the numerical approximation for the fractional advection-dispersion equation.
The research on the analytical solution of boundary value problem for space-fractional advection-dispersion equation is relatively new and still at an early stage of development.
Key words: fractional equation, fractional derivative, the Mittag-Leffler function.
тальных средах механизмы массопе-реноса называют аномальными.
Известно [1], что базовым уравнением в математическом моделировании массопереноса в средах, имеющих фрактальную структуру, является уравнение (1). Например, фрактальные модели переноса влаги в водоносных системах. Как правило, механизмом переноса в этих моделях является аномальная диффузия, которая может приводить к увеличению стока вещества в атмосферу в случае супердиффузии или его уменьшению в случае субдиффузии.
Развитие дробного исчисления способствовало разработке фрактальной теории переноса, что привело к созданию нового математического аппарата для описания диффузионных процессов. С его использованием в данной работе изучается первая краевая задача для уравнения (1).
Отметим процесс переноса вещества в однородной пористой среде без фрактальных свойств описывается уравнением обычной диффузии и адвекции
Recently, there is an increased scientific interest in the mass transfer theory in fractal environments [1—8]. It is because mass transfer process in such environments can proceed more or less intensively in comparison with the mediums without fractal or homogenous properties. Mass transfer process intensification depends on fractal characteristics of the medium. These characteristics define all the complexity and heterogeneity of medium structure. For example, if medium is porous, then its fractality or heterogeneity of such environment means difficult pores topology (fracturality, irregularity, etc.). In fractal mediums, mass transfer mechanisms are called abnormal.
The development of fractional calculus contributed to the development of the fractal theory of migration, which led to the creation of a new mathematical tool for the description of diffusion processes. With its use in the presented work, we study the first boundary value problem for the equation (1). Notably, mass-transfer process in a homogeneous porous medium without fractal properties is described by usual diffusion and advection equation.
д u (x, t) д t
82u (x, t) 8u (x, t) + v-
где V — скорость адвекции в порах. В случае, когда в уравнении (1) а = 2 наши результаты согласуются с результатами, изложенными в [9].
Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального уравнения дробного порядка:
dx dx
where v — is the speed of advection in the pores. When in equation (1) a = 2 our results are consistent with the results presented in [9].
Let's consider the following boundary problem for the differential fractional equations:
д u ( x, t)
dt
= Da0+ u (x, t);
u (0+, t) = u (1, t) = 0; u (x, 0) = 8(x),
(1)
(2) (3)
где D0a+ u (x, t) — оператор дробного дифференцирования (в смыс-
where D0+ u (x, t) is an operator of fractional differentiation (Riemann — Liou-
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2014
ле Римана — Лиувилля) порядка 1 < а < 2 ville) of order 1 < а < 2 [7, 10]. [7, 10]. There is
Имеет место A theorem. The solution
Теорема. Решение u(x,t) задачи (1)+(2)+(3) u(x,t) of the task (1)+(2)+(3) sat-
удовлетворяет следующим условиям: isfies the following conditions:
а) lim u (x, t) = 0;
б) lim ut (x, t) = 0.
t ^да
Доказательство. а) Так как The proof. a) as
да
u(x,t) t „ exp{X)xa-1 Ea,a(\ xa),
n=l
где Ea (XX) = " } — where Ea(Xnxa) = is a
a М n ' to Г (a + ak) a M n ' to Г (a + ak)
известная функция Миттаг — Леффлера, famous Mittag — Leffler function, then то
сю
\u (x, t) <X|8 „I exp{V}xEa,a ((nx "))
n=l
I. Пусть 0 < x < 1
CO
\u(X}}\ Is"I exp{Xj}- t I a ^ |S„Iexp{Xj}. „=1 1 + \X„\X
I. Let 0 < x < 1
-a-1
(4)
(5)
Если ~O(na) и arg(^) > If ~O(na) and arg(^) >
то для достаточно большого n then for a very big n
| exp{„t}\= exp{i|(cos(arg(A,„)) + zsin(arg(А,я)))
= exp{{t| (cos(arg(A,„)))} = expj |A.„t|[ cos an
= exp^O | nаtcosf
Так как
As
tx,t) = £бА expRtKXAx'1),
(6)
то для достаточно большого t
/(x, t )) о
i
о (t)
V e K e ' у
then for a big t
1 w 1
1 0
eo(t) ^ о(„. e n=1
(t ^ да).
II. Пусть х > 1, тогда II. Let х > 1, then
S„ exp{X„t}xaEa,a (X„xa)| = |S„|exp{X^ 1 ^ <
< |S I exp{A,nt} —< |S I exp{A,nt} (x ^ +», n ^ +»).
Kl*
Проводя вышеуказанное дока- Proving the above said, we
зательство, мы можем получить, что can obtain that for any x > 1,
для всякого x > 1, lim u(x, t) = 0. lim u(x, t) = 0.
б) lim ut (x, t) = 0. (7)
t
Так как As
сю
utX,t) = £5A exp{VKXA*a)- (8)
n=1
Пусть для достаточно большого t Let for a very big t
bn Xn exp{VKXa (Xnxa) < |S„| ехрадЬ^. (9)
n|x
I. Пусть 0 < x < 1 при I. Let 0 < x < 1 at
O (n2at) O (n2at)
lim —v ' = 0, то lim —v ' = 0, then
n^w O (n ) n^w O (n )
e e
O (na) x-i O (na) (IX
u) X, t) < Si Д {, , < } { < Ol —4
t\ ~ / w i «t \ \ 1 . U a ^ / \ a t
O ( ))l + K|xa O (n2at ) v n-n-. Так как ^O | —0- ] сходится, то из If ^O | -1- | converges, then from
n ! v n
вышеуказанного неравенства следует the given inequality it follows, that lim ut (x, t) = 0. lim ut (x, t) = 0.
t ^да
II. Пусть х > 1, тогда II. Let х > 1, then
O (na ) j-i O (na ) Г 1 1 л
ut x, t < isi—A; x < } > < o| —4
t ' / I «I / at\ \ i . 1л I a ^t 2a t\ I a i
O())1 + 1 O(n2at) Vn-n j
Таким образом, в данной работе Thus, the given work proves that
доказано, что решение краевой за- the solution of boundary value problem
дачи для дробного дифференциаль- for fractional differential advection-dif-
ного уравнения адвекции-диффузии fusion equation of ut (x, t) = D0+ u(x, t),
ut(x,t) = D0+ u(x,t), сзаданными крае- with the given boundary conditions
выми условиями u(0+, t) = u(l, t ) = 0, u(0+, t ) = u(l, t) = 0, u( x, 0) = 5( x),
u(x,0) = 5(x), удовлетворяет усло- satisfy the conditions lim u(x, t) = 0,
виям lim u(x, t) = 0, lim ut (x, t) = 0. lim ut (x, t) = 0.
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2014
Полученные результаты можно использовать при моделировании изменения температуры в нагретом стержне, а также в теории фильтрации жидкости и газа.
Библиографический список
1. Benson D.A., Wheatcraft S.W., Meerschaert M.M. Application of a fractional advection-dispersion equation // Water Resources Research. 2000. Vol. 36. No. 6. Pp. 1403—1412.
2. MalamudM.M., Oridoroga L.L. On some questions of the spectral theory of ordinary differential equations of fractional order // Доп. НАН Украни. 1998. № 9. С. 39—47.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003. 272 с.
4. Бечилова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложение : сб. науч. тр. Киев : 1996. С. 42—43.
5. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М. : Наука, 2006. 174 с.
6. Хасамбиев М.В. Об одной краевой задаче для многомерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы современного анализа : матер. XI Школы молодых ученых. Терскол, 2013. С. 79—85.
7. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик : Издательство КБНЦ РАН, 2005. 186 с.
8. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1983. 616 с.
9. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. № 1. С. 9—14.
The obtained results can be used to simulate the temperature changes in the hot rod, as well as in liquid and gas filter theory.
References
1. Benson D.A., Wheatcraft S.W., Meerschaert M.M. Application of a Fractional Advection-Dispersion Equation. Water Resources Research. 2000, vol. 36, no. 6, pp. 1403—1412. DOI: http://dx.doi.org/10.1029/2000WR900031.
2. Malamud M.M., Oridoroga L.L. On Some Questions of the Spectral Theory of Ordinary Differential Equations of Fractional Order. Dopov. NAN Ukr. 1998. No. 9. Pp. 39—47.
3. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional Calculation and its Application]. Moscow, 2003, 272 p.
4. Bechilova A.R. O skhodimosti raznost-nykh skhem dlya uravneniya diffuzii drob-nogo poryadka [On the Convergence of Difference Schemes for Fractional Diffusion Equation of Order]. Nelineynye kraevye za-dachi matematicheskoy fiziki i ikh prilozhe-nie [Nonlinear Boundary Value Problems of Mathematical Physics and Their Application]. Kiev, 1996, pp. 42—43.
5. Nakhusheva V.A. Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov [Differential Equations of Mathematical Models of Non-Local Processes]. Moscow, 2006, 174 p.
6. Khasambiev M.V. Ob odnoy krae-voy zadache dlya mnogomernogo drobnogo differentsial'nogo uravneniya advektsii-diffuzii [A Boundary Value Problem for a Multidimensional Fractional Differential Advection-Diffusion Equation]. Nelokal'nye kraevye zadachi i rodst-vennye problemy sovremennogo analiza [Nonlocal Boundary Value Problems and Relevant Problems of Modern Analysis]. Terskol, 2013, pp. 79—85.
7. Pskhu A.V. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy s chastnymi proiz-vodnymi drobnogo i kontinual'nogo poryadka [Boundary Value Problems for Differential Equations with Fractional and Continuous Derivatives]. Nalchik, 2005, 186 p.
8. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnykh skhem [The Theory of Difference Schemes]. Moscow. Nauka Publ., 1983, 616 p.
10. ПсхуА.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. : Наука, 2005. 200 с.
Поступила в редакцию в апреле 2014 г.
Об авторах: Исаева Лейла Магаметовна — аспирант кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Алероев Темирхан Султано-вич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 361-09-63, [email protected].
Для цитирования: Исаева Л.М., Алероев Т.С. Качественные свойства одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ 2014. № 7. С. 28—33.
9. Aleroev T.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo pory-adka [Boundary Value Problems for Differential Fraction Equations]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences]. 2013, no. 1, pp. 9—14.
10. Pshu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Equations of Quotient Fractional Derived Numbers]. Moscow. Nauka Publ., 2005. 200 p.
About the authors: Isaeva Leyla Maga-metovna — postgraduate student, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, [email protected];
Aleroev Temirkhan Sultanovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, [email protected].
For citation: Isaeva L.M., Aleroev T.S. Kachestvennye svoystva odnomernogo drobno-go differentsial'nogo uravneniya advektsii-dif-fuzii [Qualitative Properties of One-Dimensional Fraction Differential Advection-Diffusion Equation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 7, pp. 28—33.
