Об одной дифференциальной игре трех лиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.833:517.997.8

© М. И. Высокое

[email protected]

ОБ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ ТРЕХ ЛИЦ1

Ключевые слова: бескоалиционная игра, ситуация равновесия

Abstract. Sufficient existence conditions of modification of the Nash equilibrium for non-cooperation three-person differential game are established. The peculiarity of the game is that in the course of the game objective change of one of the players take place.

1. Постановка задачи

Дифференциальная бескоалиционная игра трех лиц определяется упорядоченным набором

<{1,2,3}, S, {ViЫ,2,з, {МU, to, X}*=1,2,з>• (1-1)

Здесь {1,2,3} — множество порядковых номеров игроков; S обозначает управляемую динамическую систему, изменение текущего состояния x(t) которой описывается векторным обыкновенным дифференциальным уравнением

X = /(t,x,u), x(to) = Xq. (1.2)

В (1.2) фазовый вектор x € Rn (Rn — n-мерное евклидово пространство); время t € [to ,$], где постоянные $> to ^ О, причем момент § окончания игры фиксирован; вектор и = (u,u,u), где Ui € Rni — вектор управляющих воздействий игрока

1 Работа поддержана грантом РФФИ.

г € {1 ,2,3}. Предполагаем, что компоненты вектор-функции /(•) непрерывны на [О, Щ х М5, в = п + ^*=1 пг, непрерывно дифференцируемы по ж и при каждом Ь € [0, Щ существует постоянная 7 > 0 такая, что

з

у/ь,ж,и ц < ^ + ||ж^| + ^2 |н|)

г=1

равномерно по Ь; здесь и далее || ■ || означает евклидову норму; пара (Ь, х) € [О, Щ х Мп называется позицией игры, (1.1), тогда (Ьо,х(Ьо)) = ^о,хо) — начальная позиция.

Стратегию иг для г-го игрока (г = 1,2, 3) будем отождествлять (^) с вектор-функцией вида

«г( ъ,х) = Qi( Ь)х + дг( Ь),

где элементы пг х п-матрицы Qi(Ь) и компоненты п* -вектора 9г(Ь) будем ограничивать кусочно-непрерывными (по Ь € [0, Щ)

функциями, обладающими конечным числом точек разрыва Ьх < Ьг < ... < Ьк, (причем Ь\ > Ьо и Ьк < Щ), где допускаются разрывы только первого рода и в каждой точке разрыва Ь € {Ь\,... ,Ьк} эти функции непрерывны справа (это означает, что для всякой последовательности {^г }^, сходящейся к Ь справа, эти функции д(Ь) (элементы матрицы Qi(Ь) или компоненты вектора 5г(Ь)) удовлетворяют равенству

Ит д(£(г)) = д(Ьг).

г ^г1+0

Данный факт далее обозначим Qi(•) € С^Х^О, Щ, дг(•) € сПк [О, Щ ; множество стратегий г-го игрока тогда примет вид

и* = |иг ^ иг{Ь, х)\щ(Ь, х) = Qi{Ь)х + д*(Ь)

V Qi(0 € С^О,Щ, д*(.)€ С(^0,Щ]}.

г'Развитиеб игры (1.1) с возрастанием времени Ь (от Ьо до Щ ) происходит следующим образом. Игроки независимо друг от друга (в этом заключается бескоалиционный ^характер© игры) выбирают каждый свою конкретную стратегию и* €иг, и*Ь,х) (г = 1, 2, 3). Этот выбор сводится к выбору конкретной кусочнонепрерывной матрицы Qi(•) € сПкХп[0, Щ и вектора дг(•) € сПк[0,Щ. В результате образуется ситуация игры (1.1):

з

и = (иъи2,и3) €и = Пиг,

г

и ^ (щ(Ь, х),и2{Ь, х),щ(Ь, х)) = и(Ь, х).

Затем строится решение х(Ь), Ь € ^о,Щ, системы

х = /(Ь,х,и(Ь,х)), х(Ьо) = хо. (1.3)

В силу ограничений на /(•) и та вид множе ств Л г (г = 1,2,3) система (1.3) допускает при любых (Ьо,хо) € [0,Щ) х Мп единственное, непрерывное решение х{Ь), продолжимое на весь интервал игры [Ьо, Щ. По этому решению х{Ь) строятся реализации выбранных игроками стратегий

иг И = щ{ Ь, х{Ь)) = Qi{ Ь)х{Ь) + дг( Ь) (г = 1,2,3),

далее также используем вектор иЩ = Заме-

тим, что в силу приведенных ограничений компоненты вектор-функции иЩ будут кусочно-непрерывными на [Ьо,Щ с конечным числом разрывов первого рода.

На полученных парах (х(Ь),иЩ\Ь € [Ьо,Щ) определена функ-г

■1г(и,Ьо,х$) = Фг(/ ^(Ь,х(Ь),иЩ)М (г = 1,2,3). (1.4)

Л0

гх

дифференцируема, а интегральная часть Рг{Ь,х,и) непрерывна. Значение функционала .1г{и, Ьо, хо) при конкретной ситуации

и € г

Цель игроков в игре (1.1) — выбор таких своих стратегий, при которых выигрыши игроков принимают возможно большие значения.

Подчеркнем одну особенность игры (1.1). Будем считать, что ^правилами игрыб задан момент времени € (Ьо, Щ такой, что до момента времени второй игрок не только стремится увеличить свой выигрыш, но и помочь первому в увеличении его выигрыша и одновременно помешать третьему в достижении его цели. А начиная с момента времени второй игрок г'мешаетб первому и г'помогаетб третьему. Такая смена г'симпатийб и г'ан-типатийб возникает в задачах экономической динамики и может быть вызвана перспективой объединения в коалицию, личными симпатиями, текущими изменениями внешней экономической среды, появлением новых прогрессивных технологий.

Итак, далее считаем, что априори задан момент времени € (Ьо, Щ, ДО которого (при Ь € [Ьо,Ьг)) игрок 2 помогает первому и препятствует третьему, а при Ь € [ЬьЩ второй, наоборот, препятствует первому и помогает третьему игрокам в осуществлении их целей.

Прежде чем перейти к определению решения игры (1.1) в указанных условиях, проведем преобразование функций выигрыша

гх

(1„

= Фг(х(Щ) - Фг(х0) + Фг(х(Ь0)),

где x(^) — упомянутое выше решение системы (1.2), а — градиент функции Фг(х), штрих сверху означает операцию транспонирования. Получаем из (1.5) и (1.4)

/*0

и,Ьо,х0) =

йФ

йх

/(Ь, х{Ь), пЩ) + ^ (Ь, х{Ь), пЩ) }> йЬ

х(Ь)

рФ

+Ф*(х0) = / ^ (г,х(г),пЩ) йг, л0

здесь

^(г,ж,«) = [-^т]7^,х,и) + ^(£,ж,«) + ■ (1.6)

Далее, во-первых, будем считать, что функция выигрыша г-го игрока имеет интегральный вид

р Ф

и,г0,х0)= / ¥1(г,х{г),пЩ)(И (г = 1,2,3), Л0

где скалярная функция ^(Ь,х,п) определена в(1.6). Кроме того, представим функцию выигрыша г-го игрока в виде суммы

и,г0,х0) = / (и,г0,х0) + 4 ■'(и,г0,х0),

здесь

,1^]{и,и,х0)= [ ^(г,х{г),иЩ)(И,

Л0

г Ф

/р{и,г0,хй)= / ^(г,х{г),пЩ)йг, (г = 1,2,3).

7*1

(1.7)

/о\

Причем при построении функционалов '(•) будем считать,

что начальное значение х{г\) решения х{Ь) системы (1.2) (при Ь € [Ь\, $]) совпадает с правым концом решения х{Ь) этой же системы при Ь € [Ьо,^] (напомним, что решение х{Ь) системы (1.2) порождено выбранными игроками стратегиями, образующими ситуацию и = (и, и, Щ) ^ п(Ь,х^ = {п1(1,х),п2{1,х),щ(1,х)).

Во-вторых, при формализации решения игры (1.1) будем также использовать сужения множества стратегий г-го игрока иг на [£0,^1) и на [Д ,$], которые обозначим и^ и соответ-

ственно (г = 1, 2, 3). Итак, применяем далее множества

и« = {и[1) - (г, X ^ (г, Х) = яУ (г)х + д^] (г)

V (•) е с(п%п[о,г1\, (•) е с£>[о,гх]},

иГ = {и12) - иГ (г,х) |иГ (г,Х) = Я(р {г)х + дТ] (г)

V <№ (•) е С^М, д^ (0 е сПк [ги0\},

(1.8)

и(1) = П и^}, и(2) = Л и(2).

Г(1)

г ,

г=1 г=г

Тогда любая пара стратегий {и^, и®) такова, что иг =

(и^ ,и^) е и г (г = 1,2). Подчеркнем, что стратегии и^

<2\

определены лишь при г е [0,£].), а иг — при г е [г\,Щ.

В-третьих, будем считать, что стратегии иг — иг(г,х) таг иг г, Х

(г = 1, 2, 3) могут происходить лишь в одной точке г\ — момента переключения интересов второго игрока; фактически это означает, что элементы матриц Яг( г) и компоненты дг{ г) всюду на [0, $] предполагаются непрерывными за исключением, может

г,

2. Формализация равновесного решения

Предлагаемое здесь определение находится на стыке понятий равновестности по Нэшу (из теории бескоалиционных игр [1]) и векторных оптимумов (из теории многокритериальных задач [2]).

При формализации решения игры (1.1) будем исходить из трех обстоятельств.

Во-первых, игра разбивается на два периода, первый продолжается от начального момента £о до г^ второй — от г\ до момента окончания игры §. На обоих периодах каждый из трех

игроков за счет выбора своей стратегии стремится к возможно большему своему выигрышу к концу периода. Кроме того, г'пра-вилами игрыС априори требуется учитывать, чтобы на первом периоде второй игрок г'помогалС первому и г'мешалб третьему, а на втором периоде наоборот — первому препятствовал в достижении его цели, а третьему помогал.

Во-вторых, оба периода г'связапыб указанным выше одним и тем же решением х{г), г е [го,$], системы (1.2), причем пра-Хг

начальную позицию (г1,х(г1)) во втором.

(р)

г иг е

(р=!,2) стратегия

и = \и^ приг е [г0,гl), г \и® приге [гг,Щ

должна удовлетворять включению иг еи г (г = 1, 2, 3).

В следующем определении будем использовать вектор 3 = (/, /, /) е М3 и обозначения(1.6)-(1.8).

Определение 2.1. Ситуацию и * е и назовем

г

выборе начальной позиции (го,Хо) е [0,г\) х Мп

1) выполнены четыре равенства

тах /^{и^ ,и*,Щ,г$,Хо) = (и* ,г0,х0),

и'1 'еи'1»

тах и*, и*,г\,^г^ = ^\и*,г\,х(г1)),

и'2 'еи'2»

тах 4\и* ,и*,и1),г0,х0) = /1)(и *,г0,х0), и ^и'1» тах ^}(и* ,и* ,и^,гг,хг^ = $\и *,г1,х(г1));

тЛ2>

(2.1)

2) на первом периоде [to, ti] при каждом U € U2 несовместна система неравенств

^(U*,U^,U*,tо,хо) > ^(U*,t0,^), J^{U(,Up,Ulto,xo) > J1}(U*,to,xo), (2.2)

^{U*,U^),U*,tQ,xi) < J1}(U*,to,x0),

f2) (2)

на втором периоде [t\, $] несовместна при V Щ ец система

^(u*,u^,u*,h,x(h)) < ^(U*,h,Xh)),

^(u*l,uf),u*,Ь,х(Ь)) > ^(U*,tl,x(h)), (2.3)

41\Ut,U¥),Ultl,x(tl))>41)(U *,h,Xh)).

В (2.1)- (2.3) п-вектор x(t\) есть значение (при t = t\) решения x(t) системы (1.2) при щ = u*(t,x) (i = 1,2,3), где стра-

тегии U* ^ u*(t,x) (i = 1,2,3) фигурируют в определении (2.1).

Замечание 2.1. а) равенства (2.1) определяют

равновесную по Нэшу ситуацию (U*,U*) € Ui x U3 в каждой из двух бескоалиционных игр

<{1 ,3},£(U2 = U2*), {uf^ }|, {J(U^,UlU^,to,xo)}г=1,з),

<{i ,з },£(u2 = u2*), {uj2 \u<2}}, Ш U^,U*,Uf\tl,^) }=1)3)

(где x\ = x(ti)К которые получаем из (1.1), фиксируя стратегию 2-го игрока U2 ^ U* € U2, U2* ^ u*(t,x); одновременно с тем множества иьиг(1) и l, например, ( x\ = x(ti))

max ^)(^), u2*, U* fa xo)+ max Jf]{Uf\u* U*, ^ хг) = U U eUi

= 4\{u^ r,ut,u*,t0,x0) + jP((ul2) r,u*,u*,tl,xl) =

= max Ji(UbU2*,U3*,to,xo) = J(U*,U*,U*,t0,x0); (2.4)

U eUi

здесь учтено, что стратегия

и*=/ ^і(1))* прші Є [^і),

1 \(и[2))* при і Є [Ь,Щ

является элементом множества иь

Аналогично строится стратегия и| Є и3, удовлетворяющая

тах ли{, иI, и3,г0,х0) = Ли*,г0,щ).

Щ єііз

Равенства (2.3) и (2.4) означают, что пара (и|, иЗ) Є Иі х Из является ситуацией равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц

(и ,3 },£(и2 = и2*), {и і, и з}, Ш иьи2*,из,іо,хо) >,

которую получаем из (1.1), фиксируя стратегию и2 = и

Ъ) с учетом, что третье соотношение в (2.2) (первое в (2.3)) эквивалентно

Ш\и*,и£\из,іо,хо) > -4\и*,іо,х0)

(соответственно

-^)(и1*,^),и3*,^,х^) > -^}(и*,Ь,х(Ь)))

несовместность неравенств (2.2) определяет максимальную по Слейтеру (слабо эффективную) альтернативу (и2^)* в трехкритериальной динамической задаче

(ВД = Щ,иъ = из),и«, Ш(иі,и2,ЩМ,хо),

#\и{ и, иЗ,іо, хо), -ШзНи*, и2, из ,і0,х0)}),

которую получаем из (1.1), фиксируя стратегии и = и|, и| ^ и|(і,х), и = иЗ, иЗ ^ и|(і, х) и ограничивая время от іо

симальную по Слейтеру альтернативу (Щ )* в трехкритериальной задаче

(ъи = из,иг = и.|) ,и®, {-^(и1,и2,из,ь,х{ь)), ■Ыи1,и2,щм,х(ь)),.ииз,и2,щм,х(ь))}),

которую также получаем из (1.1), фиксируя и^ = иЗ, и = и|, ограничивая время от і і до §, а в качестве начальной позиции выбирая (іі,х(іі)), где х(іі) — правый конец траектории х{і), іо ^ і ^ і\, системы (1.2), порожденный ситуацией и иЗ иЗ, иЗ, иЗ . и З

иI та [і0,іі], а (и^)* —сужение и| та ^і,^.

Фактически условия 1) и 2) определения (2.1) формализуют некоторую модификацию ситуации равновесия по Нэшу (составленную с учетом перемены отношений игрока 2 к своим парті

Замечание 2.2. Используя в определении (2.1) вместо оптимума по Слейтеру другие понятия векторного оптимума (по Парето, по Борвейну, по Джоффриону или А-оптимум),

і

пых ситуаций игры (1.1).

3. Достаточные условия

і

весия игры (1.1) будем применять,

во-первых, достаточные условия оптимума по Слейтеру (из теории многокритериальных задач),

во-вторых, подходящее распространение метода динамического програмирования (из теории оптимального управления) на бескоалиционные дифференциальные трех лиц игры из [3].

Далее используем обозначения: т(р) — Лр)

П ~ '^1 ,

1^ = «1Л + «2^2 — . .

(2)

Т2 = —АЛ + в ^2 + в ^3)

4^ = ^ Ь = ^2),

где постоянные векторы а = (а1,а2,аз), в = (в,в2,в) € А, множество

А = |^ = (71, 72,7з) € М3| 7т = const ^ О

з ^ (3.2)

(ш = 1,2,3) Л ^ 7т > 0|.

т=1

Из работы [2, с.71] следует

Утверждение 3.1. а) если существуют а € А и (и^)* € такие, что

тах ^)(иГ,^),и3*,^,^ = ^)(иГ,(^) )*,и£,Ъ>,х>),

щ

то стратегия (и^)* является максимальной по Слейтеру в трехкритериальной динамической задаче

(е(щ = иг щ = и|) ,и^, {^)(иг,^),и3*,^,^0), 4\иг,и^,иг,и,щ), -4\иг,^),иг,^,^)}),

.

и€

/оч /2ч

Ь) если существуют в € А и (Щ )* € такие, что

тах (иГи^^ГМХи)) = ^{ЩЛи^У^Г^МЬ)),

гД2'сТТ^

и € .

1^ (р = 1,2), определенные в (3.2) и (3.1) соответственно. Рассмотрим теперь две вспомогательные игры трех лиц:

(и,2,3}, £, {и<1}}г=1,2,з, [1^(и, 1о, х0)}г=1,2,з), (3.3)

(и , 2, 3 }, Е, }г=1,2,3, иР (и, Ь,х(Ь) ) } г=1,2,‘А ). (3.4)

В этих играх Е то же, что в (1.1), определены

в (1.8) и (3.1), и игрок г выбирает свою стратегию и1Р € и^ (г = 1,2,3) с целью, чтобы в сл0жившейся в ре3уЛЬтате СИТуа„ цИИ и(р) = (и[р), и^] Щр)) его выигрыш, определяемый значением функционала (•), стад возможно большим (р = 1,2). Ситуация равновесия по Нэшу (и^)* в игре (3.3) определяется равенствами (г = 1, 2, 3)

тах 1г( (и« )*\р(1) ,1о,Хо) = 1г(( и(1) )*,к,х0), (3.5)

Щ1} еи «

а в игре (3.4) ситуация равновесия (и(2))* формализуется равенствами (г = 1, 2, 3)

тах 1г{ (и(2> )* цЩ2) М,х{11)) = 1г{ (и(2> )* М,х(Ь)). (3.6)

Щ2

Здесь применено бытующее в теории бескоалиционных игр обозначение (и *||иг) = (иг,..., иг—, иг, иГ+1,..., иГ).

Из определения (2.1) и утверждения 3.1 следует

.

(для (3.4)) найдена ситуация равновесия по Нэшу (и^)* (соответственно (и(2))*),то ^-равновесная ситуация игры .

иг _ {иг иг и*ч _ / иа]* при * € [to,tl), ^ „ при * € [кЛ

здесь (!7<р>*) = аи>’’>•)ли?’)ли'„р’)) (р=1,2)

(р) *

г(р) *

и&) * =

и-1 ^ при г е

и(2при г е (г = 1,2,3).

Итак, задача построения ситуации ^-равновесия игры (1.1) свелась к построению ситуации равновесия по Нэшу (и^)* и (^) )*

для игр (3.3) и (3.4) соответственно. Для нахождения (и^1))*, (и®)* воспользуемся соответствующим вариантом динамического программирования из [3].

Введем функции:

ш(р) (г,х,п,у}р>) =

(р) >

ду}р ^ I \дУ1Р)

т дх

н , р II

дУ^ —+

дг

дх

/(г, х, п)

/(г, х, п)

+а^(г, х, п) + ^^(г, х, п) — а^(г, х, п),

(2)

дУ

(2)П

дх

/(Ь,х,п) —

—^^{г,х,п + в^2{г,х,п) + ^Щг,х,п)

и обозначим

У1)У1) У1]) = у(1) при г е ^о,^),

V =

(у/2), у2(2), у3(2)) = у(2) при г е [гъ$].

Утверждение 3.3. Пусть существуют

1) вектор-функции

п^(г,х,у) = [п^ (г,х,у),п^ (г,х,у),п^ (г,х,у)),

определенные при г е [0,^], а также

(!)/

(!)/

(3.7)

п2Цг,х, V) = (п(2)(г,х, у),п^ (г,х, у),п^(г,х, V)),

- Л,(2)

(2),

(2),

.7

определенные при t € [t\, $];

2) постоянные векторы а, в € А,

3) непрерывно дифференцируемые на (—5, ti + 5) х Rn скалярные функции V(t,x) (i = 1,2,3) и непрерывно дифференциру-

(2)

емые на (t\ — 5, $ + 5) скалярные функции Vг (t,x) (i = 1,2,3),

где 5 — сколь угодно малое положительное число, т,акие, что

a) при всех x € Rn

V(2)($,x)=0, Уг(1)(ti,x) = v/2){t\,x) (i = 1,2,3); (3.8)

b) для любых t € ^i, x € Rn, V € R3

max W^2\t, x, ui,u^\t, x, V),u¥\t, x, V), v/2^) =

«1

= W[2) (t,x,uW(t,x,V),v}2)),

W t, x, u t, x, V , u , u t, x, V , V

U‘2

W t, x, u t, x, V , V ,

W t, x, u t, x, V , u t, x, V , u , V

«3

= wf\t,x,v^{t,x,V),V.P)-при каждых t € [0,ti), x € Rn, V € R3

W t, x, u , u t, x, V , u t, x, V , V

«i

W t, x, u t, x, V , V ,

W t, x, u t, x, V , u , u t, x, V , V

«2

W t, x, u t, x, V , V ,

W t, x, u t, x, V , u t, x, V , u , V

= wP(t,x,u^(t,x,V),v(1]);

(3.9)

(3.10)

с) при любых Ь € [О,Ь), х € Мга

(ь, х, и^(г, х, у(ь, х)), у^(ь, х)) = о (г = 1,2, з),

а при Ь € [Ь,Щ, х € Мга

(Ь, х, и2Ць, х, у(Ь, х)), у® (Ь, х)) =0 (г = 1,2,3);

й) вектор-функции и^(Ь,х,У(Ь,х)) = (и^(Ь,х))* такие, что (Ц?}) * €\3{р, где (11^) * Н и(р &х)) * (р = 1, 2; г = 1, 2, 3). Тогда ситуация

/((Ц}4)*,^1’)*,^1’)*) "Р" г € ЫЫ,

Ц(ир^,(и^)МЦ'Т) г € [ь,4)

является Ь\ -равновесной для дифференциальной игры (1.1) при любом выборе начальной позиции (Ьо,хо) € [0,^) х Мга.

Замечание 3.1. Утверждение 3.1 позволяет сформулировать следующий способ построения -равновесной ситуации дифференциальной бескоалиционной игры (1.1).

Шаг 1. По функциям выигрыша (1.4) построить функции (1.6), функционалы (1.7) и (3.1).

Шаг 2. С помощью (3.7) выписать явный вид функций Ш[р)(Ь,х,и,у}р)) {г = 1,2,3;р = 1,2).

Шаг 3. Из (3.9) и (3.10) найти и^(Ь,х,У) (г = 1,2,3;р = 1,2).

Шаг 4. Найти решения у^ (Ь,х) системы уравнений с частными производными

Ш^р)(Ь,х,и(р (Ь, х, У), У.[р) = 0 {г = 1,2,3;р = 1,2)

с граничными условиями (3.8).

Шаг 5. Убедиться в выполнении условия с1) утверждения 3.3.

Тогда ситуация и * из (3.11) будет Ьх-равновесной в игре (1.1).

х, и , и , и

функции Ф.(х) и Р.{1,х,и\,и2,щ) линейно-квадратичны по тем же переменным, автором получены ограничения на коэффициенты, при которых существует Ьх-равновесная ситуация, а также (при выполнении этих ограничений) найден ее явный вид.

Автор благодарит профессора В. И. Жуковского за постановку задачи и замечания.

Список литературы

1. Воробьев Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.

2. Подиновский В. В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

3. Жуковский В. И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997.