Риск в бескоалиционной игре при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.833

© Л.В. Жуковская

molost v@isa. as. ru

РИСК В БЕСКОАЛИЦИОННОЙ ИГРЕ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 1

Ключевые слова: бескоалиционная игра, неопределенность, функция выигрыша, гарантированный риск.

Abstract. There were revealed limitations on elements of mathematical model the non-cooperative play where risk of each players equaled to zero.

Введение

Рассматривается бескоалиционная игра N-лиц при неопределенности

Г = <N, {Xi}ieN, YШх, у)}ieN), (0.1)

где N = {1 } — множество порядковых номеров игроков;

каждый г-й игрок (г € N) независимо от остальных выбирает и использует свою стратегию xi € Xi С R™, в результате образуется ситуация х = {x\,...,xn) € X = J^ieN Xi; независимо от их выбора в игре реализуется какая либо (любая!) неопределенность у € Y С Rm ; на множестве X х Y определена функция выигрыша г-го игрока /¿(х,у) (г € N), значение которой на конкретной паре является выигрышем этого игрока. Цель участия в игре каждого игрока — выбор такой своей стратегии, чтобы выигрыш его стал возможно большим, при этом все игроки ориентируются на возможность реализации любой неопреде-у € Y

1Работа поддержана грантом РФФИ (02-01-00612)

решения игры Г , основанное на подходящей модификации принципа Вальда (принципа максиминной полезности). Однако такой подход ориентирован на реализацию г'катастрофыб, вероятность появления которой, как правило, мала. В настоящей работе предлагается новое понятие гарантированного решения игры Г, базирующееся уже на подходящей модификации принципа минимаксного сожаления [2] .

1. Формализация гарантированного риска

Используем следующие обозначения: XY — семейство функций Xi{у), определенных на У со значениями в Xi; ситуации x = (xn\i,xi); N —вектора столбцы Фг = (Ф^, ...,Ф$) (т = 1,2); бинарные отношения

(ф(1) < ф(2)) ^ (Ф^} < Ф®, i е N);

(Ф^) < ф(2)) ^(фС1),ф(2));

XN\i = n*^N\i Xi

Далее каждой функции выигрыша /¿(X, у) поставим в соответ-

i

ФДx,y)=maxfi(xN\i,Zi,у) - fi(х,у) (i eN), (1.1)

zi

i

ющейся в игре паре (x, у) е X х У игрок i использовал свою стратегию xi, а те arg mах /¿(xn\i, zi, у) . Естественным предста-

Zi&Xi

i

свою функцию риска, причем все игроки ориентируются на возможность реализации любой неопределенности у е У , даже той, которая может максимально увеличить ( в ^векторном смысле€) функции риска всех игроков.

Далее игре Г поставим в соответствие бескоалиционную игру

N

(N, {Xi}ieN, У, {Фi(x, у)}i^), (1.2)

где Г^Х* и У те же, что и в (1), а функции выигрыша г-го игрока Ф*(ж, у) (совпадающие с его функцией риска) имеет вид (1.1) • Здесь также следует учитывать, что каждый г-й игрок стремится за счет выбора ж* € X* минимизировать свой риск Ф*(ж, у) . Следующее определение лежит па стыке понятия равновесия по Нэшу (из теории бескоалиционных игр [3]) и минимума по Слейтеру (из теории многокритериальных задач [4] ).

Определение 1.1. Пару (же,Ф *) € X х назовем гарантированным Я -решением игры Г , если существует такая неопределенность у* € У , для которой Ф* = Ф(же,у*) и

Фг(ж^тЖг, у*) ^Ф*(же, у*), Уж* € X* (г €14)

Ф(же, у*) < Ф(же,у), Уу € У.

При этом же назовем Я-гарантирующим равновесием по Нэшу, а вектор Ф(же,у*) - Я-гарантированным риском игры Г. Замечание 1.1. Ситуация же, удовлетворяющая .

лиционной игры

^, {Х*}*^, (Ф*(ж,у*)}*^)

.

тах^ /*(ж^-у) от ж* не зависит, удовлетворяет привычным в теории игр условиям

/¿(ж^ж^у*) < /Дже,у^, Уж* € X*, (г ^), (1.4)

то есть является равновесной по Нэшу ситуацией в игре

^, {Х*}*^, /ж,у*)}*^), (1.5)

у у* у*,

.,

риальной задаче

(У, (Ф*(ж6, у)}*^), которую получаем из (1.2) при фиксированном ж = ж6.

Замечание 1.3. г'Игровой смысл 6 гарантированно-Я ж* , *

ж*(г € N1 из Я-гарантирующего равновесия по Нэшу, ж6 г'обес-Я

Ф* = (Ф !(ж6 ,у*) ,...,Ф N (ж6,у*)),

больше которого риски Ф*(ж6, у) одновременно стать не могут (то есть Ф* < Ф(ж6,у)) при реализации любой неопределенности у€У

2. Теорема существования

Теорема 2.1. Предположим, что в игре Г I0) множества Х*(г € !М) — выпуклые непустые компакты, а У

2°) функции выигыша /*(ж^-\*, ж*, у) непрерывны на XхУ, строго вогнуты по ж* при фиксирован ных (ж^-\*, у) € \* х У.

Тогда гарантированное Я-решение игры Г есть пара (ж6, С^)> ж6 .

ет неравенствам (1.3) а О N есть нуль N -вектор.

Доказательство. Рассмотрим семейство бескоалиционных игр

Г(у) = ^, (ж»}*^, Шж, у)}*еМ), (2.1)

у € У

у€У

ж6 у

тах/Дж^пДу),г*,у) = /*(ж^\Ду),ж6(у),у), г ^). (2.2)

Отметим, что из строгой вогнутости /*(ж, у) по ж* следует, что для каждого у € У стратегия ж6( у) € XгY, определяемая (2.2), будет единственной.

Так как функция /*(ж, у) непрерывна на произведении компактов X х У и строго вогнута по ж*, то существует лишь одна реализация ж*(жм\*, у) максимума

тах /Д^\*^у) = Жжг*\*,ж*(^\*(У),У),У), (2-3)

при каждом (ж^-\*, у) € \* х У . Эта функция ж*(^\*, у) будет

непрерывной [5. С.54]. Из (2.3) для ж^ = ж6(у) € XJУ и ж6(у),

.

тги £(ж^\Ду^г^у) = />(ж6г\*(У),ж*(ж6г\*(У),У),У), (2-4)

у € У .

.

А(ж6г\ЛУ),ж6(У^У) = УДж6г\ЛУ),Ж^ЖN\ЛУ),У),У),УУ € У. (2-5)

Наконец, с учетом вида функции риска (1.1), из (2.3) — (2.5) находим, что

<Мж6(у),у)=0, Уу € У (г ^). (2.6)

Замечание 2.1. Теорема установила следующий важный г'игровойб факт: если игроки нашли для каждой неопределенности у € У ситуацию равновесия по Нэшу ж6(у) € X .

у€У

которая только может реализоваться в игре Г .

Замечание 2.2. Практическое применение теоре-

ж6, *

игры Г использовать следующий алгоритм:

составить математическую модель задачи в виде упорядоченного набора Г;

ж6 у

каждого у € У (применяя равенства (2.2) );

тогда пара (же(у), Оn) € X х RN для каждого у € У и является гарантированным R -решением игры Г .

Именно при реализации любой неопределенности у* € У игроки, применяя свои стратегии ж|(у*) (г € N) из ситуации равновесия по Нэшу же(у*) (удовлетворяющую (2.2) ), обеспечивают каждому нулевой риск (г'самый хороший© риск, который только может появиться в игре Г).

Список литературы

1. Жуковский В.II. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997.

2. Savage L.Y. The Foundations of Statistics //New York: Wiley, 1954.

3. Воробьев В.В. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.

4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

5. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях М.: Высш. шк., 1986.