Риски в бескоалиционных играх с векторными выигрышами при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.833.2

© А. А. Горелова

[email protected]

РИСКИ В БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ С ВЕКТОРНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ И ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 1

Ключевые слова: бескоалиционная игра, многокритериальная задача, равновесие, неопределенность, выигрыши.

Abstract. There are discoalition game with vector functions of outcome and uncertainty. Guaranteed on outcomes and risks decision of this game is formalized. It’s known for gamblers only set of values.

Введение

Рассматривается бескоалиционная игра двух лиц с векторными функциями выигрыша и при неопределенности (БИВН):

Г = <{1,2}, {X}i=1)2, Y, Щх, у)}i=1)2).

В игре Г каждый игрок i выбирает свою стратегию xi € Xi С Rni (^ = 1,2), в результате образуется ситуация х = (xi,x2) € X = X х Х2 ; независимо от такого выбора одновременно реализуется какая-либо неопределенность у € Y С Rm; та прямом произведении X х Y определена век-

i

fd х,у) = (f|1} (x,^,...,/|N^ (Х,У) Кi = М).

1Работа поддержана грантом РФФИ (02-01-00612).

На ^содержательном уровнеб цель г -го игрока — выбор такой своей стратегии х^ € X, при которой все компоненты

/1^ (х,У) 0' =

принимали бы возможно большие значения (выигрыши); при таком выборе все игроки должны учитывать возможность реализации любой неопределенности у € У.

БИВН возникают при моделировании взаимодействий конкурирующих экономических систем, в которых, во-первых, качество функционирования каждой оценивается набором критериев (увеличение прибыли, снижение себестоимости, затрат); во-вторых, учитываются помехи, возмущения и другого типа неопределенности, о которых известны лишь границы изменений (скачки спроса, срыв и изменение номенклатуры поставок, неожиданное появление конкурентов на рынке сбыта и т.п.).

Математические модели типа Г уже рассматривались в [1] с позиции принципа максиминной полезности [2] и для БИВН со скалярными функциями выигрыша. Однако при этом (при формировании своих стратегий) игроки вынуждены рассчитывать на ^катастрофу© - на реализацию Ламой плохойб неопределенности у € У. Такой подход, как правило, приводит к г'занижен-нымб гарантиям.

Избежать пессимистического подхода можно, если, во-первых, игрокам при выборе опираться на принцип минимаксного сожаления [3], во-вторых, стремиться к оптимальному сочетанию векторных выигрышей (исходов) и рисков.

Как раз такому подходу в формализации гарантированного решения БИВН и посвящена данная работа.

1. Формализация гарантированного по выигрышам и рискам решения

Введем функцию риска по каждому критерию / 3(х,у)

= ¿ = 1,2):

Ф3(Х1,х2,у) = тах /¡з)(гьх2,у) - /3(хьх2,у) =

^ еХх

= 9?(хг,у) - Л(з)(Х1,Х2,у), ^ = 1,...,Х),

/ .4 ^ ( '\ \ /

Щ1 (хьх2,у) = тах /3(хь^2,у) - /23 (хьх2,у) =

•г2 ех2

= 923)(хг,у) - /23)(хьх2,у), 0' = 1,-..,Х)-

Игре Г поставим в соответствие вспомогательную бескоалиционную игру при неопределенности и с векторными функциями выигрыша Гь:

ТН = ,2}, {X}*=1)2, У, /х,у), -Фг(х,у)}=1)2). (1.2)

В этой игре г-й игрок (г = 1,2) стремится за счет

хг € Хг одновременно возможно увеличить свой векторный исход /¿(х,у) = (/^(х, у),...,/^(х,у)) и уменьшить свой векторный риск ФДх,у) = (ф(1}(х,у),...,Ф(х,у)) .

Определение 1.1. Набор

(х1, /|, Фf, /|, ФI) € X х М2

назовем гарантированным по исходам и рискам решением игры Г , если существует неопределенность у| € У, для которой

!0- /г| = Ях1 ,у|),Фг1 = ф^х1 ,у|), ^ = 1,2);

2° . а) при любой х € X несовместна система из 2Х неравенств:

/3(х,х|,у^ > Л3)(х1 ,у^,

Ф?(х,х5,у|) <Ф?(х1 ,у|) 0 € {1 ,...,Х}),

то есть х1 - максимальная по Слейтеру стратегия в 2Х -критериальной задаче (Хь {/(хьх1,,у|), -фх(х,х5,у|)});

б) для каждой х2 € X несовместна система из 2Х неравенств:

/3(х1 ,х2,у|) > /3(х1 ,у|),

Ф23)(х1 ,х2,у|) <Ф^(х1 ,у|) 0 € {1 ,...,Х}),

то есть х1 - максимальная то Слейтеру стратегия в 2Х2 -критериальной задаче (X, {/(х1, х2, у|), -Фг(х1, х2, у|));

в) при всякой у € У несовместна система из 2(Х + X) неравенств:

/г3 (х1 ,у)</3 (х1 ,у^,

Ф?}(х1, у) > Фг3(х1, у|) 0 € {1,..., N}, г = 1, 2).

При этом тройку (х1 ,х5, у|) назовем гарантированным равновесием Нэша — Слейтера БИВН в игре Г, а

/г^( х,у) = (л(1) (х1 ,у^ ,...,//^^ (х1 ,у|))

гарантированным векторным исходом;

Фг5(х,у) = ( Ф^ (х1 ,у|) ,...,Ф^} (х1 ,у|))

гарантированным векторным риском г -го игрока (г = 1,2) .

г

старается увеличить свой векторный выигрыш и уменьшить свой векторный риск за счет выбора своей г -й стратегии хг € Хг, на основе концепции оптимума по Слейтеру. Неопределенность, согласно принципу максиминной полезности [2], г'стараетсяС максимально уменьшить векторные функции выигрыша обоих игроков и максимально увеличить их векторные функции риска.

Замечание 1.1. Представим функции, противоположные функциям риска, в следующем виде:

-Ф3(х,у) = /3(х,у) - 93(хг,у),

-Фj(x,y) = f j(x,y) - (x,^-

Тогда требования 2a, 26 и 2в в определении 1 можно привести к следующему виду:

2а) при любых ж € X несовместна система неравенств:

/j(xi,xf,ys) > /j(ж5,ys), j € {1},

то есть xf - максимальная то Слейтеру стратегия в N - критериальной задаче

(Xb/i(xi,xf ,yf) ); (1.3)

26) аналогично xf - максимальная по Слейтеру стратегия в N -критериальной задаче

(X2,/2(xf ,x2,ys)); (1.4)

2в) неопределенность yf - минимальна по Слейтеру в NN

(Y, {/i(xf, y), -$i (xf, y), f(xf, У), ^2 (xf, y) })- (1-5)

2. Игра со скалярными функциями выигрыша

NN

Г = (XbX2,Y, {/¡^(xbx^y/^xbx^y)})- (2.1)

Функции риска примут вид:

$i1}(x,y) = max /¡^(zi^y) - /i(1)(xi,x2,y),

•zi eXi

ф21}(х,^ = max /^(xi^y) - /^(xi^y). eX2

Будем рассматривать специальную ситуацию равновесия по Нэшу же(y) = (x^y),x2(y)) игры (2-1), ПРИ каждом y € Y определяемую равенствами:

тахД(ж,ж^y),y) = h(x4y)>y)>

Xl

max/(x^y),x2,y) = /2(xe(y),y).

Утверждение 2.1. Если существует же( у) , то Ф^(же(у), у) = 0, при любых у € У и г = 1,2.

Доказательство. При каждом у € У имеет место

фГ}(ж6(у),у) = тах у^у) - ^}(ж^у),ж|(у^у) =

•21 €«1

= ^}(ж^у), у) - Л(1)(же(у),у) = 0,

ф21}(ж^у)>у) = тг« уК^у) - у),ж2(^>у) =

•22 €«2

= ^’(ж^ у,у - ^’(жП у),») =0.

Следствие 2.1. Если существует гарантированное по исходам и рискам решение игры (2.1), то ф|^(же, у#) = 0 (г = 1, 2), причем у# € У будет минимальной по Слейтеру неопределенностью в четырехкритериальной задаче

(у {/¿(1) у)^?} у) }г=1,2)•

В самом деле,

Ф«(же,у#)= тах ^}(^,ж|,у5) - ,ж|,у») =

21 €«1

Аналогично получаем Ф2(1)(же,у5) = 0. Так как Фг(ж, у) ^ 0 (по определению), поэтому у# будет минимальной по Слейтеру, ибо Ф^ (же, у#) = 0 (¿ = 1,2).

3. Достаточные условия существования

Лемма 3.1. ([4],с.71). .Белы существуют постоянные

т

Аг ^0 (г = 1, •••, т), X] Аг > 0 , т,акие, что

г=1

тт

X] Аг^(ж) = X! А*/Дж5)

Х€ г=1 г=1

тіп]^Л/ж) = £Л*/і(>

хіХ /

г=1 %—\

то альтернатива ж5 будет максимальной (соответственно, минимальной) по Слейтеру в т -критериальной задаче (X, /ж)}г=1,...,т> •

Утверждение 3.1. Пусть существуют неотри-

а 0) (І+^і) (к ^+N2)

цательные постоянные а0-, р^, ^ , а ,72,72

N N2

= 1,N1; к = 1,N2), причем ^ а0- > 0, ^ вк > О,

І=і к=і

N N2

Е Ы ° + 7І ,+№,) + Е ‘> + ‘+ад) >о,

0=1 к=1

и тройка (ж5,ж5, Уз) Є Хі,Х2,У такие, что

N N

шах ^аоД0)(х,ж|,у5) = Х^а0/0(ж^>У®)5 (ЗЛ)

XI ЄХі '

0 = 1 0 = 1

N N2

шах /к(ж5,ж2,у5) = /2^(ж^>У®)5 (3’2)

хг еХ^ кй

N

/*т[у ^ у5] = тіл [7°Д0) (ж^,у) - 70+^)ф0) (ж^,у)] +

0=1

N

+ Е /^(ж5,У) - 7^2Чк)(ж5,у)]), (3.3)

к=1

то (ж5, ж5, у^) будет гарантированным равновесием Нэша — Слейтера БИВН в игре Г .

Доказательство. Согласно лемме 3.1 и пункту 2а замечания 1.1 выполнение равенства (3.1) достаточно, чтобы стратегия жз была максимальной по Слейтеру в N - критери-..

(3.2) ^ [ж| - максимальна по Слейтеру в (1.4)],

(3.3) ^ [уз - минимальна по Слейтеру в (1.5)].

Замечание 3.1. Рассмотрим вспомогательную бескоалиционную игру трех лиц

, 2, з}, {X, X, У}, |^(жьж2,у)}г=1)2)з), (3.4)

где функции выигрыша игроков 1,2,3 соответственно имеют вид:

N

^(жьж2,у) = Д( ^ (жьж2,у),

¿=1

N

^2(жьж2,у) = ^вк/2к)(жьж2,у),

к=1

N

^з(жьж2,у) = -^ ^(ж,У) - (ж,у)] -

0=1

N

-£ Ык)Лк)(ж,у -7!к+*Цк)(ж,у],

к

а а,,вкЛгк)Л?^ 0' = 1,-,^ к = 1,N2) — постоянные, фигурирующие в утверждении 3.1. Тогда, если выполнены требования этого утверждения, то тройка (жз, ж|,у^) является ситуацией равновесия по Нэшу игры (3.4). Этот факт позволяет для доказательства существования гарантированного по исходам и рискам решения игры Г привлечь теоремы существования ситуации равновесия по Нэшу из теории бескоалиционных игр [5].

4. Свойства гарантированного решения

4.1. Инвариантность относительно аффинных преобразований

Рассмотрим игру Г' = (X, X, Y, {А(ж, y), /2(x, y)}), где

(x,y) = aj)/|j(x,y)+ej), (j = l,...X; ¿ = 1,2), (4.1)

СЛ H)

причем ai = const > 0, в = const.

Утверждение 4.1. Любое гарантированное равновесие Нэша — Слейтера (xf, xf , ys) мгры Г одновременно

.

.

тированным, равновесием игры Г .

Доказательство. Согласно определению, функ-

(D

цпя риска по критерию / для игры Г имеет следующий вид:

(x,y) = /!j(ж, у) - /ij(x,y).

.

(x,y) = Ш /|j(x,y) - /|j(x,y) =

xi

= (aj) /j (x,y) +ej) - aj) /ij)(x,y) - =

xi

-а?(ш /fj(x,y) - /fj(x,y)) = aj)#j)(x,y).

xi

При ai > 0 справедливы эквиваленции: (xf, xf ,ys) - гарантированное равновесие в игре Г тогда и только тогда, когда несовместны следующие системы неравенств:

а) (xi,xf^f) > (xf^f), j € {1 ,...,N};

б) (xf,x2,ys) > (xf,ys), j € {1,...,N},

в) /ij (xf ,y) < /|j (xf ,yf),

(жз,у) > ФР(жз,у5), 0 € {1,..., N}, (г = 1,2). Указанные системы неравенств несовместны тогда и только тогда, когда несовместны следующие системы неравенств: а а^/^(жьж|,у^Н вР > а^ ЛР(ж3,Ы + вР),

0 € {1,-,М};

б) ар)(ж3,ж2,у,5) + в^ > 4^(ж3,Ы + в^,

0 ,-,^}

в) аР /^ (ж3,у) Фв^ < аР /^ (ж3,уз) + в|Р, аРФр (ж3,у) > аРФР (ж3,у^,

0 € {1 ,...,Х}, (г = 1,2);

или несовместны неравенства:

а /?}(жьж|,у5) > ДР)(ж3,у^, о € {1 ,...,М};

б) /Р(ж3,ж2,Ы > /Р(ж3,Ы, 0 € {1 ,...,N2};

в) ДР) (ж3,у) < ДР) (ж3,у5),

Ф?}(ж3,у) > Фр)(ж3,у5), 0 € {1,..., N}, (г = 1,2), что равносильно тому, что (ж 3,ж|,у^) — гарантированное равновесие Нэша — Слейтера игры (4.1).

4.2. Компактность множества гарантированных по исходу и риску решений

Рассмотрим игру Г . Введем

23 = {(ж 3, ж|, у?)} € мп+п+т-

множество гарантированных равновесий Нэша — Слейтера в бескоалиционной игре Г .

Утверждение 4.2. Если Х,Х,У — компакт,ы, все Д(ж, у) — непрерывны по совокупности аргументов, то 2 3 — компакт (может и пустой).

Доказательство. Множество

2 3 С X х X х У -

ограничено, так как X х X х У — ограничено.

Докажем замкнутость 23 . Возьмем последовательность = (ж2, ж^, у2) € 23 , сходящуюся к (ж*, ж*, у*) • Предположим г* / 2 3, тогда по определению 1.1 не выполняется хотя бы одно из трех условий: ж*

(Х,Д(ж,ж*,у^ X

ж*

(X,Д(ж* ,ж2,у*)),

у*

(У, {Д(ж*,у), -Фг(ж*,у)}г=1>2).

Предположим, что не выполнено первое условие. Это означает, что существует ж € X! такое, что совместна система неравенств:

/р)(жъ^у*) > /р)(ж*,ж*,у^, 0 € и,...,Х}.

Так как /Р(ж, у) — непрерывны по всем переменным, то найдется номер К такой, что при всех к ^ К будет

/р)(жьж^,у^ > Д0)(ж?,ж!,у^, 0 € и,...,Х},

а это противоречит максимальности по Слейтеру стратегии ж^ в задаче (X,Д(жl,ж2, у2)). Аналогично для ж*. При доказа-у*

ФДж, у) (г = 1,2) также непрерывны по всем переменным (так как непрерывны /¿(ж, у), (г = 1,2), то соответственно непрерывны и максимумы в (1.1)). Следовательно, предположение неверно иг* € 23 . Таким образом, 2 3 — замкнутое множество, а так как оно ограничено, то 23 — компакт.

Введем множество

М3 = {(ж 3, ж|, у3, /3, #3, /23, Ф|)} € М2(^1+м2)+п1+п2+Ш-множество гарантированных по исходу и риску решений игры Г .

Утверждение 4.3. Если X,X,У — компакты, компоненты векторов /¿(ж, у), (г = 1,2) — непрерывны на X х X х У, то М3 — компакт (может и пустой).

Доказательство. Так как все /¿( ж, у) и Фг(ж, у) (г = 1,2) — непрерывны по всем переменным и 23 — компакт, то эти вектор-функции переводят компакт в компакт, следовательно, /¿(2 3),Ф¿(2 3),(г = 1,2) являются компактами. Отсюда получаем, что множество М3 как прямое произведение компактов является компактом.

4.3. Задача с ^разделенными© функциями выигрыша

Рассмотрим игру Г с сепарабельными функциями выигрыша

(ж,у) = й2 (ж1) + ^2} (ж2) + £?} (у)- (4.2)

Здесь 0 = 1, ---Х; г = 1,2).

Для данной игры получаем следующую функцию риска Ф^2 (ж,у) по критерию /2 (ж, у):

ф?} (ж, у) = тах /|2 (ж,у) - /|2 (ж,у) =

= тах (жх) + (ж2) + #г2)(у)] - /|2(ж,у) =

= тах ^2) (жг) - ^ (^)

Жг€Аг

0 = 1, • ••,N*5 г = 1,2) . Специальный вид (4.2) функций выигрыша в игре Г и (4.2) позволяет выяснить структуру гарантированного по исходам и рискам решения

(ж3, /3, Ф3, /23, ф3) € X х М2•

Для этого введем две многокритериальные задачи

(X*, {2ж*)Ъ=1,...Л) (¿ = 1,2) (4.3)

и обозначим, во-первых, через X*3 — множество максимальных по Слейтеру альтернатив ж3 € X* задачи (4.3) при г = 1,2; во-вторых, вектора

/*(ж,у) = Л*х(ж1) + Л*2(ж2)+#*(у, Ф*(ж, у) = Н** - Л**(ж*), (4.4)

где N-вектора Л** = (^*Р ,-,Л*^), Н** = (Я**), •••, Н**^) и числа Н2 = тах Л*2(ж*), 0 = 1, •••, N¿5 г = 1, 2) .

Будем предполагать, что множества X*, У суть компакты, а функции Л*2 (жг) и д*2 (у) непрерывны.

Утверждение 4.4. Для того чтобы тройка ж3, ж3, у3

точно, чтобы ж3 € X*3 (г = 1, 2), у € У

Доказательство. С учетом замечания 1.1 (4.2) и утверждения 4.1, система неравенств

Лп (ж) + ^2 (ж!) + 012)Ы > Лп(ж3) + (ж!) + (у3)

Уж € X 0 = 1, •••,N1) несовместна тогда и только тогда, когда несовместна система Л2(жх) > Л2(ж3) Уж € X 0 = !,•••, N1), что означает ж3 € X3 . Аналогично устанавливается включение ж3 € X3 . Наконец, требование 2в определения 1.1 с учетом (4.4)

СВОДИТСЯ К несовместности j = 1, ... N', ¿=1,2)

I 9j) to) <9,j) (,ys)

\ Hj - ft'? (x?) > Hj - ft'? (x?) Vy e Y

Эта система неравенств несовместна при всех y e У, так как вторая подсистема обращается в равенства.

У тверждение 4.5. Множество всех гарантированных исходов для г -го игрока совпадает, с

ha (X?) + h2 (X2?)+ g( У),

а множество его гарантированных векторных рисков с Я« - h'i(X?) (¿ = 1,2), где

hir(X?) = IJ Мxr),gi(y) = IJ gi(y) (¿,r = 1,2).

ær SX®

Справедливость утверждения сразу следует из утверждения

4.4.

Автор благодарит В.И. Жуковского за постановку задачи и замечания.

Список литературы

1. Жуковский В.И., Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: МНИИПУ, 1997.

2. Wald A. Contribution to the theory of statistical estimation and testing hypothesys // Annuals Math. Statist. 1939. V.10. P.299-326.

3. Savage L.Y. The theory of statistical decision // J. Amer. Statistic Assotiation. 1951. N 46. P. 55-67.

4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

5. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.