CC BY
31
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2009, том 52, №6____________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 5.11
С.А.Гриценко, Н.Н.Мотькина ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ТЕРНАРНОЙ ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан ЗХ.Рахмоновым 02.03.2009 г.)
В работе решается вариант тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами p, такими, что а <{rp}< b, где а и b - произвольные числа из интервала (0,1), r -квадратичная иррациональность
Введение. Пусть к > 2 и n > 1 - натуральные числа. Рассмотрим уравнение
рП + р2 +...+pn = N (1)
в простых числах p, p2,..., pk .
Ряд классических проблем теории чисел сводится к вопросу о числе решений уравнения (1). Например, если n = 1, а к = 2, или 3, то (1) - уравнение Гольдбаха; если n > 3 , то (1) - уравнение Варинга-Гольдбаха.
Пусть P - некоторое подмножество множества простых чисел, /и = lim ж~1 (N) ^ 1 -
n^m p<N
рєР
«плотность» Р , 0 < и < 1.
Пусть Jkп(N) - число решений (1) в простых числах из множества Р, а Д п(N) -
число решений (1) в произвольных простых числах.
При некотором выборе Р справедливо равенство
Л,„ (N): UkIkn (N) (2)
Например, если Р = {р | а < < b}, 0 < а < b <1, то при n = 1, к = 3, а также при
n > 3 , k?n2 log n равенство (2) справедливо (см. [2], [3]).
В настоящей статье решается аддитивная задача, для которой свойство (2) не выполняется.
Пусть г - квадратичная иррациональность, 0< а < b <1, Р = { p | а < {rp} < b}, n = 1. Тогда и = b - а (см. [1]).
Основной в данной статье является следующая теорема, которая показывает, что равенство J j(N): (b - а)3 /3 х(N) не выполняется.
Отметим, что (см. [1])
N
131 (N) = <г( N)-------------------------------------- + О 4
3,1 ( ' ( )2(1св N)3 ^ (ісв N)4)
где
ст(N )=пíl +-А^ ІпГ1
+-
1
(Р-1) ) ршI Р - 3р + 3,
Теорема 1. Для любого положительного С справедливо равенство м Ю) = /зД( Ю)о-(Ю, а, 6) + 0( N21п-С Ю),
где
а(Ю а Ъ) = ?еШт{^-15(а+ъ)) ^тп(Ъ -а)
|ш|<вд ^ т
Схема доказательства. Функцию
Ґ1, если а < х < Ь,
^0 (х) = \
[0, если 0 < х < а или Ь < х < 1 продолжим периодически на всю числовую ось с периодом 1. Пусть
^0( х) = 'Та^0(ПР)е23йХР;
Р<Ю
тогда
J!.,(N ) = ¿53 (*)г-2“Л.
В лемме о «стаканчиках» И.М.Виноградова (см. [1], с. 22) выберем г = [1п^]. А = 1п-Д N при достаточно большой положительной константе Д . При выборе а = а + А/2 и Р = Ь - А/2 функцию щ из леммы о «стаканчиках» обозначим щ . Положив а = а - А/2 и Р = Ь + А/2, соответствующую функцию щ обозначим щ2. Определим
■!>(Ю) = (т>)е“'Р I е-"“<*г, к = 1,2. (3)
V р<ю )
Из свойств ^ (х) и (х) следует:
МЮ < ^Л(Ю) < ^(Ю). (4)
Для ^ (N) и У2 (N) выведем асимптотические формулы, главные члены в которых одинаковы. Разложение в ряд Фурье функции (гр)
|т|<гА 1
щ 7р) = Е с (”>У """ + о(N _|“)
подставим в (3):
( V
с > л2®(х+”7)Р „-2тхМ^„ , ГЛг\т2-\пл-,
^|т|<гА-1 Р<N у
„ Е с» (т) Ее
е~/жх"Лх + 0( N2-1шг)
, Л Г1 ^ 2®(х+т7)р,
с» (Щ1) Е с» (т2) Е с» (т3)^Ее 1 1
|т |<гА 1 |^ |<гА 1 |<гА 1 Р1<^"
^ ^2®(х+т2^)Р2 ^ ^2®(х+Щз7)Рзе-2®Ш$х+0(^ДГ2-!п®^
Р2 <N рз < N
Отметим, что
Е с3(т)е2®7 Е Е Е.^®(х+т")(Р1+Р2+Р3-N)Лх =
|т|<гА-1 Р1 <NР2^Р3<N 0
= /з.1( N )(а( N. а. Ь) + 0(А2)).
Рассмотрим случай (щ. т2. т3 ) ф (т. т. т) . Пусть т < Щ.. В интеграле
I(N.щ.щ.щ)= [ | 5(х + щ7) || 5(х + щ7)|| 5(х + щ77) | Лх.
•Ю
где
5 (х) = Ее2®хР.
p<N
сделаем замену I = х + т^ . Поскольку подынтегральная функция является периодичной по t с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [-1/т;1 -1/т), где т = N 1п-BN. В > 2С + 8 . Промежуток интегрирования по t.
3 0
1 = —+—Ч (3,д) = 1, 1 < q < т, | — |<1 q qт
разобьем на множества Е1 и Е2, для которых q < 1пAN и 1п< q < т соответственно, где А - фиксированное число, А > 2С + 8 . Обозначим т = щ - щ . т' = щ - щ , тогда
А-1ІТ
I (N, m, m, m )= I | S (t )|| S (t + тф)||S (t + тф)| dt.
J-Ht
Пользуясь неравенством Коши, имеем
I(N,т^m2,m3) = ж(N)(max | S(t + тф | + max | S(t |). (5)
teE^ teE2
По лемме (см. [4], с. 35)
max | S(t)|= N1/2r1/2ln4N. (6)
teE2
При D, Q є Z
D Q
ф= Q + Q?, (D, Q) = !, 1 “ Q “Гі, |Q2<!.
Поскольку ф - квадратичная иррациональность, то т - Q > с(^)т. При выборе Гі = л/г , получим оценку
max | S(t + тф)|= N 1/2r1/2ln4N. (7)
teEj
Утверждение теоремы следует непосредственно из (4) -(7).
Белгородский государственный университет Поступило 06.03.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1983.
2. Гриценко С.А. - Успехи матем. наук, 1988, 43(4).
3. Гриценко С.А. - Известия РАН, серия матем., 1992, 56(6).
4. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985.
С.А.Гритсенко, Н.Н.Моткина ОИДИ ЯК ВАРИАНТИ ПРОБЛЕМАИ ТЕРНАРИИ ГОЛДБАХ
Дар мак;ола проблемаи тернарии Голдбах барои ададх,ои соддаи р, ки а <фр}< b, а ва b - адади дилхох, аз порчаи (0,1), ф- ирратсионалии квадратй, х,ал карда шудааст.
S.A.Gritsenko, N.N.Motkina TERNARY GOLDBACH'S PROBLEM INVOLVING PRIMES OF A SPECIAL TYPE
Let r be a quadratic irrationality. The variant of a ternary problem of Goldbach involving primes such that a < {rp\ < b, where a and b are arbitrary numbers of the interval (0,1), solved in this paper.
