CC BY
8Решетневскуе чтения. 2014
УДК 517.55
ОБ ОДНОМ УСЛОВИИ ПРЕДСТАВИМОСТИ ЦИКЛА, РАЗДЕЛЯЮЩЕГО НАБОР ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ, В ВИДЕ СУММЫ ЛОКАЛЬНЫХ ЦИКЛОВ
Р. В. Ульверт
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: ulvertrom@yandex.ru
Изучаются условия, при которых цикл, топологически разделяющий набор гиперповерхностей в штейновом многообразии, гомологичен сумме циклов с носителями в сколь угодно малых окрестностях дискретных пересечений гиперповерхностей. Предлагается одно обобщение известных результатов по данной теме.
Ключевые слова: разделяющий цикл, локальный вычет, локальный цикл.
ON ONE CONDITION FOR THE REPRESENTABILITY OF THE CYCLE SEPARATING THE SET OF HYPERSURFACES AS THE SUM OF THE LOCAL CYCLES
R. V. Ulvert
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: ulvertrom@yandex.ru
The condition for the cycle representability in the complement to the arrangement as the sum of the local cycles is considered for one specific case.
Keywords: separating cycle, local residue, local cycle.
Обсуждаемые здесь понятия и результаты связаны с выявлением топологических условий, при которых вычисление интегралов от мероморфных форм в комплексном аналитическом многообразии сводится к вычислению локальных вычетов. Интегралы, выражаемые через локальные вычеты, появляются в различных прикладных задачах, например, при вычислении ошибки квантования двумерных рекурсивных цифровых фильтров.
Пусть X - комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности n и F1,...,Fm -набор гиперповерхностей, объединение F которых представляет собой полярное множество меро-морфной n -формы ю в X, m > n > 2. Рассмотрим разбиение данного набора на n непустых групп. Объединяя гиперповерхности, относящиеся к одной группе, придем к набору n гиперповерхностей Tj,...,Tn. Для изолированной точки p из T п... n Tn определен локальный цикл Yp = {z e Up : 1(z) | = 81, tn (z)| = Sn), где tt - определяющая функция дивизора Ti в окрестности U p точки p. Подгруппу группы гомологий Hn (X \ F), порожденную циклами Yp для всех разбиений набора F1,...,Fm на группы T1,...,Tn и всех изолированных точек p из T1 n... n Tn , обозначим Hn (X \ F). Интеграл вида Г ю представляет локальный вычет формы Y p
ю , поэтому при [Г] e H* (X \ F) интеграл |г<ю сводится к вычислению локальных вычетов.
Цикл Г из Нп (X \ F) называется разделяющим для набора F1,...,Fm, если Г ~ 0 в дополнении к объединению любого поднабора из (п -1) гиперповерхности данного набора. Известно, что каждый локальный цикл у р является разделяющим. При некоторых
дополнительных предположениях удается показать, что верно и обратное: цикл Г, разделяющий набор F1,..., Fm, гомологичен линейной комбинации циклов
ур, то есть [Г] е Н* (X \ F). Так, в [1] А. К. Цихом
показано, что это верно для произвольных наборов гиперповерхностей в многообразиях Штейна при т = п . Следующая теорема относится к случаю т > п и обобщает основной результат статьи [2] А. П. Южа-кова.
Теорема. Пусть X - штейново многообразие, и для любого п -поднабора индексов
а= {а1,..., ап} с {1,..., т} каждая точка р из пересечения Fа = F п... п Fа является изолированной.
Тогда для того, чтобы класс цикла Г , разделяющего данный набор гиперповерхностей, принадлежал подгруппе Н* (X \ F), достаточно выполнения следующего условия: для любых п -поднаборов индексов а,в с{1,...,т}, если Fа пFр*0, то Fa = Fв.
Доказательство. По условию теоремы, на множестве п -поднаборов из {1,...,т} определено отношение эквивалентности: а ~ в » Fа = Fв. Это означает, что множество всех п -поднаборов разбивается на
Прикладная математика и механика
непересекающиеся классы А1,...,А- эквивалентных поднаборов. Обозначим через [Ai ] множество всех индексов из {1,...,ш}, входящих в поднаборы из А. При этом каждый п -поднабор ае[А] входит в класс Ai (это может быть неверно только для класса, состоящего из наборов а, для которых Еа = 0 ; будем обозначать такой класс А0 ).
Рассмотрим для каждого класса А (А Ф А0) множество А всех п -поднаборов вида а= {а1,..., ап-1, mi}, где mi = шах[Д ],
а' = {а1, ..., ап_1} с [А ] \ Ш }. В частности, если А состоит из единственного поднабора, то А = Ai. Для Ai = А0 также положим А = А . Построенные множества поднаборов А1,..., А- обладают следующими свойствами: (1) А ° А' =0 при I Ф у ; (И) А с А1, [А ] = [А ]; (111) для любого ае А и любой точки р е Еа найдется достаточно малая окрестность ир точки р, не имеющая общих точек с гиперповерхностями Ек при к £ А . Обозначим А = А1 и... и А-.
Пусть ю - произвольная замкнутая дифференциальная п -форма в X \ Е . Так как X - штейново, то по теореме Серра форма ю когомологична некоторой голоморфной п -форме ф в X \ Е . Пользуясь результатами из [3], можно показать, что в условиях теоремы справедливо разложение вида Ф= X Фа ,
аеА
где форма фа голоморфна в X \ Еа,
Е = Е и... и Е
а а1 ап 4
Каждый цикл Г, разделяющий набор гиперповерхностей Е1,...,Еш, разделяет также набор Е .••, Еап, ае А . По теореме А. К. Циха имеем
Г ~ X пар)Уар) в X \Еа (Г ~ 0 при Еа = 0 ). При-
реЕ а
меняя предложение 2 из [2] при фиксированных ае А и р е Еа в соответствии со свойством (ш) получим, что при достаточно малых е> 0, 5/е> 0 цикл = { еир : | /а1(7) | =... = | /^ (2) | = 5,
| /Ш (2) | = е} лежит в X \ Е и гомологичен там циклу
гар) =|2 е ир : | /а1 (2) | =... = | /ап_1 (2) | = 5,
П fk (
ke[ Aj ]\а'
Имеем
|ю=|ф= X |фа=Х X ^ j Фа =
Г г аеА г аеА peFа
= XX"i?) j Фа.
ае A peF а гаР)
Рассмотрим цикл
г'=х х«ар )гар).
аеА peFа
По построению [Г'] е H* (X \ F). Покажем, что Jr® = J ю . Действительно, пользуясь разложением для формы ф , получим
x X пар) J фр=
Г' Г' аеApeFа РеА г(р)
= XX n(p j Фа,
аеА peFа г(р)
так как при а фР цикл Г(р) ~ 0 в Up \ Fp. По теореме де Рама отсюда следует, что Г' ~ Г в X \ F . Тем самым показано, что [Г] е H* (X \ F).
Библиографические ссылки
1. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 241 с.
2. Южаков А. П. Разделяющая подгруппа и локальные вычеты // Сиб. мат. журн., 1988. № 6 (29). С. 197-203.
3. Южаков А. П. О разделении аналитических особенностей и разложении на простейшие дроби голоморфных функций n переменных // Многомерный комплексный анализ / ИФ СО СССР. Красноярск, 1986. С. 210-220.
References
1. Tsikh A. K. Mnogomernye vychety i ikh ptimenenija (Multidimensional residues and their applications). Novosibirsk : Nauka, 1988, 241 p.
2. Yuzhakov A. P. Razdeljajuschaja podgruppa i lokal'nyje vychety (The separating subgroup and local residues). Sibirskij matematiceskij zurnal, 1988, no. 6 (29), p. 197-203.
3. Yuzhakov A. P. O razdelenii analiticheskikh osobennostej i razlozhenii na prostejshie drobi golomorfnykh funktsyj n peremennykh (On the separation of analytic singularities and the decomposition of holomorphic functions of n variables into partial fractions). Mnogomernyj kompleksnyj analiz, IF SO USSR, 1986, p. 210-220.
© Ульверт Р. В., 2014
