О циклах, разделяющих систему m гиперповерхностей в окрестности точки из Cn Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

О циклах, разделяющих систему т гиперповерхностей в окрестности точки из Сп

Роман В. Ульверт*

Институт информатики и телекоммуникаций, Сибирский аэрокосмический университет, Красноярский рабочий, 31, Красноярск, 660014,

Россия

Получена 05.11.2011, окончательный вариант 05.12.2011, принята к печати 20.01.2012 Известно, что на штейновом многообразии размерности п всякий п-мерный цикл, топологически разделяющий п гиперповерхностей, гомологичен линейной комбинации локальных циклов в дискретных пересечениях гиперповерхностей. В статье изучаются циклы, разделяющие набор т > п гиперповерхностей. В частности, доказывается, что в локальной ситуации, при условии т = п +1, такие циклы также связаны с дискретными пересечениями п-поднаборов системы гиперповерхностей.

Ключевые слова: разделяющей цикл, локальный вычет, локальный цикл.

Введение

Пусть X — комплексное аналитическое многообразие, dime X = n, и Fi,..., Fm — аналитические подмножества в X чистой коразмерности 1 (гиперповерхности, положительные дивизоры), F = Fi U ... U Fm. Везде далее будем считать, что m ^ n ^ 2.

Понятия и результаты, обсуждаемые в данной работе, связаны со следующей задачей. Пусть ш — мероморфная n-форма в X, полярное множество F которой представляет собой объединение гиперповерхностей Fi,... ,Fm. В окрестности Ua каждой точки a £ X имеет место представление ш = hdz/fi ... fm, где fj — определяющие функции дивизоров Fj, j = 1,..., m, и функция h голоморфна в Ua. Разобьем множители fi,..., fm в знаменателе формы ш на n групп: fi ... fm = hi ... hn (при m = n имеется, с точностью до переобозначения, лишь одно такое разбиение: hk = fk, k = 1,...,n). Локальный вычет формы ш, ассоциированный с голоморфным отображением f = (hi,...,hn), имеющим в точке a изолированный нуль, определяется [1,2] интегралом

-n h dz

ш = (2"г I ih—r’ (1)

n

где Га = {г € иа : |^х(г)| = £]_,..., |Л.„(г)| = £„}. Локальный вычет является естественным многомерным обобщением вычета Коши. Он служит удобным и полезным инструментом для изучения идеалов в кольцах голоморфных функций, а также для исследования голоморфных векторных полей [1-3]. К вычислению локальных вычетов также может быть сведена задача о нахождении периодов многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями [4].

Заметим, что могут быть определены различные локальные вычеты формы ш, соответствующие различным способам разбиения множителей /1,..., /т (при т > п) и различным изолированным нулям а соответствующих голоморфных отображений.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

a

Г

Пусть теперь Г — произвольный компактный цикл в X \ ^. Требуется найти топологическое условие на цикл Г, при котором интеграл /г ш представляется в виде линейной комбинации локальных вычетов (1) по всевозможным голоморфным отображениям / = (Н1,...,Нп), соответствующим группировке функций /1 ,...,/т, и их изолированным нулям а € /-1(0). Уточним задачу. Пусть 3 = (^,..., ^) — разбиение множества {1,..., т} на п непустых непересекающихся подмножеств. Каждому такому разбиению соответствует набор п гиперповерхностей Т, ...,Тп, где Т^ = и Fj. Обозначим через

дискретную часть пересечения гиперповерхностей Т.,... , Тп. Тогда для каждой точки а € цикл интегрирования в (1) запишется в виде

ГJ ,а = { г € и а : |П. г /j (г) = £к, к = 1,...,п|, (2)

V I . с^

где /. — определяющие функции для дивизоров Fj в окрестности иа точки а. Ориентация цикла Г^,а задается условием й (а^ Н1) Л ... Л й (а^ Нп) ^ 0, где /.. Цикл Г^ ,а

является локальным циклом в точке а (см. [3]). Это означает, что класс гомологий цикла Г^,а имеет представителя с носителем, лежащим в сколь угодно малой окрестности точки а. Из формулы логарифмического вычета (см. [2,5]) следует, что для любого разбиения 3 и любой точки а € ZJ локальный цикл Г^,а не гомологичен нулю. Подгруппу группы сингулярных (компактных) гомологий НП(Х \F), порожденную циклами Г J,а для всевозможных разбиений 3 и точек а € ZJ, обозначим Н^(Х \ F) (локально разделяющая подгруппа в [6]). Таким образом, класс гомологий цикла Г в X \ F принадлежит указанной подгруппе, если в X \ F имеет место гомология

Г nJ,аГ J,а. (3)

J ,а

В частном случае при т = п разбиение 3 единственно, локальный цикл сопоставляется изолированной точке а пересечения гиперповерхностей Fl,..., Fn и имеет вид Га = {^ € иа : |/.(г)| = е., у = 1,..., п}. Соответственно, класс гомологий цикла Г в X \ F принадлежит подгруппе НП^ \ F), если Г ^ ^а паГа в X \ F.

Таким образом, интеграл /г ш выражается через локальные вычеты (1), если [Г] € H*(X \ F), то есть если имеет место представление (3) цикла Г в виде линейной комбинации локальных циклов (2). Следуя статье А.П. Южакова [6], опишем необходимое условие для существования такого представления. Вещественно п-мерный цикл Г называется разделяющим гиперповерхности F1,..., Fm, если

Г ~ 0 в X \ Fal и ... и Fan_1 для любого поднабора {а1,..., ап-1} С {1,..., т}. (4)

При т = п условие (4) говорит о том, что каждая гиперповерхность Fk создает препятствие для тривиальности цикла Г, поскольку требование Г ~ 0 в X \ Fl и ... [к] ... и Fn означает, что на цикл Г можно натянуть (п +1)-цепь, пересекающую гиперповерхность Fk, но не пересекающую остальные гиперповерхности. (Здесь и далее обозначение вида «1,... [у, к]..., ап употребляется в случае, когда элементы с индексами у и к пропущены.)

Покажем, что если [Г] € \ F), то Г разделяет гиперповерхности F1,..., Fm. Доста-

точно показать, что каждый локальный цикл ГJ,а является разделяющим. Зафиксируем произвольный набор {«1,..., ап-1} С {1,..., т}. Хотя бы один элемент ^ любого разбиения 3 не содержит ни один из индексов «1,..., ап-1. Тогда ГJ,а = ±дс^^'>а, где цепь с^ а = {г € иа : Н(г)| = ей,к = 4, |Н4(г)| < е4} лежит в X\(Ти... [4] .. .иТП) С X^а1 и.. .UFаn_1, то есть Г J,а ~ 0 в X \ FQ,1 и ... и Fan_1.

В случае т = п в довольно общих ситуациях А.К.Цихом и А.П.Южаковым [2,7-9] было показано, что условие разделения оказывается не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы класс гомологий цикла принадлежал НП^ \ F). Приведем один из упомянутых критериев.

Теорема 1 (Цих, [2]). Пусть X — многообразие Штейна комплексной размерности п, и F1,...,Fn — набор гиперповерхностей в X. Тогда класс гомологий п-цикла Г из X \ F

принадлежит подгруппе Я* (X \ F) в том, и только том случае, когда Г разделяет гиперповерхности F1,...,Fn. В частности, если дискретная часть пересечения гиперповерхностей F1,...,Fn пуста, то любой цикл Г, разделяющий эти гиперповерхности, гомологичен нулю.

А.П.Южаковым и А.К.Цихом была сформулирована гипотеза о справедливости теоремы 1 в случае любого числа т ^ п гиперповерхностей. В статье А.П.Южакова [6] были рассмотрены два подтверждающих эту гипотезу случая. Один из них имеет отношение к локальной ситуации и отражен в теореме 2, приводимой ниже (см. раздел 1). Основной результат настоящей работы заключается в ослаблении условия теоремы 2 и формулируется в виде теоремы 3. Из доказанной теоремы 3 вытекает справедливость обсуждаемой гипотезы при т = п +1 (теорема 4). Теоремы 3 и 4 приводятся в разделе 1. Теорема 4 доказывается в разделе 1. Доказательству теоремы 4 посвящен раздел 2.

1. Разделяющие циклы в локальном случае.

Основные результаты

В случае, когда X = иа — достаточно малая окрестность точки а € Сп, наборы Fl,..., Fm являются центрированными, то есть а € F1 П ... П Fm. Для разбиения 3 = (71,..., 7п) множества {1,..., т} возможны две ситуации: либо ZJ = {а}, либо ZJ = {а} (т. е. ZJ = 0). При ZJ = {а} разбиению 3 соответствует локальный цикл ГJ,а. В этом случае будем говорить, что разбиение 3 определяет локальный цикл ,а. Таким образом, разбиение 3 определяет локальный цикл а, если Т1 П ... П Тп = {а}, где Т^ = Fj. Последнее

означает, что F0,1 П ... П F0,n = {а} для всех «1 € ^,..., ап € ^. При ZJ = 0 будем говорить, что локальный цикл Г J,а не определен.

Пусть т > п. Если Fаl П... ПF0,n = {а} для любого поднабора {«1,..., ап} С {1,..., т},

то локальные циклы ГJ,а определены для всех возможных разбиений 3 = (^,..., ^)

множества {1, . . . , т}. В этом случае А.П.Южаковым была доказана следующая теорема, обобщающая в локальном случае теорему 1 А.К.Циха:

Теорема 2 (Южаков, [6]). Пусть X = иа — достаточно малая штейнова окрестность точки а € Сп. Если Fаl П ... П Fаn = {а} для любого поднабора {а1,..., ап} С {1,..., т}, то цикл Г разделяет гиперповерхности F1,..., Fm в том и только том случае, когда [Г] € Я*^ \ F).

Следующая теорема обобщает теорему 2 и является основным результатом данной статьи.

Теорема 3. Пусть X = иа — достаточно малая штейнова окрестность точки а € Сп. Пусть среди гиперповерхностей F1,..., Fm в X найдется такая гиперповерхность Fq, что для любого поднабора а! = {а1,..., ап-1} С {1,... [д] ..., т} выполняется одно из двух условий:

(I) либо FQ,1 П ... П Fаn_1 П Fq = {а},

(гг) либо Fаl П ... П Fаn_1 П Fаn = {а} для всех ап € {1,... [а']..., т}.

Тогда цикл Г разделяет гиперповерхности F1,..., Fm в том и только том случае, когда [Г] € Я*^\F). Если при этом для всех поднаборов а! выполняется условие (г), то любой цикл, разделяющий гиперповерхности F1,..., Fm, гомологичен нулю.

Рассмотрим два примера, иллюстрирующие условия применимости теорем 2 и 3. Заметим, что примеры, полностью раскрывающие суть задачи, должны рассматриваться при условии п > 2, так как в случае п = 2 не возникает так называемых неполных пересечений.

Примеры. Пусть X = C3 и гиперповерхности Fj заданы глобально.

1. Fi = {z: zi = 0}, F2 = {z: Z2 = 0}, F3 = {z: Z3 = 0}, F4 = {z: z| — ziz2 = 0}. Имеем Fi П F2 П F3 П F4 = {0}, то есть рассматривается центрированный набор гиперповерхностей, a = 0. Условия теоремы 2 не выполняются, так как, например, для поднабора {1, 3, 4} С {1, 2, 3,4} пересечение Fi П F3 П F4 не дискретно. Покажем, что, тем не менее, теорема 3 может быть применена. Положим q = 4. Тогда нетрудно видеть, что для поднаборов {1, 3}, {2, 3} выполняется условие (i), а для поднабора {1, 2} выполняется условие(п).

2. Рассмотрим другой пример. Пусть гиперповерхности Fi, F2 и F3 определяются как в предыдущем примере, а F4 = {z: ziz2 + z2z3 + ziz3 = 0}. Тогда Fi П F2 П F3 П F4 = {0}. Так как, например, пересечение Fi ПFзПF4 не дискретно, то условия теоремы 2 не выполняются. Проверим выполнение условий теоремы 3. Положим снова q = 4. Тогда для всех возможных 2-поднаборов а' С {1, 2, 3} выполняется условие (i). Из теоремы 3 можно заключить, что в этом случае каждый цикл, разделяющий гиперповерхности Fi, F2, F3, F4, гомологичен нулю. В частности, отсюда следует, что Hn(X \ F) = 0.

Приведенные примеры относятся к случаю, когда число гиперповерхностей на единицу больше размерности пространства, то есть m = n + 1. Оказывается, что в локальном случае при таком ограничении условия теоремы 3 выполняются всегда. Тем самым удается доказать следующую теорему.

Теорема 4. Пусть X = Ua — достаточно малая штейнова окрестность точки a £ Cn. Тогда цикл Г разделяет гиперповерхности Fi,..., Fn+i в том и только том случае, когда [Г] £ Hn(X \ Fi U ... U Fn+i).

Доказательство. Обозначим F^ = Fi П ... [k]... П Fn+i, k = 1,..., n + 1. Предположим вначале, что найдутся отличные друг от друга i, j £ {1,... ,n +1} такие, что F[i] = {a} и F[j] = {a}. С точностью до перенумерации гиперповерхностей можно считать, что i = n, j = n +1. Покажем, что в этом случае выполняются условия теоремы 3. Действительно, положим q = n +1 и проверим, что для любого поднабора а' = {1,... [k] ..., n}, k = 1,..., n, выполняется одно из условий (i) или (ii). Для а' = {1,... ,n — 1} выполняется условие (ii), так как F[п] = {a} и F[п+1] = {a}. Пусть а' = {1,... [k]..., n} при k < n. Если F^ = {a}, то выполняется условие (i). Если же F= {a}, то, учитывая, что F 1п+Ч = {a}, выполняется условие (ii).

Пусть теперь дискретно лишь одно пересечение F. Тогда для любого поднабора а' = {1,... [j, q] ..., n +1}, j = q, выполняется условие (i). Действительно, Fai П ... П Fan-1 П Fq = F [jl = {a}.

Осталось рассмотреть случай, когда для всех k = 1,... ,n +1 пересечения Fнедискретны. Выбирая q £ {1,... ,n + 1} произвольным образом, получим, что условие (i) выполняется для любых (n — 1)-поднаборов а' из {1,... [q]..., n +1}.

Таким образом, было показано, что условия теоремы 3 выполняются в каждом случае. Следовательно, n-мерный цикл Г разделяет гиперповерхности Fi,..., Fn+i тогда и только тогда, когда [Г] £ Hn(X \ Fi U ... U Fn+i).

2. Доказательство теоремы 3

Для доказательства теоремы 3 нам потребуются некоторые вспомогательные результаты.

В локальном случае через fk будем обозначать функции, определяющие ростки гиперповерхностей Fk, k = 1,..., m. Также, для краткости, будем использовать обозначение Tj вместо Tj,a. Для поднабора а' = {а^ ..., а^,^} С {1,..., m} через J(а') обозначим разбиение (Ji,..., Jn) множества индексов {1,..., m}, для которого Ji = {а^, ..., Jn-i = {а^,^}, Jn = {1,... [а'] ...,m}. Локальный цикл Tj (a/), соответствующий разбиению J (а'), будет определен, если Zj(а/) = {a}, то есть если Fai П ... П Fan-1 П Fan = {a} для всех

ап € {1,. .. [а'] .. ., т}.

Один из ключевых моментов доказательства теоремы 2 основывался на следующем утверждении ( [6], предложение 2).

Предложение 1 (Южаков, [6]). Пусть для разбиения 3 (а') = (71,..., 7п), соответствующего упорядоченному поднабору а! = {а1,..., ап-1} С {1,..., т}, множество ZJ(а') непусто. Тогда для любых ап € ^ при достаточно малых е > 0, £/е > 0 цикл

7а = {г € иа : |/а! (г)| = ... = |/а„_1 (г)| = ^ |/а„ (г)| = е}

лежит в X \ F и гомологичен там циклу

Га' = {г € иа : |/а1 (г)| = ... = |/а„_1 (г)| = £, 1/1(2) . .. [а'] .. ./т(г)| = е} .

Следующие две леммы (см. [10]) формулируются в достаточно общей ситуации и также играют большую роль в доказательстве теоремы 2.

Лемма 1 (Южаков, [10]). Если X некомпактно и X \ Fj, ] = 1,..., т, — многообразия Штейна, то для всякой голоморфной р-формы у в X \ F, р ^ 0, справедливо разложение у = 5^ уа, где р-форма уа = уа1,...,ап голоморфна в X \ Fа и суммирование ведется по всем поднаборам а = {а1,..., ап} С {1,..., т} таким, что а1 < ... < ап.

Лемма 2 (Южаков, [10]). Пусть Fo, F1,..., Fm — набор гиперповерхностей в комплексном аналитическом многообразии X. Если X \ F0 — многообразие Штейна и F1П... П Fm С F0, то всякую р-форму у, голоморфную в X \ F0 и F1 и ... и Fm, р ^ 0, можно представить в виде у = 5^т=1 У^, где р-форма ук голоморфна в X \ F0 и ... [к] ... и Fm, ] = 1,..., т.

Применим леммы 1 и 2 в локальном случае. Будем использовать следующие сокращенные обозначения: FalJ...Jas = Fаl и ... и Fаs, Fal’"'’as = Fаl П ... П Fаs, а[к] = {а1,... [к] ...,ап}. Через ) обозначим линейное пространство всех голоморфных

п-форм на X.

Предложение 2. Пусть F1,...,Fm — набор гиперповерхностей в достаточно малой окрестности иа точки а € Сп. Тогда всякую р-форму у, голоморфную в иа \ F1 и ... и Fm, р ^ 0, можно представить в виде

у ^ ^ уа',т + уa, (5)

^ “ = {а}

где уа',т € Пп(иа \ Fa'Jm), уа € Пп(иа \ Fa) и суммирование ведется по всевозможным поднаборам а! = {а1,. .., ап-1}, 1 ^ а1 < . .. < ап-1 ^ т — 1 и а = {а1, .. ., ап}, 1 ^ а1 <

. .. < ап ^ т — 1.

Доказательство. Можно считать, что иа — штейново многообразие. Тогда иа не компактно и иа \ Fj штейновы для = 1,..., т. По лемме 1 форму у можно представить в виде у = ^ ^а',ш + Е уа, где ^а',ш € Пп(иа \ Fa' и Fm), уа € Пп(иа \ Fa). Если ^а = {а}, то по лемме 2 для формы уа € Пп(иа \ Fa) справедливо разложение уа = ^п=1 ^[й] т, где ^2[к],т € Пп(иа \ Fa[fc]Im). Имеем

п

у = Щ ^а',ш +53 уа = Ц) ^а',т + ^ + 13 Уa,

^а={а} к = 1 ^а = {а}

то есть справедливо разложение вида (5). □

Приступим к доказательству теоремы 3.

Предположим для определенности, что условие теоремы выполняется при д = т. Это означает, что для любого а' С {1,..., т — 1} из дискретности Fа ,т следует дискретность Fа ,ап для всех ап € {1, .. . [а'] ..., т}.

То, что любой локальный цикл Г J является разделяющим, было показано в самом общем случае. Покажем, что любой цикл Г, разделяющий гиперповерхности Г1,..., Гт, представляется в виде (3), то есть в данном случае Г ^ ^ п^Г^. Пусть Г разделяет гиперповерхности Г1,..., Гт. Тогда для любого а = {«!,..., ап} С {1,..., т} Г разделяет гиперповерхности Га1,..., Гап. Если при этом Га = {а}, то по теореме 1 получим Г ~ па7а в X \ Га, где 7а = {г е иа : |/а1 (г)| = £1,..., |/ап(г)| = £„}. Если же Га = {а}, то из теоремы 1 следует, что Г ~ 0 в X \ Га.

Пусть ш — произвольная замкнутая дифференциальная п-форма в X \ Г. Так как X — штейново многообразие, то по теореме Серра форма ш когомологична некоторой голоморфной п-форме у в X \ Г. Рассмотрим интеграл /г у и используем разложение (5) из предложения 2:

При Fа ,m = {а} будем иметь Г — na 'jmYa',m в X \ Fa ',m. Так как по условию теоремы в этом случае определен локальный цикл Гj(a /), то по предложению 1 можно считать, что Ya ',m — rj(a ') в X \ F. Следовательно, Г - na',mrj(a/) в X \ Fa /,т. При Fa,m = {а} будем иметь Г — 0 в X \ Fa/,m. Аналогично, при Fa = {а} получим Г — 0 в X \ Fa. Учитывая тривиальность цикла Г в областях, в которых формы ya /,m и ya голоморфны, получим

J" у ^ na',m ^ ya;,m*

Г F a/,m = {a} Г J (a ' )

Рассмотрим теперь цикл Г' в X \ F, определяемый следующим образом:

Г У \ na',mГJ(a')• (6)

F a '.m={a}

Очевидно [Г'] £ H*(X \ F). Интеграл У представим в виде суммы трех слагаемых: /Г ' у = /i + /2 + /3. Первое слагаемое имеет следующий вид:

^1 ^ na ',m ^ ^ ^ ув'?т.

Fa '-m={a} Fe'-m={a} j(a /)

Если в' = a', то для t £ a' \ в' будет Г j (a /) — Ya = ±dc, где носитель цепи

c = {z £ Ua : | fai (z)| = £,• • • [at ] • . I/an-! (z)| = J, |/at (z)| < J, |/m(z)| = e}

лежит в X \ Fe',m. Следовательно, Г j (a/) — 0 в X \ F^ ',m и fr ^ Ув',т = 0 при в' = a'.

Таким образом, /•

/1 ^ ^ na',m I ya',m.

Fa'’m = {“} Г J (a ' )

Рассмотрим второе слагаемое для интеграла у, имеющее следующий вид:

/2 ^ ^ na ',m ^ ^ I ув',т.

а} „ J Г J (a ' )

Fa ',m={a} Fe'.m={a} г ,

Так как для этого случая всегда в' = а7, то, используя те же самые рассуждения, что и в предыдущем случае, получим /2 = 0. Третье слагаемое имеет следующий вид:

" ’ Г^ (а /)

Покажем, что для этого слагаемого всегда а7 \ в = 0. Действительно, в противном случае а7 = вИ для некоторого в е {1,..., т — 1}. Так как Га ,т = {а}, то Гв = Га ,я = {а},

что противоречит условию Fв = {а}. Рассуждая как было показано выше, получим, что Гj(a ') — 0 в X \ Fe. Следовательно, /3 = 0.

Таким образом, окончательно получим

j У = /1 + /2 + /3 = na',m J ya ',m •

Г' F a ',m={a} Г j (a ')

Итак, было показано, что fr = для любой голоморфной n-формы у в X \ F. По теореме де Рама Г — Г' в X \ F. Следовательно, [Г] £ H*(X \ F). В частности, равенство (6) позволяет выразить разделяющий цикл Г через локальные циклы. Если при этом для всех поднаборов a' в (6) выполняется условие Fa ,m = {а}, то Г — 0.

Автор поддержан грантом Минобрнауки 1.34-11.

Список литературы

[1] Ф.Гриффитс, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии, М., Мир, 1982.

[2] А.К.Цих, Многомерные вычеты и их применение, Новосибирск, Наука, 1988.

[3] А.К.Цих, Локальные вычеты в Cn. Алгебраические применения, Матем. сб., 123(165) (1984), №2, 230-242.

[4] М.Пассаре, А.К.Цих, А.А.Чешель, Кратные интегралы Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями, ТМФ, 109(1996), №3, 381-394.

[5] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

[6] А.П.Южаков, Разделяющая подгруппа и локальные вычеты, Сиб. мат. журн., 29 (1988), №6, 197-203.

[7] А.К.Цих, Критерии представимости интеграла по циклу через вычеты Гротендика. Некоторые приложения, Докл. АН СССР, 277(1984), №5, 1083-1087.

[8] А.К.Цих, О циклах, разделяющих нули аналитических функций в Cn, Сиб. мат. журн., 16(1975), №11, 1118-1121.

[9] А.П.Южаков, Одно условие кограницы по Лере и его применение к логарифмическому вычету, Сиб. мат. журн., 11(1970), №3, 708-711.

[10] А.П.Южаков, О разделении аналитических особенностей и разложении на простейшие дроби голоморфных функций n переменных, Многомерный комплексный анализ, Красноярск, ИФ СО СССР, 1986, 210-220.

On the Cycles Separating the System of m Hypersurfaces in the Neighbourhood of the Point in Cn

Roman V. Ulvert

It is known, that any n-cycle on a Stein manifold of dimension n, which topologically separates n hypersurfaces, is homologous to the linear combination of the local cycles in the discrete intersection of the hypersurfaces. In this paper we consider the case when m > n. Particulary, we proof that in the local case, if m = n + 1, such cycles is also related with discrete intersection of n-subsets of hiperfaces.

Keywords: separating cycle, local residue, local cycle.