О мероморфных решениях двумерных разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

О мероморфных решениях двумерных разностных уравнений

Павел В.Тришин*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.04.2009, окончательный вариант 20.05.2009, принята к печати 10.06.2009 Изучается структура мероморфных решений двумерного 'разностного уравнения с постоянными коэффициентами, строятся интегральные представления мероморфных решений.

Ключевые слова: разностные уравнения, специальные функции, гипергеометрические функции.

1. Постановка задачи

Двумерным разностным уравнением (относительно функции и, определенной на множестве М С С2) с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

+ «1,^2 + «2) = 0 , (1)

аел

где А — конечное подмножество из Z+ (Ъ+ = {0,1, 2,...}), С (а) £ С. Поскольку функция и(г) входит в уравнение при различных значениях аргумента, то следует разделить понятия множества определения функции и множества, на котором функция удовлетворяет уравнению. С этой целью определим множество Е:

Е := М - А = {г £ С2 : г + А £ М}

(г + А — сдвиг множества А на вектор г). Функцию и : М ^ С будем называть решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда Е = 0 и и(г) удовлетворяет данному уравнению для любого г из Е. Если в качестве М взять Z2, Z+, М+, М2, С2, то, независимо от А, множество Е не пусто и М С Е.

В случае М = С2 все решения (в классе целых функций экспоненциального типа) уравнения (1) описаны В.М. Трутневым и А.К. Цихом [1]. В случае М = Z+ множество решений описано Е. К. Лейнартасом [2].

Таким образом, естественно возникает задача поиска решений разностных уравнений в других классах функций, например, в классе мероморфных в С2 функций. Интерес к меро-морфным решениям разностных уравнений можно объяснить тем, что многие специальные функции являются мероморфными и удовлетворяют некоторым разностным уравнениям. Например, некоторые гипергеометрические функции удовлетворяют разностным уравнениям, в одномерном случае гамма-функция Г(г) удовлетворяет уравнению Г(г + 1)-гГ(г) = 0,

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

а в примере 2 указана простая гипергеометрическая функция, удовлетворяющая двумерному разностному уравнению.

Всякая мероморфная в С2 функция и(г) голоморфна вне некоторого аналитического множества 6 и представима как отношение и = двух целых функций (см. [3]). Если М есть дополнение С2\6, то множеством Е будет дополнение до С2 аналитического множества

6 - А = У {г е С2 : ф + а) = 0} .

аеЛ

Дополнение до С2 аналитического множества всегда не пусто, поэтому термин решения разностного уравнения можно применять к любой мероморфной в

С2

функции.

Дадим несколько определений. Полином

Р(тЬ№2) = ^ С(а)та

аеЛ

называется характеристическим полиномом, а множество V = {— е С2 : Р(т) = 0} нулей этого полинома называется характеристическим множеством уравнения (1). Введем также некоторые обозначения: Мр — многоугольник Ньютона полинома Р (выпуклая оболочка множества А), ЭДр — множество внешних нормалей к сторонам многоугольника Ньютона Мр полинома Р. Для векторов г, — е

С2

будем обозначать № = т^1 ■ т%2, г + т = (гх + т, г2 + —2), (г, т) = г + г2—2, г + I = (г\ + 1, г2 + 1). Через Т будем обозначать комплексный тор С \ {0}.

Как показывают примеры, известные мероморфные решения — функции, голоморфные в полупространстве или пересечении полупространств, поэтому нас будут интересовать решения, голоморфные в трубчатой области С(П) = и + Ж2. На область С(П) наложим ограничение:

(*) 0(и) такая, что ее основание и содержит некоторый сдвиг Мр + х0, х0 е К2 многоугольника Ньютона характеристического полинома уравнения (1).

Оказывается, что свойство мероморфной функции быть решением уравнения (1) накладывает ограничения на структуру особого множества.

Теорема 1. Пусть мероморфная в

С2

функция и(г) е 0(С2 \ 6) служит решением уравнения (1). Если ее полярное множество 6 локально алгебраично и 6 П 0(и) = 0, то множество 6 является объединением комплексных прямых вида

(г, я) = х,ч е ^р ,х е С, (2)

где И.е х > вирхеи (х, ц).

Замечание 1. Фактически теорема утверждает, что любое мероморфное решение может быть аналитически продолжено (как решение) на любую особую кривую, не являющуюся прямой вида (2). Феномен продолжения решений разностных уравнений и уравнений свертки (частным случаем которых служат разностные уравнения) отмечался неоднократно (см., например, [4, 5, 6]). Однако в многомерном случае (работы [5, 6]) продолжались голоморфные решения, заданные в выпуклых областях, в некоторые большие выпуклые области.

' Ие г2 л\

) \\ \ .... ......

\ \ Ие

\

\ \ \ \ \

Рис. 1. Пример расположения особенностей мероморфного решения

На рис. 1 изображено возможное расположение особенностей решения уравнения с характеристическим полиномом вида С(1,0)^1 + С(3,+ С(2, 2)ад2ад2 + С(0,1)и>2.

Доказательство теоремы 1.

Для доказательства необходимо следующее утверждение.

Лемма 1. Неприводимая алгебраическая кривая Б, лежащая в полупространстве

Пд = {г £ С2 : Кв(г, 9) < р}, 9 £ М2 \ {0}, р £ М,

может быть лишь комплексной прямой, определяемой уравнением (г, 9) = х, X £ С, Ие х < р.

Доказательство. Кривая Б есть, по определению, множество {г £ С2 : р(г) = 0}, где р(г) — полином. Не ограничивая общности, можно считать, что 9 = (0,1). Тогда условие пересечения Б и дПд заключается в разрешимости уравнения р(г1,Х2) = х, где х £ М. А уравнение

р(гьж2) - х = 6 (х2)г^ + ... + р1(х2)г1 + ро(х2) = 0

неразрешимо тогда и только тогда, когда р®(ж2) = 0, V» = 1,..., что влечет (по теореме единственности) р^^) = 0, то есть р(г1, г2) имеет вид

р(г1, г2) = еЛ'г| + ... + С1г2 + со ,

а по предположению неприводимости = 1 и Б — прямая г2 = — Со/с1. □

Пусть и(г) — мероморфное решение уравнения (1), 6 — полярное множество функции и, область С2 \ 6 обозначим через Д. Пусть 6 С 6 — множество полюсов функции и (г), которые не являются комплексными прямыми вида {г : (г, 9) = х}, 9 £ Nр, х £ С. Покажем, что мероморфное решение и(г) можно продолжить на любую особую кривую Б £ 6. Для этого, как и в одномерном случае (см. [4]), используем метод шагов, заключающийся в продолжении функции и(г) в окрестность особой точки го функцией

и(г) = —

Е

*еЛ\а

С (а) С (а0)

и(г + а — а0)

(3)

0

где а0 £ A. Эта функция совпадает с u(z) в U(z0) П D и голоморфна в U(z0), если все точки z0 + а — а0, а £ A\ а0 лежат в D. Таким образом, для стирания всех особенностей S необходимо показать, что для любой алгебраической кривой S £ S можно указать вектор а0 £ A, что все точки z0 + а — а0, а £ A \ а0, z0 £ S лежат в D. На самом деле, в силу теоремы единственности [7], это достаточно показать лишь для z0 из открытого непустого подмножества S.

Продолжение в любую точку z0 £ S невозможно только в том случае, если u(z) имеет также своим полюсом кривую вида S = S + а0 — а', а0 £ A, а' £ A \ а0. В этом случае продолжение следует сперва осуществить на все кривые такого вида, чему также могут служить препятствием кривые вида S" = S + а0 — а' + а1 — а'', где а0, а1 £ A, а' £ A \ а0, а'' £ A \ а1. Но поскольку все S пересекают вещественную плоскость dnq = {z : Re(z, q) = p}, где p £ R выбрано так, что dnq пересекает G(U), то среди всех кривых S все же найдутся допускающие продолжение. Эти кривые являются "ближайшими" к области G(U), и, начиная с продолжения на эти кривые, функцию u(z) можно продолжить на все S.

Таким образом, мы показали, что решение u(z) может быть продолжено на любую особую кривую, не являющуюся прямой вида {z : (z, q) = х}, q £ Np, x £ C, причем можно заметить, что прямые (2), порождающие S не могут располагаться произвольно в C2, а их расположение должно зависеть от векторов A и „мешать" продолжению решения на S. □

Следующим шагом служит построение мероморфных решений. Такие решения будем искать в классе функций, представимых в виде несобственного интеграла

I[r](z) = ^ I P( 1 ) w^wf2"1 dw, (4)

(2пг)2 J P(w1,w2)

п(Г)

где п(Г) — проекция двумерной цепи, определенной на римановом накрытии многозначной функции w2.

2. Мероморфные решения

Рассматриваемые интегралы вида (4) — частный случай общих гипергеометрических интегралов

I Л21 • . .. • ifckdw1 • ... • dw„ , (5)

д

где fj — полиномы, а Д — сингулярная цепь на накрытии, разветвленном в множестве нулей функций fj, рассмотренных в работах И.М.Гельфанда [8], В.А.Васильева [9] и других авторов.

Самым простым накрытием, униформизирующим функцию wZ1 • w^2, w £ T2, служит C2 — произведение римановых поверхностей логарифма; проекция из накрытия в базу осуществляется отображением Exp : ((1,(2) ^ (eZl, eZ2). Кривая V = {w £ C2 : P(w) = 0} особая для подынтегрального выражения в (4), поэтому цепь Г следует выбирать таким образом, чтобы она не пересекала множество Ln V := {Z : P(eZl, eZ2) = 0}. При этом под значением интеграла по цепи Г, определенной на накрытии, следует понимать значение интеграла

1 С е^>2>

(2П)2 J P(eZi ,eZ2) dZ . (6)

г

Особый интерес представляют неограниченные цепи в С2 \ Ьп V, так как интегралы по этим цепям несобственные, т. е. общие гипергеометрические. Кроме того, цепи Г будем предполагать трубками (кограницами Лере) над одномерными контурами на множестве Ьп V° (V° — кривая V с выколотыми точками самопересечения). Иначе говоря, если Г —

кограница Лере над одномерной кривой 7 С Ьп V°, то

6

IГМ = /Ее8

Р (вС1 )

= : Д[7](г) , (7)

Ьп V

где Иев^] — форма-вычет Лере (см. [10, 11]), ЬпV — неприводимая компонента множества Ьп V°, содержащая 7. В качестве таких одномерных контуров можно взять элементы группы гомологий Нх(Ьп V° и {те}), но для исследования сходимости удобнее рассмотреть группу относительных гомологий Нх(Ьп V° и {те}, {Ьп ар}т=1 и {те}), где ар € р — точки на неприводимых компонентах, задаваемых нулями неприводимых полиномов Рр (и) = 0 таких, что Р = Р^1 •... • . Здесь — кривая Vj без точек самопересечения и без точек пересечения с кривыми Vk, к € {1,. .., т} \

Однако образующими группы Нх(Ьп V° и {те}, {Ьп ар ^^ и {те}) служит счетное число циклов, поэтому рассмотрим ее фактор-группу. Для этого определим группу сдвигов (автоморфизмов С2):

Т = (Т1, Т2 : = (и + 2пг, ^2), = (и, и + 2пг)}

и в Н1(Ьп V° и {те}, {Ьп ар и {те}) введем отношение эквивалентности: будем говорить,

т

что два цикла 71,72 € Н1(Ьп V° и {те}, {Ьп ар}т=1 и {те}) Т-эквивалентные и писать 71 ~ 72 в том случае, если в классе [71] циклов, гомологичных циклу 71, найдется цикл 71 такой, что под действием некоторой последовательности сдвигов из группы Т он перейдет в 72. Обозначим через Нт(Ьп V, а) фактор-группу Н1(Ьп V° и {те}, {Ьп ар}!?= и {те})/ ~. Изучение этой фактор-группы оправдано двумя соображениями: во-первых, если для двух циклов 71 и 72 существуют такие к1 € ^ и к2 € что справедливо равенство

71 = (Т^1 + Тк2 )72 ,

ДЫМ = Д[(Т1к1 + Тк2 М(*) = е^+^^ДЫМ ,

т. е. значения интеграла (4) на Т-эквивалентных циклах легко отследить, и во-вторых, группа Нт(Ьп V, а) приводит к естественному обобщению понятия фундаментальной системы решений одномерного разностного уравнения.

Следующий шаг — поиск образующих группы Нт(Ьп V, а). Справедлива теорема.

Теорема 2. Размерность группы Нт(Ьп V, а) равна

т

К + N + 2^рр ,

р=1

где К — количество компонент, сходящихся в точках самопересечения кривой V, N — число точек пересечения кривой V с координатными плоскостями и =0, и = 0 плюс число компонент кривой V, сходящихся в бесконечно удаленной точке, рр — род неприво-

т

димой кривой Vj, У Vj = V.

Р=1

7

Замечание 2. Данная теорема есть небольшая вариация теоремы А.П.Южакова [11] о гомологиях компактифицированной алгебраической кривой, и основные моменты ее доказательства повторяют доказательство упомянутой теоремы.

Доказательство. Всякая компактифицированная неприводимая алгебраическая кривая V? гомеоморфна сфере с р ручками (р — род кривой V?), у которой отождествлены некоторые точки, соответствующие точкам самопересечения кривой Vj. Поэтому каждая кривая V0 с выколотыми точками самопересечения гомеоморфна сфере с рj ручками, у которой выколоты некоторые точки; обозначим эти гомеоморфизмы —?, ] = 1,. .., т. Пусть — точки на сфере соответствующие точкам пересечения кривой Vj с координатными плоскостями и>1 =0, и>2 = 0, и точки, соответствующие бесконечно удаленным элементам. Точке а? на V0 ^ Т2 соответствует точка а? = фj(а?) на \ {Ь®}£=1. Сконструируем множество М? (а?) контуров на Ьп V? как образ следующих контуров на сфере :

1) 2р? негомологичных циклов, порожденных р? ручками;

2) К? циклов, гомологичных дМ(—?(с®)), где {с®}^ — точки самопересечения кривой V?, а также точки пересечения V? с кривыми Ук, к = ];

3) N циклов, соединяющих точку с? с точками {Ь®}4=1 под действием отображения 1по--1 : ^ Ьп V (1п — одно из значений комплексного логарифма Ьп).

т

Определим множество циклов М(а) := У М?(а?), оно конечно и состоит из N + К +

т

2 р? циклов, где К — количество компонент, сходящихся в точках самопересечения кри-

?=1

вой V, N — число точек пересечения кривой V с координатными плоскостями и>1 = 0, и>2 =0 плюс число компонент кривой V, сходящихся в бесконечно удаленной точке, р? — род кривой V?. Число элементов множества М (а) обозначим через ДОМ (а).

т

Лемма 2. Множество циклов М(а) = и М? (а?) является образующими фактор-группы

?=1

(Ьп У,а), то есть любой цикл 7 группы Н[(Ьп V0 и {те}, {Ьп а?}!/=! и {те}) можно представить как сумму

ЦМ(а)

7 = Е (Тк1 + Т2Ч Ь? , 7? е М(а), к?, к? е ?=1

Доказательство. Поверхность Ьп V° — объединение непересекающихся поверхностей Ьп V?0, поэтому утверждение достаточно доказать для случая, когда V задается нулями неприводимого полинома Р. В этом случае поверхность Ьп V° гомеоморфна счетному числу сфер , J е склеенных по берегам разрезов (О, Ь®), соединяющих какую-либо точку О е

с точками {Ь®}®=1. Их можно считать непересекающимися. Когда цикл 7 е Й1(Ьп V° и {те}, Ьп аи{те}) лежит только на одной сфере — (£/), он, очевидно, выражается через циклы группы М(а), иначе цикл 7 е {—(5/)}/еХ2 можно разбить на циклы, каждый из которых лежит только на одной сфере, это осуществляется деформацией цикла 7 по разрезам (О, Ь®) в точки {Ь®}®=1. □

Из леммы 2 вытекает справедливость теоремы 2. □

Исследуем интеграл (6) на сходимость. Основной принцип теории амеб гласит [12]: асимптотическое поведение множества Log V = {х е К2 : = 1п |, = 1, 2, г е V} (амебы алгебраической кривой V) на бесконечности определяется нормалями к граням многогран-

ника Ньютона полинома, задающего множество V. Другими словами, предел

lim [ln |zi| : ln |z2|]

|z|—

zev

равен (как элемент RPi) одному из векторов [qi : G Np. Поэтому каждому относительному некомпактному циклу y множества M(а) поставим в соответствие вектор q(Y) G Np по правилу

q(7) :=lim [Re Ci : Re C2]-

id—TO

Сет

Форма-вычет в интеграле (7) может быть посчитана по методу, предложенному в [11]. Если, например, P = Pi • ... • Pm, где Pj — неприводимые полиномы, то

Res

=<C,z>

P (eZl ,ez-)

=<C,z>

dZ2

Ln V,

(Pl

4 Pj • ... • Pm )(eZl ,ez-)

3<Z'z>dC1

(Pl

. • df- Pj • ... • Pm)(eZl ,eZ- )

и, в предположении, что gd-Pj (eZl, eZ2) = 0 либо gd-Pj (eZl, ) =0 в бесконечно удаленной точке (Sing V С T2), имеет место оценка

Res

=<C,z>

P(eCi, ez-)

dZ

Yj

< eRe<q(Y)lZ>dM(Z)

где dyU,(Z) ^ С при С € 7р. Таким образом, интеграл (7) сходится в полупространстве Ид(7з.) = {г : Re(q(Yj),г} < 0}, представляет там голоморфную функцию и, как интеграл по характеристическому множеству уравнения (1), служит решением этого уравнения в указанном полупространстве.

Неоднократно отмечалось, что интегралы вида (5) — мероморфные функции параметра г (см., например, [13]), но нам удобнее использовать теорему мероморфности в формулировке В.А.Васильева [9]. По этой теореме, интеграл (5) является мероморфной в Сп функцией, имеющей полюса вида (г, в} = пр, в € р € п € В применении этого результата к интегралу

1

1

,,zi- 1 Z2 — 1

(2ni)2 У P (w1,w2)

dw

мы получим, что Д^](г) — мероморфная функция, имеющая особенности вида (г, в} — 1во = пр,р € <Ц>, п € Но функция Д^](г) голоморфна в полупространстве Пд(7з.), а в это полупространство не попадают только прямые вида (г, д(тр)} = пр + во. Мероморфное продолжение осуществляется интегралом по регуляризованным циклам, поэтому мероморфное решение, представляемое интегралом (7) в полупространстве, удовлетворяет уравнению (1) на всей области определения. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Пусть характеристический полином Р(и) уравнения (1) имеет вид

P(w)= P1(w) • ... • Pm(w)

1

2

где Pk — неприводимые полиномы и Sing V С T2. А 7 С Vk — один из N некомпактных циклов группы (Ln V, a), тогда интеграл

e(C,z>

RW(z) = 2-J Res

P (eZl ,ez2)

Ln

представляет мероморфное решение уравнения (1), имеющее особенности вида

(2, 9(7)) = рп + р' ,

где 9(7) е , р е Q+ и р' е ^ фиксированы, а п пробегает все значения Z+.

3. Примеры

Пример 1. Рассмотрим уравнение «(21,22) — «(21 + 1,22 + 1) = 0. Его характеристический полином имеет вид 1 — = 0, а характеристическое множество является гладкой поверхностью рода 0, не пересекающей координатных плоскостей, имеющей две компоненты, которые сходятся в бесконечно удаленной точке. По теореме 2, размерность группы (Ьп V, а) равна 2. Построим образующие этой группы. Выберем на V точку а = (1,1) и рассмотрим два цикла на V:

71 = {и> : и>1 = и>2 = 1 ^ е [1, те]}

72 = : и>1 = —1/4, = —4,4 е [—те, —1]} .

Образы этих циклов при отображении 1п : (С \ [0, те])2 —> С2 служат образующими группы (Ьп V, (1,1)). Вычислим интеграл (4) по кограницам ¿71 и ¿72 циклов 71 и 72:

I [¿71 ](z)

I [¿72 ](z)

(2ni)

2

(2ni)

2

Res

Res

w

1 — W1W2

wz-1 1 — W1W2

■ dw

C

■ dw

W1 W2 = 1

Ml W2 = 1

22 — Z1

—C

22 — Z1

Функции «1(2) = I[¿7^(2) и «2(2) = I[¿72К2), очевидно, мероморфные (даже рациональные) решения уравнения «(21, 22) — «(21 + 1, 22 + 1) = 0.

Пример 2. Рассмотрим уравнение «(21, 22) — «(21 + 1, 22) — «(21, 22 + 1) = 0. Его характеристический полином имеет вид 1 — и>1 — и>2 = 0, а характеристическое множество — гладкая поверхность рода 0, пересекающая координатные плоскости в двух точках (1, 0) и (0,1), имеющая одну компоненту, сходящуюся в бесконечно удаленной точке. По теореме 2, размерность группы (Ьп V, а) равна 3. Построим образующие этой группы. Выберем на V произвольную точку а и рассмотрим три произвольных цикла на V такие, что: д71 = те — а, д71 = (0,1) — а, д7з = (1, 0) — а. Удобнее всего вычислить интеграл (4) по суммам кограниц ¿7® — ¿7?, « = 3:

I [¿71] — I [¿73 ] I [¿71] — I [¿72] I [¿72] — I [¿73 ]

Г(22)Г(1 — 21 — 22) " Г(1 — 21) ' Г(21)Г(1 — 21 — 22) " Г(1 — 22) '

Г(1 — 21 — 22) Г(1 — 21)Г(1 — 22)

Sin(n22) Sin(n21)

Y

1

1

П

П

Рис. 2. Особенности функций I[¿71], I[¿72] и I[¿73]

где равенства справедливы с точностью до множителей вида Получен-

ные функции — мероморфные решения исходного уравнения. Особенности функций I[¿71 ], I[¿72] и I[¿73] изображены на рис. 2. Вспоминая выражение бета-функции Эйлера через гамма-функцию, получаем

Лемма 3. Справедливо интегральное представление

1

В(21 + 1,22 + 1)

±

в2п®(к121+к222)(1 + 21 + 22) Г ^ — ¿ад2

4пг

,21 + 1 , 22 + 1

где 7 = {ад : 1 — ад1 — ад2 = 0} П {ад : |ад>11 = |ад21} (рис. 3), В(-, •) — бета-функция, где ^1,^2 е Z зависят от выбранной ветви многозначной функции ад2+/, а знак — от ориентации цикла 7.

|ад1|

Рис. 3. Прямая 1 — ад>1 — ад>2 и цикл 7 на диаграмме Рейнхарта

1

2

7

Список литературы

[1] В.М.Трутнев, А.К.Цих, О структуре вычетных потоков и функционалов, ортогональных идеалам в пространстве голоморфных функций, Изв. РАН. Сер. матем., 59(1995), №5, 203-224.

[2] Е.К.Лейнартас, Кратные ряды Лорана и разностные уравнения, Сиб. мат. журн., 45(2004), №2, 387-393.

[3] Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, Ч. 2, М., Наука, 1985.

[4] А.А.Миролюбов, М.А.Солдатов, Линейные однородные разностные уравнения, М., Наука, 1981.

[5] А.С.Кривошеев, В.В.Напалков, Комплексный анализ и операторы свертки, Успехи мат. наук, 47(1992), №6, 3-58.

[6] В.М.Трутнев, Продолжение голоморфных решений разностных уравнений, Многомерный комплексный анализ, Краснояр. гос. ун-т, Красноярск, 2002, 172-177.

[7] Е.М.Чирка, Комплексные аналитические множества, М., Наука, 1985.

[8] И.М.Гельфанд, Общая теория гипергеометрических функций, Докл. АН СССР, 290(1986), №1, 14-18.

[9] В.А.Васильев, Ветвящиеся интегралы, М., МЦНМО, 2000.

[10] Ж.Лере, Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии, М., Иностр. лит., 1961.

[11] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

[12] M.Forsberg, M.Passare, A.Tsikh, Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas, Adv. in Math.., 151(2000), 54-70.

[13] M.F.Atiyah, Resolution of singularities and division of distributions, Comm. Pure Appl. Math., 23(1970), №2, 145-150.

On Meromorphic Solutions of Two-Dimensional Difference Equations

Pavel V.Trishin

We study the structure of meromorphic solutions to difference equations by means of integral representations.

Keywords: difference equations, special functions, hypergeometric functions.