CC BY
98
99 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К^Я Серия Математика. Физика. 2010. №5(76). Выпуск 18 УДК 517.55
ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ КРАТНОГО РЯДА ЛОРАНА
Аннотация. В данной работе приведена конструкция преобразования кратного ряда Лорана, обобщающая классическую композицию Гурвица двух однократных рядов и связанная с многомерными аналогами теоремы Полиа.
Ключевые слова: преобразование Гурвица, радиальный индикатор, теорема Полиа.
Теорема Гурвица о сложении особенностей относится к числу значимых результатов в теории распределения особенностей голоморфных функций одного переменного. В отличие от теоремы Адамара об умножении особенностей (см. [1]), которая обобщалась на многомерный случай в различных направлениях, (см. [2] — [6]), многомерные варианты композиции Гурвица степенных рядов изучались сравнительно мало (см. [7]).
В п. 2 приведена конструкция преобразования кратного степенного ряда в однократный, которая естественным образом возникает в исследованиях, связанных с многомерными аналогами теоремы Полиа ([8], [9]). Эта конструкция названа преобразованием Гур-вица, так как классическая композиция Гурвица степенных рядов является её частным случаем. Для преобразования Гурвица построено интегральное представление (предложение 1), которое позволяет осуществить ее аналитическое продолжение (теорема 2).
В п. 3 изучено преобразование Гурвица рациональных функций. В случае одного переменного композиция Гурвица рациональных функций будет функцией рациональной, однако в многомерном случае это уже не так. В теореме 3 доказывается алгебраичность преобразования Гурвица рациональной функции двух переменных.
Отметим, что доказательство теоремы 3 существенно опирается на теорему об особенностях параметрического вычета Гротендика ([10], [11]). Все доказательства приведены в
А.П. Ляпин
Сибирский федеральный университет, пр. Свободный, 79, 660041, г. Красноярск, Россия, e-mail: LyapinAP@yandex.ru
1 Введение
п. 4.
2 Преобразование Гурвица кратного степенного ряда
Композиция Гурвица для двух однократных рядов вида
в=0
(1)
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ) и Государственным фондом естественных наук Китая (ГФЕН) в рамках совместного проекта «Комплексный анализ и его приложения» (проект N 08-01-92208_ГФЕН) и грантом СФУ
определяется следующим образом (см. [1, с. 47]):
деленных рядами (1), найти особые точки композиции к(г). Приведем теорему Гурвица
о сложении особенностей, решающую эту задачу, в изложении Бибербаха (см. [1]). Но прежде нам понадобятся следующие определения.
Суммой множеств А1 и А2 назовем дополнение теоретико-множественной суммы А1 + А'2 = {а! + а'2 : а[ Є А\, а'2 Є А'2| до всей комплексной плоскости:
Указанная композиция множеств (как и композиция Гурвица степенных рядов) обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
жество {\г\ > Т\}, а функция д(г) голоморфна в области В, содержащей множество {\г\ > г2}, то функция Н(г) голоморфна в связной части открытого множества А ф В, содержащей внешность круга {\г\ > г\ + г2}.
Отметим, что композиция Гурвица (2) тесно связана с имеющим важное значение в теории распределения особенностей голоморфных функций преобразованием Бореля степенных рядов. А именно, если
- преобразование Бореля функций f (г) и д(г) соответственно, тогда их произведение
является преобразованием Бореля композиции Гурвица (2) рядов f (г) и д(г).
Приведем вариант обобщения композиции Гурвица на случай кратных степенных рядов Тейлора, построенный в работе [7]. Пусть Z+ — множество целочисленных векторов с неотрицательными компонентами, а = (а1,... , ап) Є 2+, а! = а\\ ■ ... ■ ап!. Для заданного набора т (т ^ п) целых чисел 3 = (]1,... ,]т), таких, что 1 ^ ]1 < ]2 < ... < ]т = п и а Є 2+, обозначим через За следующий вектор из 2^:
(2)
и задача состоит в том, чтобы по известным особым точкам функций f (г) и д(г), опре-
Аі ® А2 :— (А[ + А2)',
где А1 = С \ А.
Теорема 1 ([12], 1899) Если функция f (г) голоморфна в области А, содержащей мно-
За = (а1 + ... + ауг , а^ 1 + 1 + ... + аІ2 , . . . , аІт-1 + 1 + ... + а3т ).
Для двух п-кратных степенных рядов
f (г) = а(а)га и д(г) = Ь(а)га, г = (г1,..., гп) Є Сп
под композицией Гурвица, ассоциированной с полной т-круговой областью Ъ С Сг‘ нимается п-кратный ряд вида
^2 а(а ~ РЖР)--------/ тя\\С'7а^'1а^Т-----Ш
сзв(Зву.сза-зв(За - З/З)!
Л (3)
где сза — коэффициенты Тейлора ядра Сеге некоторой фиксированной т-круговой области Ъ С Ст.
В работе [7] построено интегральное представление и изучен вопрос об области сходимости композиции, а именно показано, что ряд (3) можно продолжить в подходящим образом определенную «сумму» звезд и рассматриваются свойства такой «суммы».
В данной статье приведен другой вариант обобщения конструкции Гурвица для п >
1, который естественным образом связан с преобразованием Бореля кратных степенных рядов и многомерными аналогами теоремы Полиа.
Будем рассматривать кратные ряды Лорана вида
/М = Е ^ №
которые сходятся в некоторой окрестности {г € Сп : \г^ \ > Щ,] = 1,...,п} бесконечно удаленной точки (это равносильно голоморфности функции f (1/г) в точке г = 0). Ряду (4) поставим в соответствие кратный степенной ряд
= Е ^ (5)
который называется преобразованием Бореля ряда (4), при этом функции f (г) и Е(г) называются ассоциированными по Борелю. Если известно, что функция f (г) голоморфна в бесконечно удаленной точке, то функция Е(г) является целой функцией экспоненциального типа, т.е порядка не выше первого и не более, чем нормального типа ([13]).
Для целой функций Е(г) переменного г порядка р индикатор определяется формулой
М¥>) = 11Ш ------То---•
Далее, для К С С обозначим через кк(ф) опорную функцию множества К С С
кк (ф) = т&х^е(ге-г1р).
г£К
Теорема Полиа утверждает, что для целых функций экспоненциального типа Нр(ф) = кк(-ф), где К — наименьший компакт, во внешность которого аналитически продолжается функция f (г), ассоциированная по Борелю с Е(г).
Важной характеристикой для целой функции Е(г) нескольких переменных нормального типа и произвольного порядка р является радиальный индикатор ([13, с. 286]):
, , , — 1п|ПЛ(е“0|
Ь„(^)=Ьт-----------------,
т. е. это индикатор функции Е(\£) одного комплексного переменного £, которая является сужением функции Е(г) на комплексную прямую 1\ = {г : г = € С}. Поэтому
представляется естественным следующее
Определение 1 Для фиксированного вектора X = (Х1,..., Хп) Є Сп назовем преобразованием Гурвица ряда (4) преобразование Бореля функции Е(X£), т.е. однократный ряд вида
Данная конструкция является обобщением классической композиции Гурвица степенных рядов (1). Действительно, при п = 2, f (г1, г2) = f (г1)д(г2) и Л = (1,1) из соотношения
(6) получим (2).
Приведем интегральное представление для преобразования Гурвица, которое позволит ниже получить аналитическое продолжение преобразования (6).
Для г, Л € Сп обозначим (Л, г) = Л1г1 + ... + Лпгп и йг = йг1 Л ... Л йгп, где Л — знак внешнего произведения.
Предложение 1 Если f (г) голоморфна в области из Сп, содержащей окрестность {г : \г^\ > Щ= 1,...,п} бесконечно удаленной точки, то преобразование Гурвица голоморфно для £ € С таких, что
где г = {г : \гз\ = \Л\Яу= 1,...,п}
Множество комплексной плоскости А С С назовем козвездой, если оно содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки и его дополнение С \ А до комплексной плоскости является звездой.
Отметим, что для любого набора козвезд А^= 1,... ,п и вектора Л = (Л1;... , Лп) € Сп множество вида
также является козвездой.
Одним из основных результатов данной работы является следующая
Теорема 2 Пусть А^= 1,...,п — козвездные области. Если функция (4) голоморфна в области вида А1 х ... х Ап С Сп, то преобразование Гурвица ряда (4) голоморфно в козвездной области Л1А1 ф ... ф ЛпАп С С.
Заметим, что из этой теоремы очевидным образом получаем неравенство кк(ф) ^ кт(ф), где К — минимальный компакт особенностей преобразования Гурвица f\ и Т = {Л^^А^ +... + ЛпАп}. В случае, если справедлива одномерная теорема Полиа Н\р(ф) = кк(ф), получаем оценку сверху на радиальный индикатор
причем знак равенства имеет место, если этот минимальный компакт особенностей функции fx(£) совпадает с множеством Т.
(6)
^ > |хі| • К\ + ... + 1 Хп1 • Еп и при этом справедливо интегральное представление
хіАі ф ... ф ХпАп ■.= С \ {хіА1 + ... + ХпА'п\
Нх>е (ф) ^ кт(ф),
3 Преобразование Гурвица рациональных функций
Для п = 1 классическая композиция Гурвица (2) рациональных функций f (г) и д(г) является рациональной функцией (см. [1]), причем ее особые точки получаются путем сложения особых точек функций (1). Для п = 2, вообще говоря, из рациональности функции не следует рациональность ее преобразования Гурвица. Например, для функции f (г1} г2) = (1 — г1 — г2 — г1г2)-1 ее преобразование Гурвица имеет вид
Л(£) = Оъ2 + 2(Л1 + А2)£ + + Аз — 6А1А2) 2,
т.е. является алгебраической функцией.
Покажем, что преобразование Гурвица рациональной функции для п = 2 всегда является функцией алгебраической. Прежде всего выделим класс рациональных функций f (г) = Р(г)/Q(г), для которых имеет место разложение в ряд Лорана вида (4).
В случае п = 1 такие функции голоморфны в бесконечно удаленной точке и обраща-
т
ются в ней в ноль. Если Q(г) = ^ ^гв многочлен степени т (т.е. дт = 0), то для любого
/3=0
многочлена Р(г) степени, не превосходящей т, рациональная функция f (г) разлагается в ряд вида (4).
Пусть п > 1 и Q(г) = ^2 двгв — многочлен переменных г = (г1,... , гп), т.е. В —
в&в
конечное подмножество точек из Z+.
Многогранником Ньютона NQ многочлена Q(г) называется выпуклая оболочка в Мп множества В.
Обозначим через V = (у1, ...уп) точку из Z+, такую, что
и. = max{вЛ, j = 1,... ,n,
j @£Nq fjJ,J
и будем рассматривать такие многочлены Q(z), что
V € Nq. (7)
Отметим, что целочисленная точка V является вершиной многогранника Ньютона Nq, т.е. qv = 0. Кроме того, двойственный конус
Cv = {s € : max(s, в) = (s, v)}
P&Nq
многогранника Nq в этой вершине v содержит положительный октант
R+ С Cv. (8)
Если обозначим nv = {x € : 0 ^ Xj ^ Vj, j = 1,... ,n} — прямоугольный параллеле-
пипед в R+, то условие (8) эквивалентно условию
Nq С П.
Предложение 2 Фиксируем многочлен Q(z), удовлетворяющий условию (7). Рациональная функция P(z)/Q(z) разлагается в ряд Лорана вида (4) тогда и только тогда,
когда числитель P(z) удовлетворяет условию
Np С П-I, (9)
где I = (1,..., 1).
Если в предложении 2 отказаться от требования, что точка V является вершиной многогранника Мд, то дробь Рвообще говоря, не будет голоморфной в бесконечно
удаленной точке, например, если /(~1, z2) = (-1 + -г)-1, то функция /( —, —) = ~1~2 , оче-
Z\ £1 + £2
видно, не является голоморфной в нуле, т. е. функция f (г\, г2) не голоморфна в бесконечно удаленной точке.
Если Q(z) = (г) • • • Qrrn (г) — разложение многочлена <^(г) на неприводимые множи-
тели, то обозначим Q*(z) = Ql(z) • • • Qn(z).
Теорема 3 При п = 2 преобразование Гурвица (6) рациональной функции Рф)^ф), голоморфной в бесконечно удаленной точке, является алгебраической функцией, особые точки которой содержатся в множестве точек £ € С вида
£ = \^1 + \2z2j где ^^2) — решения системы уравнений
^ ф1 ,^ = Л2^г1 ф1, ^ — Л1^х2 ф1 ,z2) = 0■
4 Доказательства
Доказательство 1 (Доказательство предложения 1) По условию предложения |£| > |Л1| • Я1 + • • • + |АП| • Яп, тогда для z € Г из неравенства треугольника следует
|Л1z1 + • • • + Хп^п1 ^ |Л1| • Я1 + • • • + 1 Лп1 • Яп < |£ 1 ,
это означает, что на остове Г справедливо соотношение |£| > |Л1z1 + • • • + Лnzn|, поэтому функция ^ разлагается на Г в ряд геометрической прогрессии
1 ^ ||/3||!
£ — (Л^)^ в! £Ш+1'
Умножая полученное разложение на ряд (4) и почленно интегрируя по Г, получим 1 [ $(2) (12 1 [ а(а) ||/^||! 1
(2пг)п У £ — (Л, z) (2пг)п У ^ za+I ^ в! £ 1^1
г Г |Н|>0 Щ\^о И s
1И1! а{а)л 22^ а,! £|Н|+1 _
т—П ||л,II—
Сформулируем свойства композиции козвезд, необходимые для доказательства теоремы 2.
Лемма 1 Если А и В — козвезды, то их сумма А ф В также является козвездой.
Из очевидного включения А1 + А2 С В1 + В2 следует
Лемма 2 Пусть А^ ,В^,] = 1, 2 являются козвездами. Тогда если В1 С А1,В2 С А2, то справедливо включение В1 ф В2 С А1 ф А2.
Рассмотрим зависящее от параметра z отображение : С ^ С, определяемое формулой фг(£) = z — £.
Лемма 3 А1 ф А2 = ^ € С : (А1) П А'2 = 0}.
Доказательство 2 Докажем включение А1 ф А2 С {х € С : (А1) П А'2 = 0}. Пусть
z € А1 фА2, это означает, что z € А1 +А'2. Предположим, что пересечение (А1)ПА2 не пусто, т. е., найдется такая точка £, что £ € <рг (А^) и £ € А'2, откуда £ = z — £ь ^ € А1 или z = £ + £1, где ^ € А1, таким образом z € А1 + А'2, противоречие, следовательно, z € ^ € С : (А1) П А'2 = 0}. Обратное включение доказывается аналогично.
Лемма 4 Пусть А1 и А2 — козвезды и компакт К С А1 ф А2, тогда найдутся козвезды В1,В2, такие, что В^ С А^,] = 1, 2, компакт К С В1 ф В2 и границы дВ1,дВ2 есть замкнутые контуры, охватывающие начало координат.
Доказательство 3 Пусть z € К. Рассмотрим отображение : С ^ С вида (£) =
z — £, одним из свойств которого является = ф-1. Также заметим, что если z € К, то 0 € (А^) для ] = 1, 2. По лемме 3 выполняется (А1) П А'2 = 0 и А1 П (А2) = 0,
поэтому мы можем выбрать контур 71, разделяющий множества А1 и (А2), таким образом, чтобы он охватывал начало координат, а множество В1, где у1 = дВ1, было козвездным. Обозначим 72 = (71) и возьмем контур 72, разделяющий множества А'2
и (В[), таким образом, чтобы он охватывал начало координат, а множество В2, где 72 = дВ2, было козвездным. Отметим, что контур у1 будет разделять множества А1 и (В2). При таком выборе контуров будут выполняться следующие включения: (В1) С В2 и (В2) С В1, откуда следует, что при выбранном значении z справедливо В[ П (В2) = 0 и В'2 П (В1) = 0. Согласно лемме 3, это означает, что z € В1 ф В2. В силу непрерывности отображения по параметру z, это справедливо и для всех z из некоторой окрестности иг точки z € К.
Набор {иг}г€к образует открытое покрытие компакта К. Выберем из него конечное подпокрытие {игк}1к=1. Для каждой точки zk, к = 1, 2,I, найдутся козвезды В1к и В2,к, такие, что В^к С = 1, 2 и ихк С В1>к ф В2,к. Согласно лемме 2 имеем ихк С В1>к ф
I ’ I I ’ 1’ I I
В2,к С и В1}к ф и В2,к, тогда К = У игк С и В1}к ф У В2,к. Множества В1 = У В1}к к=1 к=1 к=1 к=1 к=1 к=1 I ~
и В2 = У В2,к есть козвезды и К С В1 ф В2.
к=1
Лемма 5 Пусть к > 2 и А1,...,Ак — козвезды и задано некоторое множество К С А1 ф ... ф Ак, такое, что его замыкание в С является компактом, тогда найдутся козвезды В1, ■ ■ ■, Вк, такие, что В^ С А^,] = 1, ■ ■ ■ ,к, множество К С В1 ф ... ф Вк и границы дВ1, ■ ■ ■ ,дВк есть замкнутые контуры, охватывающие начало координат.
Доказательство 4 Для доказательства утверждения нужно последовательно применить лемму 4. Для простоты приведем его для случая к = 3. Так как К С А1 ф А2 ф А3 = А1 ф (А2 ф А3), то по лемме 4 найдутся козвезды В1 и В2, такие, что К С В1 ф В2, причем В1 С_ А1 и В2 С А2 ф А3. Опять применим лемму 4, найдем козвезды В2,В3, такие, что В2 С В2 ф В3, тогда К С В1 ф В2 ф В3, где В^ С А^= 1, 2, 3.
Доказательство 5 (Доказательство теоремы 2) Рассмотрим компакт К С А1 ф ••• ф Ап. Согласно лемме 5 найдутся козвезды В^, такие, что Вj• С Аj•,дВ^ —
замкнутые контуры, охватывающие начало координат и К С В1 ф • • • ф Вп. Тогда зависящий от параметра £ интеграл
где Г = 7і х ■ ■ ■ х уп, определяет голоморфную для £ Є К функцию. Действительно, по построению Г С Аі х^ ■ ■х Ап и остается показать, что знаменатель подынтегрального выражения для любых г Є К не обращается в нуль на Г.
Допустим противное. Пусть имеет место Г П {г Є Сп : £ — (X, г) = 0} = 0. Это
® имеем £ Є Ві Ф ■ ■ ■ Ф Вп и, следовательно, £ Є К. Получили противоречие. Таким образом, интеграл представляет собой функцию, голоморфную на любом компакте К, содержащемся в козвезде Аі Ф - ■ ■Ф Ап, и, следовательно, голоморфную и во всей козвезде.
Для £ из окрестности V, точки £ = то в качестве цикла интегрирования можно взять для достаточно больших К цикл Г, = {г : \г^ \ = К,і = 1,... ,п}. Цикл Г из (10) гомологичен для г Є V, циклу Г, в области Аі х ... х Ап \{г : (X, г) = £}, поэтому
откуда из предложения 1 следует, что I(£) = /х(£) для г Є V,,.
Для доказательства теоремы 2 нам потребуется понятие амебы многочлена и некоторые её свойства ([14]).
Амебой Азз многочлена Q(г) называется образ множества
Дополнение к амебе состоит из конечного числа связных компонент, ограниченного снизу числом вершин многогранника Ньютона, а сверху — числом целых точек пересечения Ад П Zn. Кроме того ([14]), каждой вершине V многогранника Ньютона можно сопоставить непустую связную компоненту Еи дополнения амебы Ад и разложение в ряд Лорана функции 1^ф), сходящееся в Ьод-1Е„.
Доказательство 6 (Доказательство предложения 2) Необходимость. Пусть
РФ) = ^2 PaZa, где А — конечное подмножество точек из и = тах а^. В
а£Л аеМР
разложении (4) сделаем замену Zj ^ z~1,j = 1, ■ ■ ■ ,п и после преобразований получим
(10)
означает, что нашлась точка z(0') = (z10'), ■ ■ ■, zm^) € Г С В[ х ••• х В'п такая, что £ = Л^^ + • • • + Л^п0. Так как z(f0 € B,j ^ = 1, ■ ■ ■ ,п, то по свойствам композиции
V = {г Є Сп : Q(z) = 0}
(11)
при логарифмическом проектировании
Ьад : (гь ...,гф ^ ^\гі\,..log\гп\).
где Рф) и (Рф) — многочлены, причем СР(0) = 0. Поскольку правая часть последнего неравенства представляет собой голоморфную в ноле функцию, то Vj — ^j — 1 ^ 0, т.е.
V^j ^ Vj — 1 для j = 1, ■■■ ,п, поэтому Ид С С П„-1.
Достаточность. Пусть выполнено условие (9). Рассмотрим рациональную функцию
и разложим ее в ряд Лорана следующим образом
1 1 1
^г) ди г* (1 — С}(г)) Я, г
V
отметим, что здесь многочлен от,носит,ельно переменных в силу условия
(7). Возводя его в степень к и приводя подобные, получим ряд Лорана вида
1 Е (із)
А / ги+х 4 7
+
В работе [14] показано, что этот ряд сходится в прообразе Ьвд-іЕи связной компоненты Е, дополнения амёбы Ад многочлена Q, соответствующей вершине V многогранника Ньютона N3, причем двойственный конус С, к многограннику N3 является асимптотическим для этой компоненты Е,, т.е. вместе с каждой точкой и Є Е, эта компонента содержит и весь конус и + С,. Из условия (8) следует, что полученный ряд сходится в окрестности бесконечно удаленной точки {\г^\ > К,3 = 1,... ,п}. Умножая разложение (13) на любой моном га, такой, что а Є П,, получим ряд, сходящийся в этой же окрестности. Поскольку Np С П„-1, то при умножении (13) на многочлен Р(г) получим ряд вида (4), сходящийся в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки.
Доказательство 7 (Доказательство теоремы 3) Согласно предложению 1 найдутся такие Кі и К2, для которых при \£\ > + \Х2\К2 справедливо интегральное пред-
ставление
£(г\= 1 [ Рф1^2)сЬ1ЛсЬ2 . .
(гтг^Лд^хе-Ал-А^г 1 ;
где цикл Г = Ьад-іи, и и Є Е„, и £ — (X, г) = 0 на Г.
К указанному интегралу применима теорема об особенностях параметрического вычета Гротендика (см. [10] или [11]). Действительно, ограничение (9) на степень числителя Р(?) означает,, что при переходе к, однородным координат,ам ~і = |^, ~2 = бесконечно удаленная комплексная прямая {£о = 0} не может быть особенностью подынтегральной формы из интеграла (14) при компактификации комплексного пространства СР2, поэтому преобразование Гурвица будет алгебраической функцией и может иметь особенности лишь на множестве точек, определяемом системой уравнений
Q*(гl, г2) = 3(гі,г2) = 0,
где 3 = 3(гі} г2) = Х^* — Х^* — якобиан многочленов Q* и £ — Хігі — Х2г2 по переменным гі,г2. Таким образом, особые точки преобразования /х(£) можно найти как сумму £ = Хігі + Х2г2, где (гі,г2) Є V и Х^*гі(гі,г2) = Х^*,2(гі,г2), а V, как и прежде, определяется уравнением (11).
Литература
1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука. 1967.
2. Haustus M.L.T., Klarner D.A. The diagonal of a double power series. Duke Math. J. 1971. V. 38. №2. P. 229-235.
3. Odoni R.W.K. On the norms of algebraic integers. Mathematica. 1975. V. 22. P. 71-80.
4. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении произведения Адамара в Cn. Мат. заметки. 1982. Т. 32. №4. С. 477-482.
5. Лейнартас Е.К. Многомерная композиция Адамара и суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования. Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. №2. С. 102-107.
6. Sadykov T. M. The Hadamard product of hypergeometric series. Bulletin des Sciences Mathematiques. 2002. V. 126. № 1. P. 31-43.
7. Елин М.М. Многомерный аналог композиции Гурвица. Изв. вузов. Матем. 1985. №2. С. 22-27.
8. Трутнев В.М. Радиальный индикатор в теории суммирования Бореля и некоторые применения Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. №3. С. 659-664.
9. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике или биофизике. / Л.С. Маергойз. Новосибирск. Наука. 1991.
10. Сафонов К.В., Цих А.К. Об особенностях пареметрического вычета Гротендика и диагонали двойного степенного ряда. Изв. вузов. Матем. 1984. №4. С. 51—58.
11. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1988.
12. Hurwitz A. Sur un theoreme de M. Hadamard. C. R. Acad. Sci. (Paris) 128. 350-353 (1899).
13. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва: Наука, 1971.
14. Forsberg M., Passare M., Tsihk A. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas // Advances in Math., 2000, V. 151, P. 45-70.
ON A TRANSFORMATION OF MULTIPLE LAURENT SERIES
A.P. Lyapin
Siberian Federal University,
Svobodny Prospect, 79, Krasnoyarsk, 660041, Russia, e-mail: LyapinAP@yandex.ru
Abstract. In this paper we present a multiple transformations of the Laurent series, which generalizes the classical Hurwitz’s composition of two single series and related with multidimensional analogues of Polya’s theorem.
Keywords: Hurwitz transtormation, radial indicator, Polya’s theorem.
