ОБ ОДНОМ ТОЧНО РЕШАЕМОМ ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ РЫНКА С ТРЕМЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ АКЦИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 5. Если ф(х) € Ь[0,1], то сумма ряда и(х,Ь) формального решения задачи (1)-(3) удовлетворяет условиям (2) ии(х, 0) = 0. Кроме того, если \\фь, — ф\\1 ^ 0 щи Н ^ 0, то ии(х,Ь) сходится к и(х,Ь) равномерно в ((т при любом, Т > 07 т.е. и(х,Ь) есть обобщенное решение задачи (1)-(3).

Таким образом,, если в задаче (1)-(3) ф(х) € Ь[0,1], то обобщенное решение обладает более слабыми по сравнению со свойствами обобщенного решения, когда ф(х) € Ь2[0,1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Курдюмов В. П., Хромов А. П. Обоснование метода Фурье для волнового уравнения при минимальных требованиях на исходные данные // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2015, Вып. 17, С, 32-36,

2, Курдюмов В. П., Хромов А. П. О решении одной смешанной задачи для волнового уравнения с нулевой начальной функцией // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2016, Вып. 18, С, 37-41,

УДК 519.2+519.8

А. Л. Лукашов, К. А. Федорова

ОБ ОДНОМ ТОЧНО РЕШАЕМОМ ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ РЫНКА С ТРЕМЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ АКЦИЯМИ

В работах С. Альбеверио и В. Стебловской [1-2] известная многомерная модель Блэка-Шоулза (см., например, [3]) была обобщена на случай, когда цены акций коррелируют между собой. В частности, там приведены условия (далее - (А), (Е), (К)), обеспечивающие отсутствие арбитражных возможностей и полноту для такой модели.

Одно из условий (А) требует невырожденности матриц, элементами которых являются дисконтированные цены акций, то есть значения векторного случайного процесса, который и требуется найти путем решения уравнений модели. Таким образом, проверка выполнимости условий теоремы Альбеверио - Стебловской является нетривиальной задачей, и в [1-2] был приведен лишь один пример ее решения (для модели рынка с двумя взаимодействующими акциями). Цель данной статьи - построить в явном виде трехмерную модель полного рынка и получить ее аналитическое решение.

Для удобства формулировок мы приведем уравнения рассматриваемой модели для дисконтированных цен акций Zt :

n

dZt = (At - rtI)Ztdt + £ BjZtdej. (1)

j=1

Рассмотрим следующие условия для стохастического процесса: (Е) At и Bj прогрессивно измеримы и такие, что решение (1) существует и единственно на интервале [0,T] для каждого начального вектора x0 Е Rn, постоянного пли независимого от /3¡, 0 < t < T. (А) Линейное алгебраическое уравнение

n

£ nj Bj Zt = Ft (2)

j=i

для Rn-3Ha4Horo процесса nt, 0 < t < T, имеет прогрессивно измеримое решение (для почти всех t Е [0; T]) для каждого решепия Zt уравнения (1) и каждого Rn-3Ha4Horo измеримого процесса Ft, 0 < t < T. nt

Е{ exp - || nu У2 dw } < то, 0 < t < T. (3)

Теорема [1-2]

При выполнении условий (А), (Е), (Ы) модель (1) - безарбитражная и полная.

Пример. Рассмотрим случай п = 3, г = г, Б| = Б3, ^ = 1, 2,3; - дпагональная ж Б3, ] = 1, 2,3 - нижние треугольные матрицы, причем Ъ11 = Ъ22 = Ъ33 = Ъ3 , ; = 1,2,3.

Тогда условия теоремы выполнены, если

Ъ) Ъ2 Ъ3

( ъ)1 Ъ21 ЪЗ1 I = 0,

Ъ))3) Ъ322) Ъ333) ( Ъ) Ъ2 Ъз

( Ъ21 Ъ21 Ъ21 I = о. уъз32 Ъ22 Ъ32

Более того, решение уравнения (1) может быть записано как

t

S? = Ф&: (*2 - xJtM1 + b^bl1 + 63b!1) + xJCb?1 e;* + b?1^* + b?1 A3*)),

S? =

фв* (x! - xgtCbibf'b?1 + bibl'b?1 + 63b?1 b!1) + x? (bl'e;* + b!;e?* + ьГв?*))

где

фв,* = exJ (r - - s) + Qt

(b1)2 + (b?)2 + (6з)2'

v v 2 , .

Qt = MA1* - в1*) + bi(e?* - в?2*) + Ьз(А3* - в!*) ,

в - винеровские процессы относительно мартингальной меры Р* для Zt, Zt = и совпадавт с вплоть до времени первого прохода

нуля ТО = ш£ {0 < г < Т : = 0}, ¿0 = жо е К3, Х > 0, г = 1, 2, 3. Доказательство проводится методом из [1-2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Albeverio S., Steblovskaya V. A. A model of financial market with several interacting assets. Complete market case. Fin. and Stoeh, 2002. Vol. 6, iss. 53. P. 383-396.

2. Albeverio S., Steblovskaya V. A. Financial Market with Interacting Assets. Pricing Barrier Options. Fin, and Stoch, 2002,

3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, М, : Мир, 2004, 406 с, (Серия : Лучший зарубежный учебник)

УДК 519.2+519.8

А. Л. Лукашов, В. А. Федосеева

ОБ ОДНОМ УТВЕРЖДЕНИИ ИЗ РАБОТЫ РЮШЕНДОРФА «ON UPPER AND LOWER PRICES IN DISCRETE-TIME MODELS»

В работе [1] была рассмотрена следующая модель рынка с дискретным временем: на вероятностном пространстве (П, А, Р) цена акции в n-й момент времени задана по формуле

n

Xn = Xo П Yk, 1 < n < N, k=1

где (Yk, Ak) - стохастическая последовательность и Yk ограничено 0 < < ak < Yk < bk .Пусть Bn - облигации с постоянными процентными ставками r« > 0 a« < 1 + Г < b«,

n

Bn = Bo П(1 + rk). k=1