СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНО СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Vу Зх (С(х, у) < С(х', у') & (х, у) > /или С(х, у) < С(х', у')))}.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами, М, : Наука, 1976, 326 е.

2, Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр, М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977, 325 е,

3, Кузнецова И. А. Иерархические игры с неопределенными факторами // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, Вып. 15. С. 21-24.

4, Горелов М. А. Иерархические игры с неопределёнными факторами // Управление большими системами. М. : IIIIV РАН, 2016. Вып. 59. С. 6-22.

5, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1983. 42 с.

УДК 517.96; 517.984

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНО СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Рассматривается волновое уравнение:

д Ь) - д(х)и(х,г), х е [0,1], ь е (-ж, ж), (1)

и(0,Ь) = и(1,Ь) = 0, (2)

и(х, 0) = 0Х(х, 0) = ф(х), (3)

где комплексная д(х) е Ь2[0,1].

В [1] резольвентным подходом в методе Фурье, базирующимся на применении метода Кошп-Пуанкаре контурного интегрирования резольвенты оператора, порождаемого соответствующей спектральной задачей, для случая д(х) е С[0,1] было получено классическое решение задачи (1)-(3) при минимальных требованиях гладкости на^(х). Теперь у нас ^(х) удовлетворяет более слабым требованиям и д(х) е Ь2[0,1]. Приводимые ниже результаты усиливают соответствующие результаты для д(х) е С[0,1] в [2].

д2и(х, Ь)

дь2

при условиях

1. Здесь считаем, что ^(х) Е ^ [0,1] и ^(0) = ^(1) = 0 [0,1] = = {/(ж) |/'(х)абсолютпо непрерывна на[0,1] и/'(ж) Е Ь2[0,1]}). Формальное решение, как и в [1], представим в виде

где

и(х, Ь) = и0(х, Ь) + и1(х, Ь),

. / Л

и0(х,Ь) =

2пг

\л|=

+ Е

п>по,

/

(Я

Бт рЬ

¿Л,

Р

(4)

(5)

и1(х, Ь) =

1

/

\

2т

+ Е

п>по^

(Ял^ - яЛ

Бт рЬ Р

¿Л,

\|Л|=г п>п07п )

Ял = (Ь — ЛЕ)-1 - резольвента оператора Ь (Е - единичный оператор, Л - спектральный параметр), Ьу = —у'' + q(x)y при условиях у(0) = у(1) =0 г > 0 фиксировано и таково, что все собственные значения оператора Ь при |Лп| > г - простые и попадают по одному в области с границами 7п, являющиеся образами окружностей {р | |р — пп| = д} (д > 0 и достаточно мало), Л = р2, Яер > 0 п > п0; ЯЛ = (Ьо — ЛЕ)—1 -резольвента оператора Ь0, который есть Ь при д(х) = 0.

Обозначим через г1(х,р) и г2(х, р) решения уравнения у'' — q(x)y+ +р2у = 0 с начальными условиями г1(0,р) = 1, г'1 (0,р) = 0 ¿2(0, р) = 0,

4 (0,р) = 1.

Теорема 1. [1, теорема 1] Имеют место формулы

(6)

Ял/ = г2(х,р)(/ ¿1) — у(х,р)(/,г2) — (Мр/)(x), ЯЛ/ = ^ (х,р)(/,г?) — у°(х,р)(/,4) — (МО/)(х),

м (х,Ь,р) =

у°(х, р), г!(х, р)7 ¿2(х, р)> Мр0 - те же

г^е и(х, р) = (/, р) = / /(х)р(х) ¿хМр/ = / М(х, Ь, р)/(Ь)

г1(г,р) ¿2(ь,р)

¿1(х,р) ¿2(х,р)

что и у(х,р), г1(х,р), г2(х,р), Мр, но взяты для оператора Ь0.

Л

(5) и (6) по теореме вычетов получаем Лемма 1. Имеет место формула

и0

(х, Ь) = 2 — ), ^п пп^) Бт ппх Бт ппЬ.

п= 1

г

Лемма 2. Ряд u0(x,t) сходится абсолют,но и равномерно и для его суммы имеет место формула

x+t

uo(x,t) = 2 J #Т) dT,

x-t

где i/(x) = ф(х) при x Е [0,1], ^/^(x) = —i/(—x), t//(x + 2) = ^(x). Из леммы 2 так же, как и теорема 1 из [2], получается Теорема 2 .Функция u0(x,t) есть классическое решение задачи (1)-(3), когда уравнение (1) cq(x) = 0 выполняется почти всюду (п. в.). Для исследования ряда ui(x,t) обозначим

. 1 f .sinpt 7Л

an(x,t) = — J (x,p)-d\,

2ni J p

Yn

где J(x, p) = [v(x, p) — v0(x, р)](ф, Z2) + v{(x, р)(ф, Z2 — z%). Тогда

u1

(x,t) = ^2 uin(x,t), (7)

n

где и\п(х,1) = ап(х,Ь) и суммирование ведется поп = 0,п0,п0 + 1,... и 7о есть |Л| = г.

Лемма 3. Ряды £ и^(х,Ь), (; = 0,1, 2) £ и^(х,Ь), (; = 0,1) сходятся абсолют,но и равномерно в QT = [0,1] х [—Т, Т] при, любом Т > 0. На основании леммы 3 получается

Лемма 4. Функция и'1х(х,Ь) абсолютно непрерывна по х и п. в. по х иЬ из Qт справедл и,во и"х2 (х,Ь) = д (х)и(х,Ь) + (1(х,Ь), где

d(x,t) =

2ni

l \ J +

^|A|=r n^n0 Yn )

X J(x, p)S—— d\ p

и ряд ((х,Ь) сходится абсолют,но и равномерно в Qт■ Из (4) с помощью теоремы 2 и лемм 3, 4 получается Теорема 3. Если ф(х) е ^[0,1] и ^(0) = ф(1) = 07 то сумма ряда и(х,Ь) формального решения, задачи (1)-(3) является классическим, решением этой задачи, когда уравнение (1) выполняется п. в.

2. Пусть теперь ф(х) е Ь2[0,1]. Представление (4) формального решения сохраняется.

Лемма 5. Ряд и0(х,г) сходится абсолют,но и равномерно и для его суммы имеет место формула

и0(х,г) = ^[Ф(х - г) - Ф(х + г)] , (8)

2

1

где Ф(х) = / ф(т) ¿т при х е [0,1], Ф(х) = Ф(-х), Ф(х + 2) = Ф(х).

X

Кроме того, существует и'ы(х, 0) для п.в. х е [0,1] и

и04(х, 0) = ф(х). (9)

Доказательство формулы (8) получается на основании леммы 1, а

х

множества

{х|х е (0,1), Ф'(х)копечна}.

Лемма 6. Ряди1 (х,г) и ряд, получающийся из него почленным дифференцированием, по г, сходятся абсолютно и равномерно в QT при, любом Т > 0.

Из формулы (4) на основании лемм 5 и 6 и теоремы равносходимости

для операторов Ь и Ь0 получаем

Лемма 7. Сумма ряда и(х,г) удовлетворяет условиям (2) и

и(х, 0) = 0 и(х, г) абсолют,но непрерывна по г; п.в. на [0,1] существует

и£(х, 0) м и£(х, 0) = ф(х).

Пусть гфн(х) - та же, что и ф(х) в теореме 3 и и^(х,г) - решение

задачи (1)-(3) для такой фн(х). Тогда из оценки тах |и(х,г)| < СТ \\ф\\2

Ят

постоянная Ct зависит только от T и ||^||2 - норма в [0,1]), следующей из (4), леммы 5 и формулы (7), получаем

Теорема 4. Если, ^(x) Е L2[0,1] w ||^h — ^||2 ^ 0 щи, h ^ 0, то uh(x,t) сходится к u(x, t) равномерно в QT при, любомТ > 0, m.e. u(x,t) есть обобщенное решение задачи (1)-(3).

3. И в случае, когда ^(ж) Е L[0,1], формальное решение берем в виде (4). Аналогично приведенным в п.2 получаются следующие результаты.

Лемма 8. Ряд u0(x,t) сходится равномерно в QT, для его суммы справедлива формула (8) и выполняется оценкатах |u0(x,t)| < ||^||1; а

Qt

ряд u1(x,t) сходится абсолют,но и равномерно в QT и max |u1(x,t)| <

Qt

< CT ||^||1; где ||^|1 - норма в L[0,1].

Пусть ^h(x) и uh(x,t) - те же, что и в п. 2.

Теорема 5. Если ф(х) е Ь[0,1], то сумма ряда и(х,г) формального решения, задачи (1)-(3) удовлетворяет условиям (2) ии(х, 0) = 0. Кроме того, если — ф\\1 ^ 0 щи Н ^ 0, то ии(х,г) сходится к и(х,г) равномерно в QT при любом, Т > 07 т.е. и(х,г) есть обобщенное решение задачи (1)-(3).

Таким образом,, если в задаче (1)-(3) ф(х) е Ь[0,1]7 то обобщенное решение обладает более слабыми по сравнению со свойствами обобщенного решения, когда ф(х) е Ь2[0,1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Курдюмов В. П., Хромов А. П. Обоснование метода Фурье для волнового уравнения при минимальных требованиях на исходные данные // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2015, Вып. 17, С, 32-36,

2, Курдюмов В. П., Хромов А. П. О решении одной смешанной задачи для волнового уравнения с нулевой начальной функцией // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2016, Вып. 18, С, 37-41,

УДК 519.2+519.8

А. Л. Лукашов, К. А. Федорова

ОБ ОДНОМ ТОЧНО РЕШАЕМОМ ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ РЫНКА С ТРЕМЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ АКЦИЯМИ

В работах С. Альбеверио и В. Стебловской [1-2] известная многомерная модель Блэка-Шоулза (см., например, [3]) была обобщена на случай, когда цены акций коррелируют между собой. В частности, там приведены условия (далее - (А), (Е), (К)), обеспечивающие отсутствие арбитражных возможностей и полноту для такой модели.

Одно из условий (А) требует невырожденности матриц, элементами которых являются дисконтированные цены акций, то есть значения векторного случайного процесса, который и требуется найти путем решения уравнений модели. Таким образом, проверка выполнимости условий теоремы Альбеверио - Стебловской является нетривиальной задачей, и в [1-2] был приведен лишь один пример ее решения (для модели рынка с двумя взаимодействующими акциями). Цель данной статьи - построить в явном виде трехмерную модель полного рынка и получить ее аналитическое решение.