ОБ ОДНОМ ТИПЕ КОМПАКТНОСТИ РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 515.122

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 18

ОБ ОДНОМ ТИПЕ КОМПАКТНОСТИ РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

КанетовБекболот Эменович, д.ф.-м.н., профессор

bekbolot_kanetov@mail. ru Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына

Бишкек, Кыргызстан Сактанов Улукбек Абдисаматович, к.ф.-м.н, доцент

[email protected] Ошский государственный университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В последнее время интенсивно развивается теория компактных типов равномерных пространств. К типам компактности равномерных пространств относятся предкомпактные, Г -предкомпактные, Т -ограниченные, равномерно Менгера, равномерно Гуревича, компактные пространства. В настоящей статье исследуются некоторые свойства равномерно Гуревича пространства (или равномерно H - пространства).

Ключевые слова: равномерно H - пространства, предкомпактные пространства, Г - предкомпактные пространства, Т - ограниченные пространства, предкомпактные отображения, равномерно совершенные отображения.

БИР КАЛЫПТУУ МЕЙКИНДИКТЕРДИН БИР КОМПАКТУУЛУК ТИБИ

же^ыде

Канетов Бекболот Эменович, ф.-м.и.д., профессор

bekbolot_kanetov@mail. ru Ж. Баласагын атандагы Кыргыз улуттук университеты,

Бишкек, Кыргызстан Сактанов Улукбек Абдисаматович, ф.-м.и.к, доцент

[email protected] Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызстан

Аннотация: Акыркы убакта бир калыптуу мейкиндиктердин компакттуу тибинин теориясы интенсивдуу турдв внугуп жатат. Бир калыптуу мейкиндиктердин компакттуулугунун тибтерине предкомпактуу, Г - предкомпактуу, Т - чектуу, бир калыптуу Менгер, бир калыптуу Гуревич, компактуу мейкиндиктери кирет. Бул макалада бир калыптуу Гуревич мейкиндигинин (же бир калыптуу н -мейкиндиктин) кээ бир касиеттери изилденген.

Ачкыч свздвр: бир калыптуу H - мейкиндиктер, предкомпактуу мейкиндиктер, Г - предкомпактуу мейкиндиктер, Т - чектелген мейкиндиктер, предкомпактуу чагылтуулар, бир калыптуу жеткилец чагылдыруулар.

ABOUT ONE TYPE OF COMPACTNESS

Kanetov Bekbolot Emenovich, Doctor of Ph. & Math. Sc., professor

bekbolot_kanetov@mail. ru Kyrgyz National University named after Jusup Balasagyn

Bishkek, Kyrgyzstan

Saktanov Ulukbek Abdisamatovich, Candidate of Ph. & Math. Sc., docent

[email protected]

Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: now edeys, the theory of compact types of uniform spaces has been intensively developed. The types of compactness of uniform spaces include precompact, J -precompact, T -bounded, uniformly Menger, uniformly Hurevich, compact spaces. In the present article, some properties of a uniformly Hurevich space (or a uniformly H -space) are investigated.

Keywords: uniformly H -spaces, precompact spaces, J -precompact spaces, T -bounded spaces, precompact mappings, uniformly perfect mappings.

В последнее время интенсивно развивается теория компактных типов равномерных пространств. К типам компактности равномерных пространств относятся предкомпактные, J -предкомпактные, т -ограниченные, равномерно Менгера, равномерно Гуревича, компактные пространства. Теория этих инвариантов весьма обширна.

Класс равномерно Гуревича пространств, впервые введен и исследован Л. Кочинацом [10], [11].

В настоящей статье исследуются некоторые свойства равномерно Гуревича пространства (или равномерно H -пространства).

Напомним [10], что равномерное пространство (X,U) называется равномерно Гуревича пространством (или равномерно H -пространством), если для любой последовательности{ап} с U существует такая последовательность {Рп}, что Р„ сап

конечное подсемейство и для каждой точки x е X, x eu^n почти для всех n е N .

В работе все равномерные пространства предполагаются отделимыми, топологические пространства - тихоновскими, а отображения - равномерно непрерывными. Основные терминологии взяты из работы [1] - [9].

Теорема 1. Всякое предкомпактное равномерное пространство (X, U) является равномерно H -пространством.

Доказательство. Пусть (X, U)- предкомпактное пространство и{ап} с U -произвольная последовательность равномерных покрытий. В силу предкомпактности (X, ^для любого номерап е N покрытие^ содержит конечное подпокрытие aQn с ап.

Положим {$„}, Рп = а°п . Легко видеть, что для каждого x е X, x е u^n почти для всех n е N. Следовательно, (X, ^является равномерноH -пространством.

Следствие 1. Любое компактное равномерное пространство (X, U) является равномерно H -пространством.

Теорема 2. Всякое j -предкомпактное равномерное пространство (X, U) является равномерно H -пространством.

Доказательство. Пусть равномерное пространство (X,U) является j -предкомпактным и {ап} с U - последовательность равномерных покрытий. Так как (X,U) есть j -предкомпактное пространство, то оно представляется в виде объединения счетного числа своих предкомпактных подпространств, т.е. X = Xn. Положим

п

Xn Аап = ахп. Поскольку, пространства Xn предкомпактное, то равномерное покрытие ап содержит конечное равномерное покрытие сс°т . Пусть x е X - произвольная точка.

Тогда легко видеть, что х <а^>ап почти для всех п . Следовательно, (X, и) является равномерно Н -пространством.

Теорема 3. Всякое равномерно Н -пространство (X, и) является Кп -ограниченным.

Доказательство. Пусть а е и - произвольное равномерное покрытие иап = а для любого п е N . Тогда для последовательности{ап} с и, гдеап = а , п е N, существует такая последовательность {Д,} конечных подсемейств, что для каждой точки х е X х еи^п почти для всех п е N. Для каждого п е N и для каждого элемента Вд(г) е /Зп, г = 1,2,..., к такого что, Вд(г} э х выбирая по одному элементу (. из

а = ап мы получим конечное подсемейство а°п с а. Тогда семейство ^ а0 является

счетным подпокрытием покрытия а. Следовательно, пространство (Х,и) является Кп -ограниченным.

Из теоремы 1. и 3. следует, что Н -пространство промежуточно между предкомпактными и Кп -ограниченными пространствами.

Теорема 4. Тихоновское пространство X является Н -пространством тогда и только тогда, когда равномерное пространство (X, их) с универсальной равномерностью их является равномерно Н -пространством.

Доказательство. Достаточность. Пусть тихоновское пространство X является Н -пространством и {ап} с UX - произвольная последовательность равномерных покрытий.

Внутренность (а^ каждого покрытия ап е и является открытым покрытием, то {(ап)} является последовательностью открытых покрытий пространстваX , = {А ■ А еап}, где (А) внутренность множества А. Тогда существует такая последовательность {Рп} конечных открытых подсемейств, что для каждой точки х е XX почти для всех

п е N, следовательно, пространство (X, их) является Н -пространством.

Достаточность. Пусть {ап}- произвольная последовательность открытых покрытий

пространства X . Тогда {ап} с UX . Поэтому х е иЛп существует такая

последовательность {Рп} конечных семейств, что для каждой точких е X х е почти

для всехп е N. ПоложимЛп = , (/Зп) = {В) ■ В е Рп} . Заметим, что (Лп}

последовательность конечных подсемейств и для каждой точки х е X почти для всех п е N. Следовательно, X является Н -пространством.

Теорема 5. Предкомпактный прообраз равномерно Н -пространства является равномерно Н -пространством. уп е и

Доказательство. Пусть / : (X, и) ^ (У, V) - предкомпактное отображение равномерного пространства (X, и) в равномерно Н -пространство (У, V) и{ап} с и -произвольная последовательность равномерных покрытий. Тогда для любого п е N существует такие конечное покрытие и Рп е V, что /4Рп ап. Поскольку (У, V)

равномерно Н -пространство, то для последовательности [Дп} с V существует такая последовательность {Д0} конечных подсемейств, что для каждой точки х е X х е иД0 почти для всех п е N. Для любого п е N семейство / 1Д1 л уп является конечным, и кроме того и {/~1д0п л Уп} = и/~1д0п . Дале^ для любого /- Б°п1 п Гй>г е / 1Дп л уп выберем такоеЛ^ е аи, что /-1с Л^. Легко видеть, что для каждой точки

х е X х е иа° почти для всех п е N, следовательно, (X, Ц) является равномерно Н -пространством.

Из теоремы Л. Кочинаца (см [10], стр. 131) и теоремы 5 следует следующая теорема.

Теорема 6. При предкомпактных отображениях равномерно Н -пространство сохраняется как в сторону образа, так и в сторону прообраза.

Следствие 2. При равномерно совершенных отображениях равномерно Н -пространство сохраняется в обе стороны.

Предложение 1. Пространство действительных чисел Я с естественной равномерностью является равномерно Н -пространством.

Доказательство. Пусть [ап} с ЦЯ - произвольная последовательность равномерных покрытий и Д = [(п - 1, п + 1): п = 0,±1,±2,...}- открытое покрытие пространства (Я, Пк). Рассмотрим следующее построение: при п = 0 в силу компактности [-1,1] из покрытия а1 выделим конечное подсемейство а° с ах такое, что (-1,1) с [-1,1] с иа0, прип = 1 из покрытия а2 выделим конечное подсемейство а° с а2 такое, что(-2,0) с [-2,0] с а\ , а при п = -1 из покрытия а3 выделим конечное подсемейство а\ с а , такое, что (-2,0) с [-2,0] с а° и т.д. Далее продолжая этот процесс, мы получим последовательность [а°} конечных подсемейств. Поскольку Д является покрытием пространства (Я, и к) и каждый элемент (п - 1, п + 1) е Д покрывается некоторым конечным подсемейством а°, то для каждой точки х е Я х е иа°п почти для всехп е N . Следовательно, пространство (Я, ик) является равномерно Н -пространством.

Следствие 3. Пространство рациональных чисел Q индуцированной из равномерностью является равномерно Н -пространством. Единичный интервал (0,1) индуцированной из равномерностью также является равномерно Н -пространством.

Доказательство следует из предложения и из теоремы Л. Кочинаца (см [10], стр. 131) о том, что всякое подпространство равномерно Н -пространства является равномерно Н -пространством.

Предложение 2. Пополнение равномерно Н -пространства является равномерно Н -пространством.

Доказательство. Пусть (X, Ц) - пополнение равномерно Н -пространства (X, Ц) и {ап} с и - произвольная последовательность равномерных покрытий. Положим ап = ап л [X}. Тогда из определения пополнения равномерных пространств [ап} с и .

Так как (X, U) равномерно H -пространство, то существует последовательность {ßn} конечных подсемейств такая, что для каждой точки x е Xx . Положим

ßn = {Bn : Bn е ßn}, Bn = X~\[X\Bn]X , Bn е ßn. При любом n е N семейство ßn является конечным, так как семейство ßn является конечным, при любом n е N . Пусть ~ е X - произвольная точка. Поскольку отображение i : (X, U) ^ (X, U) изоморфизм равномерного пространства (X, U) в равномерное пространство (X, U), то i4 (~) = x . Поэтому ~ е^ßn почти для всех n е N. Следовательно, пополнение (X, U) является

равномерно H -пространством.

Известно, что произведение (X х Y,U х V) равномерно H -пространства (X, U) на равномерно H -пространство (Y, V) является равномерно H -пространством.

Теорема 7. Конечная дискретная сумма (X, U) = Ц{(X,.,Ui)i = 1,2,...,m} равномерно

H -пространств (Xt,U t),i = 1,2,...,m - равномерно H -пространства.

Доказательство. Пусть (Xt,Ui),i = 1,2,...,m - равномерно H -пространства. Пусть {an} с U - некоторая последовательность равномерных покрытий. Тогда {ani} с Ui i = 1,2, ..., m . Поэтому при каждом i е {1,2, ..., m} существует такая последовательность {ßn t}, что при любом n е N семейство ßn t является конечным и для

n

каждой точки x е X; x е^ßni почти для всех n е N . Положим ßn = ^ ßni . Поскольку

i = 1

пространство (Xi,Ui),i = 1, 2,...,m - попарно дизъюнктны в пространстве (X, U), то система ßn является конечным подсемейством для an. По определению дискретной суммы равномерных пространств, имеем, что для каждой точки x е X x е ußn почти для всех n е N . Следовательно, равномерное пространство (X,U) равномерно H -пространство.

Литература

1. Борубаев А.А. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения. - Фрунзе: Илим,

1990.

2. Борубаев А.А., Чекеев А.А. Равномерные структуры на топологических пространствах и группах. -Бишкек: Изд. центр при КГПУ им. И. Арабаева, 1997.

3. Борубаев А.А. Равномерные пространства. - Бишкек: Учкун, 2003.

4. Борубаев А.А. Равномерные пространства. - Бишкек: КГУ, 1987.

5. Борубаев А.А. О некоторых классах равномерных пространств. - Изв. НАН КР. - 2012. - № 3. - С. 102-105.

6. Борубаев А.А. Равномерная топология. - Бишкек: Илим, 2013.

7. Канетов Б.Э. Некоторые классы равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. - Бишкек, 2013.

8. Borubaev A.A. Uniform topology and its applications. - Bishkek: Ilim, 2021.

9. Isbell J. Uniform space. - Providence, 1964.

10. Kocinac L.D.R. Selection principles uniform spaces // Note Mat. - T. 22. - Vol. 2. - 2003. - P. 127-139.

11. Kocinac L.D.R. Some covering properties in topological and uniform spaces // Proceedings of the Steklov Institute of Math. - T. 252. - 2006. - P. 122-137.

1QQ