CC BY
21
ОБ ОДНОМ ПОДКЛАССЕ ПРЕДКОМПАКТНЫХ РАВНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВ Чекеев А.А.1, Абдраимова М.А.2, Чанбаева А.И.3 Em ail: Chekeev627@scientifictext.ru
'Чекеев Асылбек Асакеевич — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических
наук, профессор;
2АбдраимоваМахабат Асанбековна — кандидат физико-математических наук, доцент; 3Чанбаева Айгуль Издибаевна — соискатель, кафедра алгебры, геометрии, топологии и преподавания высшей математики, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в работе введены COZ — псевдокомпактные равномерные пространства, являющиеся подклассом предкомпактных равномерных пространств. Coz — псевдокомпактные равномерные пространства являются аналогом псевдокомпактных топологических пространств. Доказаны характеристики COZ — псевдокомпактных равномерных пространств посредством локально конечных u — открытых покрытий, счетных убывающих семейств u — открытых множеств. Доказано, что свойство COZ — псевдокомпактности равносильно тому, что у исходного пространства Волмэновская предкомпактная равномерность совпадает с COZ — тонкой равномерностью, следовательно, само исходное равномерное пространство является предкомпактным. Показано, что у COZ — псевдокомпактного равномерного пространства / — подобная компактификация и Волмэновская реалкомпактификация совпадают.
Ключевые слова: U — открытые, u — замкнутые множества, u — непрерывная функция, COZ — псевдокомпактность.
ON A SUBCLASS OF PRECOMPACT UNIFORM SPACES Chekeev AA.1, Abdraimova MA.2, Chanbaeva A.I.3
'Chekeev Asylbek Asakeevich — Habilitated Doctor of Mathematics, Full Doctor of Mathematics, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; 2Abdraimova Mahabat Asanbekovna — PhD Mathematics, Candidate ofPhysical and Mathematical Sciences,
Associate Professor; 3Chanbaeva Aigul Izdibaevna — competitor, DEPARTMENT OF ALGEBRA, GEOMETRY, TOPOLOGY AND TEACHING OF MATHEMATICS, FACULTY OF
MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN
Abstract: in this paper the COZ - pseudocompact uniform spaces are introduced, which are a subclass of precompact uniform spaces. Coz —pseudocompact uniform spaces are an analogue of topological pseudocompact spaces. The characterizations of COZ — pseudocompact uniform spaces are proved by means of locally finite u open coverings, countable decreasing family of u open sets. It is proved, that property of COZ — pseudocompactness is equivalent to that for a uniform space the Wallman precompact uniformity coincides with COZ - fine uniformity, hence, that uniform space is precompact. It has been shown that for a COZ - pseudocompact uniform space 3 — like compactification and Wallman realcompactification coincide.
Keywords: u open, u closed sets, u ^nUn^us function, COZ - pseudocompactness.
УДК 515.12
В работе приняты обозначения из статей [5], [8], [2], [3]. Необходимая информация взята из статей [5], [8], [2] и доклада [7].
Знак □ - завершение доказательства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Равномерное пространство uX называется coz —
псевдокомпактным, если всякая u непрерывная функция ограничена, т.е. C (X) = C*(X) ■
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Ясно, что всякое COZ — псевдокомпактное равномерное пространство
является равномерно псевдокомпактным в смысле А.А. Борубаева [1]. Метрическое coz — псевдокомпактное равномерное пространство является топологически псевдокомпактным, следовательно, является метрическим компактом, в то время как, существуют равномерно псевдокомпактные не компактные метрические пространства. Например, «метрический ёж»
J(m ) колючести m [4, Пример 4.1.5].
ТЕОРЕМА 3. Для любого равномерного пространства uX следующие условия равносильны:
(1) uX COZ - " псевдокомпактно.
(2) Каждое локально конечное u открытое семейство непустых u открытых множеств в uX конечно.
(3) Каждое локально конечное u открытое покрытие X непустыми u — открытыми множествами конечно.
(4) Каждое локально конечное u открытое покрытие пространства uX содержит конечное подпокрытие.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) ^ (2). Предположим, (2) не выполнено. Тогда существует
счётное локально конечное М открытое семейство {Un Пусть Хп Е Un; П €Е N. Тогда существуют такие u непрерывные функции f £ C (X) , что fn (Xn) = {n} и fn(X\Un) С{0} . В силу локальной конечности семейства {Un} raeN функция, определаемая
n
формулой f (x) = X | f (x) | для любой точки X £ X , является u непрерывной [8] и
n=1 "
неограниченной, т.е. uX не coz - псевдокомпактно. Противоречие доказывает (1). Импликации (2) ^ (3) и (3) ^ (4) очевидны.
(4) ^ (1). Пусть f £ Cu (X) - произвольная u непрерывная функция на пространстве
иХ . Тогда семейство {f ((/ — 1, / +1)) ! / £ Щ - локально конечное Ы открытое
покрытие uX , из которого можно выделить конечное подпокрытие, следовательно функция
f является ограниченной, и пространство uX COZ — псевдокомпактно. □
ТЕОРЕМА 4. Для произвольного равномерного пространства uX следующие условия равносильны:
(1) uX COZ - псевдокомпактно.
(2) Для каждой убывающей последовательности U13U23... непустых u — открытых множеств в
uX выполняется Г\ [Un ] Ф 0 .
(3) Для каждого счётноцентрированного семейства {У^п\пеЩ ^ открытых в llX множеств О [V 1 у Ф- 0 .
иеЩ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1)^(2). Пусть uX COZ — псевдокомпактно и Ux 3U2 3... -убывающая последовательность непустых u открытых множеств в
uX.
Тогда, в силу
теоремы 3, последовательность не является локально конечной, т.е. существует точка
X £ X такая, что её каждая окрестность пересекает бесконечно много множеств . Ясно, что выполнение X £ гО ГV Ф 0.
яеМ
(2) ^ (3). Положим U = V = V ^V '•••'V = ^ V ,•••. Тогда построенная
k=1
последовательность {£/и}ие^ является убывающей, и имеем, ni [f/Jx = <~^Wn\x ^ 0 ■
(3)=^(1). Для некоторой Ы непрерывной функции f \иХ—> К множество
Vn = {xеX :\f (x)\>n} u -
открыто и семейство счётноцентрированно. Имеем
r^fVJy = 0. Противоречие. Следовательно, функция f ограничена и пространство иХ
иеИ
COZ — псевдокомпактно. □
ТЕОРЕМА 5. Равномерное пространство
uX COZ - 'псевдокомпактно если и только, если ucf = up и uX является предкомпактным равномерным пространством.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть равномерное пространство uX COZ — псевдокомпактно и Ucf - COZ — тонкая равномерность на
X [9]. Равномерность Ucf имеет базу из всех локально конечных COZ — аддитивных u открытых покрытий равномерного пространства uX [6, 7].
Z _ Z ~ , Z
Тогда, в силу теоремы 3, uf = up . Равномерность u содержится в uCf, следовательно, u предкомпактная равномерность, т.е. u = u и u С up . Обратно, пусть u^ = up и
uX предкомпактно и f иХ —> М - произвольная U — непрерывная функция, т.е. f е Cu (X) . Тогда f равномерно непрерывна относительно
Z Z _ Z
равномерности u f. Так как u^ = up , то f является ограниченной u — непрерывной
функцией, т.е. f е Си (X) . Итак, uX COZ — псевдокомпактно. □ ТЕОРЕМА 6. Равномерное пространство
uX COZ — псевдокомпактно если и только,
если любая центрированная последовательность u замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует такая последовательность ^
U замкнутых в иХ множеств такая, что ГлХ —0. Покажем, что в этом случае, иХ
не N
не
COZ - псевдокомпактно. Пусть Zn = Z (fn) = {x е X : fn (x) = {0}, где fne Cu(X) . Тогда для функции f (x) = 2 \ f (x) \ /2n , для любой точки x е X , имеем f е Cu (X) [8]. Так
n=i n
как nZ„ =0,то f (x) Ф 0 для любой точки X £ X . Следовательно, g = 1 / f eCu (X)
neN
[8] и g > z для любого П £ N, т.е. функция g не ограничена. Это означает, что
uX не
COZ — псевдокомпактно.
n
Обратно, пусть uX не C0Z псевдокомпактно. Тогда существует не ограниченная u непрерывная функция f 6 C (X) . Множество Ъп = (х 6 X :| f (х) |> 0} u замкнуто семейство {Zn '. Yl £ N} центрировано, но r^i Z = 0 . □
mgN
СЛЕДСТВИЕ 7. Равномерное пространство uX C0Z — псевдокомпактно если и только, если каждый Zu ультрафильтр является счётноцентрированным.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть uX C0Z — псевдокомпактно и p - произвольный Zu ультрафильтр. Тогда для любой последовательности \Z„ МС р имеем C\Z 0 .
Обратно, если последовательность {2п}пещ И замкнутых множеств центрирована, то
она содержится в Zu ультрафильтре p , который счётноцентрирован, следовательно
nZ„ Ф 0 , т.е. UX C0Z "псевдокомпактно. □
не N
СЛЕДСТВИЕ 8. Равномерное пространство
uX C0Z - псевдокомпактно если и только,
если В X = V X.
' u u
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если uX C0Z — псевдокомпактно, то PuX = VuX по следствию 7 и по пострению /ЗиX и V X [8].
Обратно, если в X = v X, то по следствию 7, uX является
coz - псевдокомпактным
равномерным пространством. □
ТЕОРЕМА 9. Пусть f : uX —> vY - сюрьективный C0Z — морфизм и
uX C0Z —
псевдокомпактно. Тогда vY также C0Z~ псевдокомпактно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g .vY—> IS - произвольная И непрерывная функция. Тогда g о f ; uX —> К также И непрерывна и является ограниченной в силу, COZ ~ псевдокомпактности
uX. Следовательно, g также ограничена и vY C0Z—
псевдокомпактно. □
Список литературы / References
1. Борубаев А.А. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения. Бишкек. Илим, 1991. 171 с.
2. Чанбаева А.И. Об и-совершенных отображениях // Проблемы современной науки и образования, 2016, № 10 (52). С. 16-20.
3. Чекеев А.А., Рахманкулов Б.З. О подобной компактификации и инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств // Вестник науки и образования, 2016. № 6 (18). С. 6-14.
4. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
5. Chekeev A.A., Rakhmankulov B.Z., Chanbaeva A.I. On C- и C — embedded uniform spaces //
u u 1
TWMS J. Pure Appl., Math.(2017) (to appear).
6. Chekeev A.A., Kasymova T.J. Epi-reflective hull of all metric uniform spaces class with given weight //International conference dedicated 120 anniversary of Kazimierz Kuratowski, 2016. 2730 September (Lviv, Ukraine). Topology Atlas. 2016. P. 12-15.
7. Chekeev A.A., Kasymova T.J. Ultrafilter-completeness on zero-sets of uniformly continuous functions // TOPOSYM - 2016. 25-29 July (Prague, Czech Republic). Topology Atlas, 2016. P. 76 (to appear).
8. Chekeev A.A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications // Topol. Appl., 2016. V. 201. Pp. 145-156.
9. Frolik Z. A note on metric-fine spaces // Proc. Amer. Math. Soc. V. 46. № 1, 1974. Pp. 111-119.
