Научная статья на тему 'Об одном подклассе предкомпактных равномерных пространств'

Об одном подклассе предкомпактных равномерных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
89
21
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОТКРЫТЫЕ / OPEN / ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА / CLOSED SETS / НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ / СONTINUOUS FUNCTION / ПСЕВДОКОМПАКТНОСТЬ / PSEUDOCOMPACTNESS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чекеев Асылбек Асакеевич, Абдраимова Махабат Асанбековна, Чанбаева Айгуль Издибаевна

В работе введены псевдокомпактные равномерные пространства, являющиеся подклассом предкомпактных равномерных пространств. псевдокомпактные равномерные пространства являются аналогом псевдокомпактных топологических пространств. Доказаны характеристики псевдокомпактных равномерных пространств посредством локально конечных открытых покрытий, счетных убывающих семейств открытых множеств. Доказано, что свойство псевдокомпактности равносильно тому, что у исходного пространства Волмэновская предкомпактная равномерность совпадает с тонкой равномерностью, следовательно, само исходное равномерное пространство является предкомпактным. Показано, что у псевдокомпактного равномерного пространства подобная компактификация и Волмэновская реалкомпактификация совпадают.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об одном подклассе предкомпактных равномерных пространств»

ОБ ОДНОМ ПОДКЛАССЕ ПРЕДКОМПАКТНЫХ РАВНОМЕРНЫХ

ПРОСТРАНСТВ Чекеев А.А.1, Абдраимова М.А.2, Чанбаева А.И.3 Em ail: Chekeev627@scientifictext.ru

'Чекеев Асылбек Асакеевич — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических

наук, профессор;

2АбдраимоваМахабат Асанбековна — кандидат физико-математических наук, доцент; 3Чанбаева Айгуль Издибаевна — соискатель, кафедра алгебры, геометрии, топологии и преподавания высшей математики, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе введены COZ — псевдокомпактные равномерные пространства, являющиеся подклассом предкомпактных равномерных пространств. Coz — псевдокомпактные равномерные пространства являются аналогом псевдокомпактных топологических пространств. Доказаны характеристики COZ — псевдокомпактных равномерных пространств посредством локально конечных u — открытых покрытий, счетных убывающих семейств u — открытых множеств. Доказано, что свойство COZ — псевдокомпактности равносильно тому, что у исходного пространства Волмэновская предкомпактная равномерность совпадает с COZ — тонкой равномерностью, следовательно, само исходное равномерное пространство является предкомпактным. Показано, что у COZ — псевдокомпактного равномерного пространства / — подобная компактификация и Волмэновская реалкомпактификация совпадают.

Ключевые слова: U — открытые, u — замкнутые множества, u — непрерывная функция, COZ — псевдокомпактность.

ON A SUBCLASS OF PRECOMPACT UNIFORM SPACES Chekeev AA.1, Abdraimova MA.2, Chanbaeva A.I.3

'Chekeev Asylbek Asakeevich — Habilitated Doctor of Mathematics, Full Doctor of Mathematics, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; 2Abdraimova Mahabat Asanbekovna — PhD Mathematics, Candidate ofPhysical and Mathematical Sciences,

Associate Professor; 3Chanbaeva Aigul Izdibaevna — competitor, DEPARTMENT OF ALGEBRA, GEOMETRY, TOPOLOGY AND TEACHING OF MATHEMATICS, FACULTY OF

MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this paper the COZ - pseudocompact uniform spaces are introduced, which are a subclass of precompact uniform spaces. Coz —pseudocompact uniform spaces are an analogue of topological pseudocompact spaces. The characterizations of COZ — pseudocompact uniform spaces are proved by means of locally finite u open coverings, countable decreasing family of u open sets. It is proved, that property of COZ — pseudocompactness is equivalent to that for a uniform space the Wallman precompact uniformity coincides with COZ - fine uniformity, hence, that uniform space is precompact. It has been shown that for a COZ - pseudocompact uniform space 3 — like compactification and Wallman realcompactification coincide.

Keywords: u open, u closed sets, u ^nUn^us function, COZ - pseudocompactness.

УДК 515.12

В работе приняты обозначения из статей [5], [8], [2], [3]. Необходимая информация взята из статей [5], [8], [2] и доклада [7].

Знак □ - завершение доказательства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Равномерное пространство uX называется coz —

псевдокомпактным, если всякая u непрерывная функция ограничена, т.е. C (X) = C*(X) ■

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Ясно, что всякое COZ — псевдокомпактное равномерное пространство

является равномерно псевдокомпактным в смысле А.А. Борубаева [1]. Метрическое coz — псевдокомпактное равномерное пространство является топологически псевдокомпактным, следовательно, является метрическим компактом, в то время как, существуют равномерно псевдокомпактные не компактные метрические пространства. Например, «метрический ёж»

J(m ) колючести m [4, Пример 4.1.5].

ТЕОРЕМА 3. Для любого равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) uX COZ - " псевдокомпактно.

(2) Каждое локально конечное u открытое семейство непустых u открытых множеств в uX конечно.

(3) Каждое локально конечное u открытое покрытие X непустыми u — открытыми множествами конечно.

(4) Каждое локально конечное u открытое покрытие пространства uX содержит конечное подпокрытие.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) ^ (2). Предположим, (2) не выполнено. Тогда существует

счётное локально конечное М открытое семейство {Un Пусть Хп Е Un; П €Е N. Тогда существуют такие u непрерывные функции f £ C (X) , что fn (Xn) = {n} и fn(X\Un) С{0} . В силу локальной конечности семейства {Un} raeN функция, определаемая

n

формулой f (x) = X | f (x) | для любой точки X £ X , является u непрерывной [8] и

n=1 "

неограниченной, т.е. uX не coz - псевдокомпактно. Противоречие доказывает (1). Импликации (2) ^ (3) и (3) ^ (4) очевидны.

(4) ^ (1). Пусть f £ Cu (X) - произвольная u непрерывная функция на пространстве

иХ . Тогда семейство {f ((/ — 1, / +1)) ! / £ Щ - локально конечное Ы открытое

покрытие uX , из которого можно выделить конечное подпокрытие, следовательно функция

f является ограниченной, и пространство uX COZ — псевдокомпактно. □

ТЕОРЕМА 4. Для произвольного равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) uX COZ - псевдокомпактно.

(2) Для каждой убывающей последовательности U13U23... непустых u — открытых множеств в

uX выполняется Г\ [Un ] Ф 0 .

(3) Для каждого счётноцентрированного семейства {У^п\пеЩ ^ открытых в llX множеств О [V 1 у Ф- 0 .

иеЩ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1)^(2). Пусть uX COZ — псевдокомпактно и Ux 3U2 3... -убывающая последовательность непустых u открытых множеств в

uX.

Тогда, в силу

теоремы 3, последовательность не является локально конечной, т.е. существует точка

X £ X такая, что её каждая окрестность пересекает бесконечно много множеств . Ясно, что выполнение X £ гО ГV Ф 0.

яеМ

(2) ^ (3). Положим U = V = V ^V '•••'V = ^ V ,•••. Тогда построенная

k=1

последовательность {£/и}ие^ является убывающей, и имеем, ni [f/Jx = <~^Wn\x ^ 0 ■

(3)=^(1). Для некоторой Ы непрерывной функции f \иХ—> К множество

Vn = {xеX :\f (x)\>n} u -

открыто и семейство счётноцентрированно. Имеем

r^fVJy = 0. Противоречие. Следовательно, функция f ограничена и пространство иХ

иеИ

COZ — псевдокомпактно. □

ТЕОРЕМА 5. Равномерное пространство

uX COZ - 'псевдокомпактно если и только, если ucf = up и uX является предкомпактным равномерным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть равномерное пространство uX COZ — псевдокомпактно и Ucf - COZ — тонкая равномерность на

X [9]. Равномерность Ucf имеет базу из всех локально конечных COZ — аддитивных u открытых покрытий равномерного пространства uX [6, 7].

Z _ Z ~ , Z

Тогда, в силу теоремы 3, uf = up . Равномерность u содержится в uCf, следовательно, u предкомпактная равномерность, т.е. u = u и u С up . Обратно, пусть u^ = up и

uX предкомпактно и f иХ —> М - произвольная U — непрерывная функция, т.е. f е Cu (X) . Тогда f равномерно непрерывна относительно

Z Z _ Z

равномерности u f. Так как u^ = up , то f является ограниченной u — непрерывной

функцией, т.е. f е Си (X) . Итак, uX COZ — псевдокомпактно. □ ТЕОРЕМА 6. Равномерное пространство

uX COZ — псевдокомпактно если и только,

если любая центрированная последовательность u замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует такая последовательность ^

U замкнутых в иХ множеств такая, что ГлХ —0. Покажем, что в этом случае, иХ

не N

не

COZ - псевдокомпактно. Пусть Zn = Z (fn) = {x е X : fn (x) = {0}, где fne Cu(X) . Тогда для функции f (x) = 2 \ f (x) \ /2n , для любой точки x е X , имеем f е Cu (X) [8]. Так

n=i n

как nZ„ =0,то f (x) Ф 0 для любой точки X £ X . Следовательно, g = 1 / f eCu (X)

neN

[8] и g > z для любого П £ N, т.е. функция g не ограничена. Это означает, что

uX не

COZ — псевдокомпактно.

n

Обратно, пусть uX не C0Z псевдокомпактно. Тогда существует не ограниченная u непрерывная функция f 6 C (X) . Множество Ъп = (х 6 X :| f (х) |> 0} u замкнуто семейство {Zn '. Yl £ N} центрировано, но r^i Z = 0 . □

mgN

СЛЕДСТВИЕ 7. Равномерное пространство uX C0Z — псевдокомпактно если и только, если каждый Zu ультрафильтр является счётноцентрированным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть uX C0Z — псевдокомпактно и p - произвольный Zu ультрафильтр. Тогда для любой последовательности \Z„ МС р имеем C\Z 0 .

Обратно, если последовательность {2п}пещ И замкнутых множеств центрирована, то

она содержится в Zu ультрафильтре p , который счётноцентрирован, следовательно

nZ„ Ф 0 , т.е. UX C0Z "псевдокомпактно. □

не N

СЛЕДСТВИЕ 8. Равномерное пространство

uX C0Z - псевдокомпактно если и только,

если В X = V X.

' u u

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если uX C0Z — псевдокомпактно, то PuX = VuX по следствию 7 и по пострению /ЗиX и V X [8].

Обратно, если в X = v X, то по следствию 7, uX является

coz - псевдокомпактным

равномерным пространством. □

ТЕОРЕМА 9. Пусть f : uX —> vY - сюрьективный C0Z — морфизм и

uX C0Z —

псевдокомпактно. Тогда vY также C0Z~ псевдокомпактно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g .vY—> IS - произвольная И непрерывная функция. Тогда g о f ; uX —> К также И непрерывна и является ограниченной в силу, COZ ~ псевдокомпактности

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

uX. Следовательно, g также ограничена и vY C0Z—

псевдокомпактно. □

Список литературы / References

1. Борубаев А.А. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения. Бишкек. Илим, 1991. 171 с.

2. Чанбаева А.И. Об и-совершенных отображениях // Проблемы современной науки и образования, 2016, № 10 (52). С. 16-20.

3. Чекеев А.А., Рахманкулов Б.З. О подобной компактификации и инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств // Вестник науки и образования, 2016. № 6 (18). С. 6-14.

4. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

5. Chekeev A.A., Rakhmankulov B.Z., Chanbaeva A.I. On C- и C — embedded uniform spaces //

u u 1

TWMS J. Pure Appl., Math.(2017) (to appear).

6. Chekeev A.A., Kasymova T.J. Epi-reflective hull of all metric uniform spaces class with given weight //International conference dedicated 120 anniversary of Kazimierz Kuratowski, 2016. 2730 September (Lviv, Ukraine). Topology Atlas. 2016. P. 12-15.

7. Chekeev A.A., Kasymova T.J. Ultrafilter-completeness on zero-sets of uniformly continuous functions // TOPOSYM - 2016. 25-29 July (Prague, Czech Republic). Topology Atlas, 2016. P. 76 (to appear).

8. Chekeev A.A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications // Topol. Appl., 2016. V. 201. Pp. 145-156.

9. Frolik Z. A note on metric-fine spaces // Proc. Amer. Math. Soc. V. 46. № 1, 1974. Pp. 111-119.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.