Полные семейства u-непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛНЫЕ СЕМЕЙСТВА U-НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Чекеев А.А.1, Абдраимова М.А.2, Чанбаева А.И.3 Email: [email protected]

1Чекеев Асылбек Асакеевич — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических

наук, профессор;

2АбдраимоваМахабат Асанбековна — кандидат физико-математических наук, доцент; 3Чанбаева Айгуль Издибаевна — соискатель, кафедра алгебры, геометрии, топологии и преподавания высшей математики, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье, по аналогии с работой З. Фролика [4], введено понятие полного семейства u — непрерывных функций, являющихся частью алгебры C (X) [2].

Установлена характеристика u — полных семейств через вложения в некоторую степень числовой прямой. Доказано, что полные семейства u — непрерывных функций можно охарактеризовать посредством вложения данного пространства в свою ¡ — подобную компактификацию [1]. Доказано, что равномерное пространство является реалкомпактным в категории ZUnif [3], если и только если, на нем существует полное

семейство u — непрерывных функций некоторой мощности.

Ключевые слова: U — открытые, u — замкнутые множества, u — непрерывная функция, полнота, coz — отображение, компактификация.

A COMPLETE FAMILIES OF U- CONTINUOUS FUNCTIONS Chekeev AA.1, Abdraimova MA.2, Chanbaeva A.I.3

1Chekeev Asylbek Asakeevich — Habilitated Doctor of Mathematics, Full Doctor of Mathematics, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; 2Abdraimova Mahabat Asanbekovna — PhD Mathematics, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor; 3Chanbaeva Aigul Izdibaevna — competitor, DEPARTMENT OF ALGEBRA, GEOMETRY, TOPOLOGY AND TEACHING OF MATHEMATICS, FACULTY OF MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this paper, by analogy with Z. Frolik's work [4], the concept of complete family of u — continuous functions is introduced, which are the part of algebra Cu (X) [2]. The characterization

of u — complete families by means of embeddings into some power of real line is established. It has been proved, that the complete families of u — continuous functions can be characterized by means of embeddings given space into its ¡5 — like compactification [1]. It has been proved, that uniform space is a realcompact in the category ZUnif [3], if and only if, there exists a complete family of u — continuous functions of some cardinality on it.

Keywords: u — open, u — closed sets, u — continuous function, completeness, COZ — mapping, compactification.

УДК 515.12

Вся необходимая информация и обозначения взяты из статей [1], [2], [4] и доклада [3]. Знак □ - завершение доказательства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Семейство F С C (X) u — непрерывных функций на равномерном

пространстве uX называется полным, если выполнено условие: Если ^ - центрированная

система U — замкнутых множеств в uX и у каждой функции f £ F существует Zj- £ ( такое, что f ограничено на Z^, что (( Ф 0.

ТЕОРЕМА 2 Пусть F С С (X) - семейство U — непрерывных функций на равномерном пространстве uX . Тогда полно если и только, если выполнены следующие условия:

(I) Если F - пересечение U — замкнутых множеств в uX и если каждая функция f £ F ограничена на F , то F - компакт.

(II) Если {Z^ '. f £ Т} - центрированное семейство U — замкнутых множеств в

uX

и f ограничено на Z^, то П{-2у ! f £ Í7} Ф 0-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если F - полное семейство U — непрерывных функций, то выполнение пунктов (I) и (II) очевидно.

Докажем обратное. Пусть ( - центрированное семейсто U — замкнутых множеств в

uX

и для каждой f £ (F существует Zy £ , на котором f ограничено. По (II) множество '. f £ í7} = F непусто, т.е. F Ф 0. По (I) F компактно. Для доказательства того, что

(¡Ф0 необходимо показать, что ( A F = {Z ( F : Z £ (} является центрированным семейством. Пусть Zj и Z2 из Е, . Тогда

П {z, глг2глг/:/£Т} = Рглг1глг2Ф0,

ТЕОРЕМА 3. Пусть (F d С ^(Х) - семейство Ы — непрерывных функций и g = ДУ ! llX —> X J^/' = f ^ ' ' диагональ семейства Т . Тогда

f&F f&F

семейство Т полно если и только, если g COZ — совершенно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть К компактно в = ■ Так как f = 71 f ° g для

/gf

любой функции f '. uX —> Му, где 7tj '. М.^ —> Му- - естественная проекция, то каждая функция f из F ограничена на g 1(K). Имеем, f(x) = (g(x)) для

Л

любой точки X £ X и 1 (КУ) = 7Гу(К^) . Ясно, что 71 ^{JX} компактно в

и является ограниченым в М ^ относительно Евклидовой метрики на М ^. Так как функционально замкнутые множества есть база топологии замкнутых множеств, то компакт K является пересечением некоторого семейства функционально замкнутых множеств в К,.

Так как g - COZ — морфизм, то g 1(K) является пересечением некоторого семейства U — замкнутых множеств. Следовательно, по теореме 2, g (K) - компакт в X и g '. иХ —> МТ - компактное отображение.

Для доказательства замкнутости отображения g достаточно показать, что g COZ — Zu — замкнуто. Пусть ZQ U — замкнуто в uX. Предположим противное, т.е. g(Z0) = F не замкнуто в МТ . Пусть у £ \ F, где - замыкание в МТ и

У = (j^y • f S (F) £ К. ^ . Рассмотрим следующее семейство

£ = {Zw f :/еТ,ИбМ}и {Z0} (Z .-¿Г И - замкнутых множеств в uX , где

Zn у — {.X £ X : У (.) — y j < 1 / п} . Тогда точка y является точкой прикосновения для множества F и семейство £ центрировано. Каждое f из F ограничено на Z п ^, следовательно в силу полноты F , (£ Ф 0. Но

(£ — g_1(y) ( Z0 и y £ g(Z0 ) — F, т.е. (£ — 0. Противоречие. Итак, g '. uX —> IR.27 COZ — совершенно.

Обратно, пусть g'.uX—> COZ — совершенно или, что равносильно

COZ — Zu — замкнуто и компактно. Пусть £ - Zu — ультрафильтр в uX и предположим, что для любого f £ F найдется Zу £ £, на котором f ограничено. В силу

компактности g достаточно доказать, что существует точка у = (Уу ! £ 'F) £ М.^ такая, что £ Л g 1(y) центрировано. Тогда из компактности прообраза g 1(y) следует, что ((£ Л g (y)) Ф 0, т.е. (£ф0. Пусть / £ Т , то J ограничено на Zy £ £ . Тогда найдется ограниченный интервал I^ d М.у такой, что CZ I^ .

Пусть KjK - конечное покрытие I^ замкнутыми интервалами diam < 1/ П .

1 п Каждое f (<K.j) , í = 1,..., П , U — замкнуто в llX и f ) ZD Zy € £ ■ Так как

i=1

£ - Zu — ультрафильтр в mJT для некоторого Z = 1,..., П , 1 ) £ £ . Таким образом, для любого йёК и любой функции f £ (F существует замкнутый интервал diam < 1/ П такой, что Zn у — f 1 (Kn у ) £ £ . Очевидно, что для каждой функции

/ £ <F семейство {^Sí/} ^ " ЦентРиРованное семейство компактных множеств.

00

Следовательно, К ^ ^ 0 и это пересечение содержит только одну точку, так как

СО

diamKn f —> О при П —> оо. положим jу^ } = Q Knf-

Тогда точка

у = (.Уу искомая. Действительно, компактно в Ж и £ .

Покажем, что £а g 1( у) центрировано, т.е. если Z ££, то Z О g 1( у) Ф0.

И=1

И=1

Предположим противное. Пусть % £ ^ такое, что % О ^ (у) = 0 .По условию замкнуто в ШГ . По предположению у . Тогда существует окрестность V

точки у такая, что VП^ = 0. Поскольку й1атК , — 0 при П —^ ^

к

существуют (/ = 1,2такие, что П ^ = 0 = те-

г=1

г-1

Противоречие, так как fi (К^ G , / — 1,2,

7=1 i

^ ^ ■ Итак, Л g центрировано. □

2=1

СЛЕДСТВИЕ 4. Если равномерное пространство uX M-z. — полно, то алгебра С ( X } всех U — непрерывных функций является полной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО вытекает из того факта, что если uX R-z. — ПОЛНО, то uX

COZ — гомеоморфно вкладывается в Ж. " ^ [2]. □

Естественно, что для характеризации К — Zu — полных равномерных пространств

возникает вопрос об использовании части алгебры С (X) .

ТЕОРЕМА 5. Пусть F С С (X) - такое семейство U — непрерывных функций, что f ^ 1 для каждой функции f £ F . Для каждой функции f £ F обозначим

gf = 1/ f £ С*(X), Ри gy - продолжение g^ на ¡3uX и

COz(f3ng) = €Е РиХ fiuSf (х) Ф • Тогда Т полно если и только, если

Х=П coz{Pugfy

/GF

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует такая точка X £ РиХ, что X g COZ^/3 g X ■ Пусть Е, - семейство функционально замкнутых множеств в

/Gf

РиX , являющихся окрестностями точки X . Ясно, что {x j = С РиX \ X . Тогда ¡ A X = {Z ( X : Z £ ¡j - центрированное семейство U — замкнутых множеств в uX с пустым пересечением. Зафиксируем f £ F . Тогда [зи g^ (X) Ф 0. Пусть

Zf ={y £PuX : \Pugf0 (yi . Тогда X £ Zf и y £ Zf ( X влечет |f (X)| < 1 / s , т.е. f ограничено на Z^ ( X . Противоречие.

Обратно, пусть ¡ - центрированная система U — замкнутых множеств в uX такая, что для каждой функции f £ F существует Zj- £ ¡, на котором f ограничено. Так как

РиХ компактно, то FQ = ! Z £ Ф 0 . Достаточно показать, что

F С X . Покажем, что [Zf \р х COz(fiu gу ) каждой функции f £ F . Каждая f ограничена на Z^, т.е. |f (х)| < MM — COnSt Ф 0 для любой точки X £ Z^. Тогда, естественно, имеем g^. (х)| > M 1 для всех X £[Zy \р х ■ Для любой точки X £ [Zj]^- имеем Pugf(x)* 0, т.е. JE COz{fiugf) Итак,

F0 = n{[Z]AX П {[Zf\x : / e <f} c= X □

СЛЕДСТВИЕ 6. Пусть F С С (X) - полное семейство U — непрерывных функций и

|f| < Ш . Тогда равномерное пространство uX есть пересечение семейства

функционально открытых множеств в компакте РиХ мощности ^ ТП . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует непосредственно из теоремы 5. □

На основе вышеизложенных результатов определим аналоги n(ш) — пространств, введенных З. Фроликом [4], в категории ZUnif.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть ш - некоторый кардинал. Равномерное пространство uX называется coz — N(Ш) —пространством, если существует семейство F u — непрерывных функций мощности < ш .

ТЕОРЕМА 8. Равномерное пространство uX является coz — n( ш) -пространством, если и только, если существует coz — совершенное отображение g из

uX mm

в

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть uX является coz — N(Ш) —пространством. Тогда

существует полное семейство Т U — непрерывных функций мощности ^ ТП . Пусть g = Д у ; цХ —> JRm ■ Тогда, по теореме 3, g COZ — совершенно.

/e<F

Обратно, пусть g coz — совершенно отображает uX

в 1 1 « , где Ж — Ж

для всех S £ S и |5*| = ш . Пусть fs = 71 s ° g, где 71 s '. К™ —^ К.5 - естественная

проекция. Каждая f '. uX —> М.^ является COZ — морфизмом как композиция COZ —

морфизма g и проекции 7t (которая, естественно, является coz — морфизмом). Ясно, что

g(x) = {fs • $ ^ S ^ . Тогда из теоремы 3 следует, что семейство | U —

непрерывных функций является полным. □

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Пусть F - полное семейство u — непрерывных функций на равномерном пространстве

uX и F - замкнутое подпространство X . Тогда семейство Т\р — | f\p : f £ Т | - u' —непрерывных функций на u'F, где u — u I , является полным. Замкнутое подпространство coz — n( ш) — пространства является coz — n( m) — пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует непосредственно из теореме 2. □ Следующее утверждение - частный случай теоремы 2.10 [4].

ТЕОРЕМА 10. Равномерное пространство uX является Ж. — Zu —полно, если и

только, если оно COZ — гомеоморфно некоторому замкнутому подпространству Ж для некоторого Ш.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует непосредственно из теоремы 2. □

ТЕОРЕМА 11. Для равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) Существует - полное семейство U — непрерывных функций мощности ^ ПТ .

(2) Существует coz — совершенное отображение из иХ в Жт.

(3) Существует coz — совершенное отображение из uX в coz — N(m) — пространство.

(4) UX

есть пересечение m функционально открытых множеств в Самюэлевской компактификации Su X.

(5) UX

есть пересечение m функционально открытых множеств в Р — подобной компактификации fiuX .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует непосредственно из всех определений

coz — N( m) -

пространств. □

теорема 12. Пусть f: uX — vY

- coz — совершенное сюръективное отображение и vY coz — N(m) — пространство. Тогда равномерное пространство uX также является coz — N( m) — пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Р f : Р X —> PY - непрерывное продолжение на Р — подобные компактификации РиX и PY coz — совершенного отображения f . Так как

vY - coz — N(m)

— пространство, то по теореме 10, vY есть пересечение m функционально открытых в J3VY множеств, т.е. у = U > где Us функционально

открыто в Р,Х для любого S < ТП . Так как X d Puf ' (} ) - X = Р f ' (U ) -

где каждое Ри f (Us ^ функционально открыто в РиX для каждого s < m. Следовательно, uX является coz — N( m) — пространством. □

Список литературы / References

1. Чекеев А.А., Рахманкулов Б.З. О р- подобной компактификации и инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств // Вестник науки и образования, 2016. № 6 (18). С. 6-14.

2. Chekeev A.A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications // Topol. Appl., 2016. V. 201. P. 145-156.

3. Chekeev A.A., Kasymova T.J. Ultrafilter-completeness on zero-sets of uniformly continuous functions // TOPOSYM, 2016. 25-29 July (Prague, Czech Republic), Topology Atlas, 2016. P. 76 (to appear).

4. Frolik Z. Applications of complete families of continuous functions to the theory of Q-spaces // Czech. Math. J. 11, 1961. P. 115-133.