Научная статья на тему 'Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы'

Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы Текст научной статьи по специальности «Группы»

118
15
Поделиться
Ключевые слова
АБЕЛЕВА ГРУППА / КОММУТАТИВНОЕ КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мисяков Виктор Михайлович

Рассматривается некоторый класс редуцированных смешанных абелевых групп, в котором исследование смешанных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов сводится к исследованию групп без кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

We consider a class of reduced mixed abelian groups in which the study of mixed groups with commutative endomorphism rings can be reduced to the study of torsion free groups with commutative endomorphism rings.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 512.541

В.М. Мисяков

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ

Рассматривается некоторый класс редуцированных смешанных абелевых групп, в котором исследование смешанных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов сводится к исследованию групп без кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Ключевые слова: абелева группа, коммутативное кольцо эндоморфизмов.

В монографии [1] поставлена проблема 15: «Свести исследование смешанных групп с нётеровыми справа, полупервичными или коммутативными кольцами эндоморфизмов к исследованию групп без кручения с соответствующими кольцами эндоморфизмов». В этой статье данная задача решается для групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов из некоторого класса К. Заметим, что периодические, расщепляемые и некоторый класс смешанных групп, имеющих коммутативное кольцо эндоморфизмов, описаны в [2]. В [3] найдены некоторые необходимые и достаточные условия коммутативности кольца эндоморфизмов произвольной смешанной абелевой группы. Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми.

Введем некоторые обозначения: Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; Тр (А) - р-компонента периодической части группы А; Q - группа рациональных

чисел; 2 (рш) - квазициклическая группа; Qp - группа всех рациональных чисел со знаменателем, взаимно простым с р; Jр - группа целых р-адических чисел;

*

Qp - кольцо целых р-адических чисел; 2 (т) - циклическая группа порядка т ; < а > - циклическая группа, порожденная элементом а; о(а) - порядок элемента а; Ъ-А (а) - высота элемента а в группе А; 2т - кольцо вычетов по модулю т; (т,п) - наибольший общий делитель натуральных чисел т и п; Р - множество всех простых чисел. Все понятия и обозначения, которые не поясняются, являются стандартными, их можно найти, например, в [1, 4 или 5].

Рассмотрим, предварительно, следующий простой факт, который будем использовать в дальнейшем.

Напомним, что матрица (а^) с элементами из кольца Е(А), называется сходящейся по столбцам, если для каждого столбца / сумма ^а^ существует в ко]

нечной топологии кольца Е(А) [5, гл. XV, §106, §107].

Лемма 1. Пусть группа А разлагается в прямую сумму своих подгрупп, то есть А = @А. Кольцо Е(А) коммутативно тогда и только тогда, когда коль/е/

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

цо Е(А) коммутативно и подгруппа Д является вполне характеристической для любого / е /.

Доказательство. Так как А = @А, то кольцо Е(А) изоморфно кольцу всех

/е/

сходящихся по столбцам / х / -матриц (а^/е/, где а/ е Нот(А, А;-) [5, гл. XV,

§106, теорема 106.1].

Пусть Е(А) - коммутативное кольцо, тогда Нот(А, А}- ) = 0 и Е(А) - коммутативное кольцо для любых /, ] е / . Вполне характеристичность подгруппы А, / е /, вытекает из [1, гл. 3, §19, лемма 19.1].

Обратное утверждение следует из условия и [5, гл. XV, § 106, упр. 4 а)].

Для группы О, такой, что Т(О) Ф 0, будем рассматривать множество п(О) = {р е Р | Тр(О) Ф 0}.

Следующая лемма, доказанная в [6], будет полезна в дальнейшем.

Лемма 2. Пусть А - делимая группа. Кольцо Е(А) является коммутативным тогда и только тогда, когда А = Q или А = 0 2(р“).

реп (А)

В нижеприведённом утверждении даётся описание нередуцированных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Предложение 3. Пусть О = А0В - нередуцированная группа, где А - редуцированная, а В - делимая группы. Кольцо Е(О) является коммутативным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) В = Q либо В = 0 2(р“);

реп ( В)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к к

2) если А Ф 0, то А = 0 2 (р р), причём если А = 0 2 (р р) и

реп(А) реп(А)

В = 0 2 (р“), то п(А)Р|л(В) = 0.

реп ( В )

Доказательство. Так как О - нередуцированная группа, то она содержит ненулевую делимую часть. Пусть Е (О) - коммутативное кольцо. Тогда, как следует из леммы 2, В = Q или В = 0 2(р“).

реп( В)

Пусть А Ф 0. Покажем, что А является периодической группой. Допустим противное, то есть пусть существует элемент а е А , такой, что о(а) = “. Рассмотрим произвольный элемент 0 Ф Ь е В. Так как о(а) = “, то Нот((а), (Ь)) = (Ь) и, следовательно, существует 0 Ф фе Нот((а), (Ь)). Пусть /: (а) ^ А и ] : (Ь) ^ В, где /, ] - вложения. Так как В - делимая, а значит, инъективная группа, то существует гомоморфизм у : А ^ В, такой, что у/ = ]ф. Поскольку ]ф Ф 0, то у Ф 0. Гомоморфизм у легко продолжается до ненулевого эндоморфизма группы О. Следовательно, А - не вполне характеристическая подгруппа, что противоречит утверждению леммы 1. Таким образом, А - периодическая редуцированная

кр

группа. По лемме 1 кольцо Е(А) коммутативно, тогда А = 0 2 (р р) [1, гл. 3,

реп( А)

§ 19, следствие 19.3].

к

Пусть А = 0 2 (р р) и В = 0 2 (), тогда из [7, теорема 1] следует,

реп(А) реп(В)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

что л(А)Р|л(В) = 0.

Обратно, если А = 0, то коммутативность кольца Е(О) следует из леммы 2.

к к Пусть А = 0 2(рр) и В = Q. Поскольку Нот(2(рр), 0 = 0,

реп( А)

к к к

Нот(2, 2(рр)) = 0 и Нот(2(рр), 2(д д)) = 0 при р Ф д, то подгруппы

кр

2 (р р) и Q являются вполне характеристическими в группе О. Так как Е(0 =

кр

[5, гл. XV, § 106, пример 4] и Е(2(р р)) = 2 к [1, гл. 1, § 3, пример 3.2] - ком-

рр

мутативные кольца, то по лемме 1 следует коммутативность кольца Е (О).

Пусть А = 0 2 (рр) и В = 0 2 (рш), причём л(А)Р|л(В) = 0. Тогда

реп(А) реп(В)

к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

для каждого р еп(О) следует, что либо Тр (О) = 2(рр), либо Тр (О) = 2(). Поскольку в обоих случаях кольцо Е(Тр (О)) коммутативно и Тр (О) - вполне характеристическая подгруппа в группе О для каждого р е п(О), то по лемме 1 кольцо Е (О) коммутативно.

Определение 1. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа О удовлетворяет условию конечности, если она не содержит ненулевые элементы, у которых р-высота равна бесконечности для всех р е п(О).

Определение 2. Будем называть смешанную редуцированную группу О с бесконечным числом ненулевых р-компонент р^р-группой, если естественное вложение 0 Тр (О) ^ О продолжается до р-чистого вложения О ^ П тр О).

реп(О) реп(О)

Таким образом, если О - рзр-группа, то, отождествляя группу О с её образом при таком вложении, можно считать, что 0 Тр (О) с О с П Тр (О), где О р-

реп (О) реп(О)

чиста в П Тр (О) для всех р е п(О). Заметим также, что понятие р-чистоты

реп (О )

(чистоты) эквивалентно здесь понятию р-сервантности (сервантности) подгруппы в группе.

Определение 3. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа О принадлежит классу К, если выполняются следующие условия:

1) О = Тр (О)0Ер для любого р еп(О) ;

2) существует семейство дополнений {Ер} ер группы О, удовлетворяющее условию: если В = ^ Ер Ф 0, то существует В-высокая подгруппа А группы О,

реп(О)

содержащая Т(О), причём для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А..

Замечание 1. Пусть О - редуцированная смешанная группа, причём для каждого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер, рЕр = Ер и П Ер =0, тогда О

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

реп (О)

удовлетворяет условию конечности. Действительно, пусть существует элемент 0== g е О, такой, что Ир (g) = да для любого р е п(О). Так как g - ненулевой

элемент, то g е П Ер и, следовательно, найдётся такое д еп(О), что g е Ед.

реп (О )

Поскольку О = Тд (О)0Ед , то g = Яд + бд , где 0 = Од е ^ (О ^ вд е Ер

и g е Ед, причём Ад (вд) = да и Ад (ад) = 5 < да. Тогда имеем

да = Нд (g) = шш{ Нд (ад), Ад (вд)} = 5, что приводит к противоречию.

Теорема 4. Пусть О е К. Кольцо Е(О) является коммутативным тогда и

только тогда, когда для каждого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер,

кр

рЕр = Ер , где Тр (О) = 2 (р р), кр е N, для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно, причём выполняется одно из следующих условий:

1) если ^ Ер =0, то группа О является р5р-группой;

реп(О)

2) если ^ Ер = 0, то О = А0( ^ Ер), где

реп(О) реп(О)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a) если А - смешанная группа, то А удовлетворяет условиям конечности и является р5р-группой;

b) дА = А для любого простого числа д, такого, что д( П ер ) Ф П ер ;

реп(О) реп(О)

c) П Ер - группа без кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

реп (О)

Доказательство. Необходимость. Пусть Е(О) - коммутативное кольцо, то-

кр

гда Т(О) = 0 2(р р) (кр е Щ [1, гл. 3, § 19, предложение 19.6]. Таким обра-

реп (О )

кр

зом, Тр (О) = 2(рр) (кр е N) для каждого р еп(О). Так как О е К, то

О = Тр (О)0Ер для каждого р е п(О) и для некоторой вполне характеристической подгруппы Ер (см. лемму 1). Поскольку Ер, р е п(О), - вполне характеристическая подгруппа в группе О, то для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Покажем, что рЕр = Ер для каждого р е п(О). Допустим, что это не так, тогда существует гомоморфизм Ер/рЕр ^ Тр (О), композиция которого с каноническим Ер ^ Ер /рЕр была бы ненулевым гомоморфизмом из Ер в Тр (О). Поскольку ненулевой гомоморфизм из Ер в Тр (О) продолжается до эндоморфизма всей группы О, то получим противоречие с вполне характеристичностью подгруппы Ер. Таким образом, рЕр = Ер для каждого р е п(О). Следова-

тельно, рВ = В для всякого р е п(О), где В = П ер. Причем, если В = 0, то

реп (О )

В - группа без кручения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если П Ер =0, то группа О удовлетворяет условиям конечности (см. за-

реп (О)

мечание 1) и является рзр-группой [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4]. Следовательно, условие 1) выполнилось.

Пусть П Ер = 0. Так как О е К, то существует В-высокая подгруппа А

реп(О)

группы О, содержащая Т(О), причём для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А..

Покажем, что О = А0В. Предварительно заметим, что если дВ Ф В, то В - д-чистая подгруппа в О. Действительно, пусть дВ Ф В и в О разрешимо уравнение д х = Ь е В, то есть существует g е О, такое, что д1 g = Ь. Так как g е О = Тр (О)0Ер для всякого р е п(О), то g = gp + вр для всякого р е п(О),

где gp е Тр (О) и вр е Ер. Тогда д^р = Ь - д1вр е Тр (О)ПЕр =0 для каждого р е п(О). Следовательно, Ь = д1вр для каждого р е п(О). Пусть Ь = д1вр и Ь = д1в5 для произвольных р,5 е п(О). Тогда д1 (вр - в5) = 0. Так как дВ Ф В, то д е п(О) и вр - в5 =0, то есть вр = в5 для произвольных р,5 е п(О). Поэтому вр е П Ер = В иВ - д-чистая подгруппа в О для всякого простого числа д,

реп( Р)

такого, что дВ Ф В. Для доказательства того, что О = А0В, достаточно показать [4, гл. II, § 9, лемма 9.9], что из равенства pg = Ь + а (g е О, Ь е В, а е А) непременно следует рЬ' = Ь для некоторого Ь' е В. Если рВ = В, то очевидно существует Ь' е В, такой, что рЬ' = Ь. Пусть рВ Ф В. Поскольку О е К и А - В-высокая подгруппа в группе О, то из рВ Ф В следует, что рА = А. Следовательно, найдётся элемент а' е А, такой, что ра' = а. Тогда из равенства pg = Ь + а получим, что р^ - а') = Ь. Так как рВ Ф В, то В - р-чистая подгруппа в группе О. Таким образом, существует элемент Ь' е В, такой, что рЬ' = Ь.

Покажем, что если А - смешанная группа, то А удовлетворяет условиям конечности и является р5р-группой. Докажем, что справедливо первое из этих условий. Допустим противное, то есть пусть существует 0 Ф а е А, такой, что Ар (а) = да для любого р еп(О). Здесь п(О) = п(А), поскольку В - группа без

кручения. Тогда о(а) = да и для любого р е п(О) рассмотрим разложение О = Тр (О)0Ер, то есть а = gp + вр, где gp е Ор и вр е Ер. Если gp ф 0, то да = Ар (а) = шш{ Нр (gp), Нр (вр)} < да, что невозможно. Следовательно, для любого р е п(О) имеем а = вр е П Ер = В, то есть а е Ар|В = 0, что противоречит

реп (О )

предположению для элемента а. Таким образом, А удовлетворяет условию конечности. Покажем, что А является рзр-группой. Действительно, так как О = А0В, то по лемме 1 следует коммутативность кольца Е(А). Поскольку А - редуцированная смешанная группа и А удовлетворяет условию конечности, то А является р5р-группой [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Так как Е(О) - коммутативное кольцо и О = А0В, то коммутативность

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

кольца Е(В) следует из леммы 1.

Достаточность. Пусть для любого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер,

кр

где Тр (О) = 2 (р р), кр е N, рЕр = Ер и для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Если П Ер =0, то группа О является рзр-группой и,

реп(О)

как следует из замечания 1, О удовлетворяет условию конечности. Тогда коммутативность кольца Е (О) вытекает из [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Если П Ер = 0, то выполняется условие 2), и пусть В = П Ер . Тогда

реп(О) реп(О)

О = А0В . Поскольку для любого р е п(О) следует, что рЕр = Ер, то рВ = В для любого р е п(О).

Если А - периодическая группа, то Е(О) - коммутативное кольцо [1, гл. 3, § 19, следствие 19.5]. Пусть А - смешанная группа. Тогда группа А удовлетворяет условию конечности, является р5р-группой и, следовательно, Е(А) - коммутативное кольцо [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Для коммутативности кольца Е(О), согласно лемме 1, достаточно показать, что А и В - вполне характеристические подгруппы в группе О. Допустим, что существуют Ь е В и ае Е (О), такие, что а(Ь) е В. Тогда а(Ь) = а + ё, где 0== а е А и ё еВ. Пусть п:О ^ А - проекция, тогда па(Ь) = а е А. Поскольку а = 0 и А - редуцированная группа, то существует простое число р, такое, что кр (а) < да. Так как О е К, то из того, что рА Ф А, следует, что рВ = В, то есть

кр (Ь) = да. Таким образом, эндоморфизм па е Е(О) понизил р-высоту элемента Ь

в группе О, что невозможно, то есть В - вполне характеристическая подгруппа в

О. Рассмотрим подгруппу А и допустим, что существуют ё е А и РеЕ(О), такие, что Р(ё) е А. Тогда Р(ё) = а + Ь, где а е А и Ь е В, причём Ь = 0. Пусть п : О ^ В - проекция, тогда (пР)(ё) = Ь. Поскольку В - редуцированная группа, то найдётся простое число д, такое, что кд (Ь) < да. Так как О е К, то из дВ Ф В следует, что дА = А, то есть кд (ё) = да. Таким образом, эндоморфизм пр е Е(О)

понизил д-высоту элемента ё в группе О, что невозможно. Следовательно, А -вполне характеристическая подгруппа в группе О.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Следующее предложение показывает, что класс К, в котором решается поставленная задача, является довольно широким. В частности, он содержит все смешанные редуцированные расщепляемые группы с коммутативным кольцом эндо-

морфизмов [1, гл. 3, § 19, следствие 19.5], все группы с коммутативным кольцом эндоморфизмов, описанные в теореме 19.4 [1].

Предложение 5. Если О - редуцированная смешанная группа с коммутативным кольцом эндоморфизмов, для которой выполняется одно из следующих условий:

1) О - расщепляемая группа;

2) О удовлетворяет условию конечности, то О е К.

Доказательство. Поскольку группа О имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов, то, проведя аналогичные рассуждения, что и при доказательстве теоремы

4, имеем О = Тр (О)0Ер для любого р еп(О). Так как Ер - вполне характеристическая подгруппа группы О (см. лемму 1), то для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно и Нот(Ер ,Тр (О)) = 0. Тогда рЕр = Ер для каждого р е п(О) (см. доказательство необходимости в теореме 4), и поэтому

д( П Ер)= П Ер для любого д е п(О). Так как в условии 2) группа О удов-

реп(О) реп(О)

летворяет условию конечности, то П Ер =0 и, следовательно, О е К. Рас-

реп(О)

смотрим условие 1). Пусть О = А0В - расщепляемая группа, где А = Т(О), В -группа без кручения. Поскольку П Ер - группа без кручения, то

реп (О )

П Ер с В. Так как В с Ер для любого р е п(О), то В с П Ер и, следова-

реп(О) реп(О)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тельно, В = П ер . Тогда для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В,

реп (О)

следует, что д еп(О), и поэтому дА = А.. Группа А - В-высокая подгруппа в

группе О как прямое слагаемое этой группы. Поскольку А = Т (О), то О е К.

Следующий простой пример показывает, что класс К строго содержит классы групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов, описанные в предложении 5.

Пример 1. Пусть О = П 2(р)0 П Ад, где Р1, Р2 с Р, | Р1 |=| Р2 |= К0,

рер деР2

РПР2 = 0; для любого д е Р2 следует, что Ад = 0>д или Ад = Jд, тогда О е К и

кольцо Е(О) коммутативно.

Доказательство. Покажем, что группа О принадлежит классу К. Действительно, поскольку рАд = Ад для любого простого числа р Ф д, то для любого

р е Р \ Р2 следует, что р( П -А,)- П -А,. Поскольку РПр2 = 0, то для каждо-

деР2 деР2

го р е Р1 из равенства О = 2 (р)0Ер имеем рЕр = Ер , то есть Ер - вполне характеристическая подгруппа в группе О и, следовательно, для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Заметим также, что

П ер - П Ад и д( П 2 (р))= П 2 (р) для любого д е Р2. Так как П 2 (р)

реР1 деР2 реР1 реР1 реР1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

является П Ад -высокой подгруппой в группе О как прямое слагаемое этой

деР2

группы и Т(О) с П 2 (р), то О е К.

реР1

Поскольку Е(Ад) - коммутативное кольцо для любого д е Р2 и рАд = Ад для

любого простого числа р Ф д, то П Е(А ) - коммутативное кольцо.

деР2

Группа П 2 (р) удовлетворяет условию конечности. Отождествляя

реР1

0 2 (р) и Т(П 2 (р)), можно считать, что П 2 (р) является рзр-группой. Та-

реР1 реР1 реР1

ким образом, группа О удовлетворяет условию 2) теоремы 4 и, следовательно, кольцо Е (О) коммутативно.

В следующем примере рассмотрим способ построения некоторых групп из класса К с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Пример 2. Пусть О = А0В, где В - редуцированная группа без кручения с

коммутативным кольцом эндоморфизмов и группа А удовлетворяет условиям:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) А е К;

2) кольцо Е(А) коммутативно;

3) рА = А для любого простого числа р, такого, что рВ Ф В, тогда кольцо Е(О) коммутативно и О е К.

Доказательство. Из условия 3) следует вполне характеристичность подгрупп А и В в группе О, тогда, согласно лемме 1, кольцо Е(О) коммутативно. Покажем, что группа О принадлежит классу К. Действительно, поскольку А е К и Е(А) -коммутативное кольцо, то А = Тр (А)0Ер и рЕр = Ер для всякого р еп(А). Поскольку Т(О) = Т(А), то п(О) = п(А). Тогда для каждого р еп(О) имеем О = Тр (О)0Ер, где Е'р = Ер 0В - вполне характеристическая подгруппа в группе О. Следовательно, для каждого р е п(О) подгруппа Е’р определена однозначно. Так как рЕр = Ер и рВ = В для каждого р е п(О), то рЕ'р = Е'р для каждого р е п(О). Поскольку П Е'р Ф 0, подгруппа А в группе О является В-

реп(О)

высокой, Т(О) с А и для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А, тогда группа О е К.

Замечание 2. Если смешанная редуцированная группа О имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов, то ответ на вопрос: «Принадлежит ли данная группа классу К?» - можно получить, проверив только одно условие в определении 3. Действительно, из коммутативности кольца Е(О) для каждого р е п(О) следует

равенство О = Тр (О)0Ер, из которого для каждого р е п(О) имеем, что

pEp = Ep. Тогда Ep - вполне характеристическая подгруппа в группе G и, следовательно, для каждого p en(G) подгруппа Ep определена однозначно.. Если B = ^ Ep = 0, то G удовлетворяет условию конечности и по предложению 5

pen (G )

принадлежит классу K. Если B = ^ Ep Ф 0, то B - группа без кручения и

pen(G)

T(G)P|B = 0. Тогда нетрудно показать, что всегда существует B-высокая подгруппа A группы G, содержащая T(G). Поэтому для проверки принадлежности группы G классу K остаётся проверить только условие: для любого простого числа q, такого, что qB Ф B, должно выполняться равенство qA = A.

Таким образом, из замечания 2 следует, что для решения задачи в проблеме 15, относящейся к смешанным группам с коммутативным кольцом эндоморфизмов, остаётся описать смешанные редуцированные группы G с коммутативным кольцом эндоморфизмов, у которых для ненулевой подгруппы без кручения B, определённой в замечании 2), и для любой B-высокой подгруппы A, содержащей T(G), существует простое число p, такое, что pB Ф B и pA Ф A, либо доказать, что таких групп G с коммутативным кольцом эндоморфизмов и указанным свойством не существует.

ЛИТЕРАТУРА

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.

2. Szele T., Szendrei J. On Abelian groups with commutative endomorphism ring // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1951. V. 2. No. 3 - 4. P. 309 - 324.

3. Schultz P. On a paper of Szele and Szendrei on groups with commutative endomorphism rings // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1973. V. 24. No. 1 - 2. P. 59 - 63.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.

6. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник Томского госуни-верситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78 - 84.

7. Гриншпон С.Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 1998. № 9. С. 42 - 46.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

МИСЯКОВ Виктор Михайлович - доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: mvm@mail.tsu.ru

Статья принята в печать 31.05.2010 г.