Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 512.541

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК АРТИНОВЫ ИЛИ НЕТЕРОВЫ МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ. Ч. 1

П.А. Крылов*, Е.И. Подберезина

*Томский государственный университет

Томский политехнический университет E-mail: hggh45de@mail2000.ru

Приведен обзор результатов исследования абелевых групп как артиновых или нётеровых модулей над кольцами эндоморфизмов. Описаны абелевы группы A и B такие, что группа гомоморфизмов Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы B. Описание групп A и B, для которых группа Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы A, сведена к случаю, когда группа A не имеет кручения, а группа B - либо квазициклическая группа, либо делимая группа без кручения. Охарактеризованы абелевы группы A и B, для которых группа Hom(A,B) есть нётеров модуль над кольцом E(A) или E(B). Исследование произвольной абелевой группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов сведено к исследованию группы без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов. Исследование группы с нётеровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершённым. Описаны сепарабельные абелевы группы без кручения с нётеровыми слева или справа кольцами эндоморфизмов.

В настоящее время быстро развивается теория абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Возрастающий интерес к этому разделу алгебры понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел и во многом является источником идей для смежных областей алгебры.

Каждой абелевой группе можно сопоставить ассоциативное кольцо с единицей Е(А) всех её эндоморфизмов. Это кольцо несёт определённую информацию о самой группе А. Основную задачу, относящуюся к кольцам эндоморфизмов, можно сформулировать так: найти по возможности точные соотношения между свойствами группы А и свойствами её кольца эндоморфизмов.

Истоки теории колец эндоморфизмов лежат в теории линейных преобразований векторных пространств. Важную роль в становлении теории колец эндоморфизмов сыграла книга Бэра [1]. В монографии Фукса [2, 3] рассматриваются кольца эндоморфизмов. В работе [4] освещены результаты о кольцах эндоморфизмов абелевых групп. Основы теории колец эндоморфизмов абелевых групп заложены Бэром, Капланским, Селе, Фуксом, Пирсом, Корнером, Ричменом, Уокером. В книге [5] подробно представлены все основные разделы теории колец эндоморфизмов абелевых групп.

Кольца эндоморфизмов абелевых групп широко изучаются с различных точек зрения. Их теория

составляет самостоятельное направление, тесно связанное, конечно, с самой теорией абелевых групп. Этот раздел современной алгебры можно рассматривать с одной стороны, как часть теории абелевых групп, а с другой - как ветвь теории колец эндоморфизмов модулей. Он примыкает к обеим теориям, но имеет значительную специфику.

Изучение колец эндоморфизмов абелевых групп приносит дополнительные сведения о самих группах, вводит в исследование новый круг понятий и методов, помогает выделить неизвестные ранее классы групп и отыскать различные соотношения между ними. Изучение колец эндоморфизмов стимулирует исследования по теории модулей и их колец эндоморфизмов. Применение колец эндоморфизмов полезно и в других областях алгебры: аддитивные группы колец, Е-модули и Е-кольца.

Двумя важнейшими направлениями в теории колец эндоморфизмов являются рассмотрение групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и изучение групп с кольцами эндоморфизмов специального вида (последнее направление называется также «кольцевые свойства колец эндоморфизмов»). С достижениями по этому кругу задач можно познакомиться также по обзору [4].

На каждой абелевой группе А получается структура левого модуля над кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А, если положить аа=а(а) для всех аеЕ(А) и для всех аеА. Многие задачи приводят к

необходимости рассмотрения группы А как модуля над кольцом Е(А). Начало систематическому изучению групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов было положено работами Ричмена и Уокера [6], Дугласа и Фарахата [7]. Группы как модули над кольцами эндоморфизмов предлагается исследовать в книге [2, проблема 12]. Внимание многих специалистов привлекают абелевы группы как модули над их кольцами эндоморфизмов. Изучались группы, являющиеся конечно порождёнными [8], инъективными [9], проективными [10], плоскими [11] модулями над своими кольцами эндоморфизмов.

Программа исследования колец эндоморфизмов со специальными свойствами была предложена Селе. Она привлекает большое внимание специалистов. Актуальность этого направления подчёркивает постановка проблемы 84 в книге [3]. Имеется в виду следующее. Для некоторого кольцевого свойства описать абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых обладают этим свойством. Исследовались группы с коммутативными [12], локальными [13], регулярными [14], самои-нъективными [15], наследственными [16] кольцами эндоморфизмов.

Артиновы и нётеровы кольца и модули играют исключительно важную роль в теории колец и модулей (см. Ламбек [17], Каш [18. Гл. 6]). Артино-вость или нётеровость модуля представляют по существу некоторые условия конечности.

Интересна следующая история возникновения понятий нётерова (артинова) кольца и модуля. Исторически одним из исходных пунктов развития теории некоммутативных колец и модулей над такими кольцами была теория алгебр над полем К. Как сами такие алгебры, так и их идеалы и модули над ними являются одновременно векторными пространствами над К. Следовательно, можно привлечь теорию векторных пространств, что и было сделано на первом этапе развития теории. Если используются условия конечности, то ясно, что нужно требовать конечной размерности лежащих в основе векторных пространств над К.

Последующее развитие было направлено на максимально возможное освобождение от предположения, что мы имеем дело с алгеброй. При рассмотрении колец, не являющихся алгебрами, в нашем распоряжении уже нет теории линейных пространств и потому, в частности, возникает вопрос о подходящей замене условий конечности для алгебр, которые более не применимы. Соответствующие понятия и точки зрения здесь разработала в первую очередь Эмми Нётер, заложив тем самым основы для дальнейшего развития. В качестве условий конечности она ввела условия минимальности и максимальности, которые могут быть сформулированы эквивалентным образом как условия для цепей подмодулей. И в других разделах математики они оказались столь же важными и естественными. Сразу подчеркнём, что в дальнейшем речь идёт о конечных или счётных цепях (ря-

дах) подмодулей и в качестве отношения порядка рассматривается включение.

Абелевы группы как нётеровы модули над кольцами эндоморфизмов изучались Рейдом [8] и Па-расом [19]. В § 111 книги [3] дано описание абелевых групп, кольца эндоморфизмов которых являются телами, простыми или артиновыми кольцами. Там же характеризуются периодические группы с нётеровыми кольцами эндоморфизмов.

Группа гомоморфизмов Иош(А,В) стандартным способом превращается в левый модель над кольцом Е(В) и в правый модуль над кольцом Е(А). Хорошо известно, что существует естественный изоморфизм левых Е(В)-модулей Иош(ДВ)=В, где группа В также рассматривается как левый Е(В)-модуль. Поскольку Иош(А,А)=Е(А), то мы видим, что исследование группы Иош(А,В) как левого Е(В)-модуля и правого Е(А)-модуля действительно включает изучение групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и изучение групп с кольцами эндоморфизмов специального вида.

Группа гомоморфизмов является важной и полезной конструкцией не только в теории абелевых групп, колец и модулей, но и в других областях математики. В монографии Фукса [2] найдено алгебраическое строение группы гомоморфизмов, установлены её гомологические свойства. Тому обстоятельству, что группа Иош(А,В) является Е(В)-модулем и Е(А)-модулем, в литературе уделялось мало внимания, хотя сам этот факт используется часто. Модульный подход к изучению группы гомоморфизмов с одной стороны, позволяет в качестве следствий единообразно выводить результаты о группах как модулях над кольцами эндоморфизмов и о кольцах эндоморфизмов со специальными свойствами. С другой стороны он даёт возможность получить дополнительную информацию об алгебраическом строении группы гомоморфизмов. Кроме того, введение новых классов групп расширяет знания об абелевых группах.

Все используемые далее обозначения стандартны. Буква р всегда обозначает простое число, N -множество всех натуральных чисел, 2 - группа или кольцо целых чисел, 0 - группа или поле рациональных чисел, 2(р) - циклическая группа порядка р, 2р) - квазициклическая р-группа, 1Г - группа целых р-адических чисел, - аддитивная группа

поля р-адических чисел. Для группы О обозначим через Е(О) её кольцо эндоморфизмов, г(О) - ранг, а гр(О) - р-ранг группы О, то есть гр(О)=г(О/рО). Если А и В - группы, то группа Иош(А,В) - группа гомоморфизмов из группы А в группу В. Для натурального числа п определим две вполне характеристические подгруппы группы О:

пО={п£|£еО} и О[п]={^е 0\ng=0}.

Все группы, о которых идёт речь, абелевы.

Приведём некоторые хорошо известные факты и понятия общего характера, которые в дальнейшем будем применять без пояснений.

Структура левого Е(В)-модуля на группе Иош(А,В) задаётся с помощью формулы (а(р)а=а(щ) для всех феИош(А,В), аеЕ(В), аеА. Структура правого Е(А)-модуля получается с помощью формулы (фв)а=ф(ва) для любого эндоморфизма /ЗеЕ(А). В частности, всякую группу А можно естественным образом превратить в левый модуль над своим кольцом эндоморфизмов Е(А), считая, что аа=а(а) для любого аеЕ(А) и аеА.

Пусть А и В - группы. Положим

Ял (В) = X а А, К (А) = I кега-

а:А^В а-.А^В

Испол-зуем краткие обозначения $=$А(В), К=КВ(А), А =А/К. Подгруппа £ называется следом группы А в группе В (или А-цоколем). Она вполне характеристична в группе В. Подгруппа Кназывает-ся В-радикалом группы А, она является вполне ха-рактери-стической подгруппой группы А. Факторгруппу А можно назвать коследом группы В в группе А. Имеют место очевидные равенства S=SЛ(S), а также КВ(А)=0. Ясно, что Иош(А,В)=Иош(А,6). Группу Иош(А,В) можно также есте-твенным образом отождествить с группой Иош(А,Я). А именно, обозначив через I вложение К^А, а через ж канонический гомоморфизм А^А/К, получим индуцированную последовательность 0^Иош(А/К,В) —— Иош(А,В) —— Иош(К,В), где I*, ж* - индуцированные гомоморфизмы. По определению подгруппы К должно быть I *=0. Следовательно, отображение ж* является изоморфизмом. С помощью этого изоморфизма и получается отождествление. Отметим ещё, что в силу вполне характеристичности подгруппы К в группе А фактор-группа А/К есть левый Е(А)-модуль, а Иош(А/К,В) - правый Е(А)-модуль. Изоморфизм ж* является изоморфизмом правых Е(А)-модулей.

Часто применяются известные утверждения об индуцированных последовательностях. Если последовательность групп О^В^О^И^О точна, а М- левый модуль над кольцом Я, то имеем точную последовательность левых и правых Я-модулей соответственно:

0^Иош(И,М)^Иош(О,М)^Иош(В,М),

0^Иош(М,В)^Иош(М, О)^Иош(М,И).

Если же последовательность О^К^М^Х^О является точной последовательностью левых Я-мо-дулей, О - некоторая группа, то получаем точную последовательность правых и левых Я-модулей соответственно

0^Иош(Х, О)^Иош(М, О)^Иош(К, О),

0^Иош(О,К)^Иош(О,М)^Иош(О,Ь).

Укажем важные подмодули модуля Иош(А,В), которые можно получить, исходя из определённых подгрупп групп А и В. Приведём также некоторые канонические модульные разложения группы Иош(А,В), индуцируемые разложениями группы А или В. Если Ж - некоторая подгруппа (вполне характеристическая подгруппа) группы В, то Иош(А, Ж) - подмодуль Е(А)-модуля (Е(В)-модуля) Иош(А,В). Отсюда если

B = nw,

iel

где W - некоторые подгруппы (вполне характеристические подгруппы и множество I конечно), то имеет место естественный изоморфизм Е^)-моду-лей (Е(Я)-модулей):

Hom( A, B) = П Hom(A, W).

iel

Переходя к группе A, можно получить следующие подмодули и разложения. Если V - некоторая подгруппа (вполне характеристическая подгруппа) группы A, то множество {^eHom(A,B)|^V=0| будет подмодулем Е^-модуля (соответственно Е(А)-модуля) Hom(A,B). Его можно отождествить с Hom(A/V,B). В частности, в случае A=Vl@V2 группу Hom(Vl,B) считаем равной следующей подгруппе группы Hom(A,B): {^eHom(A,B)|^V2=0|. Разложение

A = Е® V,

iel

где V - некоторые подгруппы (вполне характеристические подгруппы) группы A даёт естественный изоморфизм Е(В)-модулей (Е^-модулей):

Hom( A, B) = П Hom( Vt, B).

iel

Доказательства многих результатов опираются также на следующее замечание о притягивающих модулях [20. С. 523]. Пусть p.R^-S - гомоморфизм колец, M - правый (левый) S-модуль. Посредством формул mr=mp(r) (соответственно rm=p(r)m), где meM, reR, на группе Mвводится структура правого (левого) R-модуля. Модуль MR (RM) называется притягивающим для модуля MS (SM). Его R-подмодули совпадают с S-подмодулями, если р сюръек-тивен [18. С. 56], [20. С. 523].

Это замечание играет важную роль в следующих часто возникающих ситуациях. Пусть M - левый модуль над некоторым кольцом R, A и B - группы. Тогда Hom(A,M) (Hom(M,B)) - левый (правый) R-модуль. Обычно модуль M будет появляться в связи с вполне характеристическими подгруппами групп A и B. Пусть, например, V- вполне характеристическая подгруппа группы A. Тогда имеем Е^-модули Vи A/V. Особенно важен случай, когда V - вполне характеристическое прямое слагаемое группы A. Для наших целей полезно то, что для такой подгруппы V подмодули Е^-модуля V и Е(Р)-модуля V совпадают. Действительно, канонический гомоморфизм колец E(A)^E(V) является сюръективным и рассматриваемая ситуация укладывается в рамки понятия притягивающего модуля. Фактор-группа A/V также является Е^)-моду-лем и Е^/^-модулем и подмодули этих модулей суть одно и то же. Опять канонический гомоморфизм колец Е^^-Е^/У) сюръективен. Можно далее заключить, что подмодули Е^)-модуля и Е( Vl-модуля Hom( V,B) совпадают и то же справедливо для подмодулей Е^-модуля и Е^/Р)-модуля Hom(A/V,B). Аналогичным образом, если

W - вполне характеристическое прямое слагаемое

группы В, то совпадают подмодули Е(В)-модуля и Е(Ж)-модуля Иош(А,Ж), а также подмодули Е(В)-модуля и Е(В/Ж>-модуля Иош(А,В/Ж).

Будем говорить, что простое число р относится к какой-то группе, если она имеет ^-компоненту, (то есть ^-компонента этой группы отлична от нуля).

^-компонентой группы О называется наибольшая ^-группа, содержащаяся в О. Понятно, что ^-компонента группы О совпадает с ^-компонен-той её периодической части.

Делимой (редуцированной) ^-компонентой некоторой группы О будем называть делимую (редуцированную) часть её ^-компоненты.

Группа называется ограниченной, если порядки всех её элементов ограничены в совокупности. Ограниченная группа является прямой суммой циклических групп (теорема 17.2 из книги [2]).

Кольцо Я называется нётеровым слева (артино-вым слева), если модуль нётеров (артинов). Аналогично определяются нётеровы и артиновы справа кольца.

Модуль ЕМ называется нётеровым (артиновым), если всякое непустое множество его подмодулей имеет максимальный (минимальный) по включению элемент.

Говорят, что возрастающая (убывающая) цепь подмодулей модуля М

A1сЛ2с...сЛс■■■(A1зA2з...зAз...) стабилизируется (или обрывается), если она содержит лишь конечное число различных модулей Ап.

Теорема 1. [18. Теорема 6.1.2]. Пусть М- левый (правый) Я-модуль, А - его подмодуль. Следующие условия эквивалентны:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. - М.: Иностранная литература, 1955. - 400 с.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1974. - Т. 1.

- 335 с.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1977. - Т. 2.

- 416 с.

4. Марков В.Т, Михалёв А.В., Скорняков Л.А., Туганбаев А.А. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей. В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1983. - Т. 21. - С. 183-254.

5. Крылов П.А., Михалёв А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. - Томск: Изд-во ТГУ, 2002.

- 451 с.

6. Richman F., Walker E. Primary abelian groups as modules over their endomorphism rings // Math. Z. - 1965. - V. 89. - № 3. - P. 77-81.

7. Douglas A.J., Farahat H.K. The homological dimension of an abelian group as a module over its ring of endomorphism // Monatsh. Math. - 1965. - V. 69. - № 2. - P. 294-305.

8. Reid J.D. Abelian groups finitely generated over their endomorphism rings // Lecture Notes Math. - 1981. - V. 874. - № 5. - P. 41-52.

9. Richman F., Walker E. Modules over PIDs that are injective over their endomorphism rings // Ring theory. - N.Y.: Academic Press, 1972. - P. 363-372.

(1) M нётеров (артинов);

(2) A и M/A нётеровы (артиновы);

(3) каждая возрастающая (убывающая) цепь подмодулей модуля M стабилизируется.

Изложение полученных авторами результатов

начнём с эндоартиновых и эндонётеровых групп.

Группа A, являющаяся нётеровым (артиновым) модулем над своим кольцом эндоморфизмов, называется эндоартиновой (эндонётеровой). Получено полное описание эндоартиновых групп, а изучение эндонётеровых групп сведено, что традиционно для теории абелевых групп, к изучению эндонё-теровых групп без кручения [21. С. 172]:

Теорема 2. 1) Группа A эндоартинова тогда и только тогда, когда A=BBD, где B - ограниченная группа, D - делимая группа с конечным числом ненулевых ^-компонент.

2) Группа A эндонётерова тогда и только тогда, когда A=B®C, где B - ограниченная группа, C -эндонётерова группа без кручения.

В доказательстве этой теоремы использована лемма 1.

Лемма 1. Пусть группа A=Z®A; и H - вполне характеристическая подгруппа il^A. Тогда

н = Х® (н п 4),

iel

где каждая подгруппа HnAt вполне характеристична в A;. Если некоторые слагаемые At и Aj изоморфны, то всякий изоморфизм между ними индуцирует изоморфизм между HnAt и HnA.

Теорема 2 играет важнейшую роль в доказательстве артиновости (нётеровости) многих подмодулей модуля Hom(A,B) (теоремы 3, 5, предложения 5, 10).

10. Arnold D., Pierce R.S., Reid J.D., Vinsonhaler C., Wickless W. Torsion-free abelian groups of finite rank projective as modules over their endomorphism rings // J. Algebra. - 1981. - V. 71. - № 1. -P. 1-10.

11. Faticoni Th. G., Goeters P. Examples of torsion-free groups flat as modules over their endomorphism rings // Commun. Algebra. -1991. - V. 19. - № 1. - P. 1-27.

12. Szele T, Szendrei J. On abelian groups with commutative endomorphism rings // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1951. - V. 2. -№ 9. - P. 309-324.

13. Orsatti A. Alcuni gruppi abeliani il cui anello degli endomorfismi e locale // Rend. Semin. mat. Univ. Padova. - 1965. - V. 35. - № 7.

- P. 107-115.

14. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed Abelian groups // Commun. Algebra. -1994. - V. 22. - № 4. - P. 1161-1176.

15. Иванов А.В. Абелевы группы с самоинъективными кольцами эндоморфизмов и кольцами эндоморфизмов с аннуляторным условием // Абелевы группы и модули / Под ред. Л.А. Скорня-кова. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. - С. 93-109.

16. Albrecht U. Baer’s lemma and Fuchs’ problem 84 a // Trans. Amer. Math. Soc. - 1986. - V. 203. - № 2. - P. 565-582.

17. Ламбек И. Кольца и модули. - М.: Мир, 1971. - 280 с.

18. Каш Ф. Модули и кольца. - М.: Мир, 1981. - 368 с.