CC BY
30
1п1е11гс1ыа1 Technologies оп ТтатрогЬ 2020. N0 4
Об одном способе подавления боковых лепестков функции автокорреляции
д.т.н. В. А. Ходаковский Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия [email protected]
д.т.н. С. А. Лобов Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. Рассматривается возможность улучшения отклика коррелятора за счет использования комплексной свертки. Рассмотрены основные понятия, моделирование широкополосного сигнала. В качестве исследуемого сигнала используется математическая модель сигнала с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) — сигнала с квадратичным законом изменения фазы. Рассмотрен вопрос о комплексной свертке и преобразовании Гильберта. Приведены программа вычисления квадратурной компоненты сигнала, а также программы вычисления свертки. Показано, что в отклике коррелятора можно существенно подавить боковые всплески, что повышает возможности при решении задач обнаружения сигнала в шумах, распознавания изображений и т. д.
Ключевые слова: свертка, корреляция, автокорреляционные свойства.
Введение
При решении многих технических задач требуется вычисление свертки функций и их кросс корреляции. В радиотехнических задачах обнаружения сигнала в шумах традиционно используются сигналы, обладающие широким спектром, к которым относятся да-последователь-ности, коды Баркера и т. д.
Вместе с тем кодов Баркера с числом символов более 13, как известно, не существует, а автокорреляционные свойства да-последовательностей не позволяют получать уровень боковых всплесков менее где N — число
символов в последовательности.
В указанной связи наряду с поиском сигналов с идеальными автокорреляционными свойствами актуальной представляется задача поиска способов, которые позволят отличить сигнал от его инверсной копии. Здесь под инверсной копией понимается последовательность, в которой порядок следования символов является обратным к исходному порядку следования.
Основные понятия
С точки зрения математической статистики ковариационная функция двух случайных величин определяется как второй смешанный момент
гСО _
Сор(Х, У) = £ ¡_<(Х -Х)х(У -У) х р(Х, У)йхйу , (1)
где р(Х, У) — двумерная плотность вероятностей распределения величин X и У.
Зная ковариационную функцию (1), корреляционную функцию можно получить путем нормирования (1) на произведение средних квадратических отклонений величин X и У:
1 —V
й(*,= О* -*>х<У-Г>х Р(Х, У№у. (2)
Если случайные величины X и У нормированы по математическому ожиданию, то выражение (2) упростится:
И(Х, У) =
_ х У X р(х, У)ахау. (3)
Если случайные величины X и У равны друг другу, то под интегралом получим математическое ожидание квадрата случайной величины, которое делится на ту же дисперсию, то есть получим единицу.
В выражении (3) переменные интегрирования пробегают все значения в бесконечном интервале и в соответствии со значениями двумерной плотности интегрируются произведения величин X и У. Очевидно, что в выражениях (1-3) должно обеспечиваться условие нормировки двумерной плотности
ГО^ п^у = 1.
(4)
Для эргодических случайных процессов X и У двумерная плотность распределения может быть заменена на одномерную, которая учитывает только сдвиг процессов относительно друг друга, тогда выражение для ковариа-ции случайных процессов с нулевым математическим ожиданием может быть определено как свертка данных процессов во временной области:
соу(Т,х,у) = ¡_° х(0 * У(Ь - т) * -р(ь)аь,
или, для случая дискретных процессов, Сор,
V'N \ХкУк+1Н1
Ьк=±'
(5)
(6)
где Н1 — вектор, являющийся дискретным аналогом плотности вероятностей процессов X и У.
Здесь необходимо отметить, что в технических системах аналог плотности обычно опускают, предполагая, что этот вектор не известен и тогда свертку вычисляют по формуле
С0Уь = ^кЛ^кУк+Ь
(7)
Моделирование широкополосного сигнала Рассмотрим, как влияет учет вектора Н при вычислении свертки реальных процессов. Пусть задан процесс с квадратичным изменением фазы (аналог ЛЧМ-сигнала)
(О
= (БЫ (2) , 0 < £ <9,
0,
К! >9.
(8)
Сформируем из (8) дискретный процесс из N = 64 отсчетов. На рисунке 1 приведен процесс (7) и его дискретный аналог, а на рисунке 2 — нормированная автокорреляционная функция (АКФ), вычисленная по формуле (7).
Рис. 1. Сигнал ЛЧМ (линия) и дискретный аналог (точки)
Рис. 2. Нормированная автокорреляционная функция сигнала ЛЧМ
Анализируя рисунок 2, можно заметить, что центральный пик АКФ сильно выражен, но отношение амплитуды центрального пика к максимальному боковому составляет всего 3,2, а в логарифмической мере по квадрату амплитуды (то есть по мощности) это соответствует 10,1 дБ, что совсем не много.
В радиотехнических системах очень часто требуется обнаруживать сигнал, мощность которого по сравнению с аддитивным шумом равна или даже значительно меньше мощности входного шума, поэтому необходимо существенно повысить разрешающую способность корреляционного приема сигналов [1-4].
Тем более что уже сейчас известны последовательности, обладающие идеальными автокорреляционными свойствами, когда отношение центрального пика АКФ последовательности к максимальному ее боковому пику составляет 40 дБ и более [5-9], но это относится к широкополосным последовательностям с высоким пик-фактором, а главное, к последовательностям, среднее значение которых не равно нулю. Как известно, наличие постоянной составляющей не обеспечивает возможности непосредственной (без использования методов модуляции) передачи таких последовательностей по радиоканалу, а применение методов модуляции сводит на нет идеальные корреляционные свойства данной последовательности.
О комплексной свертке и преобразовании Гильберта
Для улучшения корреляционных свойств последовательности необходимо, чтобы начальные элементы последовательности (от начала и вплоть до середины) не коррелировали с конечными элементами (практически от середины и до ее конца), и только когда начало первой последовательности совпадает с началом второй возникает сильная корреляция.
С точки зрения статистической связи последовательностей сильная корреляция означает, что при конкретном
сдвиге одной последовательности относительно другой при возрастании значений элементов первой последовательности элементы второй также возрастают, и наоборот, при убывании элементов первой элементы второй также должны убывать, тогда при нулевом сдвиге возникает сумма квадратов всех элементов последовательности, а сумма квадратов — это дисперсия, то есть мощность сигнала.
Значит, свертка при нулевом сдвиге должна в идеале давать мощность сигнала, если сигнал коррелирует с себе подобным, и наоборот, свертка должна давать минимальный отклик, если сигналы не коррелированы.
Возвратимся к сигналу ЛЧМ (рис. 1) Обратим внимание на то, что начало последовательности является низкочастотным сигналом, а конец, наоборот, высокочастотным, то есть начало и конец не должны давать высокой корреляции. И действительно, анализ АКФ (2) показывает, что левый и правый концы АКФ дают слабую взаимную корреляцию, а при приближении к середине АКФ амплитуда всплесков возрастает, переходя в центре к главному лепестку.
Многие исследователи давно обратили внимание на то, что интегральная свертка (формулы 1-3) — это, по сути, сумма скалярных произведений всех мгновенных векторов, которые описывают сигнал. А скалярное произведение есть проекция одного вектора на направление второго, то есть произведение векторов с учетом косинуса угла между векторами. Значит, нам необходимо для всех моментов сдвига найти косинус угла между векторами, описывающими наши последовательности.
Исходя из этих позиций, перейдем к комплексному представлению сигнала (8). Для этого нужно найти сигнал, комплексно-сопряженный с сигналом ЛЧМ. Здесь есть несколько вариантов: либо к сигналу (8) применить преобразование Гильберта, либо использовать прямое преобразование Фурье сигнала (8), затем поменять местами действительную и мнимую часть в его спектре и выполнить обратное преобразование Фурье.
Дело в том, что смена мест действительной и мнимой части в спектре — это, по сути, поворот фаз всех гармоник в спектре сигнала на 90 градусов, а преобразование Гильберта делает именно это. На рисунке 3 приведена программа для среды МаШса^ позволяющая найти квадратурную компоненту сигнала. В данной программе кроме перемены мест действительных и мнимых частей спектра выполнены также две процедуры: выделения из сигнала после обратного преобразования Фурье только действительных компонент и обратной сортировки полученного вектора.
Рис. 3. Программа вычисления квадратурной компоненты сигнала
Для сравнения на рисунке 4 приведен исходный сигнал и его квадратурная компонента. Из графиков видно, что когда основной сигнал достигает максимума, то его квадратурная компонента имеет перегиб и наоборот, что как раз и является результатом сдвига фазы сигнала.
0 20 40 60
Рис. 4. Сигнал ЛЧМ (сплошная линия) и его квадратурная компонента (пунктир)
Условно основной сигнал можно назвать косинусной компонентой, а, соответственно, синусной — его квадратуру. Тогда текущий фазовый угол сигнала может быть определен как обратный тангенс от отношения синусной и косинусной компонент сигнала. На рисунке 5 приведен график изменения фазы сигнала и ее косинуса.
Рис. 5. Закон изменения фазы сигнала (синяя кривая) и ее косинуса (красная кривая)
Из анализа рисунка 5 следует, что фаза сигнала возрастает по квадратичному закону, совершая скачки в моменты перехода сигнала через ноль, при этом косинус комплексной фазы сигнала положителен, когда сигнал переходит ноль с минуса на плюс и наоборот, причем в этот момент фаза совершает скачок в обратном направлении.
Моделирование комплексной свертки Теперь, имея угол между сворачиваемыми векторами можно вычислить свертку по формуле (6). На рисунках 6 и 7 приведены две процедуры для среды МаШса4 позволяющие вычислить свертку при разных весовых функциях.
Рис. 7. Программа 2 вычисления свертки
В первом варианте процедуры (рис. 6) вычисления свертки в качестве весовой функции использован квадрат косинуса текущего фазового угла, во втором варианте (рис. 7) использована «обостренная» экспонента.
На рисунке 8 приведен пример вычисления свертки с использованием первой процедуры. В качестве весовой функции использован квадрат косинуса текущей фазы комплексного сигнала.
Рис. 8. Результат вычисления свертки для сигнала ЛЧМ без весовой функции (пунктир) и с ее применением (сплошная линия)
На рисунке 9 приведен пример вычисления свертки с использованием второй процедуры. В качестве весовой функции использована экспонента от специально подобранной функции.
Рис. 6. Программа 1 вычисления свертки
Рис. 9. Результат вычисления свертки для сигнала ЛЧМ без весовой функции (пунктир) и с ее применением (сплошная линия).
Заключение
Анализ рисунков 8 и 9 позволяет заключить, что добавление весовой функции в виде косинуса текущей фазы дает возможность несколько подавить боковые лепестки АКФ, а использование второй процедуры способствует практически полному подавлению боковых всплесков
АКФ, оставляя неизменным центральный пик, что обеспечивает получение логарифма отношения уровня центрального пика к максимальному боковому на уровне не хуже 30 дБ.
Литература
1. Синтез сигналов с оптимальными по уровню боковых лепестков автокорреляционными свойствами / В. A. Хода-ковский, В. Г. Дегтярев, П. В. Герасименко, С. В. Микони // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2018. Т. 15, Вып. 4. С. 629-636.
2. Ходаковский, В. A. O теореме отсчетов и ее применении для синтеза и анализа сигналов с ограниченным спектром / В. А. Ходаковский, В. Г. Дегтярев // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2017. Т. 14, Вып. 3. С. 562-573.
3. On Neural Network Online Learning Algorithm / D. V. Zuev, V. V. Garbaruk, V. A. Khodakovsky, [et al.] // Proceeding of the 19th International Conference on Soft Computing and Measurements (SCM'2016), (Saint Petersburg, May 25-27, 2016). — Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2016. — Pp. 279-280.
DOI: 10.1109/SCM.2016.7519753.
4. Ходаковский, В. А. Мера сходства узкополосных сигналов / В. А. Ходаковский, Т. В. Ходаковский // Автоматика на транспорте. 2015. Т. 1, № 2. С.180-194.
5. Ипатов, В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / Пер. с англ. Ю. О. Каратассо; под ред. В. П. Ипатова. — Москва: ЗАО «РИЦ «Техносфера», 2007. — 487 с. — (Мир связи).
6. Варакин, Л. Е. Системы связи с шумомодобными сигналами. — Москва: Радио и связь. Редакция литературы по радиотехнике, 1985. — 384 с.
7. Ипатов, В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. — Москва: Радио и связь. Редакция литературы по радиотехнике и электросвязи, 1992. — 152 с.
8. Ипатов, В. П. Троичные последовательности с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 10. С. 2053-2057.
9. Ипатов, В. П. К теории троичных последовательностей с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 4. С. 723-727.
On One Method of Suppressing Lateral Sets of the Autocorrelation Function
Grand PhD V. A. Khodakovsky Emperor Alexander I Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia [email protected]
Abstract. The possibility of improving the response of the correlator by using complex convolution is considered. Basic concepts, modeling of a broadband signal are considered. As the signal under study, a mathematical model of a signal with linear frequency modulation (LFM) is used - a signal with a square-law phase change. The question of complex convolution and Hilbert transform is considered. The program for calculating the quadrature component of the signal, as well as the program for calculating the convolution is presented. It is shown that in the correlator response it is possible to significantly suppress lateral bursts, which increases the possibilities for solving problems of signal detection in noise, image recognition, etc.
Keywords: correlator, convolution, mathematical model, signal detection in noise.
References
1. Khodakovskii V. A., Degtiarev V. G., Gerasimenko P. V., Mikoni S. V. Design of Signals with Autocorrelated Qualities That Have Optimised Sidelobe Level [Sintez signalov s optimal'nymi po urovnyu bokovykh lepestkov avtokorrelyatsionnymi svoystvami], Proceedings of Petersburg Transport University [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya], 2018, Vol. 15, Is. 4, Pp.629-636.
2. Khodakovskiy V. A., Degtyarev V. G. On Sampling Theorem and Its Application for the Purposes of Synthesis and Analysis of Band-Limited Signals [O teoreme otschetov i ee primenenii dlya sinteza i analiza signalov s ogranichennym spektrom], Proceedings of Petersburg Transport University [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya], 2017, Vol. 14, Is. 3, Pp. 562-573.
3. Zuev D. V., Garbaruk V. V., Khodakovsky V. A., et al. On Neural Network Online Learning Algorithm, Proceeding of the 19th International Conference on Soft Computing and Measurements (SCM 2016), Saint Petersburg, Russia, May 25-27, 2016. Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2016, Pp. 279-280.
DOI: 10.1109/SCM.2016.7519753.
Grand PhD S. A. Lobov Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation Saint Petersburg, Russia
4. Khodakovsky V. A., Khodakovsky T. V. On Similarity Measure of Narrow Band Signals [Mera skhodstva uzkopo-losnykh signalov], Automation on Tranport [Avtomatika na transporte], 2015, Vol. 1, No. 2, Pp. 180-194.
5. Ipatov V. P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications [Shirokopolosnye sistemy i kodovoe razdelenie signalov. Printsipy i prilozheniya]. Мoscow, TECHNOSPHERA Publishing Company, 2007, 487 p.
6. Varakin L. E. Communication systems with noise-like signals [Sistemy svyazi s shumopodobnymi signalami]. Мoscow, Radio and Communications, 1985, 384 p.
7. Ipatov V. P. Periodic discrete signals with optimal correlation properties [Periodicheskie diskretnye signaly s optimal'nymi korrelyatsionnymi svoystvami]. Мoscow, Radio and Communications, 1992, 152 p.
8. Ipatov V. P. Ternary Sequences with Ideal Periodic Autocorrelation Properties [Troichnye posledovatel'nosti s ide-al'nymi periodicheskimi avtokorrelyatsionnymi svoystvami], Radio Engineering and Electronic Physics [Radiotekhnika i elektronika], 1979, Vol. 24, No. 10, Pp. 2053-2057.
9. Ipatov V. P. On the Theory of Ternary Sequences with Ideal Periodic Autocorrelation Properties [K teorii troichnykh posledovatel'nostey s ideal'nymi periodicheskimi avtokorrelyatsionnymi svoystvami], Radio Engineering and Electronic Physics [Radiotekhnika i elektronika], 1980, Vol. 25, No. 4, Pp. 723-727.
