CC BY
11
Для реализации проверки построенной прогнозной модели последовательно рассматриваем ЛВР
и;,г = 1,2,...,т, т = п-г, г = \,п-к, (10)
т.е. ряды (10) получаются путем удаления из ЛВР (2) последних г его членов.
Для каждого фиксированного индекса т строим прогноз терма ит+\, представляемого в виде НТМ
Ут+1 = {{Н'>Мн)’(С’Мс\{В'’Мв)}-
Пусть, в полученном НТМ ит+среди чисел
МН’МС’Мв максимальным является то число //д, А е {Н,С,В }, у которого индекс Д совпадает с термом ит+\ ряда (2). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса т прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае говорим о противоречивом прогнозе для термина т. ,
В заключение отметим, что для ЛВР (2), соответствующему ряду (1) урожайности по Волгоградской области, был получен непротиворечивый прогноз для каждого т = п~г, г = 1,2,..., п - 6, т. е. подтверждена адекватность предложенной прогнозной нечеткой модели реальным временным рядам урожайности зерновых по Волгоградской области.
1
Литература
1. Перепелица В.А., Тебуева Ф Б. II Математика. Компьютер. Образование': тез. докл. Седьмой между нар. конф. Дубна, 2002. С. 163.
2. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М., 1971.
3. Курдюмов С.П. и др. И Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М., 1996. ,
4. Касаева МД., Перепелица В.А. II Современные аспекты экономики. 2002. № 9 (22). С. 201-207.
5. Орловский С.А: Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М., 1981.
6. Алтунин А.Е., Семухин М.В: Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, 2000.
7. Векленко В.И. Экономические проблемы устойчивости и повышения эффективности земледелия. Курск, 1999.
8. Лопатников ЛИ. Экономико-математический словарь. М., 1987.
9. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие.
Синергетика. М., 2000.
10. Бережная Е.В., Бережной В.И. математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. М., 2001.
11. Яновский Л П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «Зонт». Воронеж, 2000.
12. Жирабок А.Н// Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7. №2. С. 109-115.
13. Нейман Э.-Л. Малая Энциклопедия Трейдера. Киев, 1997.
14. Перепелица В.А., Попова Е.В. //Современные аспекты экономики. 2002. № 9 (22). С. 185-200.
15. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.
Карачаево-Черкесский государственный технологический институт
13 января 2003 г.
УДК 519.21
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2003 г. Е.А. Семенчин
This work is devoted to the construction of an optimal filter of a special form for a linear stochastic systems. The optimal estimation in a middle quadrum sense of non-observed stochastic process, which is got with it's (filter's) help is constructed only by the results of observations at the current moment of time and doesn't account (opposite to Calman-Buesi filter) the results of observations in previous moments of time.
The given filter has a rather simple form and may be realized on computers with a small operative memory (for example on automobile's computers)
Постановка задачи. Пусть [ЄІ,Р,Р) — некоторое
вероятностное пространство, где О. - множество элементарных событий; Р - а -алгебра подмножеств множества П ; Р - вероятность (вероятностная мера), определенная на Р. На (П,Р,Р) с выделенным на нем потоком а -алгебр , / є [0,г], задан (к + /) -мерный
^^ ”меРная и ^ *меРная
случайный процесс
77(7) компоненты которого удовлетворяют соответственно стохастическим дифференциальным уравнениям в форме Ито: dz{t) = a(t)z{t)dt + b{t)dwx{t), /е^г], £(/0) = £0,(1) йф)= Л(г)£(/)А + Я(/)Ло2(/), 77(/0) = 77о• (2)
Здесь #0. Ло ~ соответственно к -мерный и / -мерный гауссовские -измеримые случайные векторы; (/), м>2(/) - к -мерный и /-мерный винеров-
ские процессы, заданные на Ft; вектор | не завило,
wl(0^ г \ г \ сит от , ; a{t), b\t) - матрицы размером кхк;
\™2\Ч)
A{f)t B{t) - матрицы размерами / х к , 1x1; компоненты матриц ait), b[t), A(t), B(t) являются измеримыми (детерминированными) функциями, удовлетворяющими условиям:
\
к к 11 "У / \
i=ij= і ,=1j=\
dt < оо.
той Ф) случайного процесса
4(f)
п(<\
p(t) = м{^(і)/F?),
венные и стохастические дифференциальные уравнения). Эго связано в первую очередь с вычислительной стороной дела: процесс вычисления значений величин, определяемых из рекуррентных соотношений, относительно легко реализовать на ЭВМ. Подобная методология лежит в основе оптимальной линейной фильтрации.
Теорема 1 [1]. Пусть к -мерная £(/} и /-мерная ф) компоненты (к+/)-мерного случайного про-
т
цесса диффузионного типа
удовлетворяют со-
Задача оптимального оценивания или оптимальной фильтрации (в данном случае - линейной, поскольку уравнения (1), (2) являются линейными) ненаблюдаемой компоненты £(?) по результатам наблюдений на интервале времени [/0,ї] за компонен-
ставится сле-
дующим образом [1-3]. Пусть a{t) - случайный процесс со значениями в к -мерном . евклидовом пространстве Ек, удовлетворяющий условиям: 1) ait) Ft - измерим, 2) М |а(<)|2< ооМножество таких процессов обозначим через А. По результатам наблюдений за процессом T](t) на интервале [fo,f] требуется найти p(t)eA , доставляющий минимум по a(t) е А
математическому ожиданию Af {с *[£(/)- a(t)f, т.е.
. =minM{c*[g(t)-a(t)]}2,
asA
где с - произвольный неслучайный вектор из Ек;
* — операция транспонирования. Случайный процесс pit) принято называть [1-3] оптимальной оценкой £(/) (по результатам наблюдений за процессом T][t) на интервале М).
Хорошо известно [1-3], что если М I £(f)|2< 00 , то p{t) совпадает с условным «математическим ожиданием:
(4)
где рр =сг{|У:^(5),/о <£</} - и -алгебра, порожденная 7]( = (77(5), /0 < х < /}; т]( - последовательность наблюдений за процессом ф) на интервале [/о,/]. При построении соотношений для определения традиционно стремятся [1], чтобы при дискретизации по t они принимали рекуррентный вид (примерами таких соотношений являются обыкно-
ответственно стохастическим дифференциальным • уравнениям (1), (2); a(t), b(t), A{t), B[t) удовлетворяют условиям (3), матрица B(t)B*(t) при всех
t е [/0,Г] не вырождена. Тогда pit) = M^it)| ) -
вектор условных математических ожиданий (4) и матрица ковариаций
yit)=M[{l;it)-pif)){l;it)-pit))'i ‘ удовлетворяют системе уравнений
dp{t) = a{t)pit)dt +
+ y{t)A* if){Bit)B' Of (djj(t)~ A{t)p{t)dt), (5)
• rit) = ctif)yit)+rit)aif)-
-KOA)kK«K4>(0+i№‘(<)
с начальными условиями
p{0)=M{^olr]0),yo =M[{f0-P{to))feo -Ж))*]-(6) Система (5) имеет единственное решение (для /(/) - в классе симметрических неотрицательно определенных матриц). Систему (5) с начальными условиями (6) принято называть [1-3] фильтром Калмана-Бьюси.
При каждом /el/o.r], £(/), rj(t) представляют собой некоторые случайные векторы (к 'мерный и / -мерный соответственно). Введем в рассмотрение [4] условное математическое ожидание pit), определяемое равенством
Щ = M^it)!^)) = м{ф¥р), (7)
где FP - а -алгебра, порожденная случайным вектором т](/), наблюдаемым в момент времени / е КА [2, 4]. Ясно, что p{t)= M{git)lr/(t)) представляет
собой при каждом /е[/0,т] рр -измеримую случайную величину (обратим внимание, что при каждом tz[t0rT] p{t) = M[t{t)/Fp} является FP -измеримой случайной величиной).
Легко убедиться, , что на множестве FP -измеримых случайных векторов a(t), удовлетворяющих условию М | ait)|2 < оо, которое обозначим, как и ранее, через А, (7) доставляет минимум выражению
М{с*[£(/)-а(/)]}2, т.е.
м\с * = тт{с * [^(/)-«(/)]}2,
аеА
где с — произвольный &-мерный неслучайный вектор. Доказательство этого факта — дословное повторение рассуждений и выкладок, приведенных, например в [2], при доказательстве равенства (4).
Цель данной работы - построить соотношения (называемые в дальнейшем в отличие от (5) - (6) оптимальный линейный фильтр, построенный по текущим наблюдениям) для определения р{{) = ф)), где
£(/) и ф) удовлетворяют стохастическим дифференциальным уравнениям (1), (2), и убедиться, что этот оптимальный фильтр имеет более простой (с вычислительной точки зрения) вид, чем оптимальный фильтр Калмана-Бьюси. Основной недостаток предлагаемого оптимального фильтра (по сравнению с фильтром Калмана-Бьюси (5) - (6)) состоит в том, что получаемая с' его помощью оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка /?(') вектора <*(/) построена по результатам наблюдений за вектором ф) только в момент 1, в то время как фильтр Калмана-Бьюси позволяет построить оптимальную оценку £(/) по результатам наблюдений за вектором ф) на всем интервале [/о,/].
Предлагаемый ниже фильтр удобно использовать для оценки некоторых характеристик (например, угловой скорости) отдельных узлов и систем движущегося автотранспортного средства. Для этих целей можно использовать фильтр Калмана-Бьюси [5], Однако бортовые ЭВМ, имеющие сравнительно малую оперативную память, вряд ли всегда в состоянии быстро (практически мгновенно) решить в подобных случаях систему (5) - (6). Поэтому оптимальная фильтрация по предлагаемому ниже способу будет в таких случаях более приемлемой, чем фильтрация по методу Калмана-Бьюси.
Соотношения, определяющие оптимальный фильтр, построенный по текущим наблюдениям:
0{t) = a{t) =
> On
№
bit) оъ -] О4 Bif\
'ft'
»я(/)=
АО
Ait) 02J
HI
(t)=
Wi(t)' ,w2 (t\
где <?(')> и’(0 - вектор-столбцы размерности к+1, Я(г), сг(г) - матрицы (матричные функции), размером (к + 1)х(к + 1),‘0], С*2, О3, 04 - нуль-матрицы соответственно размеров кх1, 1x1, кх1, /х£. Тогда (1), (2) можно представить в виде:
с!вк) = Я(/)0(/) + , 0(/о )=О0. ' (8)
Кроме того, обозначим через (/), т^)
векторы математических ожиданий размерностей к+1, к, I случайных процессов #(/), £(/), ф)\ че-
рез Кв{0> КГ}{0 - ковариационные матрицы
этих процессов; через - их взаимные
ковариационные матрицы,; а через Я^{0 - условную ковариационную матрицу:
те (/) = МОЦ) = (ти[ (?), т2 тк+1 (/))*, (9)
т4 (/) = М&) = Ц (Д т2 тк (/))*,
т^)=Мф)=(тк+1{1\ тк+2Ь\...,тк+1Ь))*, (10)
то{1)=(т}{1\т*г}{‘))*> (НУ
Яд{0 = Щ{^0-щ{0Ш0-Щ^))'] - (12)
% (О = МЫ0 ~ Щ {ОШО - т; (/))* ],
(0=МЫ0 ~ тг} (0)Ш" тп ('))* ]»
R^it)=Mi^)-mi
■«і;
т
,(0h
(13)
(0=Mte - тп (0)fe(0 - пЧ ('))* ] ’
Ft
Очевидно, Яв (/), (г) (г), (?), (')
имеют соответственно размеры (& + /)х (& + /), кхк, 1x1, кх1, 1хк, кхк и справедливы равенства:
^7 (О = К-т]4 {О > {О “ ^£77 (0 •
Известно [1-3, 6], что случайные процессы £(/), ^(/), #(/), удовлетворяющие линейным стохастическим дифференциальным уравнениям (1), (2), (8), с гауссовскими начальными условиями (т.е. £0, т]0, в§ - гауссовские векторы) являются гауссовскими процессами, а т^(/) . «/ДО» тв(0> ^(/), удовлетворяют задачам Коши:
dm^it)
dt
dmn(t)
dt
dme{t)
dt
dRM)
= At)m4 (0. m4 (tQ) = Мщ = ml, = Ait)mp(t), mT)(t0)=MtjQ=m$,
= a{t)me (/), m0 (t0) = Мв0 =т$, _
(14)
(15)
^=a(t)RS+RAty(thb(ty(t);
dt
= R«
Rs (t0)= - ml) (^0 - ml)
Rn(t0) = о - ml) (70 - ml)
»„(<o)=m|(»0 -4)(oo-4Л = Ko •
Гауссовский процесс ф), который при каждом /е[/о ,3"] представляет собой невырожденный гауссовский вектор размерности / [7], будем называть невырожденным.
Указанные факты и понятия будут использованы при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть ненаблюдаемый на [/о,2"] А:-мерный процесс £(/) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (1), наблюдаемый I -мерный процесс ф) — уравнению (2) и явля-•ется невырожденным. Тогда оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка /?(/) = м(ф)\ ф)) процесса <*(/) по результатам наблюдений за процессом П(*) в момент времени / е [/0,г] и условная ковариационная матрица независящая от г/, име-
ют вид:
Д(0= М{Ф)\ Ф)) = ^(О^ЧОЬО)- «1,(0).
^*(0 = (17)
-где т,?(() и тф) &-мерная и /-мерная компоненты
(к + /) -мерного вектора mg{t) =
т,
т.
(O'
,(0
удовлетво-
ряющего задаче Коши (15); Я^1 (?) - матрица размером 1x1, обратная Я^), Я^((),
Л,Д0 - матрицы’соответственно размерами кхк,
кх1, 1хк, 1x1. Они являются блоками матрицы, удовлетворяющей задаче Коши (16), размерами (кх1)х(кх1)
MS VI
(18)
Доказательство. Представим ковариационную матрицу Rg{t) случайного процесса 6{f), определяемую выражениями (9) - (И) и удовлетворяющую задаче (16), в блочном виде (18), где Rg{t), яф) - ковариационные матрицы процессов *('). Ф) , определяемые выражениями (10), (12); R^if), R^(t) ~ взаимные ковариационные матрицы этих процессов, определяемые соотношениями (10), (13). Очевидно, такое представление матрицы Rg(t) возможно.
Введем в рассмотрение, учитывая, что по предположению 77(f) невырожден, случайный процесс
1 (0 = £(0 - ^ - R4n (t)R-X (ф) - тп (/)). (19)
Легко видеть, что
(20)
=R4n(t)-Rzr1{tK(t)Rrl(th О-. (21)
Из равенства (21) следует, что ^(t) и ф) не коррелированны. Так как £(/) и ф), удовлетворяющие уравнениям (1), (2), являются гауссовскими процессами [1-3, 6], то £(/) является гауссовским (в силу того, что является линейной комбинацией гауссовских процессов). Из некоррелированности £, (?) и Ф) следует, что гауссовские процессы 1(0 и Ф) независимы [4].
Рассмотрим при каждом фиксированном / е [/о,г] условную характеристическую функцию [1]
Щ\^и) = м\е‘(и’^ ф) ,
где и - неслучайный вектор из Ек ; («,£(/))- скалярное произведение векторов и и £(?); / - мнимая единица. Найдем явный вид функции cp^(t\ii). Обозначим,
g(t) = т4 (/) + Н4ч - т7] (?))• (22)
Тогда из (19), (22), следует , равенство
£(0 = g{t)+^ {t). Учитывая, что Щ и ф) независимы, и используя свойства условного математического ожидания, будем иметь: .
<р4[г] (/;») = м\е,(-и'^ 1?(/)] = м\(0) | ф)
= | ф) = Ли^М е'("’^')).(23)
Найдем ковариационную матрицу R^if) процесса
Щ. Из равенств Я*4ф) = R^{t), (fl"1 (/)J = R~x(/), (19), (20) следует, что
R^(‘)=M (?(/)-т|(0|?(/Ь|И|(0)Г = м[|'(/)Г(/)]=
=М0-%(0<(0М0-%Д0<(0<И0+
+ ^(0<(0*7(0V(0^(0= ' (24)
=^(0-^(0<(0М0-
Так как %({)— гауссовский процесс, то характеристическая функция <pg{r,u) этого процесса имеет вид [4]:
^|(/;и) = = exp|i(m|(r),u)- ^-(/?|(г),н|. (25)
Подставляя последовательно (20), (24) в (25), затем (25), (22) в (23), найдем
9еп (*;и)=ехрЦм’ т$ (О+% (0я?1(О Ш ~ тп (0))~
М\
= - і ((^ (/) - R^ (z)^1 {t)Ru4 (/j)u, u). (26)
Из (26) следует справедливость равенств (17).
Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 2 использованы идеи доказательства так называемой теоремы о нормальной корреляции случайного вектора [1]. Теорема 2 фактически представляет собой обобщение этой теоремы на случай гауссовских процессов, описываемых уравнениями (1), (2). Однако при данном обобщении мы ограничиваемся случаем, когда ij(t) является невырожденным процессом.
Пример. Пусть стохастические дифференциальные уравнения (1), (2) с заданными начальными условиями описывают одномерные процессы g(t) и rjit), коэффициенты этих уравнений являются постоянными величинами:
d^) = a^) + bdv\{f), t е [О,Г], ф) = £0,
d?i(t)= A^(t)+ Bdw2{t), Tj{o)=J70,
a = const, A = const, b = const, В = const.
Задачи (14) имеют в данном случае вид:
dm^(t)
dt
dt
Отсюда
ат^ (?), mg (О) = М%0 = т\, = Ат^ (?), тп (О) = Mi]0 = mJ .
m^(t)=mleat,
+ ША
Задача (16) для рассматриваемого случая представляется следующим образом:
Жр(‘)_ dt
'a O' [Ri
A* , J oj A* Rt] ^
Ь 0 0 В
A(°) ^(°)1
R^(0) ^(0) j W *2)
Re{0) =
Ставропольский государственный университет
Отсюда,учитывая,что /?^(/) = 7?;?с(г),/ е [0,г], после элементарных преобразований получаем систему:
к^) = 2аЯ^)+Ь2, ^(0)=Д|,
• R^)=Rp,
RTl{t)=2ARi(t)+B2, Rn{0) = Rl
из которой находим
М') =
' l2 ^
Rl+ —
0 2 а
J
ех
р(2 at)-
2 а
R& +
а
2 а1
(ехр(а/)-1)+
У
+ -
АЬ2
2а2
(ехр(- at) -1) I exp(at),
Rv(i)=R%+-
0 2a
(exp(a/)-1) +
B2-^-
t.
Оптимальный линейный фильтр по текущим наблюдениям (17) построен.
Литература
1. Липцер Р Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М., 1974.
2. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М., 1978.
3. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М., 1985.
4. Гихман И.И., Скороход А В. Введение в теорию случайных процессов. М., 1977.
5. Науменко Б.С. II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2002. Спецвыпуск. С. 45-48.
6. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М., 2000.
7. Севастьянов Б А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1982.
______________________________________14 февраля 2003 г.
УДК 681.3.07
МИНИМАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО КОНТРОЛЬНЫХ ДУГ ПРИ ТЕСТИРОВАНИИ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ
О 2003 г. Б.Я. Штейнберг, М.В. Напрасникова
Software automatic testing system has been created. System lets programmer to keep up with tests way over testing program control graph branches.
New algorithm proposed in this system finds minimal set of the control graph branches sufficed to observe.
