CC BY
38
Н.С. Демин, С. В. Рожкова, О. В. Рожкова
ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. I. НЕПРЕРЫВНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ
В данной работе результаты [1, 2] обобщаются с использованием результатов [3] на случай памяти произвольной кратности N . Для случая только непрерывных наблюдений решается задача синтеза фильтра, исследуется вопрос о чувствительности фильтра к неточному знанию матрицы интенсивности аномальных помех и доказывается свойство оптимальности процедуры исключения аномальных компонент вектора наблюдений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Система описывается уравнением (точка сверху далее всюду означает производную по t)
x(t) = F(t)x(t) + ra(t), t>0, (1)
где x (t) - n -мерный вектор состояния, ro(t) - белый гауссовский процесс с M (co(t)} = 0, M {co(t)coT ()} = = Q (t)S(t - 5). Выходом непрерывного и дискретного во времени каналов наблюдения являются l - и q - мерные процессы z(t) и n(tm) вида
N
z (t)=H 0 (t)x (t)+X Hk (t)x (Tk )+v(t)+вф(); (2)
k=1
N
n(tm) = G0 (tm)x(tm)+SGk (tm)X(Tk)+^(tm)+Cf (tm), (3)
k=1
где: m = 0,1,...; 0<t0 <tn <tn-1 <...<t1 <t, Tk =
= const; v(t) - белый гауссовский процесс, а
^(tm) - белая гауссовская последовательность, которые являются регулярными помехами, причем M{v(t)} = 0, M{t)vT (5)} = R(t)S(t-5), M%(fm)}= 0,
M {(tm (tk )}= V (tm )8mk ; P(t) - 5 -мерный (5 < l)
белый гауссовский процесс, а f (tm)- r -мерная (r < q) белая гауссовская последовательность, которые являются аномальными помехами, причем
M {ф (t)} = Ф0 (t) , M {р (t) - Ф0 (t)] [ (5) - Ф0 (5)]T } = ф (t) х
X5(t - 5), M {f (tm )}= f0 (tm ), M {[f (tm )-f0 (tm )][f (tk )-
-f0 (tk )]T } = © (m) 5mk . Матрицы B размера (l х 5) и C размера (q х r), определяющие структуру действия компонент векторов аномальных помех ф (t) и f (tm) на компоненты векторов наблюдений z (t) и n(tm) соответственно, являются булевыми следующего вида: если j1, j2, •• •, j5 - номера компонент вектора z (t) и i1,i2, • • •,i5 - номера компонент вектора n(tm), по которым действуют аномальные помехи, тогда в столбцах матриц В и C с номерами соответственно а и Р единица стоит на ja -м месте (1 <а< 5;1 < ja < l) и ip -м месте (1 <P<r; 1 <ip <q). Предполагается: 10) x (0) = x0 - имеет нормальное распределение с параметрами ц0 и г0; 20)x0, ю(0, v(t), ^(tm), ф(0, f (tm)- независимы; 30) матрицы Г0, Q (t), R (t), V (tm), Ф(t), © (tm)- положительно определенные;
40) ф0 (?), / (?т) - неизвестны. Ставится задача: по совокупности наблюдений { (5) :0 < 5 < ?} и
Пт = {(?0), П (?1),—, П (т)} найти оптимальные в среднеквадратическом смысле несмещенные оценки фильтрации ц(?) и интерполяции ц(тк, ?) соответственно для х (?) и х (тк), к = 1; N .
Используемые обозначения: М {•} - математическое ожидание; И [•] - след матрицы; "Т" и "+" -транспонирование и псевдообращение, если стоят как правые верхние индексы; 5 (•) - функция Дирака; 5к1 - символ Кронекера; 0 - нулевой вектор соответствующего размера; О и 1к - нулевая матрица соответствующего размера и единичная (к х к)-матрица; А > 0 (> 0)- положительно (неотрицательно) определенная матрица.
В первой части работы рассматривается решение задачи только по наблюдениям за процессом г (?).
2. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА
Класс фильтров, на котором будет решаться поставленная задача, выберем на основе решения соответствующей задачи в байесовском случае [3].
Утверждение 1. Пусть ф0 () = 0. Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле байесовский фильтр определяется уравнениями
А (?)=Р (?) а (?)+4 (?)г (?); (4)
А (тк, ?)=¿к (?) (?) к=1; N; (5)
Г () = Р () Г () + Г () РТ () + 0 () - ¿0 () Н0 (); (6)
I"кк (к,?) = -1к ()Нк (), к = Щ (7)
Г0к (Тк,?) = Р()Г0к (Тк,?)-¿0 ()Нк (), к = ; (8)
Гк1 (, Тк, ?) = -¿к () Н1 (), к = 1; N-1,1 = I > к; (9)
N
г() = г()-Н0 ()А()-ХН] ()а(т(,?); (10)
(=1
N
Н00 (?) = Н00 (?)Г() + £Н} ()Г0; (т.,?); (11)
( =1
N
Нк () = Нк () Гкк (Тк, 0 + X Н} С)гТ. (т(, Тк, /); (12)
3 ^к
¿0 () = Н0Т ()^г-1 (), ¿к () = Щ ()Я-1 (); (13)
Я () = Я () + ВФ()ВТ. (14)
Поскольку в данной работе рассматривается случай фиксированной памяти ( = const, k = 1; N), то
данное утверждение следует как частный случай теоремы 1 из [3] с учетом независимости v(t) и ф (t), где дано решение задачи в случае скользящей памяти ( =t - tl, t* = const).
Введем в
= [T1, Т2 , ’ ’ ’, ТN ])
An+i (TN, t) размеров (N + 1)n вида
рассмотрение процессы (tn =
Й XN +1 ( N , t), i%+1 (Т N , t) ,
Й () =
®(0‘
о
(ТN, t) =
ХЛ
_х (тк А
An+1 (т n ,t) =
C(t))
А(тк, 0_
к = 1; N,
(15)
где aN+1 (ТN , t) = Xn+1 (тN , t) - An+1 ("ГN, t), и матрицы
L (t) =
F (t) =
L0
F (t) O O O
Q (t) o
O O
Lk
Q (t)=
H (t) = [о (t)Hk (t)], к = 1; N,
(16)
размеров соответственно
[^+1)п]х[(N +1)п], [^ +1)п]х[^ +1)п]
( + 1)п]хI), (х[(N + 1)п]).
Тогда из (2), (10), (15), (16)
2 (?) =Н (?)А N+1 (Т N , ?)+у(?)
где V(?) = у(?) + Вф(), а из (4), (5), (15)-(17) следует уравнение
¡*N+1 (ТN , ?) = Р ()АN+1 (ТN , ?) + ¿ ()2 (). (18)
Используя в (18) вместо неизвестного ф0 (?) оцен-
ку ф (?) = £ (?)2 (?) в виде линейного преобразования процесса 2 (?), приходим к уравнению
^+1 (Т N , ?) = Р () А N+1 (Т N , ?)+ ^ О-2 (); (19)
¿ () = ¿ (?)Б(?), Б (?) = Ц - ВБ (?), (20)
с условиями несмещенности
Б (?)В = О, Б (?)В = 15. (21)
Учитывая условия постановки задачи с использованием стандартных вычислений [4], получаем, что
матрица Г N+1 (Т N , ?) = М {А N+1 {N ^)А^^+1 (Т N , ?)} вторых моментов ошибки оценки А N+1 (Т N, ?) определяется уравнением
Г N+1 (Т N , ?) = Р0 (?) Г N+1 (ТN , ?) + Г N+1 (ТN , ?) Р0Т (?) +
+¿ (?) б (?) я (?) б Т (?) ¿Т (?)+0 (?),
Формально получили задачу оптимального управления с матричным состоянием ГN+1 (ТN, ?), матричным управлением ¿ (?), фиксированным временем управления, фиксированным левым концом траектории, свободным правым концом траектории и терминальным критерием качества. Для решения подобных задач используется матричный вариант принципа максимума Понтрягина, на основе которого в [5] был осуществлен синтез фильтра Калмана.
Теорема 1. Оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный фильтр (ОСКСНФ) в классе линейных фильтров вида (19) определяется уравнениями
А(?) = Р(?) А(?) + ¿0 (?)2(?),
А (тк, ?)=¿к ()2 к=!; ^ (23) 1"(?) = Р(?)Г(?)+Г(?)РТ (?) + 0(?)-^0 ()Н0 (?); (24) I"кк (Тк,?) = -Ч №к (), к = Щ (25)
I"0к (Тк,?) = Р()Г0к (Тк,?)-¿0 (Н (), к = 1Г^; (26)
(22)
где Р0 (?) = Р (?)- ¿ (?)Б (?)Н (?). Следуя [5], в качестве критерия оптимальности выбираем функционал J = И[Г^+1 (%,?1)], где ?1 - некоторый конечный момент времени (т1 < ? < ?1). Итак, пришли к следующей задаче: в классе фильтров (19) найти ([(Ж + 1)п]х /)-матрицу ¿ (?), доставляющую на траекториях [^ + 1)п]х[^ +1) п] -мерного матричного дифференциального уравнения (22) минимум функционалу J при выполнении условий несмещенности (21).
Ги (т,,Тк ,І)=-Ьк т1 (), к=1;N-1,1 = 2;N, I >к; (27)
¿0 () = Ь0 ()[/, - я? ()], ^к () = ¿к ()[ - ()]; (28)
Б() = [втЯ- ()я]-1 (), (29)
(17) а 2Т (?) , Йо () , нк (), ¿0 () , ¿к () и () имеют вид
(10) - (14).
Доказательство. В соответствии с матричным вариантом принципа максимума Понтрягина [5] функция Гамильтона Н (?) = Н (Г(+1 (;сN, ?), Ь (?), Л(?)) согласно (22), определяется в^іражением
Н () = ЇГ [^0 () ГN+1 (;ТN , ?) ЛТ ()] +
+ * [г N+1 (;Т N , ?)^0Т ()лТ ()] +
+гг[¿(),§()і?(?)£т ()ьт ()лт ()^]+?г[ё()лт ()^], (30)
где л(?) [(N + 1) w]x[(N +1) п] - матрица сопряженных переменных, уравнение для которой и граничное условие имеют вид
Л(?) = -дН(?)/5ГN+1 (ТN ,?) , Л(?\) = -д^1N+1 (ТN ,?1) . Непосредственные вычисления дают, что
Л(?) = -Л(?Ж (?)-р0Т (?)Л(?), Л(?1) = /[N+1)]. (31) Необходимое условие оптимальности дН/дЬ = О с использованием (30), симметричности ГN+1 (ТN, ?) и правил векторно-матричного дифференцирования [5] приводит к выражению
-Л (?) Г N+1 (ТN, ?)нт (?)$т (?)--Лт (?)N+1 ^ ,?)Нт (?)£т (?)+Л(?)Ь(?)>‘?(?)Я(?)Бт (?)+
+ЛГ (t) L (t) S (t) R (t) ST (t) = O.
(32)
Так как Л(?), удовлетворяющая краевой задаче (31), является симметричной положительно определенной матрицей [4, 5], то из (32) следует окончательный вид соотношения для нахождения ¿ (?):
¿ (?)Б (?)я (?)БТ (?)=г N+1 (ТN, ?)НТ (?)БТ (?). (33)
Решение (33) существует, если и только если [6]
Г N+1 (Т N , ?)НТ (?)БТ (?)[Б (?)Я (?)БТ (?)]+ х х[Б(?)Я(?)§Т (?)^=]ГN+1 (тN,?)НТ (?)БТ (?). (34)
Докажем справедливость соотношения (34). Так как Я (?) > 0, то Я (?) = А (?)АТ (?), где А (?) - невырожденная нижняя треугольная матрица [7]. Обозначив левую часть (34) через О (?), получим
О (?) = Г N+1 (Т N, ?)НТ (?)БТ (?)[бт (?)Б (?)]+ БТ (?)Б (?),
где Б () = АТ ()БТ ().
Так как [бт () Б ()] Б1 () = Б+ () [6], то
О() = ГN+! (ТN , ?)НТ ()БТ ()х
х[АТ ()БТ ()]+[ат ()Бт ()]. (35)
Невырожденность матрицы
АТ
() дает, что [6]
[ат ()Бт ()]+ [ат ()Бт ()]=[БТ ()]+ БТ ().
Так как БТ ()[БТ ()] БТ () = БТ () [6], то окончательно получаем О () = Г+1 (Т ■м, ?)НТ () БТ (), что
доказывает справедливость (34). Тогда общее решение уравнения (33) имеет вид [6]
¿ (?)=г N+! Т, ?)НТ (?)БТ (?)[Б (?)Я (?)БТ (?)]+ -
-в()[Б()Я() БТ ()][Б()Я() БТ ()]+ + р(), (36)
где Р () - произвольная [(ТУ+1)п]х I -матрица. Найдем матрицу Б (), которая удовлетворяет условиям несмещенности (21) и приводит к выражению для ¿ (), не зависящему от Р (), для чего потребуем выполнение условия
вБ ()Я ()БТ ()=о. (37)
Умножая левую часть (37) слева на В+ , справа на Я- (?)В , а затем учитывая (20), (21) и свойство матрицы с линейно независимыми столбцами В + В = 1г [6], получаем, что
1Г - Б (?) Я (?) БТ (?) ВТЯ- (?) В = О.
Умножая левую часть последнего выражения справа на [ВТЯ- (?)В] и учитывая, согласно (21),
что ВТ БТ (?) = 1г, получаем выражение
{[втЯ- (?)В]-1 ВТ - Б (?)Я (?)бт (?) = О ,
которое является уравнением для нахождения Б (?). Как противоречащее (21), тривиальное решение отбрасывается, а второе решение дает (29). Использование (37) в (36) приводит общее решение уравнения (33) к виду
¿ (?)=г N+! (т N, ?)НТ (?)БТ (?)[Я (?)БТ (?)]+ --р()Я() БТ ()[Я() БТ (]Т + Р(). (38)
Произвольную матрицу Р () выберем из условия Г+1 (Т, ?)НТ () = Р ()Я- (), использование которого в (38) приводит к формуле
¿ () = Г N+1 (Т N, ?)НТ (0Я-1 (). (39)
Расписывание (19), (22) с учетом блочной структуры Г N+1 (Т N, ?) и (11), (12), (15), (16), (20), (39) приводит к (23) - (29). Тем самым все соотношения теоремы получены и доказательство завершается установлением того факта, что матрица передачи
Ь () = ¿ ()Б () фильтра (19) не зависит от произвольной матрицы Р (?), присутствующей в представлении (36) общего решения уравнения (33). Из (36) получаем
I ()=г N+1 (т N, ?)НТ С)БТ ()[Б ()Я ()БТ ()]+ Б ()--Р(?)[Б(?)Я(?)БТ (?)][Б(?)Я(?)БТ (?)]+ Б(?)+
+Р(?)Б (?). (40)
Обозначив через Т(?) второе слагаемое в правой части (40), аналогично выводу (34) получим
Т(?) = Р(?)[Б(?)А(?)][,Б(?)А(?)]+ Б(?). Поскольку А (?) невырожденная, то [Б (?)А (?)]х
х[Б (?)А (?)]+= Б (?)Б +(?), а Б (?)Б +(?)Б (?) = Б (?) [6].
Учет этих свойств дает, что Т (?) = Р (?) Б (?). Использование этой формулы в (40) приводит к представлению ¿ (?) в виде
^ (?)=г N+1 (т N, ?)НТ (?)БТ (?)[Б (?)Я (?)БТ (?)]+ Б (?),
что и требовалось доказать.
3. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Чувствительность фильтра, определяемого теоремой 1, к неточному знанию матрицы интенсивности аномальной помехи исследуем по методике [8]. Пусть Ф* (?) - истинная, Ф (?) - используемая в фильтре матрица интенсивности помехи, а А0 (ТN, ?) - истинная ошибка реальной оценки Аг (ТN, ?). Из (10), (19) следует для Аг (%, ?) уравнение
Аг (ТN ,?) = Р(?)1Аг (ТN ,?)+
+¿^ (?) [г (?) - Н (?) Аг (ТN , ?)] , (41)
где 2г - реальные наблюдения с реальной матрицей интенсивности Ф* (?) для / (?). Процесс XN+1 (Т , ?),
как это следует из (1), (15), (16), определяется уравнением
XN+1 (Т N , ?) = Р (?) ■%+1
(Т N, ?) + <в (?). (42)
Так как
2г (?) = Н (?) ^+1 (ТN , ?) + У (?),
то из (41), (42) ошибка А г (Т N , ?) реальной оценки
А N+1 (%, ?) определяется уравнением
а0 (Т N , ?) = Р0 (?)а0 (Т N , ?)+“ (?)-^ (?) (?), (43)
где Р0 (?) = Р (?)- ^ (?)Н (?). Учитывая условия постановки задачи с использованием стандартных вычислений [4], получаем из (43), что матрица вторых моментов ошибки реальной оценки Г N+1 (%, ?) =
= М { Д0 (т N , ?)(А 0 (Т N , ?))т)
определяется уравнением
" N+1 (%, ?)=(?) г N+1 (т N, ?)+г N+1 (%, ?) *0 (?)+
+Ь(?)Я (?)Ь (?)+ё(?).
(44)
Введем в рассмотрение функцию чувствительно-
сти
И, (?) = дГN+1 (ТN, ?)дФ*
матрицы вторых моментов Г N+1 (%, ?) ошибки реальной оценки к (, () -му элементу матрицы интенсивности аномальной помехи. Тогда из (44) следует уравнение для П. (?) вида
П( (?) = ¿(?)В1(ВТИ (?), П( (т,) = о, где I 3( - булева (5 х 5)-матрица, у которой единица стоит на (, () -м месте, а остальные элементы нули. Так как ¿(?) = ¿(?)Б(?), то с учетом (21) получаем П. (?) = о для всех 1 = 1; 5 , ( =1; 5 . Таким образом,
получили следующее утверждение.
Теорема 2. ОСКСНФ, синтезированный в п.2, является нечувствительным к неточному знанию матрицы интенсивности аномальной помехи.
4. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПРОЦЕДУРЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Пусть вектор наблюдений 2 (?) размера (, - 5) получается из вектора наблюдений 2 (?) путем исключения компонент с номерами (1,(2,■■■,(5, по которым действуют аномальные помехи. Пусть Н0 (?), Нк (?), к = 1; N, - матрицы размера [(/ - 5)х Щ, а Я (?) - матрица размера [(/ - 5) х (I - 5)], которые получаются из матриц Н0 (?), Нк (?), Я (?) исключением строк и соответственно строк и столбцов с номерами (1,(2,”‘,(5. Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр, в котором используется вектор наблюдений 2 (?), будем называть усеченным.
Утверждение 2. Усеченный фильтр определяется для Ц(?) , А(тк,?), Г(?), Гкк (тк,?), Г0к (тк,?) , Гк! (т,, тк, ?) уравнениями (4) - (9), в которых 2 (?),
2 (?) , ¿0 (?), ¿к (?), Н0 (?) , Нк (?), Н (?) , ННк (?), Я (?) заменяются соответственно на 2 (?), 2 (?), ¿0 (?),
¿к (?), Н0 (?), Нк (?), Н 0 (?), НН к (?), я (?).
Данное утверждение непосредственно следует из Утверждения 1.
Теорема 3. Фильтр, определенный Теоремой 1, и усеченный фильтр эквиваленты.
Доказательство. Очевидно, что уравнения, определяющие усеченный фильтр, согласно Утверждению 2, в блочном представлении имеют вид
АN+1 (ТN , ?) = Р (?) АN+1 (ТN , ?) + ^ (?) 2 (?) ; (45)
ГN+1 (ТN ,?) = Р(?)ГN+1 (ТN ,?) + ГN+1 (ТN ,?)рТ (?)-
-ГN+1 (ТN , ?)НТ (?)Я- (?)Н (?)]ГN+1 (ТN ,?) + 0 (?)• (46)
Аналогично уравнения, определяющие ОСКСНФ, согласно Теореме 1, в блочном представлении имеют вид
АN+1 (ТN , ?) = Р (?) АN+1 (ТN , ?) + ^ (?) 2 (?) ; (47)
ГN+1 (ТN ,?) = Р(?)ГN+1 (ТN ,?) + ГN+1 (ТN ,?)рТ (?)-
--Г'N+1 (ТN ,?)НТ (?)- (?)Б(?)Н (?)]ГN+11+0(?), (48) где I (?) = Г N+1 (Т N , ?)НТ (?)Я- (?), £ (?) = ¿ (?)Б (?),
¿(?) = ГN+1 (ттN,?)НТ (?)Я- (?). Из (45) - (48) следует, что доказательство теоремы сводится к доказательству соотношений
I (?)2 (?) = ¿, (?)2 (?), (49)
НТ (?) Я- (?) Н (?) = НТ (?) Я- (?) Б (?) Н (?). (50)
Докажем сначала (50). Введем в рассмотрение булеву [(, - 5)х,]- матрицу Е, которая получается из
единичной матрицы размера (, х I) исключением строк с номерами (1, (2, • • •, (5. Так как Н (?) = ЕН (?), Я (?) = ЕЯ (?)ЕТ , то доказательство (50) сводится к доказательству соотношения
ЕТ [ЕЯ(?)Ет]-1 Е = Я-1 (?)Б(?). (51)
Из (14) с использованием матричного тождества [7]
[А + ВСВТ ]- = А-1 -
следует
-Л~1в [С-1 + Вт А-в]1 Вт А- (52)
Я-1 (?) = Я-1 (?)- Я- (?)В [ф-1 (?) +
+ВтЯ-1 (?)В]-1 ВтЯ- (?). (53)
Умножая обе части (53) слева на Вт и справа на В, а затем сворачивая правую часть по матричному тождеству (52), получаем
Втя ^ (?)В = ф(?)+[втя -1 (?)В]-1 1,
откуда следует
ф (?) = [ВтЯ- (?) В-]-1 - [ВтЯ- (?) В]-1. (54)
Умножение обеих частей (54) слева на В и справа на Вт с учетом (14) приводит к формуле
Я (?)- В [втя- (?)В] 1 ВТ =
= Я (?) - В [втЯ-1 (?) в]-1 Вт . (55)
Из (55) следует, что Я (?) Я(?)-Я-1 (?)В[ВТЯ-1 (?)В]-1 ВТЯ- (?) Я (?) =
=Я (?) Я- (?)-Я- (?)В[втЯ- (?)В]-1 ВТЯ- (?) Я(?). (56)
Пусть Т (?) - левая часть (56). Используя для Я (?), которые стоят в качестве сомножителей при внешней квадратной скобке в левой части формулы (56) и представление (14) для Я (?), получаем, что
Т(?)=Я (?) Я-1 (?)-Я-1 (?)В[втя(?)В]-1 ВТЯ(?) Я(?).
Таким образом из (14) следует
Я-1 (?)-Я^1 (?)в |[вТЯг-1 (?)в]-1 втя~1 (?)=
= Я-1 (?) - Я-1 (?) В [ВТЯ(?) В]-1 ВтЯ- (?). (57)
Используя (57) в (51), с учетом (56), (20) получаем, что доказательство (50) свелось к доказательству тождества
Я (?)ЕТ [ЕЯ (?)ЕТ ]-1 Е +
+В[ВТЯ-1 (?)В]-1 ВТЯ- (?) = 11. (58)
Обозначим
Я (?) ЕТ [ЕЯ (?) ЕТ ]-1 Е = А1,
В[ВТЯ- (?)В]-1 ВТЯ-1 (?) = А2. (59)
По построению матриц В и Е следует ЕВ = О . Использование этого свойства приводит к тому, что
Л1Л2 = О , А2Л1 = О . Для рангов произвольных матриц Л и В справедливы свойства [6]
гк [АВ] = гк [Л+ЛВ] = гк [ЛВВ+] . (60)
Учитывая, что для обратимой матрицы Б + = Б- , получаем в результате последовательного применения
(60) к Л1 и Л2
rk [Д] = rk rk [A2] = rk
ET [eR (t)ET ] 1 EE+ b+b [btr- (t)B]-1 B
(61)
Так как по построению Е - матрица с линейно независимыми строками, а В- с линейно независимыми столбцами, то ЕЕ+ = 11-5, В+ В = 15 [6]. Тогда использование (60) в (61) дает гк [А1]= = гк [ет ]= I - 5, гк[А2] = гк[ВТ] = 5 . Отсюда гк[А1]+ +гк[А2] = I. Из
(59) получаем, что А12 = А1, А^ = = А2, то есть матрицы А1 и А2 являются проекционными [9]. Поскольку проекционные матрицы, удовлетворяющие условиям А1А2 = О , А2А1 = О и гк [А1] + гк [А2 ] = I, обладают свойством А1 + А2 = Ц [9], то это с учетом (59) доказывает (58), а тем самым и (50).
Докажем (49). Поскольку, доказав (50), мы тем самым доказали равенство 1"N+1 (%, ?) = ГN+1 (ТN, ?), то
доказательство (49) эквивалентно доказательству соотношению
НТ (?)Я- (?)2(?) = НТ (?)Я(?)Б(?)2(?). (62)
Так как 2 (?) = Е2 (?), Н (?) = ЕН (?), Я (?) = ЕЯ (?) Ет , то из (62) следует, что доказательство (49) сводится к доказательству (51), что завершает доказательство теоремы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Демин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. I Системы с непрерывным временем // Изв. РАН - Техн. киберн. 1994. № 4. С. 17-27.
2. Демин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. II Системы с непрерывно-дискретным каналом наблюдения // Изв. РАН - Техн. киберн. 1994. № 6. С. 46-57.
3. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. 1995. № 10. С. 36-49.
4. РойтенбергЯ.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.
5. Athans M., Tse E. A direct derivation of the optimal linear filter using the maximum principle // IEEE Tras. Autom. Control. 1967. V.AC-12.
No. 6. P. 690-698.
6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
8. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применения в связи и управлении. М.: Связь, 1976.
9. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973.
