Об одном специальном решении уравнения Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.12

Об одном специальном решении уравнения

Шредингера

Ю. И. Сорокин

Кафедра экспериментальной физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Приведена волновая функция частицы, ускоряемой постоянной силой.

Основная задача квантовой механики — задача рассеяния: частицы с первоначальной, в момент функцией распределения по координатам Фа(ха, уа, га, Ьа) рассеиваются на каком-то рассеивателе. Требуется определить распределение в момент Ьь :

Квантовая механика может быть компактно изложена, если принять постулат: волновая функция Ф(г,г), связанная с функцией распределения Ф(г, Ь) соотношением [2, с. 21]

Ф = |Ф|2, (1)

подчиняется уравнению Шредингера

¿/¿Ф = НФ, дг

где Н — гамильтониан (оператор энергии) системы частица-рассеиватель.

Если Н не зависит явно от времени, то при формальном интегрировании уравнения Шредингера легко получить:

Фь = ехр[-гН(<ь-4а)/Й]Фа.

Интегральное представление экспоненциального оператора получается разложением Фа по ортонормированным собственным функциям оператора Я

Нфг = Eiфi, ФаМ = | ФаШг) ,

г

г

Фь = Ф(гь,«ь) = £I Фа)^(гь)схр[-1£<(«ь - Ьа)/П] .

г

Если Фа совпадает с собственной функцией фг гамильтониана Н, то в сумме остается лишь один член

Фь = Ф(гьА) = I Фа)^(гь)схр[-г£;<(«ь - Ьа)/П\.

г

фь = 4ч(ч) схр{-~-гЕг{% - Ьа)/Н}.

В соотношении

Ф6 = Ф (Г6Л) = ! ^^(Га^ЛГа^^фг^СХр^Е^ь --1а)/Щ(1га,

V

где V — объем, в котором может находиться частица в момент £а, можно выделить сумму

С = ^Фг{гъЩ{га)Сщ>[~гЕ1{1Ъ - 1а)/Щ , (2)

г

которая, после умножения на ступенчатую функцию Хэвисайда (0(Т) = 1, если Г ^ О, 9(Г) = 0, если Т < О, Т = £ - г0). становится функцией Грина (функцией точечного источника) уравнения Шредингера

{Шд/д1 - Н){Се) = гM(í - Ьа)6(г - га). (3)

Соотношение

Ф ь = У С(г{,,<6,га,^)Фа(га^а)сгг0

сохраняет свой вид и в случае, когда Н зависит от времени, хотя сама функция Грина, оставаясь решением уравнения (3), уже не имеет вида суммы произведений собственных функций оператора энергии (поскольку не существует стационарных состояний).

Фейнман в [3] с помощью интегрирования по траекториям отыскал функцию Грина для случая квадратичной зависимости энергии от координат и скоростей (в нерелятивистском приближении). Им выведено также соотношение (совпавшее с уравнением Дайсона) для функции Грина (7 гамильтониана Н = Но + V, если известна Со-функция Грина гамильтониана Н0

в{х, Ь, .Е0, «о) = С0(я?, Ь, х0, - ^ У <?о(ж,х', ¿')С?(а;', х0) <0) <Й',

которое сразу позволяет получить амплитуду перехода (/|£?|г) из состояния 4ц{хо,¿о) в состояние [3, с. 182]. При этом не всегда необходимо решать

уравнение Дайсона. Иногда достаточно знать свойства решения. В частности, если есть основания полагать, что

<3|г) « С0|г) = ¡/-¿ОМ) = ф^х) ехр(—гЕ^/Й)

(ДО « </|С0 = = ф}Ы<Щ>№/Ъ/П),

то справедливо борновское приближение

т

(/|С|*) = ¿/г - \ IУ ф}(х)У(х,0^(х)ехр[-г(Ег - Е^'/Щ <Й' йх. (4)

V о

Условие применимости борновского приближения С|г) « Со|г) не противоречит общепринятому: и фг(х,1), но не совпадает с ним.

Функции Грина, полученные Фейнманом, имеют вид произведения медленно меняющейся части на экспоненту от действия, деленного на Н.

Практически медленно меняющаяся часть подбирается так, чтобы получившееся произведение удовлетворяло уравнению Шредингера (для функции Грина, т.е. (3)).

В частности, Фейнманом получена функция Грина для одномерного движения в поле постоянной силы Р

в(хь, Т, ха, 0) = \1 т/(2кШТ) схр(г5/Й), (5)

T = tb~ta^Q)

1

S = j L dt ~ тп(хь - xaf/2T + FT(xb 4- x„)/2 - F2!*/24m .

(6)

Здесь, в последнем слагаемом, у Фейнмана имеется досадная опечатка (напечатано ГТ3/24) [4].

Полученное Фейнманом соотношение нагляднее, чем запись с помощью интеграла от произведений собственных функций оператора энергии, которые не выражаются через элементарные функции. Его можно использовать как приближение точной волновой функции электрона, ускоренного электрическим полем Е = Р/е (например, электронной пушки).

Если начальное распределение покоящегося электрона имеет вид гауссианы

Фо(хо,0) - (27гД2)-1/2 ехр(—Жц/2Д2) , то в поле постоянной силы распределение будет определяться Ф-функцией

Ф(х, Т) = У С(.т, Т, х'о, 0)(27гД2)^1//4 ехр(—Хд/4Д2) ¿хо =

N

(2тг)~1/4

m [ г

-;■■■■ ехр< -

2тггйГ\/2?гД2 [ Ц

тп(х - х0)2 FT(x + х0) F2T3

Д

г ИТ

2т

+ д:

■ схр

2 Т 2 24m

(х - FT2/2т)2 iFTx iF2T3

г2

4Д2

dx о

4Д2 + 2 ihT/m h

6 mh

Видно, что у гауссианы появился множитель: схр (iFTx/К) = схр (ipx/h), который соответствует волне Де-Бройля. Сама гауссиана расплывается, но ее центр движется по классической траектории, в соответствии со вторым законом Ньютона [2, с. 66], с классическим ускорением и с классической скоростью V — v(T) = FT/m, что соответствует групповой скорости электрона [2, с. 19]. Результат легко обобщить на трехмерный случай.

Если к моменту Та электрон прошел ускоряющий промежуток шириной хао — FT2/2in, то дальнейшая эволюция волновой функции электрона определяется гамильтонианом свободного движения Я = ~[Н2/(2тп)]д2/dxl и его функцией Грина, в которую перейдет выражение (5), (6) при F — 0, и которую, в данном случае вновь запишем в виде суммы (интеграла) произведений собственных функций этого гамильтониана

G= схр[ik(xb - ха)] cxp[-iEk(tb - Та)/Щ dk/2'к.

Начиная новый отсчет от х„0 и Та, обозначив 8 = [А2 + (НТа/2тЛ)2}1^2, ка — гта/Ь — РТа/Ь, и отбрасывая теперь уже постоянный сомножитель

схр[-гЕ2Тц/(6т/1)], получим

Ф(х, Т) = У в{х, Г, ха, 0)(27г<52)~1//4 ехр(-х2а/462 + гкаха) <£гв =

= J У схр[г/с(аг - + <£са ¿к/2п =

= (2тг52)~1/41 ехр(ъкх - Щр) ^ ехр + г(£а - А;)ха dXa.dk/2-K = = (2тг^)~1/4(4тг52)1/2 У ехр^Ь - схр -(*:„ - dk/2^г.

Таким образом, дисперсия импульсов волн де-Бройля связана с дисперсией координат б2 = [Д2 + (/гТа/2тД)2] соотношением неопределенности Гейзенбер-га [1, с. 68]

{ка-к)262 = 1/4.

Если взять интеграл по импульсам (учитывая, что Еь = к2Н2/2т), то можно получить соотношение, аналогичное предыдущему (минимизирующий волновой пакет, [5, с. 72])

Щх,Т) = (21г)-1'\^

{КГ ¡2т + 6'

-ехр

(х — уаГ)2 гтиах 1к^КГ' 4<52 + 2ШТ/гп + 2тГ

В соответствии с (1) имеем функцию распределения

Ф = |Ф|2

2тг

[ \ 2т8 )

-1/2 , ■ схр

Ш+

Видно, что центр распределения продолжает движение по инерции с теперь уже постоянной скоростью иа, а само распределение продолжает расплываться.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1974. - 752 с.

2. Давыдов А. С. Квантовая механика. Физматгиз. — М., 1963. — 748 с.

3. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1968. - 382 с.

4. Сорокин Ю. И. Функция Грина, абсолютная величина напряженности электрического поля фотона и длина фотонного цуга // Вестник РУДН: Серия «Физика». - 2002. - № 10(1). - С. 126-128.

5. Шифф Л. Квантовая механика. — М.: Иностранная литература, 1959. — 473 с.

UDC 539.12

On a Special Solution to Shrödinger Equation Yu. I. Sorokin

Department of Experimental Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

It has been obtained the wave function of particle, accelerated by constant force.