CC BY
29
УДК 519.6+517.98+517.3
Приближенное вычисление интегралов Винера в некоторых задачах ядерной физики
Е. П. Жидков, Ю.Ю. Лобанов
Лаборатория информационных технологий Объединенный институт ядерных исследований
Россия, 141980, Московская область, Дубна
Описывается применение метода численного континуального интегрирования при исследовании квантовомеханических моделей в ядерной физике. Путем приближенного вычисления винеровских интегралов найдены значения энергии связи нуклонов в некоторых ядрах. Для пропагатора открытых квантовых систем получено выражение в форме двойного континуального интеграла по условной мере Винера. Применимость полученной формулы, а также эффективность численного метода исследуется путем расчетов матрицы плотности в модели двойной ядерной системы.
Ключевые слова: functional integral, Wiener measure, propagator, binding energy, approximation formula, computations.
1. Введение
Численное континуальное интегрирование является эффективным методом исследования широкого круга проблем в различных областях физики и математики [1-3]. Впервые использованное в квантовой механике Р.Фейнманом [4] континуальное интегрирование является в настоящее время основой современной конструктивной квантовой теории поля, основным методом численного исследования непертурбативных явлений в квантовой калибровочной теории. Континуальные интегралы находят широкое применение в квантовой механике, теории поля, статистической физике, физике атомного ядра, физике твердого тела, квантовой статистике, теории сверхпроводимости, квантовой оптике, статистической радиотехнике, радиационной физике частиц высоких энергий и во многих других областях [5].
Широкое применение континуальных интегралов стимулировало развитие их теории и методов приближенного вычисления. Поскольку «мера Фейнмана» не удовлетворяет условию счетной аддитивности, т.е. не является мерой в математически строгом смысле, возникло множество различных подходов к фейнмановским интегралам, обосновывавших их конструкцию и предлагавших соответствующие способы их приближенного вычисления. Среди основных подходов можно выделить подходы Нельсона, Ито, Де Вит-Моретт, Альбеверио и Хэг-Крона, Трумена. Начало математически строгому изучению континуальных интегралов по счетно-аддитивным мерам было положено в работах Н.Винера [6], которым была введена в пространстве непрерывных на отрезке функций мера континуального интегрирования, носящая теперь его имя. Следует отметить, что сам термин «континуальный (или функциональный) интеграл» следует применять именно к интегралам по определенной мере в заданном пространстве, хотя в русском языке он часто используется как синоним понятия интеграла по траекториям, при определенных условиях являющегося физической интерпретацией континуального интеграла в частном случае квантовой физики. За последние годы в мире были получены значительные результаты в области теории и использования континуальных интегралов. Долгое время наиболее изученными являлись винеровские интегралы, связанные с фейнмановскими операцией перехода к мнимому времени, т.е. к евклидовой
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 01-01-00726, 02-01-81023.
формулировке теории, однако в последнее время большое внимание уделяется их обобщению, а также исследованию континуальных интегралов по другим мерам в соответствующих пространствах [7].
Для континуальных интегралов по мерам гауссового типа в полных сепара-бельных метрических пространствах нами был разработан метод приближенного вычисления, не требующий предварительной дискретизации пространства и позволяющий использовать детерминированные (в отличие от вероятностных — методов Монте-Карло) алгоритмы расчетов [81. В данной работе этот метод применяется нами для численного исследования открытых квановых систем и решения задач ядерной физики.
2. Континуальные интегралы в квантовой
механике
В евклидовой формулировке квантовой механики матричный элемент оператора эволюции ехр{-/?#}
где Ы — гамильтониан системы Я = 1/2р2 + V, в соответствии с формулой Фейнмана-Каца записывается в виде континуального интеграла по условной мере Винера
г(хих/,13) = У ехр У" <1*1^(3;), (1)
где интегрирование производится по всем функциям х(Ь) £ С[0,/3], удовлетворяющим условию х(0) = Хг; х{0) = х/. Функция Грина 2 с периодическими граничными условиями х* = х/ — х является основой для нахождения различных физических характеристик квантовой системы. После соответствующей замены переменных континуальный интеграл х, уЗ) может быть записан в виде стандартного интеграла по условной мере Винера в пространстве Со = {С[0,1];х(0) = ж(1) = 0}:
г(х,х,0) = -щ | ехр 1-/31V (уёхЩ + х) сЛ (2)
Со I о ;
Выражения для свободной энергии /(/3), энергии основного состояния Ео, про-пагатора (?(т), волновой функции фо(х), разности энергий основного и первого возбужденного состояния АЕ в виде континуальных интегралов по условной мере Винера записываются следующим образом [8]:
/(/?) =ад,
Ео = (0|Я|0) =
= Дш щ(2т/Г1/2 / /ехр \-pJv + х) аЛ х
-оо Со I О )
х + ^(х) с!Ж(х-)с1х; (3)
С(т) = (0\х(0)х(т)\0) =
= Ä I /ехр \-0Jv + *) dij*
х \yßx.(r/t) + х] xdH'(x). tlx.
-ос C'n
ДЕ = Ei-E0 = - lim — lnG'(r),
т-^с dr
(4)
Здесь
|v'o(x)|2= Hm (ехр{£:0адх,х.^)).
Я —ЭС
тс
ад =Тгехр{-да= J Z{x,x,0)dx.
Данный подход предоставляет удобную возможность исследования квантовой механики статистическими методами и вскрывает взаимосвязь квантовой и статистической физики, где величина 2(0) трактуется как статистическая сумма, если принять во внимание, что д— 1/к'Г, к — постоянная Больцмгна, Т — абсолютная температура. В работе [8] нами было показано, что этот подход является эффективным средством численного исследования многочастичных квантовых систем.
3. Приближенное вычисление винеровских
интегралов
Во многих случаях оказывается удобным выделить часть подинтегрального функционала в качестве весового и использовать приближенные формулы с весом. Нами была построена приближенная формула для континуальных интегралов по условной мере Винера
J P[z]f[xldW(x)
Со
с весом
Р[х) = ехр у [p(t)x2(t) + q(t)x(t)} dij , p(t), q{t) € C[0,1],
задаваемая следующей теоремой:
Теорема 1. Пусть B(s) — решение дифференцисиьного уравнения
(1 - a)B'(s) - (1 - s)2B2(s) - 3B(«) - 2p(s) - 0, я 6 [0,1]
с начальным условием
Пусть
В(1)«--р(1).
Q(t) = ехр |у*(1 -a)ß(*)d*j,
t t < ft(0 - I Lis)da - щ J B(s)Q(8) J L(u)du
(1я,
(5)
(6)
с
Ь{Ь) = I [В(з)<Э(з)Н{8) - 9(5)] ¿8 + с, о
где константа с определяется из условия / = 0. Тогда приближенная
о
формула
I Р[х}Г[х}сШГ(х) = {0(1)Г1/2ехРи112№
Со I О
1 1
х2~т I... I ^ [Фт{у, ■) + а(-)] агц • • • сЬт + Пт(Р), (8)
-1 -1 m
где
Jt=l
г / » ,, v , v , .v J sign(r), i < |r|
t > r
f{r,t) = sign(r)
1 - i
min{|r|,t}
1+ J B{s)Q(s)ds
тонна для любого функционального многочлена степени ^ 2m + 1.
Доказательство теоремы основывается на свойствах найденного и исследованного нами линейного преобразования x(t) y(t), задаваемого соотношением у — х + Ах, где
t
Ax(t) = (1 - t) J B(s)x(s)às, B{s) б C[0,1]. 0
Данное преобразование взаимно однозначно отображает пространство Со само на себя. Обратное преобразование имеет вид:
1
x(t) = Ây(t) = y(t) -щ I B(s)Q(s)x(s)ds,
где Q(t) удовлетворяет (7).
В частном случае p(t) = р = const, q(t) = q = const, часто встречающемся в приложениях, уравнение Риккати (6) решается в явном виде
ад = Iv^^g (v^1 - s0 - jz
и приближенная формула (8) приобретает вид:
I ехр |у* [рх2(г) + 7х(0] Л| ОДаЩх) = _ ( У^ \'/2
Со
ехр 1 1
вт^; \ (2р)3'2
г)— то
V 2 V 2.
/•--/^ [^(и, •) + о(-)] с1п ... (Ь;,. + Пт{Т-). (9)
где
-1 -1 ТП
-1
а(1) = Ч(р яп(^) яп -О]-
В случае интеграла Винера без веса приближенная формула (9) может быть использована путем задания р — д = 0.
4. Численные расчеты в ядерной физике
Континуальные интегралы предоставляют удобный способ изучения широкого круга ядерных систем, создающих трудности для численного исследования другими методами (теория возмущений, вариационный метод, метод стационарной ф'азы и т.д.). Однако наиболее распространенный метод Монте-Карло для вычисления кинтинуалоных интегралов требует чрезмерно большой памяти ЭВМ и большого счетного времени. Более того, при формулировке задачи для многочастичной ядерной системы на пространственно-временной решетке нахождение характеристик тяжелых ядер требует размера решетки в четыре или пять раз болвше, чем для расчетов 9 квантовой теории поля, что является сложной задачей даже для высокопроизводительных компьютеров. В первую очередь это касается свойств основного состояния систем (энергии связи, массы и т.д.). Существующие результаты вычисления энергии связи даже для легких ядер методом Монте-Карло, вариационным, молодом связанных кластеров и другими методами отличаются друг от друга и от экспериментальных данных более, чем на величину указанных погрешностей [9]. Весьма перспективным является в этом смысле разработанный нами детерминированный метод вычисления континуальных интегралов, не требующий решеточной дискретизации.
Рассмотрим основное состояние тритона (ядра атома трития), т.е. системы, описываемой гамильтонианом
г=1 ' 1 l<J
Здесь через х, = (х|г),х|2\ х|3)), г = 1,2,3 обозначены координаты трех нуклонов с массами гсц и
Гу = X; — Х^.
Достаточно распространенным методом численного исследования данной системы является вариационный метод, который применительно к рассматриваемой девятимерной задаче последовательно развивался во многих работах с начала 70-х годов (см..напр., [10], [И]). Результатом этих исследований являются верхние и нижние оценки для энергии связи. в ряде работ для вычисления энергии связи применялся метод Монте-Карло [12], [13].
Рассмотрим следующую модель тритона, использованную в [10] и последующих работах: три частицы с массой тп = тр = 938.279 МеУ взаимодействуют попарно посредством сферически-симметричного спин-независимого потенциала
У(г) = -51.5ехр Ь =1.6 /т. (11)
В работах, о которых упоминалось выше, для энергии основного состояния системы (10) с потенциалом (11) были получены следующие значения (отличающиеся друг от друга больше, чем на величину указанной погрешности):
Е - -9.77 ± 0.00 МеУ (см. [12])
Е =-9.42 МеУ (см. [10])
Е = -9.47 ±0.4 МеУ (см. [13]).
-9.99 ±0.05 МеУ <Е< -9.75 ±0.04 МеУ (см. [11])
Нами вычислена энегия основного состояния тритона с помощью приближенной формулы для континуальных интегралов. После перехода к безразмерным переменным гамильтониан системы переписывается в следующем виде:
г=1 г К]
где
„ (197.93)2 .. . 2 R = v ; МеУ fm2.
938.279
Матричный элемент Z(xi,--- , xg,/V) записывается в следующем виде:
сц О г<3
Z(xl:--- ,x9;í3) --= (2тг/3)-9/2 / ехр / ТУ ( + Xi)
~ {VpUj(t) + di jdW^(u),
xi = (х!,а;2,хз), x2 = (3:3,14,15), x3 = (2:7,2:8,2:9).
Полученное нами уточненное значение энергии основного состояния ядра атома трития составило Еа = —9.7 MeV.
Нами исследована ядерная модель, предложенная в [14], в которой потенциал взаимодействия между частицами в ядре имеет следующий вид:
Пх) = Е-%СХР{-4}. (12)
VkVn I а\)
Vi = 12, V2 = -12, ai = 0.2, a2 = 0.8, h = m = 1,
в единицах длины l0 = 1.89 Fm и энергии E0 = h2/(mll) = 11.6 MeV.
Для системы, состоящей из двух нуклонов (ядро дейтерия, или дейтрон), результат нашего вычисления энергии связи составил E¿ — 2.4 MeV, что можно сравнить с данными эксперимента Еех = 2.2 MeV и с предсказаниями полуэмпи-ричсской массовой формулы [15] Ese = 3.5 MeV. Наши результаты, полученные в рамках довольно простой модели, можно считать удовлетворительными.
Для системы из четырех нуклонов (а — частица) результат нашего вычисления энергии связи составил EF — 27.6 MeV, что соответствует экспериментальному значению Еех = 28.3 MeV [9]. Предсказание полуэмпирической формулы [15] составляет Ese = 18.8 MeV. Мы можем сравнить результаты со значением, полученным в [14] в рамках этой же модели методом Монте-Карло на решетке. Поскольку результаты [14] представлены в графическом виде, мы воспроизводим их на рис. 1. Энергия связи нуклонов в безразмерном виде Е/Е0, где EQ = Л2/(тп^) = 11.6 MeV, полученная в [14] путем моделирования 104 событий, показана как функция шага решетки е. Проблема экстраполяции результатов на континуальный предел [е —> 0) обсуждалась в [14] и была расценена как довольно сложная. В то же время в нашем подходе подобных проблем не возникает, т.к. мы не используем решеточной дискретизации. Наш результат Еу/Е0 показан на рис. 1 в точке е = 0.
Е_ 6
Во
5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
£
Рис. 1. Энергия связи четырехнуклонной системы: Ef — полученное нами значение; F.t и Е.М обозначают пробную и нормировочную энергию |14), Ем — значения, г1плучн1ны!. в [141 с помощью алгоритма Метрополиса
- 1 1 1 ■ I— -■ - Ef о
- Ет 4- -
Ем к>-<
Еы х
- i -
* х+
[ i *
1. ... 1 | i
5. Использование открытых квантовых систем
Исследование динамики открытых квантовых систем (ОКС), т.е. систем, взаимодействующих с окружающей их средой, является важной задачей, поскольку с их помощью могут быть описаны неравновесные необратимые процессы, сопровождающиеся диссипацией энергии. Это, в свою очередь, находит свое применение в различных областях квантовой физики и химии, в том числе и в ядерной физике.
Для описания динамики ОКС используется оператор плотности p(t), с помощью которого можно находить значения физических величин, характеризующих квантовую систему. В случае марковских систем этот оператор удовлетворяет известному уравнению Линдблада [16]:
ft = + й £ + [ЬцрШ) • <13)
Здесь Я — гамильтониан квантовой системы; операторы L^ моделируют взаимодействие этой системы со средой.
Вообще говоря, процесс эволюции ОКС не является марковским, однако в ряде случаев этот подход может быть с успехом использован. В частности, в ряде работ было показано, что в ядерных реакциях время памяти для окружающей среды пренебрежимо мало и марковское приближение имеет смысл.
Матричные элементы оператора плотности в координатном представлении для некоторого момента времени £ > 0 могут быть выражены через его матричные элементы в начальный момент ( = 0 посредством равенства [17]
(х|р(0|х'> - У ах0 У £;х0, Хд, 0){хо|/5(0)|хо). (14)
Здесь пронагатор J описывает переход между начальным и конечным состояниями системы.
В рамках формулировки квантовой механики на основе интегралов по траекториям Фейнман и Верной предложили [18] модель, в которой пропагатор 3 выражается через двойной интеграл по траекториям
(£,х) (1,х')
3 = I йх(т) / Бх'(т)ехр{^(5Иг)]-5[х'(т)])}^п/;[.т(г),.г-'(т)], (15) (<1,'хг.) (0,*о»
где 5[х(г)] - ("р (тх2 (т) /2 - У[х (г)]) ¿т — классическое действие для рассматриваемой системы, находящейся в поле с потенциалом — некоторый функционал, описывающий взаимодействие этой системы с окружающей ее сре-дой.
Для операторов = (З^х + 7;1р, где /?,, и 7„ — комплексные числа, х и р — соответственно операторы координаты и импульса квантовой частицы, имеющей одну степень свободы, Струнцем было получено [17] следующее выражение для функционала слияния среды
--- ох!^^^)^!-^^^),^^)]^^!^^^).^)]!, (16)
где
/ г
Ф[х(т),х'(т)\ - тГI с!г{х(т)х'(т) - х[т)х'{т)) - 1-тГ2 ^ <1т{х2{т) - х'2(т)), о о
0[х(г).х'{; )12 --- (|0|2 +т2Ы2Г|2 - ЪгшГ) /с1г(х-(г) - х'{т))2
о
I
+ 2тп (¿5 - т|7|2Г) I ¿т (х{т) - х'(т)) {х(т) - х'(т)) + о
i
+ т2\-/\'2 I Лт(х(т)-х{т))2 , (17) о
№ 1 = |7|2 = Е1^|2. ¿>-1 г = (18)
мл ^
Диссипация энергии в ОКС описывается параметром Г, который определяет трение в системе.
Путем перехода к евклидовой метрике с помощью поворота Вика в комплексной плоскости нами получено выражение пропагатора в виде двойного континульного интеграла по условной мере Винера:
(t>*) (t,x')
(о
J Dx(t) j ^x'(r)exp{i(5[x(r)]-5(x'(r)])jFm/1[x(r),x'(r)] =
,x0) (0i*ó)
m f.m(x-x0)2t í .m(x'-x,')2l
в ('-^Г- } «P { ^ 2ftf } X
r^i L
fj
|0.0,1.01
+ (*' - *Ó)T + xí»
dW(x)dW"(.r'). (19)
Здесь
Ф[х(т-),х'(г)] = ехр|-| I (Г[х(г)1-У[х'(т)1)<1т|^п/1[х(т),л'(г)1.
Для потенциала гармонического осциллятора У{х) — тгио2х2/2 Струнц получил явное выражение для пропагатора. В частном случае |7|2,аГ = 0 оно имеет вид
х', ¿;хо,х^, ¿) = ^^ ехр ехр , (20)
= " + х2 ~ (Х')2] COSWt ~ 2[Х0Х " ^ > '
S' = о , X [((х - х')2 + (хо - x¿)2)(2cjí - sin2ut)-8w sin aii
- 4(x - x')(xo - X¿)(u/f cosúíí - 8inuíi)j .
В табл. 1 представлены результаты вычислений вещественной Jr и мнимой Jim частей пропагатора, вычисленного по формуле (19) с помощью приближенной формулы с m = 1 для различных моментов времени. Расчеты проводились для параметров |7¡2 = Г = ¿D = 0, |/3¡2 = и = m = ñ = 1 и координат хо = 0.3, х = 1.4, xó = 0.7, х' = -1. Для сравнения приведены соответствующие результаты, вычисленные по точной формуле (20).
Таблица 1
Результаты вычисления пропагатора
t Jr jr(t04h.) Jim •лтсгочн.)
0.1 -0.7962 -0.7970 -1.2312 —1.2323
0.5 -0.5415 х Ю"1 -0.5425 х 10"' -0.2097 —0.2100
1.0 0.3018 х Ю-1 0.3023 х Ю-1 -0.6754 х Ю-:1 -0.6776 х 10"1
1,5 0.1308 х Ю-"1 0.1320 х 10"1 -0.2587 х 10"1 -0.2612 х Ю"1
2.0 0.216 х Ю-2 0.1426 х 10"2 -0.598 х Ю-2 -0.6661 х Ю-2
Как видно из табл. 1, хорошая точность приближений достигается уже при минимальной кратности римановых интегралов, необходимых для вычисления континуального интеграла в соответствии с приближенной формулой. Погрешность результатов наименьшая при малых значениях t.
6. Расчеты в модели двойной ядерной системы
Рассмотренный выше численный метод может быть использован для расчетов физических характеристик в рамках модели двойной ядерной системы [19]. Данная модель описывает механизм формирования составного ядра при глубоконеупругих столкновениях тяжелых ионов. Согласно этой модели, на начальной стадии реакции, после полной диссипации кинетической энергии взаимодействующих ядер формируется двойная ядерная система (ДЯС). Слияние ядер рассматривается как эволюционный процесс, в котором нуклоны одного из ядер системы последовательно передаются другому ядру. Благодаря оболочечной структуре ядра ДЯС сохраняет свою индивидуальность на протяжении всего процесса слияния.
Эволюция ДЯС определяется ее потенциальной энергией, являющейся функцией массовой асимметрии системы 77, углового момента 3 и расстояния между центрами ядер Д. В процессе эволюции в результате диффузии вдоль координаты 77 происходит полное слияние ядер и образование составного ядра. В то же время, туннелирование вдоль оси Я приводит к квазиделению, то есть к распаду ДЯС. Конкуренция между процессами полного слияния и квазиделения является существенным элементом концепции двойной ядерной системы [20]. Данный подход позволяет правильно оценить вероятность формирования составного ядра, что имеет важное значение для подготовки и проведения экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов. Эволюция ДЯС может рассматриваться как процесс туннелирования с диссипацией в открытой квантовой системе.
Рассмотрим вычисление матрицы плотности в модели двойной ядерной системы с помощью метода приближенного континуального интегрирования. Временная эволюция матрицы плотности р{:п, в задаче о туннелировании частицы, сопровождающемся диссипацией энергии, через потенциальный барьер У(х) = -тш2х2/2 показана на рис. 2. Начальное состояние в момент Ь = 0 равно
В работе [21] было получено явное выражение для диагональных элементов матрицы плотности в момент Ь > 0:
Р(М) = <*|й<)|х) = (2тг^(0)-1/2ехр{-(а:2~^^)2|. (21)
Для х(0) = р(0) = 0 первый момент х(¿) в этом гауссиане равен нулю, второй момент при |7|2 = ш = 0 имеет вид [21]:
<,"<(> " 4тЩП-ы*) + 2° Г"(0) - ¡ЙА"(«) + +
("«(0> + 4ш^Хот(0) + ыХ'-п) Л(2Ш1)+
(22)
Для \(3\'2 = Гтш [21] были взяты значения /¿Г = 1Мэв, ш - 13.2 х 10_22сек~\ т - 537?1о, где то — масса нуклона, и начальной дисперсии ачя(0) = 0.01/т2. Время измеряется в единицах 6.6 х 10_22сек. Точками представлены наши результаты, вычисленные по формуле (14) с использованием (19). Сплошными линиями показаны соответствующие результаты, посчитанные по формуле (21). Видно, что согласие численных результатов с теоретическими хорошее.
Отметим также, что потенциал в данном примере не ограничен снизу, что является обычным требованием в ряде работ.
х (Гш)
Рис. 2. Туннелирование с диссипацией через потенциальный барьер
Рассмотрим потенциал вида У(х) = ах4 + Ьх2. В этом случае для пропага-тора и матрицы плотности нет явных выражений. На рис. 3 показаны результаты вычислений матрицы плотности р(х,£) по формулам (14) и (19) для различных моментов времени. Среднее значение начального распределения с дисперсией сгдд(О) = 0.0016/гл2 помещено в один из минимумов потенциала с коэффициентами а = 64.286,6 = -46.286. Для наглядности графики матрицы плотности совмещены с графиком потенциала. Значения физических параметров были взяты из предыдущего примера.
! 1 1 1 1=0 — 1 0.03 - 0.1 - 0.5 • • ■ • /\ 0.9-~ / \ 1.3 •• • / \ 1 V« - .
| ' „1 - _____ 1 ....
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 ,, . 1-5
х (Гш)
Рис. 3. Матрица плотности двойной ядерной системы
Как видно из табл. 1 и рис. 2, с увеличением времени * погрешность приближенных вычислений растет. Точность расчетов можно повысить с помощью итерационной процедуры. Общая идея итераций заключается в том, что результат некоторых вычислений может служить начальным условием для следующего шага аналогичных вычислений. Формулу (14) можно записать в несколько более общей форме, если начальный момент ¿о Ф 0:
(х{|,3(0К) = /<4,/ах^(х£1х^ - (23)
Разделим общий временной интервал [0,4] на две части [0,41] и Согласно
(23) для каждой из этих частей можно записать
= |сЗх£11дз&М^-Ь-,**!^ 0)(хг1|р(41)|х'£1), (24)
ЫШЮ = /^о/КоМЛМ -¿о;х(1>х,{1,0)(х4о|р(<0)|х;о). (25)
Заменяя начальную матрицу плотности (х^|р(<1)|х'^) в (24) выражением в правой части (25), получим
(*|/3(*)Ю = у ах41 у ах'(11 dxí0| сК0 (26)
Лх«у4>4-4г,х11,х;1>0у(х(1,х,41,*1 -4о;х4о,х{о10)(х,0|р(4о)К0). Из сравнения равенств (23) и (26) следует, что
.7(х(,х'^-4о;х£о,х;о,0) = (27)
I I ах417(х£,х^-41;х£1,х'{1,0)7(хб1,х'£1,41 — £0; х^, х'4о, 0).
Интервалы [0, и ,1] не обязательно должны быть короткими. Это зависит от того, насколько точна приближенная формула для каждого из этих интервалов. Описанную процедуру можно повторять снова. При каждом делении временного интервала кратность интеграла, который необходимо вычислять приближенно, увеличивается на 2.
1
р 0.9 0.8 0.7 0.С 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
х({ш)
Рис. 4. Использование итерационной процедуры
На рис. 4 показан пример вычислений матрицы плотности р для системы с потенциалом ^(ж) = тш2х2/2, которые проводились с применением итерационной формулы (27). Начальное условие и параметры взяты из предыдущего примера. Общий временной интервал составляет [0,1]. Результаты, полученные без использования итерационной процедуры, показаны тонкой линией. Соответствующие результаты, полученные по формуле (27) с промежуточным временем ^ = 0.4, представлены точками. Наконец, точное решение показано толстой линией. Результаты, представленные на рис. 4, показывают, что использование итерационной формулы (27) может дать существенное повышение точности вычислений.
7. Заключение
Как показывает анализ полученных численных значений, метод приближенного континуального интегрирования, основанный на полученных нами аппроксимациях, дает возможность получения физических результатов с хорошей точностью путем вычисления обычных (римановых) интегралов малой кратности (на несколько порядков меньше, чем требует метод Монте-Карло). Это преимущество может приобрести большое значение в случае многомерных задач. Общая проблема большинства численных методов, применяющихся для нахождения матрицы плотности из уравнения (13), заключается в том, что объем машинных вычислений растет с увеличением размерности так быстро, что это становится слишком трудной задачей даже для высокопроизводительных компьютеров. Развиваемый нами метод позволяет решить эту задачу. Полученные результаты указывают на то, что этот метод хорошо работает именно в тех случаях, когда традиционные методы имеют проблемы. Если начальная матрица плотности (х|р(0)|х') содержит узкие пики, то, зная точное положение этих пиков, можно относительно легко интегрировать их численно с помощью предлагаемого метода. Обычно это является трудной задачей для других численных методов. Как показывают результаты расчетов, используемый нами метод хорошо работает и в случае не ограниченных снизу потенциалов взаимодействия. Следует добавить, что если потенциал явно зависит от времени, это не вызывает дополнительных трудностей в рассматриваемом нами подходе. Все формулы и численные алгоритмы не требуют изменений.
Авторы благодарны В. В. Волкову за обсуждение физической постановки задачи в модели двойной ядерной системы; Г. Г. Адамяну и Н. В. Антоненко — за полезные обсуждения в области использования открытых квантовых систем в ядерной физике; В. Д. Рушаю — за проведение ряда численных расчетов.
Литература
1. Khandecar D. С., Lawande S. V., Bhagwat К. V. Path-Integral Methods and Their Applications. — Singapore: World Scientific, 1993.
2. Dittrich W., Reuter M. Classical and Quantum Dynamics: from Classical Paths to Path Integrals. — Berlin: Springer, 1994.
3. Kashiwa Т., Ohnuki Y., Suzuki M. Path Integral Methods. - Oxford: Clarendon Press, 1997.
4. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. - Vol. 20. - 1948. - Pp. 367-387.
5. Мазманишвили А. С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. — Киев: Наукова думка, 1987.
6. Wiener N. The average value of the functional // Proc. London Math. Soc. -Vol. 22. - 1924. - Pp. 454-467.
7. Egoroo A. D., Sobolevsky P. /., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. - Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993.
8. Жидков E. П., Лобанов Ю. Ю. Метод приближенного континуального интегрирования и некоторые его приложения // Матем. моделирование. — Т. 11. — 1999 _ С 37-83.
9. Wiringa R. В. // Recent Progress in Many-Body Theories. — New York: Plenum
Press 1992. — P. 39.
10. Exact' numerical solution of a three-body ground state problem / G. A. Baker, J. L. Gammel, B. J. Hill, J. G. Wills // Phys. Rev. - Vol. 125. - 1962. -Pp. 1754-1758.
11 Herndon R C., Tang Y. C. Upper and lower bounds of the eigenvalue of a four-body system // Nucl. Phys. A. - Vol. 93. - 1967. - Pp. 692-698.
12 Grimm R. C., Storer R. G. Monte-Carlo solution of Schrodinger's equation // J. Сотр. Phys. - Vol. 7. - 1971. - Pp. 134-156.
13 Kalos M. H. Monte Carlo calculations of the ground state of three- and four-body nuclei // Phys. Rev. - Vol. 128. - 1962. - Pp. 1791-1795.
14. Negele J. W. Tunneling of a many-fermion system in one dimension // Time-Dependent Hartree-Fock and Beyond. — Berlin: Springer, 1982. — Pp. 198-213.
15. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра, т.1. — М: Мир, 1971.
16. Lindblad С. // Commun. Math. Phys. - Vol. 48. - 1976. - Pp. 119-130.
17. Strunz W. T. Path integral, semiclassical and stochastic propagators for Markov-ian open quantum systems // J. Phys. A. — Vol. 30. — 1997. - Pp. 4053-4064.
18. Feynman R. P., Vernon F. L. // Ann. Phys. - Vol. 24. - 1963. - Pp. 118-173.
19. Волков В. В. Роль двойной ядерной системы в процессах слияния ядер, квазиделения, деления и формирования кластеров Ц ЯФ. — Т. 62, № 7. — 1999. _ С. 1159-1166.
20. Fusion Cross Sections [or Superheavy Nuclei in the Dinuclear System Concept / G. G. Adamian, N. V. Antonenko, W. Scheid, V. V. Volkov // Nucl. Phys. A. — Vol. 633, No 3. - 1998. - Pp. 409-420.
21. Adamian G. G., Antonenko N. V., Scheid W. Tunneling with dissipation in open quantum systems // Phys. Lett. A. - Vol. 244. - 1998. - Pp. 482-488.
UDC 519.6+517.98+517.3
Numerical Calculation of Wiener Integrals in Some Problems of
Nuclear Physics
E. P. Zhidkov, Yu. Yu. Lobanov
Laboratory of Information Technologies
Joint Institute [or Nuclear Research Duhna, Moscow Region, 141980, Russia
The application of numerical functional integration method to the study of quantum-mechanical models in nuclear physics is described. Using the computation of Wiener integrals the binding energies of nucleons in some nuclei are calculated. For the propagator of open quantum systems the expression in the form of double conditional Wiener integral is obtained. The applicability of this formula and the efficiency of the numerical method is studied in computations of the density matrix in the dinuclear system model.
